時(shí)間：2022-12-13 14:41:39
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關(guān)鍵詞:獨(dú)立隨機(jī)過程;計(jì)數(shù)系統(tǒng);歸納法;保險(xiǎn)業(yè)
概率論是一門應(yīng)用非常廣泛的學(xué)科。在數(shù)學(xué)史上,它的產(chǎn)生是以帕斯卡和費(fèi)馬在1654年的七封通信為標(biāo)志的。由于這些信件中所解決的問題多是與賭博有關(guān)的點(diǎn)數(shù)問題,因此人們總是把概率論的產(chǎn)生歸功于賭博這項(xiàng)機(jī)遇游戲。但考古學(xué)發(fā)現(xiàn)告訴我們,賭博游戲早在文明初期就已經(jīng)存在了,迄今已有幾千年的歷史,而概率論從誕生至今不過三百余年,這說明賭博并不是概率論產(chǎn)生的決定性條件。在從賭博出現(xiàn)到概率論產(chǎn)生之間的這段“空白”期,必定還有一些十分關(guān)鍵的因素正在孕育之中。那么這些因素是什么?換句話說,需要具備哪些先決條件,概率論才能得以形成?
一獨(dú)立隨機(jī)過程的出現(xiàn)
對(duì)概率論而言,兩個(gè)最主要的概念就是獨(dú)立性和隨機(jī)性[1]。概率論是從研究古典概型開始的,它所涉及的研究對(duì)象是大量的獨(dú)立隨機(jī)過程。通過對(duì)這些過程中出現(xiàn)的問題的解決,概率理論體系才逐漸地建立起來。因此要考察概率論的產(chǎn)生條件,我們首先應(yīng)當(dāng)對(duì)獨(dú)立隨機(jī)過程的產(chǎn)生有充分的了解。
事實(shí)上,這種過程的雛形早在原始社會(huì)就已經(jīng)存在了,那時(shí)的占卜師們使用動(dòng)物的趾骨作為占卜工具,將一個(gè)或多個(gè)趾骨投擲出去,趾骨落地后的不同形狀指示神對(duì)人事的不同意見。由于投擲趾骨這個(gè)過程所產(chǎn)生的結(jié)果具有不可預(yù)測(cè)性,而每次投擲的結(jié)果也互不影響,這與我們今天投擲骰子的基本原理相當(dāng),因此趾骨可以被看作是骰子的雛形。但是由于趾骨形狀的規(guī)則性較差,各種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)率不完全相同(即不具備等可能性),所以趾骨產(chǎn)生的隨機(jī)過程還不是我們今天意義上的獨(dú)立隨機(jī)過程。加之趾骨作為一種占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能輕易使用,這也在某種程度上阻礙了人們對(duì)隨機(jī)過程的認(rèn)識(shí)。
隨著社會(huì)的進(jìn)步和文明的發(fā)展,骰子變得越來越普遍,不僅數(shù)量增多,規(guī)則性也日益精良,此時(shí)它已不再是一件神圣的器具而逐漸成為普通大眾的日常用具。從原理上看,只要一枚骰子是質(zhì)地均勻的,它就可以產(chǎn)生一系列標(biāo)準(zhǔn)的獨(dú)立隨機(jī)過程。這些過程具備良好的性質(zhì)(獨(dú)立性、隨機(jī)性、等可能性),是進(jìn)行概率研究的理想對(duì)象。如果經(jīng)常接觸這些隨機(jī)過程,就很有可能從中發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律性。實(shí)際上,通過對(duì)骰子的研究我們確實(shí)發(fā)現(xiàn)了一些有趣的現(xiàn)象。在考古出土的骰子當(dāng)中,有一些被證明是用于賭博的工具,它們的形狀規(guī)則而質(zhì)地卻不均勻,也就是說,骰子的重心并不在其幾何中心?？梢韵胂?如果骰子的某一面較重,則其對(duì)面朝上的機(jī)率就會(huì)增大,這種骰子明顯是為了賭博時(shí)用于作弊。而從另一個(gè)角度看,如果古代人知道質(zhì)地不均勻的骰子產(chǎn)生各個(gè)結(jié)果的可能性不同,那么他們必定清楚一個(gè)均勻的骰子產(chǎn)生任何一個(gè)結(jié)果的機(jī)率是相等的。也就是說,經(jīng)常從事賭博的人必然可以通過大量的游戲過程,意識(shí)到擲骰子所得到的結(jié)果具有某種規(guī)律性,并且這種規(guī)律性還可以通過改變骰子的質(zhì)地而得到相應(yīng)的改變。雖然古代人的這些意識(shí)還只停留在經(jīng)驗(yàn)總結(jié)的水平上,卻不得不承認(rèn)這是一種最原始的概率思想。
賭博游戲存在的時(shí)間之長(zhǎng)、范圍之廣、形式之多令人驚訝。但有如此眾多的人沉迷于這種游戲活動(dòng),也在客觀上積累了大量的可供學(xué)者進(jìn)行研究的隨機(jī)過程。更為重要的是,
在進(jìn)行賭博的過程中,或許是受到經(jīng)濟(jì)利益的驅(qū)使,已經(jīng)開始有人試圖解開骰子的奧秘。意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾就是其中的一位。他本人是個(gè)大賭徒,嗜賭如命,但他卻具有極高的數(shù)學(xué)天分。在賭博的過程中,卡爾達(dá)諾充分發(fā)揮了他的數(shù)學(xué)才能,研究可以常勝不輸?shù)姆椒ā?jù)說他曾參加過這樣一種賭法:把兩顆骰子擲出去,以每個(gè)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之和作為賭的內(nèi)容。那么,賭注下在多少點(diǎn)上最有利?
兩個(gè)骰子朝上的面共有36種可能,點(diǎn)數(shù)之和分別為2～12共11種,從上圖可知,7位于此六階矩陣的對(duì)角線上,它出現(xiàn)的概率為6/36=1/6,大于其他點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率,因此卡爾達(dá)諾預(yù)言說押7最好。這種思想今天看來很簡(jiǎn)單,但在當(dāng)時(shí)卻是很杰出的。他還以自己豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),寫成了全面探討賭博的《機(jī)遇博奕》(LiberdeLudoAleae英譯為TheBookofGameofChance)一書,書中記載了他研究賭博的全部成果,并且明確指出骰子應(yīng)為“誠(chéng)實(shí)的”(honest),即六個(gè)面出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等,以便在此基礎(chǔ)上研究擲多粒骰子的等可能結(jié)果數(shù)[2]。
這些實(shí)例充分說明,賭博曾對(duì)概率論的產(chǎn)生起過積極的作用。這可能就是人們?cè)谡劦礁怕收摃r(shí)總是把它與賭博聯(lián)系在一起的緣故吧。但是我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到,賭博的價(jià)值并不在于其作為一種游戲的娛樂作用,而在于這種機(jī)遇游戲的過程實(shí)際上就是良好的獨(dú)立隨機(jī)過程。只有出現(xiàn)了獨(dú)立隨機(jī)過程,概率論才有了最初的研究對(duì)象。而概率論也的確是在解決機(jī)遇游戲中出現(xiàn)的各種問題的基礎(chǔ)上建立起自己的理論體系的。因此在概率論的孕育期,可以作為一種模型進(jìn)行研究的機(jī)遇游戲過程即獨(dú)立隨機(jī)過程的出現(xiàn)是概率論得以產(chǎn)生的一個(gè)重要前提條件。
二先進(jìn)計(jì)數(shù)系統(tǒng)的出現(xiàn)
前面曾經(jīng)提到,獨(dú)立隨機(jī)過程的出現(xiàn)并不是概率論誕生的決定性因素。職稱論文僅有概率思想而不能將概率結(jié)果表達(dá)出來,也不能形成完整的理論。概率論是一門以計(jì)算見長(zhǎng)的數(shù)學(xué)分支,計(jì)算過程中需要運(yùn)用大量的加法和乘法原理(組合數(shù)學(xué)原理)進(jìn)行純數(shù)字運(yùn)算。對(duì)于現(xiàn)代人來說,概率計(jì)算并不是一件難事。但是對(duì)于16世紀(jì)以前的人來說,計(jì)算卻是十分困難的,原因就在于古代缺乏簡(jiǎn)便的計(jì)數(shù)系統(tǒng)。當(dāng)時(shí)的計(jì)數(shù)符號(hào)既繁瑣又落后,書寫和使用都很不方便,只能用來做簡(jiǎn)單的記錄,一旦數(shù)目增大,運(yùn)算復(fù)雜,這些原始的符號(hào)就盡顯弊端了。而沒有簡(jiǎn)便的計(jì)數(shù)符號(hào),進(jìn)行概率計(jì)算將是十分困難的事,因此計(jì)數(shù)符號(hào)是否先進(jìn)也在一定程度上決定著概率論的形成。
對(duì)于這一點(diǎn),現(xiàn)代人可能不容易體會(huì)得到,究竟古代的計(jì)數(shù)符號(hào)復(fù)雜到什么程度呢?我們可以以古羅馬的計(jì)數(shù)系統(tǒng)為例來說明。
古羅馬的計(jì)數(shù)系統(tǒng)是一種現(xiàn)在最為人們熟悉的簡(jiǎn)單分群數(shù)系,大約形成于紀(jì)元前后。羅馬人創(chuàng)造了一種由7個(gè)基本符號(hào)組成的5進(jìn)與10進(jìn)的混合進(jìn)制記數(shù)法,即
IVXLCDM
1510501005001000
在表示其他數(shù)字時(shí)采取符號(hào)重復(fù)的辦法,如Ⅲ表示3,XX表示20,CC表示200等。但如果數(shù)字較大表示起來就相當(dāng)復(fù)雜了,比如:1999=MDCCCCLXXXXVIIII
后來為了簡(jiǎn)化這種復(fù)雜的表示法,羅馬人又引進(jìn)了減法原則,即在一個(gè)較大的單位前放一個(gè)較小單位表示兩者之差,如Ⅳ表示4,CM表示900,則1999=MCMXCIX
如果要計(jì)算235×4=940,現(xiàn)代的豎式是
而公元8世紀(jì)時(shí)英國(guó)學(xué)者阿爾琴演算同一道題的過程則要復(fù)雜得多:古羅馬數(shù)字對(duì)于這樣一個(gè)既不含分?jǐn)?shù)和小數(shù),數(shù)字又很簡(jiǎn)單(只有三位數(shù))的乘法運(yùn)算處理起來尚且如此復(fù)雜,可以想象,即使數(shù)學(xué)家有足夠的時(shí)間和耐心,要解決概率計(jì)算里涉及的大量純數(shù)字運(yùn)算也是一件太耗費(fèi)精力的事。在這種情況下想要作出成果,數(shù)學(xué)家們的時(shí)間不是用來研究理論而只能是忙于應(yīng)付這些繁重的計(jì)算工作了。顯然古羅馬的計(jì)數(shù)系統(tǒng)并不適合于進(jìn)行計(jì)算,而事實(shí)上,歐洲的代數(shù)學(xué)相比幾何學(xué)而言遲遲沒能發(fā)展起來,很大程度上也是由于受到這種落后的計(jì)數(shù)系統(tǒng)的限制。不僅僅是古羅馬數(shù)字,在人類文明史上出現(xiàn)過的其他幾種計(jì)數(shù)系統(tǒng)(如古埃及、古巴比倫等的計(jì)數(shù)系統(tǒng))也由于符號(hào)過于復(fù)雜,同樣不能承擔(dān)進(jìn)行大量計(jì)算的任務(wù)。
相反,以位值制為基本原理的阿拉伯?dāng)?shù)字則比古羅馬數(shù)字以及古代其他的計(jì)數(shù)系統(tǒng)要先進(jìn)得多,它不但書寫簡(jiǎn)便,而且非常有利于加法、乘法的運(yùn)算及小數(shù)和分?jǐn)?shù)的表示。從上面的例子可以看出,它的使用可以大大節(jié)省運(yùn)算時(shí)間,提高運(yùn)算效率。正是由于使用了這種先進(jìn)的計(jì)數(shù)符號(hào),阿拉伯?dāng)?shù)字的發(fā)明者———古印度人的組合數(shù)學(xué)(組合數(shù)學(xué)原理是概率計(jì)算運(yùn)用較多的一種數(shù)學(xué)工具)才得以領(lǐng)先歐洲人許多。據(jù)記載,印度人,特別是公元前三百年左右的耆那數(shù)學(xué)家就由于宗教原因開展了對(duì)排列與組合的研究。公元四百年,印度人就已經(jīng)掌握了抽樣與骰子之間的關(guān)系(比歐洲人早一千二百年)。而直到公元8世紀(jì)時(shí),商業(yè)活動(dòng)和戰(zhàn)爭(zhēng)才將這種先進(jìn)的數(shù)字符號(hào)帶到了西班牙,這些符號(hào)又經(jīng)過了八百年的演化,終于在16世紀(jì)定型為今天的樣子。
數(shù)字符號(hào)的簡(jiǎn)單與否對(duì)概率論究竟有什么樣的影響,我們不妨舉例說明:
問:有n個(gè)人,當(dāng)n為多少時(shí),至少有兩人生日相同的概率大于二分之一?
假設(shè)所有人生日均不相同的概率為P,則
P=(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]
而題中所求之概率P(n)=1-P=1-(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]
通過計(jì)算得出結(jié)論,當(dāng)n=23時(shí),P(n)=0.51>0.5,因此答案為23。
這是概率論中著名的“生日問題”,也是一種很典型的概率計(jì)算問題。從它的計(jì)算過程中我們不難看出,數(shù)字運(yùn)算在概率論中占有重要的地位。如果使用古羅馬的計(jì)數(shù)法,這樣一個(gè)概率問題從表達(dá)到計(jì)算都會(huì)相當(dāng)繁瑣,以至于它的求解幾乎是不可能的。
對(duì)于阿拉伯?dāng)?shù)字的偉大功績(jī),大數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)有如下評(píng)價(jià):“用不多的記號(hào)表示全部的數(shù)的思想,賦予它的除了形式上的意義外,還有位置上的意義。它是如此絕妙非常,正是由于這種簡(jiǎn)易難以估量⋯⋯我們顯然看出其引進(jìn)之多么不易。”[3]阿拉伯?dāng)?shù)字的出現(xiàn)為概率的表達(dá)和計(jì)算掃清了阻礙,如果沒有這些簡(jiǎn)便的符號(hào),概率論可能還只停留在概率思想的階段。正是由于使用了可以簡(jiǎn)潔地表示分?jǐn)?shù)和小數(shù)的阿拉伯?dāng)?shù)字,才使概率思想得以通過形式化的符號(hào)清晰地表現(xiàn)出來并逐漸形成理論體系。在概率論的孕育階段,這種形式化的過程是十分必要的,它使得對(duì)概率的理解和計(jì)算成為可能,因此先進(jìn)的計(jì)數(shù)系統(tǒng)對(duì)概率論的形成和發(fā)展都起著重要的作用。
三概率論產(chǎn)生的方法論基礎(chǔ)———?dú)w納法
除了需要具備上述因素以外,概率論的形成還需要具備歸納思維。概率論是一門具有明顯二重性的理論體系:“一方面它反映了從大量機(jī)遇現(xiàn)象中抽象出來的穩(wěn)定的規(guī)律性;另一方面它關(guān)系著人們對(duì)證明命題的證據(jù)或方法的相信程度”。[4]這兩方面特性都以歸納法作為最基本的研究方法,因此可以說,歸納法是概率論的方法論基礎(chǔ),概率論的產(chǎn)生必須在歸納法被廣泛運(yùn)用的前提下才成為可能。歸納法雖然是與演繹法同時(shí)存在的邏輯方法,但在文藝復(fù)興以前,占主導(dǎo)地位的推理方式是演繹思維(不具有擴(kuò)展性),歸納思維是不受重視的。直到文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)以后,這種狀況才被打破。歸納法因其具有擴(kuò)展性而逐漸成為進(jìn)行科學(xué)發(fā)現(xiàn)的主導(dǎo)方法。
從演繹到歸納,這個(gè)過程實(shí)際上是一種思維方式的轉(zhuǎn)變過程,雖然轉(zhuǎn)變是在潛移默化中完成的,但轉(zhuǎn)變本身對(duì)概率論的出現(xiàn)卻起著決定性的作用。我們可以通過考察“概率論”(probability)一詞的詞根“可能的”(probable)來說明這種轉(zhuǎn)變。在古希臘“,probable”并不是今天的這個(gè)含義,它曾意味著“可靠的”或“可取的”,比如說一位醫(yī)生是“probable”就是指這位醫(yī)生是可以信賴的。但到了中世紀(jì),這個(gè)詞的含義發(fā)生了變化,它已經(jīng)和權(quán)威聯(lián)系在一起了。當(dāng)時(shí)的人們?cè)谂袛嗍虑榈臅r(shí)候不是依靠思考或證據(jù)而是盲目地相信權(quán)威,相信更早的先人所說的話。在這種情況下,如果說某個(gè)命題或某個(gè)事件是“probable”,就是說它可以被權(quán)威的學(xué)者或《圣經(jīng)》之類的權(quán)威著作所證明。而經(jīng)過了文藝復(fù)興之后,人們終于意識(shí)到對(duì)自然界進(jìn)行探索(而不是崇拜權(quán)威)才是最有價(jià)值的事,正如伽利略所說的那樣:“當(dāng)我們得到自然界的意志時(shí),權(quán)威是沒有意義的?！盵5]因此,“probable”才逐漸與權(quán)威脫離了關(guān)系。15、16世紀(jì)時(shí)它已經(jīng)具有了今天的含義“可能的”,不過這種可能性不再是權(quán)威而是基于人們對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)之上的。
“probable”一詞的演化體現(xiàn)了人們認(rèn)識(shí)事物方式的轉(zhuǎn)變過程。當(dāng)然這并不是說,文藝復(fù)興以前沒有歸納思維。留學(xué)生論文當(dāng)一個(gè)人看到天黑的時(shí)候他會(huì)自然想到太陽(yáng)落山了,因?yàn)槊刻焯?yáng)落山后天都會(huì)黑。這種歸納的能力是與生俱來的,即使中世紀(jì)的人們思想受到了禁錮,這種能力卻還不至消失。而拋棄了權(quán)威的人們比先輩們的進(jìn)步之處在于,他們是用歸納法(而不是演繹法)來研究自然界和社會(huì)現(xiàn)象的。他們將各種現(xiàn)象當(dāng)作是自然或社會(huì)的“特征”,進(jìn)而把特征看作是某種更深層的內(nèi)存原因的外在表現(xiàn)。通過使用歸納推理進(jìn)行研究,他們就可以發(fā)現(xiàn)這些內(nèi)在原因,從而達(dá)到揭開自然界奧秘和了解社會(huì)運(yùn)行規(guī)律的目的。于是在好奇心的驅(qū)使之下,歸納思維被充分地激發(fā)出來。而這一點(diǎn)恰恰是概率論得已實(shí)現(xiàn)的必要條件。從概率論的第一重特性中可以看出,概率論所研究的對(duì)象是大量的隨機(jī)現(xiàn)象,如賭博游戲中擲骰子的點(diǎn)數(shù),城市人口的出生和死亡人數(shù)等等。這些多數(shù)來自于人們社會(huì)活動(dòng)的記錄都為概率論進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究提供了必須的數(shù)據(jù)資料。雖然這些記錄的收集與整理其目的并不在于發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,但善于運(yùn)用歸納思維的人卻能從中挖掘出有價(jià)值的研究素材。例如,早在16世紀(jì),意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾就在頻繁的賭博過程中發(fā)現(xiàn)了骰子的某些規(guī)律性并在《機(jī)遇博奕》一書中加以闡述;17世紀(jì),英國(guó)商人J·格龍?zhí)赝ㄟ^對(duì)定期公布的倫敦居民死亡公告的分析研究,發(fā)現(xiàn)了死亡率呈現(xiàn)出的某種規(guī)律性[6];萊布尼茲在對(duì)法律案件進(jìn)行研究時(shí)也注意到某個(gè)地區(qū)的犯罪率在一定時(shí)期內(nèi)趨向于一致性。如果沒有很好的歸納分析的能力,想要從大量繁雜的數(shù)據(jù)中抽象出規(guī)律是不可能的。而事實(shí)上,在17世紀(jì)60年代左右,歸納法作為一種研究方法已經(jīng)深入人心,多數(shù)科學(xué)家和社會(huì)學(xué)家都在不自覺地使用歸納的推理方法分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。除了上述兩人(格龍?zhí)睾腿R布尼茲)外,統(tǒng)計(jì)工作還吸引了如惠更斯、伯努利、哈雷等一大批優(yōu)秀學(xué)者。正是由于許多人都具備了運(yùn)用歸納法進(jìn)行推理的能力,才能夠把各自領(lǐng)域中看似毫無秩序的資料有目的地進(jìn)行整理和提煉,并得到極為相似的結(jié)論:隨機(jī)現(xiàn)象并不是完全無規(guī)律的,大量的隨機(jī)現(xiàn)象的集合往往表現(xiàn)出某種穩(wěn)定的規(guī)律性。概率論的統(tǒng)計(jì)規(guī)律正是在這種情況下被發(fā)現(xiàn)的。
概率論的第二重特性同樣離不開歸納法的使用。既然概率論反映的是人們對(duì)證明命題的證據(jù)的相信程度(即置信度),那么首先應(yīng)該知道證據(jù)是什么,證據(jù)從何而來。事實(shí)上,證據(jù)的獲得就是依靠歸納法來實(shí)現(xiàn)的。在對(duì)自然界特征的認(rèn)識(shí)達(dá)到一定程度的情況下,人們會(huì)根據(jù)現(xiàn)有的資料作出一些推理,這個(gè)推理的過程本身就是歸納的過程。當(dāng)假設(shè)被提出之后,所有可以對(duì)其合理性提供支持的材料就成了證據(jù),即證據(jù)首先是相對(duì)于假設(shè)而言的。如果沒有歸納法的使用,證據(jù)也就不存在了。由于歸納推理在前提為真的情況下不能確保結(jié)論必然為真,因此證據(jù)對(duì)假設(shè)的支持度總是有限的。在這種情況下,使用歸納推理得到的命題的合理性便不能得到充分的保障。而概率論的第二重特性就是針對(duì)這個(gè)問題的,證據(jù)究竟在多大程度上能夠?yàn)榧僭O(shè)提供支持?這些證據(jù)本身的可信度有多少?為解決歸納問題而形成的概率理論對(duì)后來的自然科學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展都起到了重要的作用。
歸納法的使用為概率論的形成提供了方法論基礎(chǔ)。它一方面使得概率的統(tǒng)計(jì)規(guī)律得以被發(fā)現(xiàn),另一方面,也使概率論本身具有了方法論意義。從時(shí)間上看,概率論正是在歸納法被普遍運(yùn)用的年代開始萌芽的。因此,作為一種具有擴(kuò)展性的研究方法,歸納法為概率論的誕生提供了堅(jiān)實(shí)的思維保障和方法論保障,在概率論的形成過程中,這種保障具有不容忽視的地位。四社會(huì)需求對(duì)概率論形成的促進(jìn)作用
與前面述及的幾點(diǎn)因素相比,社會(huì)因素顯然不能作為概率論產(chǎn)生的內(nèi)在因素,而只能被當(dāng)作是一種外在因素。但從概率論發(fā)展的過程來看,作為一種與實(shí)際生活緊密相關(guān)的學(xué)科,其理論體系在相當(dāng)大的程度上是基于對(duì)社會(huì)和經(jīng)濟(jì)問題的研究而形成的,因此對(duì)實(shí)際問題的解決始終是概率理論形成的一種外在動(dòng)力。在這一點(diǎn)上,社會(huì)因素與概率理論形成了一種互動(dòng)的關(guān)系，它們需要彼此相結(jié)合才能得到各自的良好發(fā)展。從17、18世紀(jì)概率論的初期階段來看,社會(huì)經(jīng)濟(jì)的需求對(duì)概率論的促進(jìn)作用是相當(dāng)巨大的[7]。
在社會(huì)需求中,最主要的是來自保險(xiǎn)業(yè)的需求。保險(xiǎn)業(yè)早在奴隸社會(huì)便已有雛型,古埃及、古巴比倫、古代中國(guó)都曾出現(xiàn)過集體交納稅金以應(yīng)付突發(fā)事件的情形。到了14世紀(jì),隨著海上貿(mào)易的迅速發(fā)展,在各主要海上貿(mào)易國(guó)先后形成了海上保險(xiǎn)這種最早的保險(xiǎn)形式。其后,火災(zāi)保險(xiǎn)、人壽保險(xiǎn)也相繼誕生。各種保險(xiǎn)雖形式各異,但原理相同,都是靠收取保金來分擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的。以海上保險(xiǎn)為例,經(jīng)營(yíng)海上貿(mào)易的船主向保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)(保險(xiǎn)公司)交納一筆投保金,若貨船安全抵達(dá)目的地,則投保金歸保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)所有;若途中貨船遭遇意外而使船主蒙受損失,則由保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)根據(jù)損失情況予以船主相應(yīng)的賠償。這樣做的目的是為了將海上貿(mào)易的巨大風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)由兩方(即船主與保險(xiǎn)公司)共同承擔(dān)[8]。從這個(gè)過程中可以看出,對(duì)保險(xiǎn)公司而言,只要船只不出事,那么盈利將是肯定的;對(duì)船主而言,即使船只出事,也可以不必由自己承擔(dān)全部損失。
從性質(zhì)上看,從事這種事業(yè)實(shí)際上就是一種賭博行為,兩方都面臨巨大風(fēng)險(xiǎn)。而這種涉及不確定因素的隨機(jī)事件恰恰屬于概率論的研究范圍。工作總結(jié)由于保險(xiǎn)業(yè)是一項(xiàng)于雙方都有利的事業(yè),因此在16、17世紀(jì)得到了快速的發(fā)展,歐洲各主要的海上貿(mào)易國(guó)如英國(guó)、法國(guó)、意大利等都紛紛成立保險(xiǎn)公司,以支持海上貿(mào)易的發(fā)展。此外還出現(xiàn)了專門為他人解決商業(yè)中利率問題的“精算師”。不過在保險(xiǎn)業(yè)剛起步的時(shí)候,并沒有合理的概率理論為保金的制定提供指導(dǎo),最初確定投保金和賠償金的數(shù)額全憑經(jīng)驗(yàn),因此曾經(jīng)出現(xiàn)過很長(zhǎng)時(shí)間的混亂局面。而這樣做的直接后果就是不可避免地導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)損失。例如在17世紀(jì),養(yǎng)老金的計(jì)算就是一個(gè)焦點(diǎn)問題。荷蘭是當(dāng)時(shí)歐洲最著名的養(yǎng)老勝地和避難場(chǎng)所,但其養(yǎng)老金的計(jì)算卻極為糟糕,以致政府連年虧損。這種狀況一直持續(xù)到18世紀(jì),概率理論有了相當(dāng)?shù)陌l(fā)展,而統(tǒng)計(jì)工作也日漸完善之后,情況才有所改觀[9]。在結(jié)合大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的前提下,運(yùn)用概率理論進(jìn)行分析和計(jì)算,由此得到的結(jié)果才更有可能保證投資者的經(jīng)濟(jì)利益。
我們可以舉一個(gè)人壽保險(xiǎn)的例子來說明概率理論是如何應(yīng)用到保險(xiǎn)事業(yè)中來的:2500個(gè)同年齡段的人參加人壽保險(xiǎn),每人每年1月交投保費(fèi)12元。如果投保人當(dāng)年死亡,則其家屬可獲賠2000元。假設(shè)參加投保的人死亡率為0.002,那么保險(xiǎn)公司賠本的概率是多少?
從直觀上看,如果當(dāng)年的死亡人數(shù)不超過15人,則保險(xiǎn)公司肯定獲利,反之,則賠本。不過單憑經(jīng)驗(yàn)是絕對(duì)不行的,必需有一套合理的理論來幫助處理此類問題。根據(jù)所給條件,每年的投保費(fèi)總收入為2500×12=30000(元),當(dāng)死亡人數(shù)n≥15時(shí)不能盈利。令所求之概率為P,由二項(xiàng)分布的計(jì)算公式可以得出P(n≥15)=0.000069。也就是說,如果按以上條件進(jìn)行投保并且不出現(xiàn)特別重大的意外,則保險(xiǎn)公司有幾乎百分之百的可能性會(huì)盈利。
這個(gè)問題就是通過將概率理論運(yùn)用到關(guān)于人口死亡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果之上從而得到解決的。這個(gè)簡(jiǎn)單的例子告訴我們,概率理論對(duì)保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展有著相當(dāng)重要的指導(dǎo)作用。根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果來確定在什么樣的條件下保險(xiǎn)公司才能盈利是概率理論對(duì)保險(xiǎn)業(yè)最主要的貢獻(xiàn),它可以計(jì)算出一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)在具備哪些條件的情況下會(huì)使保險(xiǎn)公司獲得收益,并進(jìn)而保證保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)活動(dòng)進(jìn)入良性循環(huán)的軌道。從另一方面看,最初保險(xiǎn)業(yè)的快速發(fā)展與其不具有基本的理論依據(jù)是極不協(xié)調(diào)的,這很容易導(dǎo)致保險(xiǎn)公司由于決策失誤而蒙受經(jīng)濟(jì)損失。因此保險(xiǎn)事業(yè)迫切需要有合理的數(shù)學(xué)理論作為指導(dǎo)。在當(dāng)時(shí)的社會(huì)環(huán)境下,由科學(xué)家參與解決實(shí)際問題是非常有效的,而由保險(xiǎn)所產(chǎn)生的實(shí)際問題確實(shí)曾吸引了當(dāng)時(shí)眾多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的目光。在1700-1800年間,包括歐拉、伯努利兄弟、棣莫弗(deMoivre)、高斯等在內(nèi)的許多著名學(xué)者都曾對(duì)保險(xiǎn)問題進(jìn)行過研究,這些研究的成果極大地充實(shí)了概率理論本身。
可以說,經(jīng)濟(jì)因素和概率理論在彼此結(jié)合的過程中形成了良好的互動(dòng)關(guān)系,一方面數(shù)學(xué)家們可以運(yùn)用已有的理論解決現(xiàn)實(shí)問題。另一方面,新問題的出現(xiàn)也大大刺激了新理論的誕生。概率論的應(yīng)用為保險(xiǎn)業(yè)的合理化、規(guī)范化提供了保證,正是由于有了概率論作理論指導(dǎo),保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展才能夠步入正軌。反過來,保險(xiǎn)業(yè)所出現(xiàn)的新的實(shí)際問題,也在客觀上促進(jìn)了概率理論的進(jìn)一步完善。這樣,對(duì)于概率論的發(fā)展來說,保險(xiǎn)業(yè)的需求便順理成章地成為了一個(gè)巨大的動(dòng)力。
五總結(jié)
概率論的產(chǎn)生就像它的理論那樣是一種大量偶然因素結(jié)合作用下的必然結(jié)果。首先,賭博這種機(jī)遇游戲提供了一種良好的獨(dú)立隨機(jī)過程,在進(jìn)行賭博的過程中,最原始的概率思想被激發(fā)出來;其次,先進(jìn)的計(jì)數(shù)系統(tǒng)為概率思想的表達(dá)掃清了阻礙,也使得這些思想得以形式化并形成系統(tǒng)的理論。當(dāng)然在獲得概率思想的過程中,思維方式的轉(zhuǎn)變和研究方法的進(jìn)步才是最根本的關(guān)鍵性條件。如果沒有歸納法的使用,即使存在著良好的獨(dú)立隨機(jī)過程也不可能使人們認(rèn)識(shí)到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中所隱藏著的規(guī)律性。此外,社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,需要借助數(shù)學(xué)工具解決許多類似保險(xiǎn)金的計(jì)算這樣的實(shí)際問題,而這些吸引了眾多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家們興趣的問題對(duì)于概率論的形成是功不可沒的,它大大刺激了概率理論的發(fā)展,使概率論的理論體系得到了極大的完善。上述四個(gè)因素都是概率論產(chǎn)生的重要條件,但是它們彼此之間并沒有明顯的時(shí)間上的先后順序,最初它們的發(fā)展是各自獨(dú)立的,但是隨后這些條件逐漸結(jié)合在一起,使得原本零散的概率思想開始系統(tǒng)化、條理化。從概率論的歷史來看,這幾種因素的結(jié)合點(diǎn)就是17世紀(jì)末至18世紀(jì)初,因此概率論在這個(gè)時(shí)間誕生是很自然的事。
了解概率論的產(chǎn)生條件對(duì)于我們理解概率論在當(dāng)今社會(huì)的重大意義有很好的幫助。今天,隨著概率理論的廣泛應(yīng)用,它已不僅僅是一種用于解決實(shí)際問題的工具,而上升為具有重大認(rèn)識(shí)論意義的學(xué)科。概率論不僅改變了人們研究問題的方法,更改變了人們看待世界的角度。這個(gè)世界不是絕對(duì)必然的,它充斥著大量的偶然性,所謂規(guī)律也只是在相當(dāng)?shù)某潭壬媳晃覀兯邮芎托湃蔚拿}而已。運(yùn)用概率,我們就可以避免由歸納法和決定論帶來的許多問題和爭(zhēng)論。科學(xué)發(fā)現(xiàn)的確需要偶然性,現(xiàn)代科學(xué)向我們證明,概率理念和概率方法已經(jīng)成為進(jìn)行科學(xué)研究的一項(xiàng)重要手段。
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按照應(yīng)用性為主的教學(xué)目的要求，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中，應(yīng)該以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的能力為出發(fā)點(diǎn)，使學(xué)生掌握概率論的基本知識(shí)和理解統(tǒng)計(jì)方法的基本思想，并將理論的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化成一定的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用能力。隨著目前統(tǒng)計(jì)工作所面臨的數(shù)據(jù)日益龐大，傳統(tǒng)教學(xué)中的計(jì)算公式已經(jīng)很難使用手工計(jì)算的方式進(jìn)行求解，因此借助于計(jì)算機(jī)及統(tǒng)計(jì)軟件完成統(tǒng)計(jì)計(jì)算，分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果、做出統(tǒng)計(jì)推斷便成為統(tǒng)計(jì)教學(xué)中不可忽視的一個(gè)手段。使用軟件輔助概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)能使課程中的數(shù)據(jù)處理和數(shù)值計(jì)算更簡(jiǎn)易、更精確。伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)及數(shù)學(xué)軟件的發(fā)展，使得諸多的統(tǒng)計(jì)分析借助數(shù)學(xué)軟件得以實(shí)現(xiàn)，如參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析和回歸分析等計(jì)算問題，也無需擔(dān)心大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)帶來的計(jì)算量等問題。同時(shí)，在高等教育統(tǒng)計(jì)教學(xué)中應(yīng)用統(tǒng)計(jì)軟件，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)、計(jì)算機(jī)及軟件等專業(yè)課的興趣，提高學(xué)生的計(jì)算能力和利用專業(yè)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，科學(xué)整合統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)統(tǒng)計(jì)教學(xué)面向社會(huì)需要，提升學(xué)生的實(shí)踐能力。在教學(xué)中進(jìn)行軟件的訓(xùn)練也能為學(xué)生將來的工作打下初步的基礎(chǔ)，為了更好進(jìn)行概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)和實(shí)踐，近年來新編教材也增加了數(shù)學(xué)軟件的內(nèi)容，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中使用數(shù)學(xué)軟件已成為改革發(fā)展的趨勢(shì)。在課堂教學(xué)中，為了讓學(xué)生加深對(duì)理論的理解，實(shí)踐環(huán)節(jié)的設(shè)置變得非常關(guān)鍵，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中加入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芎芎玫奶钛a(bǔ)學(xué)生在理論和實(shí)踐之間的空白。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展可以在數(shù)學(xué)教育中體現(xiàn)學(xué)生的主體意識(shí)，讓學(xué)生做到邊學(xué)邊用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性、體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的時(shí)代性。因此，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革中非常值得探討和研究的課題。根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容設(shè)計(jì)可以和案例教學(xué)方法進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。案例式教學(xué)能解決概率知識(shí)綜合運(yùn)用的問題，能豐富課程內(nèi)容、加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。教學(xué)案例能將所學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系起來，使課程的各部分不再是孤立的，通過對(duì)案例設(shè)置問題的求解，便能使學(xué)生完成由學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論到用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解決問題的轉(zhuǎn)變。在解決實(shí)際問題的過程中輔以軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算試驗(yàn)，能最大限度發(fā)揮軟件的優(yōu)勢(shì)，使學(xué)生學(xué)以致用，將理論學(xué)習(xí)與實(shí)際應(yīng)用有機(jī)結(jié)合起來。在傳統(tǒng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程計(jì)算量大一直是困擾課堂教學(xué)的難點(diǎn)問題，如二項(xiàng)分布，若試驗(yàn)次數(shù)較多，其中的具體概率計(jì)算將變得十分復(fù)雜。復(fù)雜的計(jì)算往往使得教師的教學(xué)重點(diǎn)發(fā)生偏移，側(cè)重課后習(xí)題計(jì)算的處理，使得課程的設(shè)計(jì)重點(diǎn)偏向排列組合公式的計(jì)算。另外在教學(xué)過程中，前后知識(shí)的聯(lián)系對(duì)初學(xué)者也是一個(gè)障礙，比如條件概率等基本公式在討論多元隨機(jī)變量時(shí)還會(huì)用到，但在教學(xué)實(shí)踐中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，由于缺少互相聯(lián)系的教學(xué)實(shí)例，學(xué)生一般都是將這兩部分分開來學(xué)習(xí)，不習(xí)慣將前面的知識(shí)和隨機(jī)變量進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。因此設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)陌咐?，將知識(shí)前后貫通是教師面臨的重要任務(wù)。
2軟件介紹
在強(qiáng)調(diào)學(xué)生為主體的實(shí)踐式教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師設(shè)計(jì)案例的求解一般要選擇合適的軟件進(jìn)行輔助，當(dāng)前數(shù)學(xué)軟件眾多、功能強(qiáng)大，如綜合性軟件Mat－lab，統(tǒng)計(jì)專業(yè)軟件SPSS、SAS等。對(duì)于專業(yè)數(shù)學(xué)軟件一般要先進(jìn)行軟件的學(xué)習(xí)才能用來解決實(shí)際問題，對(duì)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這樣一門獨(dú)立的課程，顯然不宜專門來進(jìn)行軟件的培訓(xùn)，為了應(yīng)對(duì)實(shí)踐教學(xué)課堂應(yīng)用，簡(jiǎn)單易學(xué)且容易配置的軟件能最大限度實(shí)現(xiàn)教學(xué)任務(wù)。在此以Excel為例介紹案例式教學(xué)和利用Excel進(jìn)行軟件試驗(yàn)的一點(diǎn)嘗試。Excel使用簡(jiǎn)便，基本不涉及程序的編制，在圖形化界面下進(jìn)行操作，且具備有強(qiáng)大的圖形功能，便于概率結(jié)果的呈現(xiàn)和分析。Excel有豐富的概率函數(shù)，能幫助用戶進(jìn)行各種類型的概率計(jì)算，或進(jìn)行隨機(jī)模擬來學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。Excel可以計(jì)算大部分常用理論分布的概率密度函數(shù)PDF、累積分布函數(shù)CDF以及模擬產(chǎn)生服從常用概率分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)。如果能夠正確使用，Excel可以成為非常強(qiáng)大的學(xué)習(xí)工具。選用Excel作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)輔助軟件的另一個(gè)原因是作為微軟Office工具之一，大部分學(xué)生均了解Excel的使用，因此不用進(jìn)行軟件的教學(xué)即可用來解決實(shí)際問題，在學(xué)習(xí)過程中也能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)軟件的使用增強(qiáng)他們解決實(shí)際問題的能力。下面介紹一個(gè)利用Excel輔助的案例式實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)例。為了使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)背景貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)生活，以考試中選擇題成績(jī)分析為例。背景分析：考試是每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，其中選擇題是經(jīng)常遇到的類型，選擇題的設(shè)計(jì)與概率知識(shí)之間有密切的關(guān)系。通過與學(xué)生密切相關(guān)的問題引入概率教學(xué)，能極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。問題設(shè)計(jì)：選擇題在解答時(shí)不同于填空題或者解答題，因?yàn)樵谕耆粫?huì)的情況下仍有可能靠猜測(cè)得到正確的答案，那如何來評(píng)估選擇題在考試中的效度，可以使用什么樣的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)予以研究？
3實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例設(shè)計(jì)
首先提出基本假設(shè)，考試時(shí)一個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，如果不會(huì)做就隨機(jī)作答，因此在不會(huì)做題的情況下隨機(jī)選擇答案有25％的可能性得到正確答案，即從卷面上看該題做對(duì)了，對(duì)于老師來說，按照成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)學(xué)生實(shí)際知識(shí)水平非常重要，因此需要評(píng)估在答案正確的前提下求學(xué)生實(shí)際會(huì)做該題的概率。圖像顯示出選擇題答案正確而顯示被試者會(huì)做該題的概率一直大于被試者實(shí)際會(huì)做該題的概率，說明選擇題容易高估被試者的水平，為了有效區(qū)分被試者的不同程度，需要適當(dāng)調(diào)節(jié)題目的難度來區(qū)分被試者是不是真的會(huì)做。作為一個(gè)例子，若學(xué)生會(huì)做與不會(huì)做的概率相同，取x＝0．5，則容易計(jì)算出P（A｜B）＝0．8，即實(shí)際會(huì)做概率為0．5時(shí)，選擇題表現(xiàn)出來的得分可能為0．8分。對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來說，讓學(xué)生自己對(duì)該案例進(jìn)一步討論，親自實(shí)踐在軟件輔助下的概率解題，對(duì)促進(jìn)學(xué)生將理論用于實(shí)際非常重要。在課堂講授的基礎(chǔ)上，可以將學(xué)生自學(xué)內(nèi)容引申到用隨機(jī)變量的分布律和分布函數(shù)來研究在實(shí)際考試中選擇題得分情況演示，結(jié)合二項(xiàng)分布理論研究選擇題對(duì)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的情況。評(píng)價(jià)借助于Excel軟件設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)。假設(shè)某項(xiàng)考試由100道選擇題組成，每道題1分，學(xué)生會(huì)做該題的概率為x（實(shí)際問題中相當(dāng)于難度系數(shù)為1－x），當(dāng)x＝0的時(shí)候，被試者對(duì)考試內(nèi)容完全不會(huì)，每題都隨機(jī)選擇，可以看成服從參數(shù)為（100，0．25）的二項(xiàng)分布，使用Excel中的BINOM－DIST（）函數(shù)進(jìn)行二項(xiàng)分布概率密度值和分布函數(shù)值的計(jì)算來演示考試結(jié)果。函數(shù)用法為：BINOM－DIST（k，n，p，F(xiàn)ALSE／TRUE），其中k表示回答正確的題目數(shù)量，可以使用單元格自動(dòng)生成，n，p為二項(xiàng)分布的參數(shù)。n表示總試驗(yàn)次數(shù)，p表示每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)即答對(duì)題的概率。后面的參數(shù)FALSE／TRUE用來說明是計(jì)算概率密度函數(shù)和是計(jì)算分布函數(shù)。如BINOMDIST（A2，100，0．25，F(xiàn)ALSE）表示對(duì)A2單元格中的自變量計(jì)算參數(shù)為（100，0．25）的二項(xiàng)分布概率密度函數(shù)值。使用Ex－cel的自動(dòng)填充功能，便可方便生成該二項(xiàng)分布的概率密度表。為方便調(diào)節(jié)二項(xiàng)分布參數(shù)，可以將參數(shù)（n，p）用單元格的絕對(duì)引用代替，改變參數(shù)單元格的數(shù)值就能得到不同二項(xiàng)分布的概率密度表格。Excel還可以對(duì)概率密度表和分布函數(shù)表生成條形圖和線圖，若試題難度系數(shù)0．5，學(xué)生事實(shí)會(huì)做的題目應(yīng)該有50道，因此會(huì)做的題目有50道，另外不會(huì)做的隨機(jī)選擇，正確率0．25，因此回答正確的題數(shù)為12．5，兩者相加可知最終得62．5分的概率最大。
4結(jié)束語(yǔ)
一是課時(shí)設(shè)置較少，而老師為了完成教學(xué)任務(wù)，不得不加快速度，知識(shí)點(diǎn)沒辦法講細(xì)，勢(shì)必會(huì)造成學(xué)生“貪多嚼不爛”;且課程內(nèi)容較多，如果老師本身的知識(shí)結(jié)構(gòu)沉淀不夠，只是“照本宣科”，簡(jiǎn)單介紹概念、定義、理論和方法，缺少對(duì)實(shí)際的概率統(tǒng)計(jì)背景知識(shí)及發(fā)展現(xiàn)狀的介紹，忽視對(duì)學(xué)生實(shí)踐和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致所教知識(shí)、方法不能被學(xué)生接受、及時(shí)掌握。二是在應(yīng)試教育的影響下，學(xué)生思維固定，缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。許多學(xué)生學(xué)習(xí)的目的是為了考試過關(guān)，對(duì)于考試涉及不到的課程知識(shí)，就只是簡(jiǎn)單了解或干脆不學(xué)，所以在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，不注重課程思想方法的領(lǐng)悟，只是忙于做題，把學(xué)習(xí)的目標(biāo)僅僅定位于能看懂例題，會(huì)做課后習(xí)題，只關(guān)心具體解題的步驟，從而去模仿解題，而不是領(lǐng)會(huì)課程知識(shí)所呈現(xiàn)的方法。三是教師忽略與相關(guān)學(xué)科間的關(guān)系，只進(jìn)行單一教材的課堂教學(xué)，沒有適當(dāng)穿插一些相關(guān)學(xué)科的知識(shí)，教學(xué)資源不能得到優(yōu)化配置;教材比較陳舊，理論聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用實(shí)例較少，即使有一些聯(lián)系實(shí)際的實(shí)例，也不涉及到當(dāng)今科技信息，導(dǎo)致了學(xué)習(xí)與實(shí)踐的脫節(jié);教師在教學(xué)中解決實(shí)際問題的能力不夠，理論與實(shí)際聯(lián)系少之又少，即使有，表現(xiàn)的應(yīng)用背景也被形式化的演繹一帶而過，學(xué)生“霧里看花”，難以琢磨、難以理會(huì)，畏懼心理滋生。同時(shí)，教材中都是一些聯(lián)系很緊湊的理論，以及簡(jiǎn)化了過程的證明和計(jì)算，學(xué)生感覺不到學(xué)習(xí)樂趣，意義就更談不上了，這也是造成很多學(xué)生放棄對(duì)這門課程的學(xué)習(xí)，只背重點(diǎn)、記憶模仿解題應(yīng)付考試的重要原因。
2問題的解決方案
2．1從整體內(nèi)容上把握教材
根據(jù)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教材，該課程整體上是講述三個(gè)大的問題:一是概率論部分，介紹必要的理論基礎(chǔ);二是數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分，主要講述參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，并介紹了方差分析和回歸分析的方法;三是隨機(jī)過程部分，在講清基本知識(shí)的基礎(chǔ)上主要討論了平穩(wěn)隨機(jī)過程，是隨機(jī)變量的集合，能完全揭示概率的本質(zhì)。課本上的很多問題都是圍繞這三個(gè)問題來講述的，因此，要打破“重理論，輕應(yīng)用”“重概率，輕統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)思想，且從整體上完整地對(duì)這三個(gè)問題進(jìn)行講授。由于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)多而零散，初學(xué)者對(duì)知識(shí)點(diǎn)不容易全面系統(tǒng)地把握，所以老師在教學(xué)中要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)回顧，從而使學(xué)生能夠高效而快速地理解所學(xué)知識(shí)，系統(tǒng)掌握這有機(jī)結(jié)合的三部分內(nèi)容。
2．2在講授中要有其客觀背景
很多學(xué)生雖然在中學(xué)接觸過概率知識(shí)，但那只是皮毛，大學(xué)更注重的是思想的培養(yǎng)，而且本課程從內(nèi)容到方法與其它數(shù)學(xué)課程都有本質(zhì)的區(qū)別。因此，老師在講解基本概念時(shí)，一定要把來龍去脈講清楚。比如在評(píng)價(jià)棉花的質(zhì)量時(shí)，“既需要注意纖維的平均長(zhǎng)度，又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度，平均長(zhǎng)度較大，偏離較小，質(zhì)量較好”，這些常識(shí)性知識(shí)容易理解，學(xué)生也有興趣聽，然后就此引入概念———這是由隨機(jī)變量的分布所確定的，能刻畫隨機(jī)變量某一方面的特征的常數(shù)統(tǒng)稱為數(shù)字特征，它在理論和實(shí)際應(yīng)用中都很重要。由此就很自然地引出了數(shù)字特征、數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)和矩，這樣學(xué)生就很好地理解了概念的實(shí)際背景。也就是說，在概念定理的教學(xué)中，首先應(yīng)該在概念、定理產(chǎn)生的背景上下功夫，找出每個(gè)概念的實(shí)例，用大量事實(shí)來說明提出這些概念定理的客觀依據(jù)是什么，它在實(shí)際應(yīng)用中有什么意義。比如，一個(gè)隨機(jī)變量由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響而形成，而且其中每一個(gè)個(gè)別因素在總的影響中所起的作用都是微小的，這種隨機(jī)變量往往近似服從正態(tài)分布，那么這種現(xiàn)象正是中心極限定理的客觀背景;再如，在介紹隨機(jī)過程時(shí)，不妨從隨機(jī)過程實(shí)例出發(fā)，如股票和匯率的波動(dòng)、語(yǔ)音信號(hào)、視頻信號(hào)、體溫的變化等等。如果忽視了概念與定理產(chǎn)生的實(shí)際背景，離開實(shí)際去講概念和定理，學(xué)生會(huì)覺得學(xué)習(xí)內(nèi)容枯燥，而且也很難理解，更不會(huì)應(yīng)用于解決實(shí)際問題，這樣就降低了學(xué)習(xí)的積極性，也沒有發(fā)揮該課程的功能。
2．3在教學(xué)過程中使用案例教學(xué)
案例教學(xué)的主角是學(xué)生，通過學(xué)生之間對(duì)概念、定義、定理、標(biāo)注、例題積極主動(dòng)的討論，以達(dá)到更深入理解和掌握的目的。在教學(xué)中引入的案例，要能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)積極性和參與討論的主動(dòng)性。如何選取案例，就要求教師在備課當(dāng)中多花時(shí)間找資料、思考，在教學(xué)案例中盡可能選取社會(huì)熱點(diǎn)、先進(jìn)的科技信息為案例素材，尤其財(cái)經(jīng)類院校應(yīng)盡可能編寫一些涉及財(cái)經(jīng)信息方面的案例。比如，講到隨機(jī)變量?jī)?nèi)容部分，定要在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中編寫涉及到的隨機(jī)變量的案例;講到中心極限定理部分，投資學(xué)中期權(quán)定價(jià)理論就是一個(gè)很好的案例;講到參數(shù)估計(jì)和評(píng)價(jià)時(shí)，保險(xiǎn)精算中對(duì)平均壽命函數(shù)的估計(jì)和評(píng)價(jià)則是很好的案例;隨機(jī)過程部分，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)度量都是很好的案例等等。如此教學(xué)，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在討論中逐步體會(huì)基本概念、定義、定理的來龍去脈，實(shí)現(xiàn)了有效學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和抽象概括、推理論證的能力。
2．4重視引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考問題
培養(yǎng)創(chuàng)新思維“在教學(xué)過程中提出一些思考性和啟發(fā)性都很強(qiáng)的問題，讓學(xué)生分析、研究和討論，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，然后解決問題。”學(xué)生的學(xué)習(xí)要自覺要靠自己，不是由教師牽著走，而是由教師引導(dǎo)走，“授人與魚，只供一日之炊;授人與漁，使人受益終身”，所以教師應(yīng)多引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考問題。比如，教師在每次課結(jié)束前5分鐘進(jìn)行下堂課新知識(shí)的介紹時(shí)，對(duì)本堂課學(xué)的知識(shí)點(diǎn)和前面學(xué)過的知識(shí)做個(gè)串聯(lián)，最好能隨手畫出知識(shí)點(diǎn)“網(wǎng)絡(luò)狀”圖，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，引出下次課要講的內(nèi)容，勾起學(xué)生的預(yù)習(xí)興趣。再如，在講課時(shí)，教師可以針對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容設(shè)計(jì)一系列“問題鏈”，用“問題鏈”帶動(dòng)和完成課堂教學(xué)，可很好地引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、創(chuàng)造性思維，引導(dǎo)學(xué)生思考、發(fā)現(xiàn)問題，討論、做出結(jié)論，從而逐步地使教學(xué)由“灌輸式教育”向“創(chuàng)新型教育”轉(zhuǎn)變，教學(xué)互動(dòng)，教學(xué)相長(zhǎng)。同時(shí)，教師一定要想方設(shè)法改變“學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)”為自主、有興趣地去學(xué)習(xí)知識(shí)，引導(dǎo)和組織學(xué)生展開討論，鼓勵(lì)學(xué)生提出大膽的猜想，及時(shí)解決學(xué)生提出的問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，注重教學(xué)方法的靈活運(yùn)用，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手探究和創(chuàng)新，這樣教學(xué)效果才會(huì)明顯。
3結(jié)語(yǔ)
在教學(xué)內(nèi)容的選編中，所選內(nèi)容應(yīng)突出“厚基礎(chǔ)”“重應(yīng)用”的應(yīng)用型特色。綜合考慮學(xué)生的就業(yè)方向，側(cè)重論述概念、方法、原理的歷史背景和現(xiàn)實(shí)背景在金融等方面的應(yīng)用，對(duì)于冗長(zhǎng)難懂的理論證明可以用直觀易懂的現(xiàn)實(shí)背景來解釋。例如講解全概率公式時(shí)，學(xué)生雖可以比較容易地應(yīng)用，但不容易理解公式的本質(zhì)，所以并不覺得引入這些公式有什么必要性，大大降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但如果在課堂引入“敏感事件調(diào)查”這個(gè)例子，會(huì)對(duì)經(jīng)管類的文科學(xué)生具有很強(qiáng)的吸引力，從而為學(xué)生提高市場(chǎng)調(diào)查和問卷設(shè)計(jì)能力提供有益借鑒。在介紹貝葉斯公式時(shí)，可以根據(jù)經(jīng)管類專業(yè)，引入貝葉斯公式應(yīng)用在風(fēng)險(xiǎn)投資中的例子。在介紹期望的概念時(shí)，從賭博游戲介紹概念來源的背景，再將期望用到實(shí)際生活中去，可以引入其在投資組合及風(fēng)險(xiǎn)管理等方面的應(yīng)用。這樣能使學(xué)生真正理解概率論中許多理論是取之于生活而用之于生活，并能自覺將理論運(yùn)用到生活中去。在介紹極大似然思想時(shí)，可以從學(xué)生和獵人一起打獵的案例進(jìn)行引入。
2設(shè)計(jì)趣味案例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣2015年1月5日
隨著互聯(lián)網(wǎng)的迅猛發(fā)展、電腦的普及、各種游戲軟件的開發(fā)，很多大學(xué)生喜歡在網(wǎng)上玩游戲。教師可以抓住大學(xué)生愛玩游戲這一特點(diǎn)，況且概率論的起源就來源于賭博游戲，教師可以在講授知識(shí)時(shí)，由一個(gè)游戲出發(fā)，循循誘導(dǎo)學(xué)生從興趣中學(xué)到知識(shí)，再應(yīng)用到生活中去。例如，在講解期望定義時(shí)，可以設(shè)計(jì)這樣的一個(gè)游戲案例:假設(shè)手中有兩枚硬幣，一枚是正常的硬幣，一枚是包裝好的雙面相同的硬幣(即要么都是正面，要么都是反面，在拋之后才可以拆開看屬于哪種)?，F(xiàn)在讓學(xué)生拿著這兩枚硬幣共拋10次，一次只能拋一枚，拋到正面就可以獲利1元錢，反面沒有獲利，問學(xué)生選擇怎樣一種拋擲組合，才能使預(yù)期收益最大?教師留給學(xué)生思考的時(shí)間，然后隨機(jī)抽一位同學(xué)回答，并解釋其理由。大部分學(xué)生選擇先拋后面那枚硬幣，如果發(fā)現(xiàn)兩面都是正面，那么后面9次都拋這枚，如果是反面，那后面9次都拋前面那枚硬幣。這種拋擲組合確實(shí)是最優(yōu)的，但總是說不清其中的道理來。這時(shí)教師可以向?qū)W生解釋，其實(shí)大家在潛意識(shí)中已經(jīng)用到了期望，然后利用期望的定義為大家驗(yàn)算不同拋擲組合的期望值來說明大家選的組合確實(shí)是最優(yōu)的，這時(shí)學(xué)生豁然開朗，理解了期望的真正含義。游戲可以繼續(xù)，如果將若干個(gè)包裝好的非正常硬幣裝入一個(gè)盒子里，比如將5枚雙面都是反面的、1枚雙面都是正面的硬幣裝入盒子里，學(xué)生從中摸一個(gè)硬幣出來，再和原來那枚正常的硬幣一起共拋10次，也可以選擇不摸硬幣，直接用手中正常硬幣拋10次。這個(gè)時(shí)候，原來那種拋擲組合還是最優(yōu)的嗎;如果再改變箱子中兩種硬幣的比例，比如9枚雙面是反的，1枚雙面都是正的，結(jié)果又是怎樣等等，這些問題可以留給學(xué)生課后思考，并作為案例分析測(cè)試題。按照上述設(shè)計(jì)教學(xué)案例，不僅讓學(xué)生輕松學(xué)到知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的能動(dòng)性，還可以提高學(xué)生自己動(dòng)手解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。
3精選實(shí)用型案例，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用
如在講解全概率公式時(shí)引入摸彩模型，中獎(jiǎng)的概率是否與抽獎(jiǎng)的先后順序有關(guān)。利用全概率公式可以證明與順序無關(guān)，大家機(jī)會(huì)是平等的。又如講解事件獨(dú)立性可以引入比賽局?jǐn)?shù)制定的案例，如果你是強(qiáng)勢(shì)的一方，是采取三局兩勝制還是五局三勝制，這個(gè)例子也可以用大數(shù)定理來解釋，n越大，越能反映真實(shí)的水平。又如設(shè)計(jì)車門高度問題，公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0．01以下來設(shè)計(jì)的:設(shè)某地區(qū)成年男性身高(單位:cm)X～N(170，36)，問車門高度應(yīng)如何確定?這個(gè)用正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化查表可解決。合理配備維修工人問題:為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費(fèi)，配備少了又要影響生產(chǎn))，現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0．01。在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來處理(我們也只考慮這種情況)，問至少需配備多少工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率小于0．01?這樣的問題在企業(yè)和公司經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，我們用泊松定理或中心極限定理就可以求出。學(xué)生參與到實(shí)際問題中去，解決了問題又學(xué)到了知識(shí)，從而有成就感，學(xué)習(xí)就有了主動(dòng)性。
4運(yùn)用多媒體及統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行經(jīng)典案例分析
在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，實(shí)際題目信息及文字很多，需要利用統(tǒng)計(jì)軟件及現(xiàn)代化媒體技術(shù)。其一，采用多媒體教學(xué)手段進(jìn)行輔助教學(xué)，可以使教師節(jié)省大量的文字板書，避免很多不必要的重復(fù)性勞動(dòng)中，從而教師就可以將更多的精力和時(shí)間用于闡釋問題解決的思路，提高課堂效率和學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際效果，有效地進(jìn)行課堂交流。其二，使用圖形動(dòng)畫和模擬實(shí)驗(yàn)作為輔助教學(xué)手段，可以讓學(xué)生更直觀地理解一些抽象的概念和公式。如采用多媒體教學(xué)手段介紹投幣試驗(yàn)、高爾頓板釘實(shí)驗(yàn)時(shí)，可以使用小動(dòng)畫，在不占用過多課堂教學(xué)時(shí)間的同時(shí)，又能增添課堂的趣味性。而在分析與講解泊松定理時(shí)，利用軟件演示二項(xiàng)分布逼近泊松分布，既形象又生動(dòng)。如果在課堂教學(xué)中使用Mathematica軟件演示大數(shù)定律和中心極限定理時(shí)，就可將復(fù)雜而抽象的定理轉(zhuǎn)化為學(xué)生對(duì)形象的直觀認(rèn)識(shí)，以使教學(xué)效果顯著提高。在處理概率統(tǒng)計(jì)問題過程中，我們經(jīng)常會(huì)面對(duì)大量的數(shù)據(jù)需要處理，可以利用Excel，SPSS，Matlab，SAS等軟件簡(jiǎn)化計(jì)算過程，從而降低理論難度。不僅如此，在教師使用與演示軟件的過程中，學(xué)生了解到應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件能夠?qū)⑺鶎W(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)用于解決實(shí)際問題，從而強(qiáng)烈激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識(shí)的興趣。
5結(jié)合實(shí)驗(yàn)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用技能
關(guān)鍵詞：概率論；教學(xué)；思維方法
在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程中出現(xiàn)了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數(shù)過渡到代數(shù)，第二次飛躍是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，第三次飛躍就是從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)．現(xiàn)實(shí)世界的隨機(jī)本質(zhì)使得各個(gè)領(lǐng)域從確定性理論轉(zhuǎn)向隨機(jī)理論成為自然；而且隨機(jī)數(shù)學(xué)的工具、結(jié)論與方法為解決確定性數(shù)學(xué)中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機(jī)數(shù)學(xué)必將成為未來主流數(shù)學(xué)中的亮點(diǎn)之一．概率論作為隨機(jī)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分，已經(jīng)成為高校中很多專業(yè)的學(xué)生所必修的一門基礎(chǔ)課．但是教學(xué)過程中存在的一個(gè)主要問題是：學(xué)生們往往已經(jīng)習(xí)慣了確定數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維方式，認(rèn)為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學(xué)生對(duì)這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們?cè)谠撜n程教學(xué)中的改革嘗試，當(dāng)作引玉之磚．
1將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)課堂在概率論教學(xué)過程當(dāng)中，介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)到概率論不僅是“陽(yáng)春白雪”，而且還是一門應(yīng)用背景很強(qiáng)的學(xué)科．比如說概率論中最重要的分布——正態(tài)分布，就是在18世紀(jì)，為解決天文觀測(cè)誤差而提出的．在17、18世紀(jì)，由于不完善的儀器以及觀測(cè)人員缺乏經(jīng)驗(yàn)等原因，天文觀測(cè)誤差是一個(gè)重要的問題，有許多科學(xué)家都進(jìn)行過研究．1809年，正態(tài)分布概念是由德國(guó)的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）率先將正態(tài)分布應(yīng)用于天文學(xué)研究，指出正態(tài)分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態(tài)分布又叫高斯分布．如今，正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，也是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布．在1844年法國(guó)征兵時(shí)，有許多符合應(yīng)征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時(shí)數(shù)學(xué)家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態(tài)分布的法則，把應(yīng)征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國(guó)2000個(gè)為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學(xué)階段，我們不僅希望通過數(shù)學(xué)史在教學(xué)課堂中的呈現(xiàn)來引起學(xué)生學(xué)習(xí)概率論這門課程的興趣，更應(yīng)側(cè)重讓學(xué)生通過興趣去深入挖掘數(shù)學(xué)史，感受隨機(jī)數(shù)學(xué)的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學(xué)生理解起來都很容易．但是繼而出現(xiàn)的概率公理化定義，學(xué)生們總認(rèn)為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現(xiàn)的σ代數(shù)[3]
這一概念：設(shè)Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個(gè)σ代數(shù)．為了使學(xué)生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點(diǎn)歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數(shù)．幾何概型是19世紀(jì)末新發(fā)展起來的一種概率的計(jì)算方法，是在古典概型基礎(chǔ)上進(jìn)一步的發(fā)展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個(gè)悖論是：給定一個(gè)半徑為1的圓，隨機(jī)取它的一條弦，問：
弦長(zhǎng)不小于3的概率為多大？對(duì)于這個(gè)問題，如果我們假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個(gè)問題竟然會(huì)有3種不同的答案，原因在于取弦時(shí)采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對(duì)的是3種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等術(shù)語(yǔ)時(shí)，應(yīng)明確指明其含義，而這又因試驗(yàn)而異．也就是說我們?cè)诩俣ǘ它c(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，就不能考慮弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布或弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布所對(duì)應(yīng)的事件．換句話講，我們?cè)诩俣ǘ它c(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，只把端點(diǎn)在圓周上均勻分布所對(duì)應(yīng)的元素看成為事件．現(xiàn)在再來理解σ-代數(shù)的概念：對(duì)同一個(gè)樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個(gè)σ代數(shù)；設(shè)A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個(gè)σ代數(shù)；設(shè)B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個(gè)σ代數(shù)；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構(gòu)成Ω的一個(gè)σ代數(shù)．當(dāng)我們考慮?2時(shí)，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當(dāng)作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內(nèi)．由此σ代數(shù)的定義就較易理解了．2廣泛運(yùn)用案例教學(xué)法案例與一般例題不同，它有產(chǎn)生問題的實(shí)際背景，并能夠?yàn)閷W(xué)生所理解．案例教學(xué)法是將案例作為一種教學(xué)工具，把學(xué)生引導(dǎo)到實(shí)際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學(xué)方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎(chǔ)知識(shí)加以介紹．我們?cè)谥v條件概率一節(jié)時(shí)可以先介紹一個(gè)有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國(guó)的“瑪利亞幸運(yùn)搶答”
電臺(tái)公布了這樣一道題：在三扇門的背后（比如說1號(hào)、2號(hào)及3號(hào)）藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對(duì)了藏汽車的門，則汽車就是你的．現(xiàn)在先讓你選擇，比方說你選擇了1號(hào)門，然后主持人打開了剩余兩扇門中的一個(gè)，讓你看清楚這扇門背后是只羊，接著問你是否應(yīng)該重新選擇，以增大猜對(duì)汽車的概率？
由于這個(gè)問題與當(dāng)前電視上一些娛樂競(jìng)猜節(jié)目很相似，學(xué)生們就很積極地參與到這個(gè)問題的討論中來．討論的結(jié)果是這個(gè)問題的答案與主持人是否知道所有門背后的東西有關(guān)，這樣就可以很自然的引出條件概率來．在這樣熱烈的氣氛里學(xué)習(xí)新的概念，一方面使得學(xué)生的積極性高漲，另一方面讓學(xué)生意識(shí)到所學(xué)的概率論知識(shí)與我們的日常生活是息息相關(guān)的，可以幫助我們解決很多實(shí)際的問題．因此在介紹概率論基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，引進(jìn)有關(guān)經(jīng)典的案例會(huì)取得很好的效果．例如分賭本問題、庫(kù)存與收益問題、隱私問題的調(diào)查、概率與密碼問題、17世紀(jì)中美洲巫術(shù)問題、調(diào)查敏感問題、血液檢驗(yàn)問題、1992年美國(guó)佛蒙特州州務(wù)卿競(jìng)選的概率決策問題，以及當(dāng)前流行的福利彩票中獎(jiǎng)問題，等等[4]．
概率論不僅可以為上述問題提供解決方法，還可以對(duì)一些隨機(jī)現(xiàn)象做出理論上的解釋，正因?yàn)檫@樣，概率論就成為我們認(rèn)識(shí)客觀世界的有效工具．比如說我們知道某個(gè)特定的人要成為偉人，可能性是極小的．之所以如此，一個(gè)原因是由于某人的誕生是一系列隨機(jī)事件的復(fù)合：父母、祖父母、外祖父母……的結(jié)合、異性的兩個(gè)生殖細(xì)胞的相遇，而這兩個(gè)細(xì)胞又必須含有某些產(chǎn)生天才的因素．另一個(gè)原因是嬰兒出生以后，各種偶然遭遇在整體上必須有利于他的成功，他所處的時(shí)代、他所受的教育、他的各項(xiàng)活動(dòng)、他所接觸的人與事以及物，都須為他提供很好的機(jī)會(huì)．雖然如此，各時(shí)代仍然偉人輩出．一個(gè)人成功的概率雖然極小，但是幾十億人中總有佼佼者，這就是所謂的“必然寓于偶然之中”的一種含義．如何用概率論的知識(shí)解釋說明這個(gè)問題呢？設(shè)某試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為ε，0<ε<1，不管ε如何小，如果把這試驗(yàn)不斷獨(dú)立重復(fù)做任意多次，那么A遲早會(huì)出現(xiàn)1次，從而也必然會(huì)出現(xiàn)任意多次．這是因?yàn)?，第一次試?yàn)A不出現(xiàn)的概率為(1?ε)n，前n次A都不出現(xiàn)的概率為1?(1?ε)n，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，此概率趨于1，這表示A遲早出現(xiàn)1次的概率為1．出現(xiàn)A以后，把下次試驗(yàn)當(dāng)作第一次，重復(fù)上述推理，可見A必然再出現(xiàn)，如此繼續(xù)，可知A必然出現(xiàn)任意多次．因此，一個(gè)人成為偉人的概率固然非常小，但是千百萬(wàn)人中至少有一個(gè)偉人就幾乎是必然的了[5]．3積極開展隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)是指具有下面3個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)：
（1）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．在講授隨機(jī)試驗(yàn)的定義時(shí)，我們往往把上面3個(gè)特點(diǎn)一一羅列以后，再舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子說明一下就結(jié)束了，但是在看過一期國(guó)外的科普短片以后，我們很受啟發(fā)．節(jié)目?jī)?nèi)容是想驗(yàn)證一下：當(dāng)一面涂有黃油，一面什么都沒有涂的面包從桌上掉下去的時(shí)候，到底會(huì)哪一面朝上？令我們沒有想到的是，為了讓試驗(yàn)結(jié)果更具說服力，實(shí)驗(yàn)人員專門制作了給面包涂黃油的機(jī)器，以及面包投擲機(jī)，然后才開始做試驗(yàn)．且不論這個(gè)問題的結(jié)論是什么，我們觀察到的是他們?yōu)榱吮ＷC隨機(jī)試驗(yàn)是在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行的，相當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡M(jìn)行了試驗(yàn)設(shè)計(jì)．我們把此科普短片引入到課堂教學(xué)中，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析，并提出隨機(jī)試驗(yàn)的3個(gè)特點(diǎn)，學(xué)生接受起來十分自然，整個(gè)教學(xué)過程也變得輕松愉快．因此，我們?cè)诮虒W(xué)中可以利用簡(jiǎn)單的工具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，盡可能使理論知識(shí)直觀化．比如全概率公式的應(yīng)用演示、幾何概率的圖示、隨機(jī)變量函數(shù)的分布、數(shù)學(xué)期望的統(tǒng)計(jì)意義、二維正態(tài)分布、高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)等，把抽象理論以直觀的形式給出，加深學(xué)生對(duì)理論的理解．但是我們不可能在有限的課堂時(shí)間內(nèi)去實(shí)現(xiàn)每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，因此為了有效地刺激學(xué)生的形象思維，我們采用了多媒體輔助理論課教學(xué)的手段，通過計(jì)算機(jī)圖形顯示、動(dòng)畫模擬、數(shù)值計(jì)算及文字說明等，建立一個(gè)圖文并茂、聲像結(jié)合、數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)直觀的教學(xué)環(huán)境，從而拓寬學(xué)生的思路，有利于概率論基本理論的掌握．與此同時(shí)，讓學(xué)生在接受理論知識(shí)的過程中還能夠體會(huì)到現(xiàn)代化教學(xué)的魅力，達(dá)到了傳統(tǒng)教學(xué)無法實(shí)現(xiàn)的教學(xué)效果[6]．4引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索傳統(tǒng)的教學(xué)方式往往是教師在課堂上滿堂灌，方法單一，只重視學(xué)生知識(shí)的積累．教師是教學(xué)的主體，側(cè)重于教的過程，而忽視了教學(xué)是教與學(xué)互動(dòng)的過程．相比較而言，現(xiàn)代教學(xué)方法更側(cè)重于挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，以最大限度地發(fā)揮及發(fā)展學(xué)生的聰明才智為追求目標(biāo)．例如，在給出條件概率的定義以后，我們知道當(dāng)P(A)>0時(shí)，P(B|A)未必等于P(B)．但是一旦P(B|A)=P(B)，也就說明事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生．同樣當(dāng)P(B)>0時(shí)，若P(A|B)=P(A)，就稱事件B的發(fā)生不影響事件A的發(fā)生．因此若P(A)>0，P(B)>0，且P(B|A)=P(B)與P(A|B)=P(A)兩個(gè)等式都成立，就意味著這兩個(gè)事件的發(fā)生與否彼此之間沒有影響．我們可以讓學(xué)生主動(dòng)思考是否能夠如下定義兩個(gè)事件的獨(dú)立性：
定義1：設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，若P(A)>0，P(B)>0，我們有P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．接下來，我們可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)考察定義1中的條件P(A)>0與P(B)>0是否為本質(zhì)要求？事實(shí)上，如果P(A)>0，P(B)>0，我們可以得到：
P(B|A)=P(B)?P(AB)=P(A)P(B)?P(A|B)=P(A)．但是當(dāng)P(A)=0，P(B)=0時(shí)會(huì)是什么情況呢？由事件間的關(guān)系及概率的性質(zhì)，我們知道AB?A，AB?B，因此P(AB)=0=P(A)P(B)，等式仍然成立．所以我們可以舍去定義1中的條件P(A)>0，P(B)>0，即如下定義事件的獨(dú)立性：
定義2：設(shè)A，B為兩隨機(jī)事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱A，B為相互獨(dú)立的事件，又稱A，B相互獨(dú)立．很顯然，定義2比定義1更加簡(jiǎn)潔．在這個(gè)定義的尋找過程中，我們不僅能夠鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，而且可以很好地培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生提出問題、分析問題以及解決問題的能力，從而體會(huì)數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的美．5結(jié)束語(yǔ)通過實(shí)踐我們發(fā)現(xiàn)，將數(shù)學(xué)史引入課堂既能讓學(xué)生深入了解隨機(jī)數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展過程，又切實(shí)感受到隨機(jī)數(shù)學(xué)的思想方法；把案例應(yīng)用到教學(xué)當(dāng)中以及在課堂上開展隨機(jī)試驗(yàn)可以將概率論基礎(chǔ)知識(shí)直觀化，增加課程的趣味性，易于學(xué)生的理解與掌握；引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索可以強(qiáng)化教與學(xué)的互動(dòng)過程，激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想來解決概率論中遇到的問題．總之，在概率論的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生建立學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法，通過教學(xué)手段的多樣化以及豐富的教學(xué)內(nèi)容加深學(xué)生對(duì)客觀隨機(jī)現(xiàn)象的理解與認(rèn)識(shí)．另外，要以人才培養(yǎng)為本，實(shí)現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的主客體結(jié)合的教學(xué)思想，將培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力的思想落到實(shí)處，以期達(dá)到學(xué)生受益最大化的目標(biāo)，為學(xué)生將來從事經(jīng)濟(jì)、金融、管理、教育、心理、通信等學(xué)科的研究打下良好的基礎(chǔ)．
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[4]張奠宙．大千世界的隨機(jī)現(xiàn)象[M]．南寧：廣西教育出版社，1999．
關(guān)鍵詞：概率論；教學(xué)；思維方法
在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程中出現(xiàn)了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數(shù)過渡到代數(shù)，第二次飛躍是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，第三次飛躍就是從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)．現(xiàn)實(shí)世界的隨機(jī)本質(zhì)使得各個(gè)領(lǐng)域從確定性理論轉(zhuǎn)向隨機(jī)理論成為自然；而且隨機(jī)數(shù)學(xué)的工具、結(jié)論與方法為解決確定性數(shù)學(xué)中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機(jī)數(shù)學(xué)必將成為未來主流數(shù)學(xué)中的亮點(diǎn)之一．概率論作為隨機(jī)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分，已經(jīng)成為高校中很多專業(yè)的學(xué)生所必修的一門基礎(chǔ)課．但是教學(xué)過程中存在的一個(gè)主要問題是：學(xué)生們往往已經(jīng)習(xí)慣了確定數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維方式，認(rèn)為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學(xué)生對(duì)這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們?cè)谠撜n程教學(xué)中的改革嘗試，當(dāng)作引玉之磚．1將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)課堂在概率論教學(xué)過程當(dāng)中，介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)到概率論不僅是“陽(yáng)春白雪”，而且還是一門應(yīng)用背景很強(qiáng)的學(xué)科．比如說概率論中最重要的分布——正態(tài)分布，就是在18世紀(jì)，為解決天文觀測(cè)誤差而提出的．在17、18世紀(jì)，由于不完善的儀器以及觀測(cè)人員缺乏經(jīng)驗(yàn)等原因，天文觀測(cè)誤差是一個(gè)重要的問題，有許多科學(xué)家都進(jìn)行過研究．1809年，正態(tài)分布概念是由德國(guó)的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）率先將正態(tài)分布應(yīng)用于天文學(xué)研究，指出正態(tài)分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態(tài)分布又叫高斯分布．如今，正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，也是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布．在1844年法國(guó)征兵時(shí)，有許多符合應(yīng)征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時(shí)數(shù)學(xué)家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態(tài)分布的法則，把應(yīng)征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國(guó)2000個(gè)為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學(xué)階段，我們不僅希望通過數(shù)學(xué)史在教學(xué)課堂中的呈現(xiàn)來引起學(xué)生學(xué)習(xí)概率論這門課程的興趣，更應(yīng)側(cè)重讓學(xué)生通過興趣去深入挖掘數(shù)學(xué)史，感受隨機(jī)數(shù)學(xué)的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學(xué)生理解起來都很容易．但是繼而出現(xiàn)的概率公理化定義，學(xué)生們總認(rèn)為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現(xiàn)的σ代數(shù)[3]
這一概念：設(shè)Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個(gè)σ代數(shù)．為了使學(xué)生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點(diǎn)歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數(shù)．幾何概型是19世紀(jì)末新發(fā)展起來的一種概率的計(jì)算方法，是在古典概型基礎(chǔ)上進(jìn)一步的發(fā)展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個(gè)悖論是：給定一個(gè)半徑為1的圓，隨機(jī)取它的一條弦，問：
弦長(zhǎng)不小于3的概率為多大？對(duì)于這個(gè)問題，如果我們假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個(gè)問題竟然會(huì)有3種不同的答案，原因在于取弦時(shí)采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對(duì)的是3種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等術(shù)語(yǔ)時(shí)，應(yīng)明確指明其含義，而這又因試驗(yàn)而異．也就是說我們?cè)诩俣ǘ它c(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，就不能考慮弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布或弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布所對(duì)應(yīng)的事件．換句話講，我們?cè)诩俣ǘ它c(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，只把端點(diǎn)在圓周上均勻分布所對(duì)應(yīng)的元素看成為事件．現(xiàn)在再來理解σ-代數(shù)的概念：對(duì)同一個(gè)樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個(gè)σ代數(shù)；設(shè)A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個(gè)σ代數(shù)；設(shè)B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個(gè)σ代數(shù)；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構(gòu)成Ω的一個(gè)σ代數(shù)．當(dāng)我們考慮?2時(shí)，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當(dāng)作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內(nèi)．由此σ代數(shù)的定義就較易理解了．2廣泛運(yùn)用案例教學(xué)法案例與一般例題不同，它有產(chǎn)生問題的實(shí)際背景，并能夠?yàn)閷W(xué)生所理解．案例教學(xué)法是將案例作為一種教學(xué)工具，把學(xué)生引導(dǎo)到實(shí)際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學(xué)方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎(chǔ)知識(shí)加以介紹．我們?cè)谥v條件概率一節(jié)時(shí)可以先介紹一個(gè)有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國(guó)的“瑪利亞幸運(yùn)搶答”
電臺(tái)公布了這樣一道題：在三扇門的背后（比如說1號(hào)、2號(hào)及3號(hào)）藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對(duì)了藏汽車的門，則汽車就是你的．現(xiàn)在先讓你選擇，比方說你選擇了1號(hào)門，然后主持人打開了剩余兩扇門中的一個(gè)，讓你看清楚這扇門背后是只羊，接著問你是否應(yīng)該重新選擇，以增大猜對(duì)汽車的概率？
由于這個(gè)問題與當(dāng)前電視上一些娛樂競(jìng)猜節(jié)目很相似，學(xué)生們就很積極地參與到這個(gè)問題的討論中來．討論的結(jié)果是這個(gè)問題的答案與主持人是否知道所有門背后的東西有關(guān)，這樣就可以很自然的引出條件概率來．在這樣熱烈的氣氛里學(xué)習(xí)新的概念，一方面使得學(xué)生的積極性高漲，另一方面讓學(xué)生意識(shí)到所學(xué)的概率論知識(shí)與我們的日常生活是息息相關(guān)的，可以幫助我們解決很多實(shí)際的問題．因此在介紹概率論基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，引進(jìn)有關(guān)經(jīng)典的案例會(huì)取得很好的效果．例如分賭本問題、庫(kù)存與收益問題、隱私問題的調(diào)查、概率與密碼問題、17世紀(jì)中美洲巫術(shù)問題、調(diào)查敏感問題、血液檢驗(yàn)問題、1992年美國(guó)佛蒙特州州務(wù)卿競(jìng)選的概率決策問題，以及當(dāng)前流行的福利彩票中獎(jiǎng)問題，等等[4]．概率論不僅可以為上述問題提供解決方法，還可以對(duì)一些隨機(jī)現(xiàn)象做出理論上的解釋，正因?yàn)檫@樣，概率論就成為我們認(rèn)識(shí)客觀世界的有效工具．比如說我們知道某個(gè)特定的人要成為偉人，可能性是極小的．之所以如此，一個(gè)原因是由于某人的誕生是一系列隨機(jī)事件的復(fù)合：父母、祖父母、外祖父母……的結(jié)合、異性的兩個(gè)生殖細(xì)胞的相遇，而這兩個(gè)細(xì)胞又必須含有某些產(chǎn)生天才的因素．另一個(gè)原因是嬰兒出生以后，各種偶然遭遇在整體上必須有利于他的成功，他所處的時(shí)代、他所受的教育、他的各項(xiàng)活動(dòng)、他所接觸的人與事以及物，都須為他提供很好的機(jī)會(huì)．雖然如此，各時(shí)代仍然偉人輩出．一個(gè)人成功的概率雖然極小，但是幾十億人中總有佼佼者，這就是所謂的“必然寓于偶然之中”的一種含義．如何用概率論的知識(shí)解釋說明這個(gè)問題呢？設(shè)某試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為ε，0<ε<1，不管ε如何小，如果把這試驗(yàn)不斷獨(dú)立重復(fù)做任意多次，那么A遲早會(huì)出現(xiàn)1次，從而也必然會(huì)出現(xiàn)任意多次．這是因?yàn)椋谝淮卧囼?yàn)A不出現(xiàn)的概率為(1?ε)n，前n次A都不出現(xiàn)的概率為1?(1?ε)n，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，此概率趨于1，這表示A遲早出現(xiàn)1次的概率為1．出現(xiàn)A以后，把下次試驗(yàn)當(dāng)作第一次，重復(fù)上述推理，可見A必然再出現(xiàn)，如此繼續(xù)，可知A必然出現(xiàn)任意多次．因此，一個(gè)人成為偉人的概率固然非常小，但是千百萬(wàn)人中至少有一個(gè)偉人就幾乎是必然的了[5]．3積極開展隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)是指具有下面3個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)：
（1）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．在講授隨機(jī)試驗(yàn)的定義時(shí)，我們往往把上面3個(gè)特點(diǎn)一一羅列以后，再舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子說明一下就結(jié)束了，但是在看過一期國(guó)外的科普短片以后，我們很受啟發(fā)．節(jié)目?jī)?nèi)容是想驗(yàn)證一下：當(dāng)一面涂有黃油，一面什么都沒有涂的面包從桌上掉下去的時(shí)候，到底會(huì)哪一面朝上？令我們沒有想到的是，為了讓試驗(yàn)結(jié)果更具說服力，實(shí)驗(yàn)人員專門制作了給面包涂黃油的機(jī)器，以及面包投擲機(jī)，然后才開始做試驗(yàn)．且不論這個(gè)問題的結(jié)論是什么，我們觀察到的是他們?yōu)榱吮ＷC隨機(jī)試驗(yàn)是在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行的，相當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡M(jìn)行了試驗(yàn)設(shè)計(jì)．我們把此科普短片引入到課堂教學(xué)中，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析，并提出隨機(jī)試驗(yàn)的3個(gè)特點(diǎn)，學(xué)生接受起來十分自然，整個(gè)教學(xué)過程也變得輕松愉快．因此，我們?cè)诮虒W(xué)中可以利用簡(jiǎn)單的工具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，盡可能使理論知識(shí)直觀化．比如全概率公式的應(yīng)用演示、幾何概率的圖示、隨機(jī)變量函數(shù)的分布、數(shù)學(xué)期望的統(tǒng)計(jì)意義、二維正態(tài)分布、高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)等，把抽象理論以直觀的形式給出，加深學(xué)生對(duì)理論的理解．但是我們不可能在有限的課堂時(shí)間內(nèi)去實(shí)現(xiàn)每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，因此為了有效地刺激學(xué)生的形象思維，我們采用了多媒體輔助理論課教學(xué)的手段，通過計(jì)算機(jī)圖形顯示、動(dòng)畫模擬、數(shù)值計(jì)算及文字說明等，建立一個(gè)圖文并茂、聲像結(jié)合、數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)直觀的教學(xué)環(huán)境，從而拓寬學(xué)生的思路，有利于概率論基本理論的掌握．與此同時(shí)，讓學(xué)生在接受理論知識(shí)的過程中還能夠體會(huì)到現(xiàn)代化教學(xué)的魅力，達(dá)到了傳統(tǒng)教學(xué)無法實(shí)現(xiàn)的教學(xué)效果[6]．4引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索傳統(tǒng)的教學(xué)方式往往是教師在課堂上滿堂灌，方法單一，只重視學(xué)生知識(shí)的積累．教師是教學(xué)的主體，側(cè)重于教的過程，而忽視了教學(xué)是教與學(xué)互動(dòng)的過程．相比較而言，現(xiàn)代教學(xué)方法更側(cè)重于挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，以最大限度地發(fā)揮及發(fā)展學(xué)生的聰明才智為追求目標(biāo)．例如，在給出條件概率的定義以后，我們知道當(dāng)P(A)>0時(shí)，P(B|A)未必等于P(B)．但是一旦P(B|A)=P(B)，也就說明事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生．同樣當(dāng)P(B)>0時(shí)，若P(A|B)=P(A)，就稱事件B的發(fā)生不影響事件A的發(fā)生．因此若P(A)>0，P(B)>0，且P(B|A)=P(B)與P(A|B)=P(A)兩個(gè)等式都成立，就意味著這兩個(gè)事件的發(fā)生與否彼此之間沒有影響．我們可以讓學(xué)生主動(dòng)思考是否能夠如下定義兩個(gè)事件的獨(dú)立性：
定義1：設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，若P(A)>0，P(B)>0，我們有P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．接下來，我們可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)考察定義1中的條件P(A)>0與P(B)>0是否為本質(zhì)要求？事實(shí)上，如果P(A)>0，P(B)>0，我們可以得到：
P(B|A)=P(B)?P(AB)=P(A)P(B)?P(A|B)=P(A)．但是當(dāng)P(A)=0，P(B)=0時(shí)會(huì)是什么情況呢？由事件間的關(guān)系及概率的性質(zhì)，我們知道AB?A，AB?B，因此P(AB)=0=P(A)P(B)，等式仍然成立．所以我們可以舍去定義1中的條件P(A)>0，P(B)>0，即如下定義事件的獨(dú)立性：
定義2：設(shè)A，B為兩隨機(jī)事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱A，B為相互獨(dú)立的事件，又稱A，B相互獨(dú)立．很顯然，定義2比定義1更加簡(jiǎn)潔．在這個(gè)定義的尋找過程中，我們不僅能夠鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，而且可以很好地培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生提出問題、分析問題以及解決問題的能力，從而體會(huì)數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的美．5結(jié)束語(yǔ)通過實(shí)踐我們發(fā)現(xiàn)，將數(shù)學(xué)史引入課堂既能讓學(xué)生深入了解隨機(jī)數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展過程，又切實(shí)感受到隨機(jī)數(shù)學(xué)的思想方法；把案例應(yīng)用到教學(xué)當(dāng)中以及在課堂上開展隨機(jī)試驗(yàn)可以將概率論基礎(chǔ)知識(shí)直觀化，增加課程的趣味性，易于學(xué)生的理解與掌握；引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索可以強(qiáng)化教與學(xué)的互動(dòng)過程，激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想來解決概率論中遇到的問題．
總之，在概率論的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生建立學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法.通過教學(xué)手段的多樣化以及豐富的教學(xué)內(nèi)容加深學(xué)生對(duì)客觀隨機(jī)現(xiàn)象的理解與認(rèn)識(shí)．另外，要以人才培養(yǎng)為本，實(shí)現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的主客體結(jié)合的教學(xué)思想，將培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力的思想落到實(shí)處，以期達(dá)到學(xué)生受益最大化的目標(biāo)，為學(xué)生將來從事經(jīng)濟(jì)、金融、管理、教育、心理、通信等學(xué)科的研究打下良好的基礎(chǔ)．
［參考文獻(xiàn)］
[1]C·R·勞．統(tǒng)計(jì)與真理[M]．北京：科學(xué)出版社，2004．
[2]朱哲，宋乃慶．?dāng)?shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課程[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（4）：11–14．
[3]王梓坤．概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2007．
[4]張奠宙．大千世界的隨機(jī)現(xiàn)象[M]．南寧：廣西教育出版社，1999．
《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是一門注重理論的數(shù)學(xué)課程，在教學(xué)中讓學(xué)生掌握基本理論是必要的，但在教學(xué)過程中也不能僅僅以此作為目標(biāo)。那么，一方面，在教學(xué)中我們就要做到有取有舍，基本的定理和公式要講清楚，而對(duì)于這些定理和公式的證明可以對(duì)學(xué)生降低要求，通過多舉例子，多給實(shí)際案例，讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用這些公式和定理;另一方面，將一部分學(xué)時(shí)單獨(dú)列為實(shí)踐學(xué)時(shí)，目前數(shù)學(xué)軟件在統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的使用非常廣泛，比如常見的:Mtlab、SAS、SPSS等，在教學(xué)中將理論與相關(guān)數(shù)學(xué)軟件相結(jié)合，進(jìn)行上機(jī)教學(xué)。讓學(xué)生通過實(shí)踐認(rèn)識(shí)到本門學(xué)科在實(shí)際中如何應(yīng)用，也讓學(xué)生能夠掌握一到兩門數(shù)學(xué)軟件的使用，方便他們今后專業(yè)學(xué)習(xí)。
二、結(jié)合專業(yè)，注重案例教學(xué)
在地質(zhì)類專業(yè)中，很多實(shí)際問題都直接用到了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中的內(nèi)容，比如:區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、參數(shù)估計(jì)等，都是在地質(zhì)類專業(yè)教學(xué)中常用的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。那么，我們?cè)凇陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的課堂教學(xué)中就可以有的放矢地將地質(zhì)類學(xué)科中的案例與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的這些方法相結(jié)合，把地質(zhì)學(xué)中的實(shí)際問題當(dāng)作例子在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課堂中進(jìn)行講解，地質(zhì)類專業(yè)的案例在很多時(shí)候就是在具備專業(yè)背景下的統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用，用這類問題來替換課本上枯燥的數(shù)學(xué)例子，一方面可以增強(qiáng)課堂的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，另一方面也為將來學(xué)生在專業(yè)課中使用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)打下基礎(chǔ)，幫助學(xué)生順利地完成從基礎(chǔ)課到專業(yè)課的自然過渡。
三、將數(shù)學(xué)建模的思想融入日常教學(xué)中
