時(shí)間：2022-03-21 21:46:11
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【關(guān)鍵詞】金融數(shù)學(xué) 模型
一、金融數(shù)學(xué)概念
金融理論的核心問題,就是研究在不確定的環(huán)境下，經(jīng)濟(jì)人在空間和時(shí)間上分配或配置金融資產(chǎn)的活動。這種金融行為涉及到金融資產(chǎn)的時(shí)間因素、不確定性因素即金融資產(chǎn)的價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)問題。處理這種復(fù)雜性常常需要引入復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具。金融數(shù)學(xué)是指運(yùn)用數(shù)學(xué)理論和方法,研究金融運(yùn)行規(guī)律的一門學(xué)科。其核心問題是在不確定多期條件下的證券組合選擇和資產(chǎn)定價(jià)理論。套利、最優(yōu)和均衡是其中三個(gè)主要概念。證券組合理論、資本資產(chǎn)定價(jià)模型、套利定價(jià)理論、期權(quán)定價(jià)理論和資產(chǎn)結(jié)構(gòu)理論在現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)理論中占據(jù)重要地位。
二、金融數(shù)學(xué)中的模型
1有效市場理論
市場的有效性這一概念起源于本世紀(jì)法國人Bachelier的研究。他首次運(yùn)用布朗運(yùn)動模型來導(dǎo)出期權(quán)公式是在1900年,市場有效性的起源也正是在那個(gè)時(shí)候。然而市場有效性與信息相聯(lián)系,是近幾十年來的工作。Fama指出價(jià)格完全反映了可以使用的信息時(shí),這個(gè)市場才能被稱為是有效的，但是市場是有套還是無套利,是高效還是低效,不是非此即彼的問題,而是程度問題。
有效市場假設(shè)一直是激烈爭論的問題，學(xué)者們進(jìn)行了無數(shù)次理論研究和實(shí)證考察,對有效的市場理論的邏輯基礎(chǔ)提出疑義：一方面市場的有效性是投機(jī)和套利的產(chǎn)物,而投機(jī)和套利都是有成本的活動；另一方面,因?yàn)槭袌鍪怯行У?所以投機(jī)和套利是得不到回報(bào)的,這些活動就會停止，但是一旦停止了投機(jī)和套利的活動,市場又怎么能繼續(xù)有效呢？無疑,投機(jī)和套利活動使得價(jià)格更為有效。正是這一矛盾統(tǒng)一體的不斷變化,才使市場呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)上的周期性變化。
2證券組合理論
金融學(xué)從定性分析到定量分析始于馬科維茨的證券組合選擇理論。馬科維茨首先將概率理論與數(shù)學(xué)規(guī)劃成功地結(jié)合在了一起，把組合投資中的股票價(jià)格作為隨機(jī)變量，用其均值表示受益，方差表示風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)收益不變、使風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合問題可歸結(jié)為二次規(guī)劃的最優(yōu)解。通過數(shù)量分析得出的這種結(jié)論,迎合了投資者規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的需要。隨著量化研究的不斷深入,組合理論及其實(shí)際運(yùn)用方法越來越完善,成為現(xiàn)資學(xué)中的交流工具。但馬科維茨組合理論中的許多假設(shè)條件無法滿足,使其在現(xiàn)實(shí)中失效。為了克服這一困難,后來發(fā)展了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的證券優(yōu)化算法。
3資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）
資本資產(chǎn)定價(jià)模型主要描述了當(dāng)市場處于均衡狀態(tài)下，如何決定資產(chǎn)的相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)以及收益和風(fēng)險(xiǎn)的相互關(guān)系。在均衡的市場中，理性的投資者都會持有市場證券組合的比例。市場證券組合是包含對所有證券投資的證券組合，其中每一種證券的投資比例等于它的相對市場價(jià)值，一種證券的相對市場價(jià)值等于這種證券總的市場價(jià)值除以所有證券總和的市場價(jià)值。該模型首先給出了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率與市場風(fēng)險(xiǎn)之間的線性關(guān)系。同時(shí)也給出了單個(gè)證券的收益與市場資產(chǎn)組合收益之間的數(shù)量關(guān)系。資本資產(chǎn)定價(jià)模型的理論精華是一種證券的預(yù)期收益,可以用這種資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)測度β來測量，既建立了期望收益率與β之間的線性關(guān)系。這一關(guān)系給出了很好的的兩個(gè)命題。第一,為潛在的投資提供了一種估計(jì)其收益率的方法。第二,也為我們不在市場上交易的資產(chǎn)同樣作出合理的定價(jià)。比如估計(jì)一級市場股票發(fā)行價(jià)。
4 APT模型
資本資產(chǎn)定價(jià)模型刻畫了在資本市場達(dá)到均衡時(shí)資本收益的決定機(jī)制，他基于眾多的假設(shè)，而且其中一些假設(shè)并不符合現(xiàn)實(shí)，在檢驗(yàn)CAPM時(shí)，一些經(jīng)驗(yàn)結(jié)果與其不符，為此在1970年羅斯提出了一種新的資本資產(chǎn)均衡模型即套利定價(jià)模型。該模型認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)是由多個(gè)因素產(chǎn)生的，不僅僅是一個(gè)市場因素，尤其是他對風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的假設(shè)比CAPM更為寬松，也更為接近現(xiàn)實(shí)。APT的核心是假設(shè)不存在套利機(jī)會，證券的預(yù)期收益與風(fēng)險(xiǎn)因素存在近似的線性關(guān)系。APT理論的貢獻(xiàn)主要在于其對均衡狀態(tài)的描述。但由于APT理論只是闡明了資產(chǎn)定價(jià)的結(jié)構(gòu)，而沒有說明是哪些具體的經(jīng)濟(jì)的或其它的因素影響預(yù)期收益，所以這一理論的檢驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用都受到了一定的限制。
5期權(quán)定價(jià)模型
布萊克和斯科爾斯的期權(quán)定價(jià)模型的推導(dǎo)建立在沒有交易成本、稅收限制等6個(gè)假設(shè)基礎(chǔ)上。該模型表明:期權(quán)的價(jià)格是期權(quán)商品市場價(jià)格、商品市場價(jià)格的波動、期權(quán)執(zhí)行價(jià)格距到期日時(shí)間的長短以及安全利息率的函數(shù)。自從布萊克和斯科爾斯的以后,由默頓、考克斯、魯賓斯坦等一些學(xué)者相繼對這一理論進(jìn)行了重要的推廣并得到廣泛的應(yīng)用。期權(quán)定價(jià)模型可用來制定各種金融衍生產(chǎn)品的價(jià)格,是各種衍生產(chǎn)品估價(jià)的有效工具。期權(quán)定價(jià)模型為西方國家金融創(chuàng)新提供了有利的指導(dǎo),是現(xiàn)代金融理論的主要內(nèi)容之一。
6資產(chǎn)結(jié)構(gòu)理論
在現(xiàn)代金融理論中,公司的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)理論(也稱為MM定理)與有效市場理論和資產(chǎn)組合理論幾乎是在同一時(shí)期發(fā)展起來的具有同等重要地位的成果。MM定理的條件是非?？量痰模且?yàn)檫@些假設(shè)抽象掉了大量的現(xiàn)實(shí)東西，從而揭示了企業(yè)金融決策中最本質(zhì)的東西即企業(yè)經(jīng)營者和投資者行為及其相互作用。該定理公開發(fā)表以后,一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家又對這一定理采用不同的方法從不同的角度作了進(jìn)一步證明。其中最著名的有Hamda用資本定價(jià)模型進(jìn)行了再證明,還有Stiglize用一般均衡理論作了再證明,結(jié)論都與MM定理是相一致的。
三、結(jié)語
數(shù)學(xué)模型已經(jīng)大量的應(yīng)用在金融學(xué)中，極大的促進(jìn)了金融理論的發(fā)展。金融數(shù)學(xué)模型都是在很多假設(shè)的條件下才能成立，這些假設(shè)有些與客觀現(xiàn)實(shí)有一定差距甚至抵觸,因而解決這類問題就不理想，范圍也十分狹窄,需要在數(shù)學(xué)上改進(jìn)和發(fā)展。世界各國金融背景和管理模式各異，需要大量建立符合自己國情的金融模型和分析方法。
參考文獻(xiàn)：
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；解模；釋模；數(shù)學(xué)模型
中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2016）06-0054-04
2015年，上海市教委教研室頒布的新版《上海市中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，把數(shù)學(xué)建模、解模、釋模的能力提到了一個(gè)新的高度。如在第6頁的“能力架構(gòu)”一節(jié)中提到：中職數(shù)學(xué)課程應(yīng)更多體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具性，培養(yǎng)學(xué)生解決各類問題的能力，在問題解決的各種形態(tài)轉(zhuǎn)化過程中，需要數(shù)學(xué)知識和認(rèn)知情感方面的保障，需要“建模、解模、釋?！比齻€(gè)環(huán)節(jié)中相應(yīng)的數(shù)學(xué)能力。
同時(shí)，上海中職校從2015年起就要開始實(shí)施學(xué)業(yè)水平考試，這些新要求、新情況給廣大的中職校數(shù)學(xué)教師及學(xué)生帶來了新的挑戰(zhàn)。
作為一名一線的數(shù)學(xué)教師，本人已在平時(shí)的教學(xué)過程中不斷加入了對于數(shù)學(xué)建模的思考，下文就是本人在一年級新生中開設(shè)的一堂關(guān)于如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的理念課的教學(xué)過程。
筆者所在學(xué)校使用的是上海教育出版社2015年8月出版的《中等職業(yè)學(xué)校教材試用本――數(shù)學(xué)》，該教材第一冊中，在第2.1小節(jié)《不等式的基本性質(zhì)》后面，有一節(jié)拓展閱讀內(nèi)容，名為“烹飪中的數(shù)學(xué)模型”。本堂課就是依據(jù)這一教材內(nèi)容來設(shè)計(jì)的。
一、導(dǎo)入過程
本過程選取了兩個(gè)已經(jīng)學(xué)過的知識點(diǎn)，配置相關(guān)場景，讓學(xué)生了解：數(shù)學(xué)建模不是一個(gè)新鮮的東西，而是我們之前已經(jīng)碰到過的東西。
老師：同學(xué)們，我們每個(gè)班級里面的同學(xué)，都有著不同的體育愛好，參加過不同的比賽，比如有的同學(xué)參加過籃球比賽，有的參加過足球比賽，還有的參加過乒乓球比賽，等等。如果這個(gè)班級總共有40人，其中參加過籃球比賽的同學(xué)有25人，參加過足球比賽的同學(xué)有22人，請問，同時(shí)參加過籃球和足球比賽的學(xué)生有多少？
學(xué)生：同時(shí)參加過籃球和足球比賽的學(xué)生有7人。
老師：回答正確。但是，這個(gè)問題可以和我們前面學(xué)習(xí)的什么知識聯(lián)系起來呢？
馬航失聯(lián)至今為止都是一個(gè)未解開的謎團(tuán)，而飛機(jī)失事也越發(fā)受到人們的關(guān)注。飛機(jī)失事后的救援工作更是重中之重，全世界都會關(guān)注救援的進(jìn)度。如何準(zhǔn)確快速的進(jìn)行搜救也就成為了一個(gè)重要的問題。
本文將整個(gè)救援問題分為三個(gè)步驟：落點(diǎn)確定，搜索范圍確定，搜索路徑確定。通過對每一個(gè)步驟的確定，可以匯總出一個(gè)完整的搜救方案。首先，飛機(jī)墜落時(shí)，考慮到飛機(jī)種類不同，我們綜合了飛機(jī)重量，機(jī)翼面積，升阻比等參數(shù)，研究了飛機(jī)飛行高度與落點(diǎn)位置之間的關(guān)系，可以確定不同種類的飛機(jī)在不同高度墜落時(shí)落點(diǎn)的位置，對搜救工作進(jìn)行第一步的定位。第二步，飛機(jī)墜毀解體后，會有不同種類的物體掉入海中，物體在海中受到洋流，風(fēng)，海浪等等因素的影響做漂移運(yùn)動。我們考慮了風(fēng)和洋流對不同物體的作用不同，結(jié)合物體自身性質(zhì)，研究了物體的漂移軌跡，通過風(fēng)和洋流的實(shí)時(shí)信息，可以模擬推算出物體所在區(qū)域。不同種類的物體分布在不同的區(qū)域。根據(jù)第一步的落點(diǎn)和這一步的物體漂移范圍可以確定搜索的區(qū)域，不同的區(qū)域運(yùn)用不同的搜救設(shè)備會使搜救效率提升，比如搜索沉沒海中的物體可以用攜帶探測水下設(shè)備的飛機(jī)進(jìn)行搜救。第三步，對前面確定的區(qū)域進(jìn)行搜索，因?yàn)閰^(qū)域內(nèi)概率分布不均勻，所以根據(jù)區(qū)域內(nèi)的概率制定搜救路徑，使搜救效率最高，增加救援成功率。通過這種方法，我們可以較為精準(zhǔn)的確定搜救方案，方案的適用范圍較廣，模型靈敏度較高，模型可以自由調(diào)節(jié)精度。
失事飛機(jī)海上搜救問題需要抓住兩個(gè)重要因素：準(zhǔn)確性和迅速性。準(zhǔn)確性就是保證確定的搜救區(qū)域的準(zhǔn)確性，因此需要考慮飛機(jī)落點(diǎn)的準(zhǔn)確性和漂移軌跡的準(zhǔn)確性。因此必須盡可能多的考慮影響因素，并搜集實(shí)時(shí)的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)以保證模型的準(zhǔn)確性。迅速性就是搜索方案要保證最優(yōu)，以最短的時(shí)間搜索盡可能大的范圍，搜救工作就是與時(shí)間賽跑，方案越迅速，搜救成功率越高。
飛機(jī)下降過程受到重力及斜向上的氣流阻力，氣流阻力與空氣密度有關(guān)，由機(jī)下墜落差很大，空氣密度變化很大，故而需要考慮空氣密度帶來的影響。將氣流阻力及重力分解在運(yùn)動軌跡切線方向及其法線方向上，產(chǎn)生切線加速度及向心加速度，建立平面直角坐標(biāo)系上的微分動力學(xué)方程，用MATLAB數(shù)值解法求解微分方程曲線，即為運(yùn)動軌跡。
本文的研究可以對海上失事飛機(jī)的搜救工作起到一定參考作用。還有許多改進(jìn)的地方，我們會繼續(xù)努力完善，希望可以對失事飛機(jī)的搜救工作做出更大的貢獻(xiàn)。
關(guān)鍵詞：泡沫驅(qū)；總量平衡模型；阻力因子；數(shù)學(xué)模型；數(shù)值模擬
DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.06.217
1 引言
泡沫驅(qū)是一種新型化學(xué)驅(qū)油技術(shù)，應(yīng)用前景廣闊[1]。根據(jù)室內(nèi)試驗(yàn)研究，泡沫驅(qū)油機(jī)理主要機(jī)理為選擇性封堵高滲帶，擴(kuò)大波及。目前泡沫驅(qū)數(shù)學(xué)模型主要采用等效模型，且考慮的影響參數(shù)較少[2-5]，需要進(jìn)一步改進(jìn)完善，提高應(yīng)用適應(yīng)性。
2 基于總量平衡方程的泡沫驅(qū)數(shù)學(xué)模型
2.1 泡沫總量平衡方程
流體系統(tǒng)包含油、氣、水三相，可考慮的組分包括：油、氣、水組分，表面活性劑（起泡劑），聚合物，陰陽離子，泡沫；表面活性劑、聚合物、陰陽離子存在于水相中，泡沫組分存在于氣相中；考慮起泡劑和聚合物在油藏中的對流、擴(kuò)散和吸附損耗?；谫|(zhì)量守恒，各組分的平衡方程為：
其中為相數(shù)，為油藏介質(zhì)孔隙度，%，為組分的密度，g/cm3，是第組分的總濃度，%，為組分在相中的濃度，%，為包含分子擴(kuò)散的Fick彌散張量，為相速度，m/day。
對于泡沫組分，其右端項(xiàng)為，其中，，分別為泡沫生成、聚并以及破滅速度，該項(xiàng)包含了動態(tài)的物理化學(xué)反應(yīng)平衡，因此，稱為總量平衡方程。泡沫生成和聚并速度表達(dá)式：
式中，、分別為水和氣體的流速，m/s。k1為泡沫生成 速度常數(shù)，與起泡劑濃度和含油飽和度有關(guān)。k2是聚并系數(shù)，無量綱，與毛管力有關(guān)。
室內(nèi)研究表明，隨著含油飽和度的增大，氣相中泡沫的濃度顯著降低，泡沫穩(wěn)定性下降，泡沫遇油破滅的速度表達(dá)式為：
式中為臨界含油飽和度，%，為聚合物濃度，%，為實(shí)驗(yàn)參數(shù)，無量綱。
2.2 泡沫阻力因子模型
通過滲透率下降因子描述泡沫的選擇性封堵、氣相剪切等機(jī)理，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與認(rèn)識，引入臨界含油飽和度，臨界表面活性劑濃度，臨界毛管力來描述遇油消泡，遇水生泡特征。
（1）臨界含油飽和度、表活劑濃度與毛管力。當(dāng)含油飽和度低于或表面活性劑濃度大于臨界濃度時(shí)，形成泡沫，反之不形成泡沫。毛管力高于臨界毛管力的一個(gè)鄰域，不形成泡沫，低于該鄰域，所形成的泡沫的強(qiáng)度會很高。
（2）滲透率下降因子。泡沫有選擇性封堵作用，滲透率越高，泡沫的流動阻力越大，反之流動阻力越小。記為氣相滲透率下降因子，則，其中為泡沫引起的滲透率下降因子，為修正因子，用于描述氣相剪切和選擇性封堵。
綜合泡沫的生成機(jī)理和臨界毛管力模型，建立如下氣相相對滲透率下降因子模型：
其中為低毛管力時(shí)的泡沫最佳強(qiáng)度對應(yīng)的滲透率下降因子，無量綱，，分別是氣相的實(shí)際流速和參考流速， m/s，是油層滲透率對有效厚度的加權(quán)平均，md，為常數(shù)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)得到。
3 模型測試與應(yīng)用
本節(jié)通過概念模型測試改進(jìn)后的數(shù)學(xué)模型對機(jī)理的描述是否合理。建立如下模型：網(wǎng)格規(guī)模31×31×6，網(wǎng)格大小為10×10×2 m3，采用正五點(diǎn)布井，注入井為定量井，生產(chǎn)井為定壓井，初始水、氣飽和度均為20%，水平方向滲透率為2000md，Z方向滲透率為20md，油藏頂深1200m。模擬時(shí)間3650天（10年），日注水量為20m?，日注氣量為20m?，設(shè)計(jì)1000天-2700天分別注入泡沫驅(qū)段塞、表活劑段塞、純水驅(qū)段塞三種方案。不同方案含水及采收率曲線如下：
通過圖1可以看出，相比水驅(qū)，泡沫驅(qū)能夠有效降低油氣流度比，從而降低含水，提高油藏采收率，而低張力表活劑驅(qū)盡管能夠降低殘余飽和度，由于不能改變流度比，因此增油效果并不好。下圖中對比了不同的氣液比與泡沫劑濃度對提高采收率的影響：
由圖2可以看出，增加氣液比并沒有顯著提高采收率，這是因?yàn)樵谧⑷肓黧w中提高氣體的比例過高，容易發(fā)生氣竄。采收率隨起泡劑濃度提高而提高，當(dāng)注入濃度達(dá)到一定值后，再提高注入濃度效果有限。
4 結(jié)論
本文改進(jìn)了泡沫驅(qū)的數(shù)學(xué)模型，考慮了泡沫的生成、聚并與破滅，阻力因子模型考慮了飽和度、滲透率、表活劑濃度、流速等多因素的影響，數(shù)值模擬算例驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的合理性。在泡沫的動態(tài)生成與破滅的進(jìn)一步準(zhǔn)確描述，以及多參數(shù)阻力因子的表達(dá)式方面，還有待進(jìn)一步研究。
參考文獻(xiàn)：
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一、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)涵
數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)思想精華的具體體現(xiàn)，是對客觀實(shí)際對象的數(shù)學(xué)表述，它是在一定的合理假設(shè)前提下，對實(shí)際問題進(jìn)行抽象和簡化，基于數(shù)學(xué)理論和方法，用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)命題、圖形、圖表等來刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性及其內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)數(shù)學(xué)模型與經(jīng)濟(jì)問題有機(jī)地結(jié)合在一起時(shí)，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型也就產(chǎn)生了。所謂經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型，就是把實(shí)際經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象內(nèi)部各因素之間的關(guān)系以及人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸結(jié)成一套反映數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式和一系列的具體算法，用來描述經(jīng)濟(jì)對象的運(yùn)行規(guī)律。所以，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是對客觀經(jīng)濟(jì)數(shù)量關(guān)系的簡化反映，是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和經(jīng)濟(jì)過程中客觀存在的量的依從關(guān)系的數(shù)學(xué)描述，是經(jīng)濟(jì)分析中科學(xué)抽象和高度綜合的一種重要形式。
經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是研究分析經(jīng)濟(jì)數(shù)量關(guān)系的重要工具，它是經(jīng)濟(jì)理論和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)的中間環(huán)節(jié)。它在經(jīng)濟(jì)理論的指導(dǎo)下對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行簡化，但在主要的本質(zhì)方面又近似地反映了經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)，所以是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)的抽象。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型能起明確思路、加工信息、驗(yàn)證理論、計(jì)算求解、分析和解決經(jīng)濟(jì)問題的作用，特別是對量大面廣、相互聯(lián)系、錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析研究，更離不開經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的幫助。運(yùn)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)建模來分析經(jīng)濟(jì)問題，預(yù)測經(jīng)濟(jì)走向，提出經(jīng)濟(jì)對策已是大勢所趨。
在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中，用到的數(shù)學(xué)非常廣泛，有些還相當(dāng)精深。其中包括線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、非線性規(guī)劃、不動點(diǎn)定理、變分發(fā)、控制理論、動態(tài)規(guī)劃、凸集理論、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過程、矩陣論、微分方程、對策論、多值函數(shù)、機(jī)智測度等等，它們應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的許多部門，特別是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。
二、建立經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的基本步驟
1.模型準(zhǔn)備。首先要深入了解實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題以及與問題有關(guān)的背景知識，對現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象及原始背景進(jìn)行細(xì)致觀察和周密調(diào)查，以獲取大量的數(shù)據(jù)資料，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行加工分析、分組整理。
2.模型假設(shè)。通過假設(shè)把實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題簡化，明確模型中諸多的影響因素，并從中抽象最本質(zhì)的東西。即抓住主要因素，忽略次要因素，從而得到原始問題的一個(gè)簡化了的理想化的自然模型。
3.模型建立。在假設(shè)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已經(jīng)掌握的經(jīng)濟(jì)信息，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻畫變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，把理想化的自然模型表述成為一個(gè)數(shù)學(xué)研究的題材——經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。
4.模型求解。使用已知的數(shù)學(xué)知識和觀測數(shù)據(jù)，利用相關(guān)數(shù)學(xué)原理和方法，求出所建模型中各參數(shù)的估計(jì)值。
5.模型分析。求出模型的解后，對解的意義進(jìn)行分析、討論，即這個(gè)解說明了什么問題？是否達(dá)到了建模的目的？根據(jù)實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題的原始背景，用理想化的自然模型的術(shù)語對所得到的解進(jìn)行解釋和說明。
6.模型檢驗(yàn)。把模型的分析結(jié)果與經(jīng)濟(jì)問題的實(shí)際情況進(jìn)行比較，以考察模型是否符合問題實(shí)際，以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和實(shí)用性。如果模型與問題實(shí)際偏差較大，則須調(diào)整修改。
三、建立經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型應(yīng)遵從的主要原則
1.假設(shè)原則。假設(shè)是某一理論所適用的條件，任何理論都是有條件的、相對的。經(jīng)濟(jì)問題向來錯(cuò)綜復(fù)雜，假設(shè)正是從復(fù)雜多變因素中尋求主要因素，把次要因素排除在外，提出接近實(shí)際情況的假設(shè)，從假設(shè)中推出初步結(jié)論，然后再逐步放寬假設(shè)條件，逐步加進(jìn)復(fù)雜因素，使高度簡化的模型更接近經(jīng)濟(jì)運(yùn)行實(shí)際。作假設(shè)時(shí)，可以從以下幾方面來考慮：關(guān)于是否包含某些因素的假設(shè)；關(guān)于條件相對強(qiáng)弱及各因素影響相對大小的假設(shè)；關(guān)于變量間關(guān)系的假設(shè)；關(guān)于模型適用范圍的假設(shè)等等。
2.最優(yōu)原則。最優(yōu)原則可以從兩方面來考慮：其一是各經(jīng)濟(jì)變量和體系上達(dá)到一種相對平衡，使之運(yùn)行的效率最佳；其次是無約束條件極值存在而達(dá)到效率的最優(yōu)、資源配置的最佳、消費(fèi)效用或利潤的最大化。由于經(jīng)濟(jì)運(yùn)行機(jī)制是為了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的最優(yōu)可能性，我們在建立經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型時(shí)必須緊緊圍繞這一目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行。
3.均衡原則。即經(jīng)濟(jì)體系中變動的各種力量處于相對穩(wěn)定，基本上趨于某一種平衡狀態(tài)。在數(shù)學(xué)中所表述的觀點(diǎn)是幾個(gè)函數(shù)關(guān)系共同確定的變量值，它不單純是一個(gè)函數(shù)的變動去向，而是整個(gè)模型所共有的特殊結(jié)合點(diǎn)，在該點(diǎn)上整個(gè)體系變動是一致的，即達(dá)到一種經(jīng)濟(jì)聯(lián)系的平衡。如需求函數(shù)和供給函數(shù)形成的均衡價(jià)格和數(shù)量，使市場處于一種相對平衡狀態(tài)，從而達(dá)到市場配置的最優(yōu)。
4.數(shù)、形、式結(jié)合原則。數(shù)表示量的大小，形表示量的集合，式反映了經(jīng)濟(jì)變量的聯(lián)系及規(guī)律，三者之間形成了邏輯的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)中圖形是點(diǎn)的軌跡，點(diǎn)是函數(shù)的特殊值，因而也是函數(shù)和曲線的統(tǒng)一?？梢哉J(rèn)為經(jīng)濟(jì)問題是復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的一個(gè)點(diǎn)，函數(shù)則是經(jīng)濟(jì)變量之間的相互依存、相互作用關(guān)系，圖形就是經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的規(guī)律和機(jī)制。所以，數(shù)、形、式是建模的主要工具和手段，是解決客觀經(jīng)濟(jì)問題的三個(gè)要素。
5.抽象與概括的原則。抽象是思維的延伸，概括是思維的總結(jié)，抽象原則揭示了善于從紛繁復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象延伸到經(jīng)濟(jì)本質(zhì)，挖掘其本質(zhì)的反映，概括是經(jīng)濟(jì)問題的縱橫比較與分析，以便把握其本質(zhì)屬性，揭示其規(guī)律。
四、構(gòu)建和運(yùn)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型應(yīng)注意的問題
經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是對客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的把握，是相對的、有條件的。經(jīng)濟(jì)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法時(shí)，必須以客觀經(jīng)濟(jì)活動的實(shí)際為基礎(chǔ)，以最初的基本假設(shè)為條件，一旦突破了最初的基本假設(shè)，就需要研究探索使用新的數(shù)學(xué)方法；一旦脫離客觀經(jīng)濟(jì)實(shí)際，數(shù)學(xué)的應(yīng)用就失去了意義。因此，在構(gòu)建和運(yùn)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型時(shí)須注意到：
1.首先對所研究的經(jīng)濟(jì)問題要有明確的了解，細(xì)致周密的調(diào)查。分析經(jīng)濟(jì)問題運(yùn)行的規(guī)律，獲取相關(guān)的信息和數(shù)據(jù)，明確各經(jīng)濟(jì)變量之間的數(shù)量關(guān)系。如果條件不太明確，則要通過假設(shè)來逐漸明確，從而簡化問題。
2.明確建模的目的。出于不同的目的，所建模型可能會有很大的差異。建模目的可能是為了描述或解釋某一經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象；可能是預(yù)報(bào)某一經(jīng)濟(jì)事件是否發(fā)生，或者發(fā)展趨勢如何；還可能是為了優(yōu)化管理、決策或控制等?？傊?，建立經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型是為了解決實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題，所以建模過程中不僅要建立經(jīng)濟(jì)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式，還必須清楚這些表達(dá)式在整個(gè)模型中的地位和作用。
3.在經(jīng)濟(jì)實(shí)際中只能對可量化的經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，對不可量化的事物只能建造模型概念，而模型概念是不能進(jìn)行數(shù)量分析的。盡管經(jīng)濟(jì)模型是反映事物的數(shù)量關(guān)系的，但必須從定性開始，離開具體理論所界定的概念，就無從對事物的數(shù)量進(jìn)行分析和討論。
4.不同數(shù)學(xué)模型的求解一般涉及不同的數(shù)學(xué)分支的專門知識，所以建模時(shí)應(yīng)盡可能利用自己熟悉的數(shù)學(xué)分支知識。同時(shí)，也應(yīng)征對問題學(xué)習(xí)了解一些新的知識，特別是計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展為建模提供了強(qiáng)有力的輔助工具，熟練掌握一些數(shù)學(xué)或經(jīng)濟(jì)軟件如Matlab、Mathematic、Lindo也是必不可少的。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型；小應(yīng)用；案例
案例：椅子問題
把椅子置于地面時(shí)，如果只有三只腳著地，椅子經(jīng)常放不穩(wěn)，通常需要調(diào)整幾次方可將椅子放穩(wěn)，試用數(shù)學(xué)語言對此問題給以表述，并用數(shù)學(xué)工具說明椅子能否在地面上放穩(wěn)？若能，請給予證明并給出做法，否則說明理由。
【問題分析】
為了構(gòu)造距離函數(shù)和設(shè)定相關(guān)參數(shù)，讓我們實(shí)際操作一下，從中搜集信息，弄清其特征。要想四只腳同時(shí)著地，通常有四種方法：其一是將椅子搬離原地，換個(gè)位置試驗(yàn)；另一個(gè)做法是原地旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)，由于前一種方法需要研究的范圍可能要很大，這里我們采取第二種做法。通過實(shí)地操作，易得出結(jié)論：只要地面相對平坦，沒有地面大起大落的情況，那么隨著旋轉(zhuǎn)角度的不同，三只腳同時(shí)落地后，第四只腳與地面距離也不同（不僅如此，旋轉(zhuǎn)中總各有兩個(gè)腳同時(shí)著地，另兩個(gè)腳不穩(wěn)定）。也就是說，這個(gè)距離函數(shù)與旋轉(zhuǎn)角度有關(guān)，是旋轉(zhuǎn)角度的函數(shù)，于是一個(gè)確定的函數(shù)關(guān)系便找到了，不僅如此，我們的問題也順其自然地轉(zhuǎn)化為是否存在一角度，使得四個(gè)距離函數(shù)同時(shí)為零？
綜上分析，問題可以歸結(jié)為證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性，遂決定試用函數(shù)模型予以處理。
【模型假設(shè)】
根據(jù)前面的分析，我們可作如下假設(shè)：
1）椅子的四只腳同長。
2）將椅子的腳與地面接觸處看成是一個(gè)幾何點(diǎn)，四角連線為正方形。
3）地面相對平坦，即在旋轉(zhuǎn)所在地面范圍內(nèi)，椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地。
4）地面高度連續(xù)變化，可視地面為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。
【建立模型】
首先，引入合適的變量來表示椅子位置的挪動。
依據(jù)假設(shè)條件，四只腳連線呈正方形，因而以其中心為對稱點(diǎn)，令正方形繞中心旋轉(zhuǎn)便可表示椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度的變化表達(dá)椅子的不同位置。為此，我們以正方形中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，并假設(shè)旋轉(zhuǎn)開始時(shí)（角度θ=0）四個(gè)椅腳點(diǎn)A，B，C，D中的A點(diǎn)和C點(diǎn)位于x軸上，B點(diǎn)和D點(diǎn)位于y軸上。旋轉(zhuǎn)角度θ后，點(diǎn)A，B，C，D變到點(diǎn)A′，B′，C′，D′（圖1）。顯然，隨著θ的改變，椅子的位置也隨著改變，從而椅腳與地面距離也隨之改變。盡管椅子有四只腳，有四個(gè)距離，但對于每個(gè)角度，總有點(diǎn)A、C同時(shí)著地而點(diǎn)B、D不同時(shí)著地或點(diǎn)B、D同時(shí)著地，而點(diǎn)A、C不同時(shí)著地，故只要設(shè)兩個(gè)距離函數(shù)即可。因此設(shè)A、C兩腳與地面距離之和為fθ，B、D兩腳與地面距離之和為gθ，且作為距離函數(shù)的fθ、gθ均為非負(fù)函數(shù)。由假設(shè)（3）可知，對任意角度θ，恒有fθ=0，gθ0或gθ=0。故fθgθ=0對任意θ成立。
要證明存在角度θ0，使fθ0=0，gθ0=0同時(shí)成立，還需要條件支持。注意到在初始位置（θ=0）處，有f0=0，g0>0或f0>0，g0=0，而旋轉(zhuǎn)90°后，兩組條件恰好交換。因此，椅子通過旋轉(zhuǎn)改變位置能放穩(wěn)的證明，便歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題，即
已知fθ、gθ是θ的連續(xù)函數(shù)，對任意θ，fθgθ=0且f0=0時(shí)g0>0，fπ2>0時(shí)gπ2=0。
求證：存在θ0∈0，π2，使fθ0=gθ0=0。
這就是椅子問題的數(shù)學(xué)模型。由此可見只需引進(jìn)一個(gè)變量θ及其一元函數(shù)fθ、gθ，便把模型條件和結(jié)論用簡單又精確的數(shù)學(xué)語言表述出來，從而形成所需要的數(shù)學(xué)模型。
【模型求解】
容易看出本模型屬于一元連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題，使用介值定理便可輕松證明它。
一、數(shù)學(xué)模型的概念
數(shù)學(xué)模型是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是借助于數(shù)學(xué)概念和符號刻畫出來的某種系統(tǒng)的純關(guān)系結(jié)構(gòu)，所以在數(shù)學(xué)模型的形成過程中，已經(jīng)用了抽象分析法，可以說抽象分析法是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的基本手段。從廣義上講，數(shù)學(xué)中的各種基本概念如實(shí)數(shù)、向量、集合等可叫做數(shù)學(xué)模型，因?yàn)樗鼈兪且愿髯韵鄳?yīng)的實(shí)體為背景加以抽象出來的最基本的數(shù)學(xué)概念，這種可稱為原始模型。如例1：自然數(shù)1、2、3、4…n是用來描述離散型數(shù)量的模型；例2：每一個(gè)代數(shù)方程或數(shù)學(xué)公式也是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，如ax +bx+c=0。但狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學(xué)模型。一般的，在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)模型都作狹義講，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的就是為了解決實(shí)際問題。
二、數(shù)學(xué)模型的類別
1.按照建立模型的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分類，如初等數(shù)學(xué)模型、幾何模型、規(guī)劃模型等。
2.按模型的表現(xiàn)特性，可分為確定性模型與隨機(jī)模型、靜態(tài)模型與動態(tài)模型、線性模型與非線性模型、離散模型與連續(xù)模型。
3.按照建模目的分，有描述型模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。
三、數(shù)學(xué)模型的缺點(diǎn)
1.模型的非預(yù)制性。實(shí)際問題各種各樣，變化萬千，這使得建模本身常常是事先沒有答案的問題，在建立新的模型的過程中，甚至?xí)殡S著新的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生。
2.模型的局限性。首先模型是現(xiàn)實(shí)對象簡化、理想化的產(chǎn)物，所以一旦將模型的結(jié)論用于實(shí)際問題，那些被忽視的因素必須考慮，因此結(jié)論的通用性和精確性只是相對的。另外，由于人們認(rèn)識能力和數(shù)學(xué)本身發(fā)展水平的限制，有不少實(shí)際問題很難得到有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)模型。
四、建模的步驟
建模過程有哪些步驟與實(shí)際問題的性質(zhì)、建模的目的等有關(guān)，下面我們先看兩個(gè)例子：
例一：家用電器一件，現(xiàn)價(jià)2000元，實(shí)行分期付款，每期付款數(shù)相同，每期為一個(gè)月，購買后一個(gè)月付款一次，再過一個(gè)月又付款一次，共12次，即購買一年后付清，若按月利率8‰，每月復(fù)利計(jì)算一次，那么每期應(yīng)付款多少？
這是一道關(guān)于分期付款的實(shí)際應(yīng)用題，我們要求解就必須構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。通過分析，問題體現(xiàn)出的等量關(guān)系為分期付款，各期所付的款及各期所付的款到最后一次付款時(shí)所生的利息合計(jì)，應(yīng)等于所購物品的現(xiàn)價(jià)及這個(gè)現(xiàn)價(jià)到最后一次付款時(shí)所生的利息之和。因此，設(shè)每期應(yīng)付款為x元，那么，到最后一次付款時(shí)，
第一期付款及所生利息之和為x×1.008 ，
第二期付款及所生利息之和為x×1.008 ，
第三期付款及所生利息之和為x×1.008 ，
……
……
第十一期付款及所生利息之和為x×1.008，
第十二期付款及所生利息之和為x，
而所購電器的現(xiàn)價(jià)及其利息之和為2000×1.008 ，
由此x×（1+1.008+1.008 +…1.008 ）=2000×1.008 ，
由等比數(shù)例求和公式得：
x≈175.46（元）
也就是每期應(yīng)付款175.46元。
例二：關(guān)于物體冷卻過程一個(gè)問題：設(shè)某物體置于氣溫為24℃的空氣中，在時(shí)刻t=0時(shí)，物體溫度為u =150℃，經(jīng)過10分鐘后物體溫度變?yōu)閡 =100℃，試確定該物體溫度u與時(shí)間t之間的關(guān)系并計(jì)算t=20分鐘時(shí)物體的溫度。
為了解決此問題就要構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型，首先由于該問題涉及必然性現(xiàn)象，故要選取一個(gè)確定性數(shù)學(xué)模型。又為了反映物體冷卻過程這樣一個(gè)物理現(xiàn)象，還必須應(yīng)用牛頓冷卻定律：在一定溫度范圍內(nèi)，一個(gè)物體的溫度變化率恒與該物體和所在介質(zhì)之溫差成正比。在該問題里，物體溫度u應(yīng)是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)，記為u=u（t）。對初始溫度u 而言，溫差為u -u （u 為空氣介質(zhì)溫度）。我們又知道，應(yīng)變量（函數(shù)）的變化率可用導(dǎo)數(shù)概念來表述，于是物體冷卻過程（現(xiàn)實(shí)原型）的數(shù)學(xué)模型就是如下形式的微分方程：
=-k（u-u ），k為比例常數(shù)，在具體問題里可確定下來。
具體問題要求出函數(shù)關(guān)系u=u（t）的顯式表示。易得
log （u-u ）=-kt+c
u-u =A•e ，其中A為常數(shù)，代入t=0時(shí)，u=u ，則u -u =Ae°=A，
u=（u -u ）e +u 這就是方程解。
有了一般模型，只要把實(shí)際問題里的具體數(shù)據(jù)一一代入即可。
100=（150-24）e +24
k=0.051
因此對具體問題有特殊模型為u=24+126e ，將t=20代入則得u（20）=24+40=64答案即為64℃。
所以我們建立數(shù)學(xué)模型的步驟可以歸納如下：
模型準(zhǔn)備：首先要了解問題的實(shí)際情境，情況明白才能方法正確?？傊?，要做好建模的準(zhǔn)備工作。
提出問題：通過恰當(dāng)假設(shè)，將問題進(jìn)行簡化。
模型構(gòu)成：根據(jù)分析對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)工具，構(gòu)造各個(gè)量（常量和變量）之間的等式（或不等式）關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建模時(shí)應(yīng)遵循的一個(gè)原則是，盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，這樣才有利于更多的人了解和使用。
模型求解：可以采用解方程、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳統(tǒng)方法，也可使用近代的數(shù)學(xué)方法如計(jì)算機(jī)技術(shù)等。
模型檢驗(yàn)：把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題，并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。若合乎則得出結(jié)果：若不合乎實(shí)際則應(yīng)重新建模，直到檢驗(yàn)結(jié)果合乎實(shí)際為止。
四、有關(guān)數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的建議
在分析了數(shù)學(xué)建模的物點(diǎn)、過程之后，我們知道用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題首先是用數(shù)學(xué)語言表述問題，即構(gòu)造模型，這就需要有廣博的知識、足夠的經(jīng)驗(yàn)、豐富的想象力和敏銳的洞察力。
1.教師應(yīng)努力成為數(shù)學(xué)建模的先驅(qū)者，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況提出一些問題供學(xué)生選擇，如關(guān)于哥尼斯堡七橋問題；或者提供一些實(shí)際情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題，如銀行的分期付款問題、公平的席位分配、傳染病的隨機(jī)感染、線性規(guī)劃等問題。特別要鼓勵(lì)學(xué)生從自己生活的世界中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題。
2.數(shù)學(xué)建?？刹扇≌n題組的學(xué)習(xí)模式，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會獨(dú)自思考，分工合作，交流討論，互相幫助。
3.數(shù)學(xué)建?；顒又袘?yīng)鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器。
4.教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)建模報(bào)告，并及時(shí)給出評價(jià)，評價(jià)內(nèi)容應(yīng)堅(jiān)持創(chuàng)新性、現(xiàn)實(shí)性、真實(shí)性、合理性、有效性，這幾個(gè)方面不必追求全面，只要有一項(xiàng)做得好就應(yīng)該予以肯定。
總之，數(shù)學(xué)建?？梢钥闯梢婚T藝術(shù)，藝術(shù)在某種意義下是無法歸納出幾條準(zhǔn)則或方法的，一名出色的藝術(shù)家需要大量的觀摩和前輩的指導(dǎo)，更需要自身實(shí)踐，愿我們的教師增強(qiáng)建模意識，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的興趣，為使其今后具備較高的建模能力而努力。
