時間：2022-06-16 06:44:49
序論：在您撰寫數(shù)學理論論文時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導您走向新的創(chuàng)作高度。
關鍵詞：1、數(shù)學理論為什么1+1=2，2、哲理整性質(zhì)，3、哲理整小數(shù)4、廣義整數(shù)，5、有限不循環(huán)小數(shù)，6、有限循環(huán)小數(shù)，7、最大分數(shù)單位1/2，8、小數(shù)單位，9、最大小數(shù)單位——0.5等等
1、數(shù)學理論為什么1+1=2（1+1=2的基本原理、道理、哲理是什么？）：
純粹數(shù)學理論上存在著缺陷與不足，那就是偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，換言之，純粹數(shù)學在理論上根本無法承認和接受2是數(shù)學公理，因為奇數(shù)不能被2整除自身就是科學根據(jù)與鐵的事實，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，如此理論太絕對了，已經(jīng)給純粹數(shù)學的理論造成了不可思議，奇數(shù)不能被2整除、能不能以其他方式被2整除？值得深思、探討、探索——不能還停留在偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除玄學的理論水平上，要深化理論認識，…。
為什么1+1=2，本文回答既簡單又深奧：偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對立統(tǒng)一，1+1=2是數(shù)學首要公理，1+1=2蘊涵著深刻的對立統(tǒng)一規(guī)律，是??！它真的既簡單又深奧，它簡單的表面上看似是小學生的基本知識，然而其道理深奧地不可思議、不可理喻、如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解與接受，更不是小學生能夠理解的數(shù)學知識，...!
偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)不僅存在著對立性，而且還存在著共性和同一性，即異中之同，差異中的共性，…，
其一：奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除就是指奇數(shù)與偶數(shù)的異中之同，差異中的共性與同一性，
其二：偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除就是指奇數(shù)與偶數(shù)的差異性、排斥性、對立性，
因此說，奇數(shù)與偶數(shù)既有對立性又有同一性，奇數(shù)與偶數(shù)二者存在著相反相成、對立統(tǒng)一的辯證關系，它揭示著2是數(shù)學公理系統(tǒng)的首要公理，這是世界觀的認識問題，有什么樣的世界觀就有什么樣的認識論、方法論，如果玄學，無論如何都是無法理解、接受它，如此真理說不清、理還亂、但是它的廬山真面目就是如此，無法更改，古人云“不識廬山真面目、只緣身在此山中”，需要“跳出廬山看廬山”，要擺脫兩千多年玄學的嚴重束縛，…。
為什么1+1=2不是指數(shù)論的“1+1”，為什么1+1=2？不僅要知其然還要知其所以然，…，絕對值1+1=2與數(shù)論的“1+1”既有差異又有聯(lián)系，如果把素數(shù)2看作偶素數(shù)，那么數(shù)論的“1+1”是指大于等于6的偶數(shù)可表示為兩個素數(shù)之和——歌德巴赫猜想，無需奇素數(shù)，本文素數(shù)就是指奇素數(shù)3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，數(shù)論的“1+1”它是絕對值的特殊公理，數(shù)論的“1+1”與絕對值的1+1=2在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中一脈相承，在絕對值1+1=2數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中蘊涵著數(shù)論的“1+1”，數(shù)論的“1+1”是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)偶環(huán)節(jié)上的特殊公理，換言之、數(shù)論的“1+1”也是數(shù)學公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=3+15，……，無窮無盡）擁有客觀存在性，并非被摘取下來才擁有真實性、摘取不下來就非真實性和非客觀存在性，既不肯定也不否定模棱兩可、這背離了數(shù)學（邏輯）排中律，…。
雖然哥德巴赫猜想數(shù)學命題沒有被數(shù)學專家畢了、依然被人們研究著，但傳統(tǒng)的素數(shù)“篩法”，此路不通已失去了昔日輝煌，…。
2、自然數(shù)與正整數(shù)、單位“1”與自然“1”：
1+1=2是科學抽象的、1+1=2以及正整數(shù)是相對于廣義的單位“1”而言，單位“1”的含量絕對統(tǒng)一，1+1=2并非自然“1”的意義，事實上自然數(shù)與正整數(shù)既有差異又有聯(lián)系，自然數(shù)是相對于自然“1”而言，正整數(shù)是相對于單位“1”而言，正整數(shù)是把自然數(shù)提升到了抽象的科學高度，由于自然數(shù)、時常因單位“1”不統(tǒng)一、“含金量”不一致，如果對自然數(shù)直接進行運算是有很大的局限性——有時正確、有時有偏差，我們?nèi)祟愂锹斆髦腔鄣?，有了?shù)學的廣義的單位“1”、正整數(shù)，消除了自然數(shù)的局限性，…。
3、哲理整小數(shù)以及哲理整小數(shù)的雙重性質(zhì)（或哲理整分數(shù)和哲理整分數(shù)的雙重性質(zhì)）：
小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......，的絕對值擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，哲理整性質(zhì)是指小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......（注：它們的小數(shù)部分均為0.5，只涉及到0.5也可以、也足以）的絕對值比其他普通小數(shù)的絕對值整裝、…、本文將它們的這一特性簡稱為哲理整性質(zhì)（相對整），因為1/2是最大分數(shù)單位，則0.5是最大小數(shù)單位，因此0.5擁有哲理整性質(zhì)，它地地道道、的的確確客觀存在著，我們的認識迄今為止還未意識到，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，唯恐越看越不明白，令人意亂、勞神，...。
哲理整小數(shù)：本文將小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…和它們的哲理整性質(zhì)（相對整）統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)，務必明確的說明，哲理整小數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，…。
哲理整分數(shù)：本文將分數(shù)1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2……和它們的哲理整性質(zhì)統(tǒng)稱為哲理整分數(shù)，哲理整分數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，…。
普通小數(shù)：不包含哲理整小數(shù)在內(nèi)的小數(shù)簡稱為普通小數(shù)。
普通分數(shù)：不包含哲理整分數(shù)在內(nèi)的分數(shù)簡稱為普通小數(shù)。
4、1/2和0.5哲理整性質(zhì)的科學依據(jù):
分數(shù)擁有分數(shù)單位，數(shù)學教科書應該明確指出1/2是最大分數(shù)單位，1/1不是最大分數(shù)單位、是整數(shù)分數(shù)，1/1=1依然體現(xiàn)整數(shù)性質(zhì)、是一個特例，然而迄今為止還沒有小數(shù)單位，數(shù)學需要向前發(fā)展提出小數(shù)單位、最大消暑單位，要明確指出最大小數(shù)單位是“0.5”，而且為奇數(shù)能被2哲理整除提供客觀科學依據(jù)，才更符合數(shù)學的客觀實際！單憑直覺，最大分數(shù)單位1/2和最大小數(shù)單位0.5還未體現(xiàn)出其真正數(shù)學意義，最大分數(shù)單位和最大小數(shù)單位在本質(zhì)上體現(xiàn)哲理整性質(zhì)才是其真正的數(shù)學意義，這是如何對待數(shù)學真理的重大認識問題，并非可有可無，可無必然是一個數(shù)學錯誤，1/2和0.5的哲理整性質(zhì)是微小微妙、微乎其微的變化、微不足道的差異性，若不仔細認真觀察很難被人們發(fā)現(xiàn)，形而上學排斥它、大多數(shù)人無法理解接受它，有理難辯啊，難！真的很難！不僅如此還會遭人諷刺、挖苦等等，…。
關于分數(shù)和小數(shù)：分數(shù)單位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…對應下的小數(shù)應為小數(shù)單位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，….。
哲理整性質(zhì)的來龍去脈：在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中，派生子集合，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…從系統(tǒng)發(fā)展變化中分化出來，占據(jù)整數(shù)的位置充分地十足地體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)或者說體現(xiàn)其相對整性質(zhì)，數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)為其提供科學依據(jù)；最大分數(shù)單位1/2、最大小數(shù)單位0.5也為其提供科學依據(jù)，只有在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中才能夠發(fā)現(xiàn)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……（1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，……）擁有哲理整性質(zhì)，單憑直覺無從談起，單憑直覺只能看到最大分數(shù)單位和最大小數(shù)單位，…。
能被2整除的是偶數(shù)，…，整數(shù)0，1，-1，2，-2.，3，-3，4，-4，5，-5，……，…為偶數(shù)能被2整除提供科學依據(jù)舉世公認，…。
為了便于理解接受也可以首先把0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…暫時將它們看作哲理整數(shù)（相對整數(shù)），哲理整數(shù)為奇數(shù)能被2哲理整除提供客觀科學依據(jù)，哲理整數(shù)指小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…的絕對值比其他普通小數(shù)的絕對值整裝——因為0.5是最大小數(shù)單位，與整數(shù)形成異中之同，差異中有共性，數(shù)學與哲學將這一特性簡稱為哲理整性質(zhì)（相對整）——哲理整數(shù)（相對整），但是理解接受以后：絕對不能忘記了哲理整數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，一是擁有普通小數(shù)性質(zhì)、二是擁有哲理整性質(zhì)，只承認它們的小數(shù)性質(zhì)認識是片面的，只承認0.它們的哲理整性質(zhì)認識是片面的，…。
事實上只有把哲理整數(shù)統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)體現(xiàn)雙重性質(zhì)才更確切、完整、正確，…。
5、有理數(shù)系數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)（就不展開敘述了）：
{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此結(jié)構(gòu)式上下交錯對應不能散開）
[0.1～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
第1環(huán)節(jié)：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，
第2環(huán)節(jié)：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，
第3環(huán)節(jié)：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，
第4環(huán)節(jié)：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，
第5環(huán)節(jié)：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，
第6環(huán)節(jié)：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，
……，…，
∑{[0～1]}意指0與1之間的基數(shù)之和，它是集合族、有無窮個子集合或有無窮個數(shù)組，其他依次類推，符號：意指派生子集合，很顯然，在系統(tǒng)數(shù)值邏輯運算過程中，小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……從系統(tǒng)發(fā)展變化過程中產(chǎn)生分化出來，占據(jù)整數(shù)位置，充分體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)，即派生子集合，為奇數(shù)能被2哲理整除提供科學依據(jù)，蘊涵著完整的數(shù)值運算規(guī)律，數(shù)論、集論、算術(shù)三位一體、辯證統(tǒng)一，蘊涵著完整數(shù)學公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…。
潛無限給數(shù)值邏輯奠定基礎并給作科學指導，潛無限排斥實無限，…。
實無限只能給數(shù)理邏輯奠定基礎，如何給數(shù)值邏輯作科學指導？實無限排斥潛無限，事實上互相排斥，…。
6、廣義整數(shù)：
廣義整數(shù)：將整數(shù)和哲理整小數(shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)（將整數(shù)和哲理整分數(shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)），…。
7、有限不循環(huán)小數(shù)：
有限不循環(huán)小數(shù)：為了便于理解，簡言之，我們把無限不循環(huán)小數(shù)有限數(shù)字（小數(shù)點右邊至少有兩位或兩位以上不循環(huán)數(shù)字）稱之為有限不循環(huán)小數(shù)，例如：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……，有無限不循環(huán)小數(shù)必然存在著有限不循環(huán)小數(shù)，在數(shù)值邏輯中，有限不循環(huán)小數(shù)與潛無限不循環(huán)小數(shù)擁有替代無理數(shù)數(shù)值的巨大意義與作用；有限小數(shù)中的小數(shù)再如此細致地劃分出有限不循環(huán)小數(shù)、有限不循環(huán)小數(shù)，才更切合實際，在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中會發(fā)現(xiàn)：有限不循環(huán)小數(shù)擁有客觀存在性，擁有無限不循環(huán)小數(shù)就必然存在著有限不循環(huán)小數(shù)，這的確是一個認識問題，有限不循環(huán)小數(shù)可表達為分數(shù)形式，因此有限不循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，同時還是超越無理數(shù)的有限形式，因此可替代無理數(shù)數(shù)值（無理數(shù)的近似值），只談無限不循環(huán)小數(shù)（只談無理數(shù)），不涉及到有限不循環(huán)小數(shù)是不行的，…。
尤其是有限不循環(huán)小數(shù)，在實質(zhì)上擁有替代無理數(shù)數(shù)值的巨大意義與作用——此乃有限不循環(huán)小數(shù)的重要數(shù)學意義。
8、有限循環(huán)小數(shù):
有限循環(huán)小數(shù):為了便于理解，簡言之，我們把無限循環(huán)小數(shù)有限個循環(huán)節(jié)（小數(shù)點右邊至少有兩個或兩個以上數(shù)字循環(huán)節(jié)）稱之為有限循環(huán)小數(shù)，如：0.1616，0.161616，0.666，0.666666，0.78787878，0.999999，……，有無限循環(huán)小數(shù)必然存在著有限循環(huán)小數(shù)，有限循環(huán)小數(shù)客擁有客觀存在性，它可替代無限循環(huán)小的數(shù)值，…，這也是一個認識問題，有限循環(huán)小數(shù)可表達為分數(shù)形式，因此有限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，…。
9、普通有限小數(shù)：
把小數(shù)點后邊有一位數(shù)或兩位數(shù)以內(nèi)的小數(shù)簡稱為普通有限小數(shù)，例如：0.9，1.1，1.2，3.6，3.8，5.8，6.8，7.16，………，…。
10、總之、數(shù)學理論要有所突破、要有所進展：
數(shù)學（算術(shù)）需要向前發(fā)展有所突破：
（1）提出數(shù)學理論為什么1+1=2，
（2）明確指出1/2是最大分數(shù)單位，
（3）提出小數(shù)單位、最大小數(shù)單位、0.5是最大小數(shù)單位，
（4）將有限小數(shù)細致劃分為：
a、哲理整小數(shù)：0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，
b、普通有限小數(shù)，
c、有限不循環(huán)小數(shù)，
d、有限循環(huán)小數(shù)，
（5）有理數(shù)系數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)，
（6）廣義整數(shù)，
（7）哲理整分數(shù)：1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，……，
（8）整數(shù)分數(shù)：把1/1，-1/1，2/1，-2/1，3/1，-3/1，4/1，-4/1，5/1，-5/1，6/1，-6/1，……統(tǒng)稱為整數(shù)分數(shù)，擁有雙重身份，…。
（9）雙素數(shù)：例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示為兩個等值素數(shù)之和，雙素數(shù)星星點點揭示著哥德巴赫猜想擁有客觀存在性，無法否定它，
（10）偶素數(shù)——2：2既是一個偶數(shù)又一個素數(shù)，把2簡稱為偶素數(shù)，
等等才更接近數(shù)學的實際情況，希望數(shù)學教師率先轉(zhuǎn)變數(shù)學思維理念給以鼎力支持，…。
總之，依然還是把整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，只不過是又將分數(shù)劃分為哲理整分數(shù)、普通分數(shù)、還有整數(shù)分數(shù)，...，為什么1+1=2——是探索其原理、道理、哲理，一定要弄明白其中的原理、道理、哲理！…，再次說明，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，這是很正常的，且末當真、切莫較真，同時也說明一點本文為什么1+1=2的含義不同于1+1為什么等于2？，也未直接涉及到數(shù)論的“1+1”，…。
錯字、多字、漏字、錯誤在所難免，本文作為數(shù)學學術(shù)最新觀點，僅供參考、并不強加于人。
參考文獻：
1、《辯證唯物主義和歷史唯物主義原理》，中國人民大學出版社出版
2、《古今數(shù)學思想》（北京大學數(shù)學系數(shù)學史翻譯組譯）上?？茖W技術(shù)出版社出版，1981年7月。原作者：（美國數(shù)學家）M.克萊因著
3、《普通邏輯原理》，主編：吳家國，高等教育出版社出版，1992年9月
探討數(shù)學理論為什么1+1=2（原創(chuàng)）
作者：任感恩
摘要：探討數(shù)學理論為什么1+1=2，弄清楚1+1=2的原理、道理、哲理，不僅要知其然，而且還要知其所以然，簡述該深刻內(nèi)涵揭示的深入細致的數(shù)學真理，…。
關鍵詞：1、數(shù)學理論為什么1+1=2，2、哲理整性質(zhì)，3、哲理整小數(shù)4、廣義整數(shù)，5、有限不循環(huán)小數(shù)，6、有限循環(huán)小數(shù)，7、最大分數(shù)單位1/2，8、小數(shù)單位，9、最大小數(shù)單位——0.5等等
1、數(shù)學理論為什么1+1=2（1+1=2的基本原理、道理、哲理是什么？）：
純粹數(shù)學理論上存在著缺陷與不足，那就是偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，換言之，純粹數(shù)學在理論上根本無法承認和接受2是數(shù)學公理，因為奇數(shù)不能被2整除自身就是科學根據(jù)與鐵的事實，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，如此理論太絕對了，已經(jīng)給純粹數(shù)學的理論造成了不可思議，奇數(shù)不能被2整除、能不能以其他方式被2整除？值得深思、探討、探索——不能還停留在偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除玄學的理論水平上，要深化理論認識，…。
為什么1+1=2，本文回答既簡單又深奧：偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對立統(tǒng)一，1+1=2是數(shù)學首要公理，1+1=2蘊涵著深刻的對立統(tǒng)一規(guī)律，是啊！它真的既簡單又深奧，它簡單的表面上看似是小學生的基本知識，然而其道理深奧地不可思議、不可理喻、如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解與接受，更不是小學生能夠理解的數(shù)學知識，...!
偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)不僅存在著對立性，而且還存在著共性和同一性，即異中之同，差異中的共性，…，
其一：奇數(shù)不能被2整除卻著實能被2哲理整除就是指奇數(shù)與偶數(shù)的異中之同，差異中的共性與同一性，
其二：偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除就是指奇數(shù)與偶數(shù)的差異性、排斥性、對立性，
因此說，奇數(shù)與偶數(shù)既有對立性又有同一性，奇數(shù)與偶數(shù)二者存在著相反相成、對立統(tǒng)一的辯證關系，它揭示著2是數(shù)學公理系統(tǒng)的首要公理，這是世界觀的認識問題，有什么樣的世界觀就有什么樣的認識論、方法論，如果玄學，無論如何都是無法理解、接受它，如此真理說不清、理還亂、但是它的廬山真面目就是如此，無法更改，古人云“不識廬山真面目、只緣身在此山中”，需要“跳出廬山看廬山”，要擺脫兩千多年玄學的嚴重束縛，…。
為什么1+1=2不是指數(shù)論的“1+1”，為什么1+1=2？不僅要知其然還要知其所以然，…，絕對值1+1=2與數(shù)論的“1+1”既有差異又有聯(lián)系，如果把素數(shù)2看作偶素數(shù)，那么數(shù)論的“1+1”是指大于等于6的偶數(shù)可表示為兩個素數(shù)之和——歌德巴赫猜想，無需奇素數(shù)，本文素數(shù)就是指奇素數(shù)3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，數(shù)論的“1+1”它是絕對值的特殊公理，數(shù)論的“1+1”與絕對值的1+1=2在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中一脈相承，在絕對值1+1=2數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中蘊涵著數(shù)論的“1+1”，數(shù)論的“1+1”是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)偶環(huán)節(jié)上的特殊公理，換言之、數(shù)論的“1+1”也是數(shù)學公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=3+15，……，無窮無盡）擁有客觀存在性，并非被摘取下來才擁有真實性、摘取不下來就非真實性和非客觀存在性，既不肯定也不否定模棱兩可、這背離了數(shù)學（邏輯）排中律，…。
雖然哥德巴赫猜想數(shù)學命題沒有被數(shù)學專家畢了、依然被人們研究著，但傳統(tǒng)的素數(shù)“篩法”，此路不通已失去了昔日輝煌，…。
2、自然數(shù)與正整數(shù)、單位“1”與自然“1”：
1+1=2是科學抽象的、1+1=2以及正整數(shù)是相對于廣義的單位“1”而言，單位“1”的含量絕對統(tǒng)一，1+1=2并非自然“1”的意義，事實上自然數(shù)與正整數(shù)既有差異又有聯(lián)系，自然數(shù)是相對于自然“1”而言，正整數(shù)是相對于單位“1”而言，正整數(shù)是把自然數(shù)提升到了抽象的科學高度，由于自然數(shù)、時常因單位“1”不統(tǒng)一、“含金量”不一致，如果對自然數(shù)直接進行運算是有很大的局限性——有時正確、有時有偏差，我們?nèi)祟愂锹斆髦腔鄣模辛藬?shù)學的廣義的單位“1”、正整數(shù)，消除了自然數(shù)的局限性，…。
3、哲理整小數(shù)以及哲理整小數(shù)的雙重性質(zhì)（或哲理整分數(shù)和哲理整分數(shù)的雙重性質(zhì)）：
小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......，的絕對值擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，哲理整性質(zhì)是指小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......（注：它們的小數(shù)部分均為0.5，只涉及到0.5也可以、也足以）的絕對值比其他普通小數(shù)的絕對值整裝、…、本文將它們的這一特性簡稱為哲理整性質(zhì)（相對整），因為1/2是最大分數(shù)單位，則0.5是最大小數(shù)單位，因此0.5擁有哲理整性質(zhì)，它地地道道、的的確確客觀存在著，我們的認識迄今為止還未意識到，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，唯恐越看越不明白，令人意亂、勞神，...。
哲理整小數(shù)：本文將小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…和它們的哲理整性質(zhì)（相對整）統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)，務必明確的說明，哲理整小數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，…。
哲理整分數(shù)：本文將分數(shù)1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2……和它們的哲理整性質(zhì)統(tǒng)稱為哲理整分數(shù)，哲理整分數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，…。
普通小數(shù)：不包含哲理整小數(shù)在內(nèi)的小數(shù)簡稱為普通小數(shù)。
普通分數(shù)：不包含哲理整分數(shù)在內(nèi)的分數(shù)簡稱為普通小數(shù)。
4、1/2和0.5哲理整性質(zhì)的科學依據(jù):
分數(shù)擁有分數(shù)單位，數(shù)學教科書應該明確指出1/2是最大分數(shù)單位，1/1不是最大分數(shù)單位、是整數(shù)分數(shù)，1/1=1依然體現(xiàn)整數(shù)性質(zhì)、是一個特例，然而迄今為止還沒有小數(shù)單位，數(shù)學需要向前發(fā)展提出小數(shù)單位、最大消暑單位，要明確指出最大小數(shù)單位是“0.5”，而且為奇數(shù)能被2哲理整除提供客觀科學依據(jù)，才更符合數(shù)學的客觀實際！單憑直覺，最大分數(shù)單位1/2和最大小數(shù)單位0.5還未體現(xiàn)出其真正數(shù)學意義，最大分數(shù)單位和最大小數(shù)單位在本質(zhì)上體現(xiàn)哲理整性質(zhì)才是其真正的數(shù)學意義，這是如何對待數(shù)學真理的重大認識問題，并非可有可無，可無必然是一個數(shù)學錯誤，1/2和0.5的哲理整性質(zhì)是微小微妙、微乎其微的變化、微不足道的差異性，若不仔細認真觀察很難被人們發(fā)現(xiàn)，形而上學排斥它、大多數(shù)人無法理解接受它，有理難辯啊，難！真的很難！不僅如此還會遭人諷刺、挖苦等等，…。
關于分數(shù)和小數(shù)：分數(shù)單位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…對應下的小數(shù)應為小數(shù)單位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，….。
哲理整性質(zhì)的來龍去脈：在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中，派生子集合，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…從系統(tǒng)發(fā)展變化中分化出來，占據(jù)整數(shù)的位置充分地十足地體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)或者說體現(xiàn)其相對整性質(zhì)，數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)為其提供科學依據(jù)；最大分數(shù)單位1/2、最大小數(shù)單位0.5也為其提供科學依據(jù)，只有在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中才能夠發(fā)現(xiàn)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……（1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，……）擁有哲理整性質(zhì)，單憑直覺無從談起，單憑直覺只能看到最大分數(shù)單位和最大小數(shù)單位，…。
能被2整除的是偶數(shù)，…，整數(shù)0，1，-1，2，-2.，3，-3，4，-4，5，-5，……，…為偶數(shù)能被2整除提供科學依據(jù)舉世公認，…。
為了便于理解接受也可以首先把0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…暫時將它們看作哲理整數(shù)（相對整數(shù)），哲理整數(shù)為奇數(shù)能被2哲理整除提供客觀科學依據(jù)，哲理整數(shù)指小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…的絕對值比其他普通小數(shù)的絕對值整裝——因為0.5是最大小數(shù)單位，與整數(shù)形成異中之同，差異中有共性，數(shù)學與哲學將這一特性簡稱為哲理整性質(zhì)（相對整）——哲理整數(shù)（相對整），但是理解接受以后：絕對不能忘記了哲理整數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，一是擁有普通小數(shù)性質(zhì)、二是擁有哲理整性質(zhì)，只承認它們的小數(shù)性質(zhì)認識是片面的，只承認0.它們的哲理整性質(zhì)認識是片面的，…。
事實上只有把哲理整數(shù)統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)體現(xiàn)雙重性質(zhì)才更確切、完整、正確，…。
5、有理數(shù)系數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)（就不展開敘述了）：
{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此結(jié)構(gòu)式上下交錯對應不能散開）
[0.1～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
第1環(huán)節(jié)：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，
第2環(huán)節(jié)：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，
第3環(huán)節(jié)：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，
第4環(huán)節(jié)：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，
第5環(huán)節(jié)：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，
第6環(huán)節(jié)：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，
……，…，
∑{[0～1]}意指0與1之間的基數(shù)之和，它是集合族、有無窮個子集合或有無窮個數(shù)組，其他依次類推，符號：意指派生子集合，很顯然，在系統(tǒng)數(shù)值邏輯運算過程中，小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……從系統(tǒng)發(fā)展變化過程中產(chǎn)生分化出來，占據(jù)整數(shù)位置，充分體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)，即派生子集合，為奇數(shù)能被2哲理整除提供科學依據(jù)，蘊涵著完整的數(shù)值運算規(guī)律，數(shù)論、集論、算術(shù)三位一體、辯證統(tǒng)一，蘊涵著完整數(shù)學公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…。
潛無限給數(shù)值邏輯奠定基礎并給作科學指導，潛無限排斥實無限，…。
實無限只能給數(shù)理邏輯奠定基礎，如何給數(shù)值邏輯作科學指導？實無限排斥潛無限，事實上互相排斥，…。
6、廣義整數(shù)：
廣義整數(shù)：將整數(shù)和哲理整小數(shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)（將整數(shù)和哲理整分數(shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)），…。
7、有限不循環(huán)小數(shù)：
有限不循環(huán)小數(shù)：為了便于理解，簡言之，我們把無限不循環(huán)小數(shù)有限數(shù)字（小數(shù)點右邊至少有兩位或兩位以上不循環(huán)數(shù)字）稱之為有限不循環(huán)小數(shù)，例如：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……，有無限不循環(huán)小數(shù)必然存在著有限不循環(huán)小數(shù)，在數(shù)值邏輯中，有限不循環(huán)小數(shù)與潛無限不循環(huán)小數(shù)擁有替代無理數(shù)數(shù)值的巨大意義與作用；有限小數(shù)中的小數(shù)再如此細致地劃分出有限不循環(huán)小數(shù)、有限不循環(huán)小數(shù)，才更切合實際，在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中會發(fā)現(xiàn)：有限不循環(huán)小數(shù)擁有客觀存在性，擁有無限不循環(huán)小數(shù)就必然存在著有限不循環(huán)小數(shù)，這的確是一個認識問題，有限不循環(huán)小數(shù)可表達為分數(shù)形式，因此有限不循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，同時還是超越無理數(shù)的有限形式，因此可替代無理數(shù)數(shù)值（無理數(shù)的近似值），只談無限不循環(huán)小數(shù)（只談無理數(shù)），不涉及到有限不循環(huán)小數(shù)是不行的，…。
尤其是有限不循環(huán)小數(shù)，在實質(zhì)上擁有替代無理數(shù)數(shù)值的巨大意義與作用——此乃有限不循環(huán)小數(shù)的重要數(shù)學意義。
8、有限循環(huán)小數(shù):
有限循環(huán)小數(shù):為了便于理解，簡言之，我們把無限循環(huán)小數(shù)有限個循環(huán)節(jié)（小數(shù)點右邊至少有兩個或兩個以上數(shù)字循環(huán)節(jié)）稱之為有限循環(huán)小數(shù)，如：0.1616，0.161616，0.666，0.666666，0.78787878，0.999999，……，有無限循環(huán)小數(shù)必然存在著有限循環(huán)小數(shù)，有限循環(huán)小數(shù)客擁有客觀存在性，它可替代無限循環(huán)小的數(shù)值，…，這也是一個認識問題，有限循環(huán)小數(shù)可表達為分數(shù)形式，因此有限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，…。
9、普通有限小數(shù)：
把小數(shù)點后邊有一位數(shù)或兩位數(shù)以內(nèi)的小數(shù)簡稱為普通有限小數(shù)，例如：0.9，1.1，1.2，3.6，3.8，5.8，6.8，7.16，………，…。
10、總之、數(shù)學理論要有所突破、要有所進展：
數(shù)學（算術(shù)）需要向前發(fā)展有所突破：
（1）提出數(shù)學理論為什么1+1=2，
（2）明確指出1/2是最大分數(shù)單位，
（3）提出小數(shù)單位、最大小數(shù)單位、0.5是最大小數(shù)單位，
（4）將有限小數(shù)細致劃分為：
a、哲理整小數(shù)：0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，
b、普通有限小數(shù)，
c、有限不循環(huán)小數(shù)，
d、有限循環(huán)小數(shù)，
（5）有理數(shù)系數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)，
（6）廣義整數(shù)，
（7）哲理整分數(shù)：1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，……，
（8）整數(shù)分數(shù)：把1/1，-1/1，2/1，-2/1，3/1，-3/1，4/1，-4/1，5/1，-5/1，6/1，-6/1，……統(tǒng)稱為整數(shù)分數(shù)，擁有雙重身份，…。
（9）雙素數(shù)：例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示為兩個等值素數(shù)之和，雙素數(shù)星星點點揭示著哥德巴赫猜想擁有客觀存在性，無法否定它，
（10）偶素數(shù)——2：2既是一個偶數(shù)又一個素數(shù)，把2簡稱為偶素數(shù)，
等等才更接近數(shù)學的實際情況，希望數(shù)學教師率先轉(zhuǎn)變數(shù)學思維理念給以鼎力支持，…。
總之，依然還是把整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，只不過是又將分數(shù)劃分為哲理整分數(shù)、普通分數(shù)、還有整數(shù)分數(shù)，...，為什么1+1=2——是探索其原理、道理、哲理，一定要弄明白其中的原理、道理、哲理！…，再次說明，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，這是很正常的，且末當真、切莫較真，同時也說明一點本文為什么1+1=2的含義不同于1+1為什么等于2？，也未直接涉及到數(shù)論的“1+1”，…。
錯字、多字、漏字、錯誤在所難免，本文作為數(shù)學學術(shù)最新觀點，僅供參考、并不強加于人。
參考文獻：
1、《辯證唯物主義和歷史唯物主義原理》，中國人民大學出版社出版
2、《古今數(shù)學思想》（北京大學數(shù)學系數(shù)學史翻譯組譯）上?？茖W技術(shù)出版社出版，1981年7月。原作者：（美國數(shù)學家）M.克萊因著
3、《普通邏輯原理》，主編：吳家國，高等教育出版社出版，1992年9月
“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點，或者是一般的、基本的原理?！薄皩W習結(jié)構(gòu)就是學習事物是怎樣相互關聯(lián)的。”數(shù)學思想與方法為數(shù)學學科的一般原理的重要組成部分。下面從基本結(jié)構(gòu)學說中來看數(shù)學思想、方法教學所具有的重要意義。
第一.“懂得基本原理使得學科更容易理解”。心理學認為“由于認知結(jié)構(gòu)中原有的有關觀念在包攝和概括水平上高于新學習的知識，因而新知識與舊知識所構(gòu)成的這種類屬關系又可稱為下位關系，這種學習便稱為下位學習?！碑攲W生掌握了一些數(shù)學思想、方法，再去學習相關的數(shù)學知識，就屬于下位學習了。下位學習所學知識“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學習的意義，”即使新知識能夠較順利地納入到學生已有的認知結(jié)構(gòu)中去。學生學習了數(shù)學思想、方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學內(nèi)容。
第二.有利于記憶。除非把一件件事情放進構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會忘記。學習基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個現(xiàn)象的工具。
由此可見，數(shù)學思想、方法作為數(shù)學學科的“一般原理”，在數(shù)學學習中是至關重要的。無怪乎有人認為，對于中學生“不管他們將來從事什么業(yè)務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！?/p>
第三.學習基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”。這種類型的遷移應該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴大和加深知識。曹才翰教授也認為，“如果學生認知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對于新學習是有利的，”“只有概括的、鞏固的和清晰的知識才能實現(xiàn)遷移?！泵绹睦韺W家賈德通過實驗證明，“學習遷移的發(fā)生應有一個先決條件，就是學生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學習中。”學生學習數(shù)學思想、方法有利于實現(xiàn)學習遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學習質(zhì)量和數(shù)學能力。
第四.強調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學習，“能夠縮短‘高級’知識和‘初級’知識之間的間隙?！币话愕刂v，初等數(shù)學與高等數(shù)學的界限還是比較清楚的，特別是中學數(shù)學的許多具體內(nèi)容在高等數(shù)學中不再出現(xiàn)了，有些術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學中要賦予它們以新的涵義。而在高等數(shù)學中幾乎全部保留下來的只有中學數(shù)學思想和方法以及與其關系密切的內(nèi)容，如集合、對應等。因此，數(shù)學思想、方法是聯(lián)結(jié)中學數(shù)學與高等數(shù)學的一條紅線。
2.中學數(shù)學教學內(nèi)容的層次
中學數(shù)學教學內(nèi)容從總體上可以分為兩個層次：一個稱為表層知識，另一個稱為深層知識。表層知識包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學的基本知識和基本技能，深層知識主要指數(shù)學思想和數(shù)學方法。
表層知識是深層知識的基礎，是教學大綱中明確規(guī)定的，教材中明確給出的，以及具有較強操作性的知識。學生只有通過對教材的學習，在掌握和理解了一定的表層知識后，才能進一步的學習和領悟相關的深層知識。
深層知識蘊含于表層知識之中，是數(shù)學的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著表層知識。教師必須在講授表層知識的過程中不斷地滲透相關的深層知識，讓學生在掌握表層知識的同時，領悟到深層知識，才能使學生的表層知識達到一個質(zhì)的“飛躍”，從而使數(shù)學教學超脫“題?！敝?，使其更富有朝氣和創(chuàng)造性。
那種只重視講授表層知識，而不注重滲透數(shù)學思想、方法的教學，是不完備的教學，它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高；反之，如果單純強調(diào)數(shù)學思想和方法，而忽略表層知識的教學，就會使教學流于形式，成為無源之水，無本之木，學生也難以領略到深層知識的真諦。因此，數(shù)學思想、方法的教學應與整個表層知識的講授融為一體，使學生逐步掌握有關的深層知識，提高數(shù)學能力，形成良好的數(shù)學素質(zhì)。
3.中學數(shù)學中的主要數(shù)學思想和方法
數(shù)學思想是分析、處理和解決數(shù)學問題的根本想法，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。由于中學生認知能力和中學數(shù)學教學內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學思想落實到數(shù)學教學過程中，而對有些數(shù)學思想不宜要求過高。我們認為，在中學數(shù)學中應予以重視的數(shù)學思想主要有三個：集合思想、化歸思想和對應思想。其理由是：
（1）這三個思想幾乎包攝了全部中學數(shù)學內(nèi)容；
（2）符合中學生的思維能力及他們的實際生活經(jīng)驗，易于被他們理解和掌握；
（3）在中學數(shù)學教學中，運用這些思想分析、處理和解決數(shù)學問題的機會比較多；
（4）掌握這些思想可以為進一步學習高等數(shù)學打下較好的基礎。
此外，符號化思想、公理化思想以及極限思想等在中學數(shù)學中也不同程度地有所體現(xiàn)，應依據(jù)具體情況在教學中予以滲透。
數(shù)學方法是分析、處理和解決數(shù)學問題的策略，這些策略與人們的數(shù)學知識，經(jīng)驗以及數(shù)學思想掌握情況密切相關。從有利于中學數(shù)學教學出發(fā)，本著數(shù)量不宜過多原則，我們認為目前應予以重視的數(shù)學方法有：數(shù)學模型法、數(shù)形結(jié)合法、變換法、函數(shù)法和類分法等。一般講，中學數(shù)學中分析、處理和解決數(shù)學問題的活動是在數(shù)學思想指導下，運用數(shù)學方法，通過一系列數(shù)學技能操作來完成的。
4.數(shù)學思想方法的教學模式
數(shù)學表層知識與深層知識具有相輔相成的關系，這就決定了他們在教學中的辯證統(tǒng)一性?；谏鲜稣J識，我們給出數(shù)學思想方法教學的一個教學模式：
操作——掌握——領悟
對此模式作如下說明：
（1）數(shù)學思想、方法教學要求教師較好地掌握有關的深層知識，以保證在教學過程中有明確的教學目的；
（2）“操作”是指表層知識教學，即基本知識與技能的教學?！安僮鳌笔菙?shù)學思想、方法教學的基礎；
（3）“掌握”是指在表層知識教學過程中，學生對表層知識的掌握。學生掌握了一定量的數(shù)學表層知識，是學生能夠接受相關深層知識的前提；
比如在高中數(shù)學學習有關“誘導公式”時，教師就可以結(jié)合每個學生的實際情況，讓學生對單位圓進行回顧，在觀察其中對稱性的過程中，再次溫習圓的性質(zhì)，調(diào)動學生各自的原有認識，利用問題促進學生的進一步探索:利用圓的對稱性探索三角函數(shù)的性質(zhì)．具體的問題為學生的思路指明了方向，學生從始邊和角的終邊來建立三角函數(shù)中的數(shù)量關系．課堂給學生預留充足的思考空間，發(fā)揮每個學生的個性特質(zhì)，用個別討論來代替整體教學，從而形成了師生、生生之間激烈的討論氛圍，每個學生都結(jié)合自己的認知來發(fā)表觀點和看法，教師順利地掌握了每個學生的思維關鍵點，順利地做到了“對癥下藥”，學生對三角函數(shù)的性質(zhì)和思想有了更深的理解，準確得出了三角函數(shù)的誘導公式，使每個學生都有了提高．通過這樣的課堂建立，尊重了學生的個性發(fā)展，才使得學生可以盡情地展示自己的想法，積極地與老師討論其中的數(shù)學邏輯和推導方法，從而能夠從自己的思維原點出發(fā)，逐步地達到掌握新知的終點，在很大程度上提高了學生的學習效率．
二、組織合作討論，實現(xiàn)思維創(chuàng)新
學生的探究僅靠自身的學習和生活經(jīng)驗是遠遠不夠的，需要通過相互之間的合作討論，積極地表達自己的觀點和想法，在思維碰撞之中主動實現(xiàn)新知的搭建，在思想的交流中順利完成對問題的發(fā)現(xiàn)、探索和解決，以逐步地突破原有思維、實現(xiàn)創(chuàng)新．比如在學習有關“余弦定理”時，學生在對自動卸貨汽車的車箱進行分析后，發(fā)現(xiàn)其設計的關鍵是油泵頂桿長度的計算，從而將其轉(zhuǎn)化為幾何圖形的計算:已知三角形中的兩個邊和這兩個邊的夾角，求第三條邊的長度．學生學過直角三角形中斜邊的求法，對這個問題還比較陌生一時很難找到解題思路．在學生的獨立思考后，教師就可以組織學生進行合作討論，借助集體的力量來對難題進行攻克，學生們先從思路入手，企圖找到解決問題的方法，這時有個學生說道:“老師總是說將特殊的問題一般化，將復雜的問題簡單化，那這個怎么才能轉(zhuǎn)化為一般問題呢?”學生的這句話一下子打開了探究的思維，過頂角在斜邊上做垂線，將斜三角形變?yōu)榱藘蓚€直角三角形，實現(xiàn)了對問題的解決．然而有的學生卻提出了不同的看法:“如果是鈍角三角形，其垂線應該在斜邊的延長線上，這個方法還能適用嗎?”在學生的嘗試解決中，問題被一個個的攻破，學生們也都非常的興奮和自信．合作討論給學生的交流搭建了平臺，實現(xiàn)了對學生思維的跳躍發(fā)展，有效地促進了學生的探究能力和創(chuàng)新能力．
三、靈活課堂教學，促進全面發(fā)展
動態(tài)的課堂生成永遠無法模擬．教師就需要結(jié)合課堂生成進行臨時發(fā)揮，嘗試利用自己的機智靈活來調(diào)控課堂教學，熟練各種教學教法和技能，從而構(gòu)建和諧的師生、生生關系，促進相互之間高效的探索、分析和合作，以促進學生的全面發(fā)展和提高．比如在學習有關“函數(shù)的單調(diào)性”時，教師就可以利用學生對函數(shù)圖象的認識，讓學生進行不同函數(shù)間的觀察對比，對增減函數(shù)有一個直觀的認識，利用具體的函數(shù)值進行大小比較，逐步地分析其中圖象變化趨勢，了解函數(shù)值與自變量之間的變化規(guī)律，由此導入學生對增減函數(shù)概念的認識．然而在概念的描述上，學生卻使用了“任取”、“任意”這類不規(guī)范的數(shù)學術(shù)語來進行表達，這時教師就要及時地調(diào)整自己的教法，再次引導學生對特殊的函數(shù)圖象進行觀察，學生對同一函數(shù)中有時增函數(shù)、有時減函數(shù)產(chǎn)生疑問，從而對增減函數(shù)的定義進行質(zhì)疑，領會到自己在表達上的不全面，及時地加以完善和糾正，準確地掌握了增減函數(shù)中的定義域，加深了對單調(diào)性的理解和運用．通過這樣的靈活調(diào)控，深層地幫助學生分析了自己的思維誤區(qū)，挖掘出了總結(jié)和理解上的漏洞，全面地發(fā)展了學生的思維，真正地促進了學生的全面發(fā)展．
四、結(jié)語
【關鍵詞】高中數(shù)學；分層教學；理論實踐
一、分層教學理論概念探析
分層教學理論的誕生，主要是為了能夠彌補以往的教學方式無法針對水平不同的學生進行有效性教學的一種教學方式，這種教學理論的提出對于教學改革有著非常重大的意義，在二十世紀初期，分層教學的理論被提出，這種教學理論倡導對于不同水平的學生利用不同的方式來進行教學，使得處于各個水平階段的學生都能夠通過這種方式來提升水平。有些人認為，一些學生無法取得良好成績主要是因為智力的原因，但是美國的一位專家卻不認可這個原因，這位專家認為這些學生之所以無法取得良好的成績，是因為他們沒有獲得適合自己的教學條件以及環(huán)境，并不是因為智力因素的原因，分層教學理論也就這樣出現(xiàn)了，這種理論的出現(xiàn)也主要是為了給不同類型的學生提供適合他們的教學環(huán)境以及條件，從而使得每一個學生都能夠獲得進步和提升。對于高中數(shù)學來說，分層教學的方式是非常有意義的，因為通過實踐我們能夠發(fā)現(xiàn)，如果不能按照學生的具體水平來實施具有針對性的教學方式，那么所獲得的教學效果是非常有限的。以往的一鍋端教學方式，對于學生的心理發(fā)展和生理發(fā)育的不均衡性是缺乏關注的，同時把學生的學習興趣和態(tài)度以及能力都看作智力因素來對學生進行定義，這也是不符合客觀事實的。學生之間的各個方面的差異一直是客觀存在的，如果一直按照原有的單一的教學方式，必然會不利于學生的數(shù)學水平提高，長此以往，會造成學生的數(shù)學水平兩極分化更加嚴重。所以，在高中數(shù)學的教學過程中，利用分層教學的方法是符合客觀需求的，同時也符合因材施教的教學要求，最重要的是能夠提升對于所有學生的教學有效性。
二、高中數(shù)學實施分層教學的必要條件
首先，在實施分層教學之前，應該對于學生的具體情況進行了解，通過問卷調(diào)查、走訪家長以及觀察和談話等方式，對學生的數(shù)學水平、數(shù)學學習方法以及情感進行了解和掌握。另一方面，也要充分考慮到學生的自尊心以及在日常生活中所面臨的心理壓力，在進行分層教學之前，進行思想教育工作是十分必要的，要把原因說清楚，讓每個接受分層教學的學生能夠清楚地認識到分層教學是對自己有利的，使得不同數(shù)學水平的學生都能夠在教學過程中得到提升，潛力得到充分發(fā)揮。其次，要讓學生能夠通過自己的數(shù)學水平、數(shù)學成績以及態(tài)度來自主選擇學習層次，教師根據(jù)學生所進行的選擇結(jié)合自己對于學生基本信息的了解以及學生的潛力和心理特征等方面，把學生按照2∶6∶2的比例分為三種層次，在分層的過程中，也要制定必要的發(fā)展目標和基本目標，并且要根據(jù)班級內(nèi)部的具體情況來進行靈活的調(diào)整。
三、高中數(shù)學實施分層教學的具體措施
（一）教學分層
學生分層之后，數(shù)學教師要根據(jù)新課標的要求，針對每個層次學生的特點和數(shù)學水平的不同，制定針對各層次學生的教學內(nèi)容和目標，并貫穿到整個教學過程中。教學目標和內(nèi)容要具體，把學生的能力、性格等因素考慮進去。教學目標可以劃分為多個層次，不同層次的學生完成的目標不一樣。針對A層次的學生，數(shù)學教師要引導他們主動思考，并能夠提出問題；對B層次的學生啟發(fā)他們獨立思考，理解并能解決一些簡單的綜合問題；對C層次的學生則引導他們掌握知識重點，能運用基礎知識解答簡單題目。
（二）任務分層
新課改要求現(xiàn)代高中數(shù)學教育要重視實踐性，其課后作業(yè)和練習則逐漸被忽視。在分層教學理念的指導下，教師要根據(jù)學生的實際情況，依據(jù)大綱要求適當布置課后作業(yè)。針對C層次的學生，只布置一些簡單題目，鞏固所學知識；對于B層次的學生布置常見的難點題目，提高解決問題的速度；而對于A層次的學生則布置提高邏輯思維能力的題目。
（三）評價分層
以往的教學中，對學生的評價僅以成績的高低作為唯一判定標準，由于教育的不斷進步，人們逐漸認識到這種評價標準的片面性。不同層次的學生應該實行不同的評價標準，評價的方式應該多元化、綜合化。教師評價學生時，要全面考慮到學生的性格、學習態(tài)度等各種因素，這樣才能更深入地了解學生。數(shù)學教師要依據(jù)三個層次學生的不同情況，制定不同目標，然后在同一層次上進行比較。這種方式不僅可以增強同一層次學生的競爭意識，促進學生的進步，還可以增強學生的自信心。因此，進行分層次評價可以促使A層次的學生爭取更好的成績，增強B、C層次學生學習數(shù)學的興趣，最終實現(xiàn)每一個學生都能全面進步的理想。
（四）輔導分層
數(shù)學教師對學生的輔導也采用分層的方法，屬于高層學生的問題，其他兩層的學生則不用解答。此時，教師可以安排他們做自己層次的習題，等到他們數(shù)學能力提高，進入上一層次，要求也就相對提高。另外，安排高層次的學生輔導低層次學生的學習，既有助于高層次學生檢查自己對知識的掌握情況，又使下一層學生解決了學習上的困難。
盡管數(shù)學應用的廣泛性是數(shù)學的一大特征，但常常被數(shù)學的嚴謹性和抽象性所掩蓋。讓學生真正體驗到“數(shù)學有用”是培養(yǎng)學生數(shù)學應用意識的有效前提。數(shù)學教育中，在關注學生對數(shù)學基礎知識、基本技能以及數(shù)學方法掌握的同時，也應該幫助學生形成一個開闊的視野，了解數(shù)學對人類發(fā)展的價值，尤其是它的應用價值，教師有意識、有計劃挖掘數(shù)學知識在社會生活、生產(chǎn)及相關學科的應用，激發(fā)學生的興趣，培養(yǎng)學生的應用意識與能力。
數(shù)學與日常生活息息相關，百分比、比例、統(tǒng)計等成為社會生活的常見名詞，人口增長率、生產(chǎn)統(tǒng)計圖、股票走勢圖等不斷出現(xiàn)在大眾媒體（報刊、電視、網(wǎng)絡）上，儲蓄、保險、購物決策、估算已成為人們難以回避的現(xiàn)實問題。數(shù)學與現(xiàn)代社會發(fā)展使得數(shù)學應用領域不斷擴展。CT技術(shù)、核磁共振、數(shù)字電視、飛機設計、市場預測等領域都需要教學的支持。據(jù)不完全統(tǒng)計，近幾年中考數(shù)學試卷中，除數(shù)學學科內(nèi)部綜合外，九成以上的數(shù)學試卷涉及到生物、地理、政治、歷史、社會、生活等，解決退耕還林、治理沙化、水資源開發(fā)應用、生態(tài)環(huán)境等問題。與物理、化學結(jié)合更體現(xiàn)了數(shù)學的工具作用。因此，教學中多角度，多方位、多途徑向?qū)W生介紹、展示數(shù)學的應用，如講數(shù)學故事、應用數(shù)學知識講座等，也可以鼓勵學生自己通過多種方式收集數(shù)學知識應用的案例，撰寫數(shù)學小論文。從而讓學生感受到生活處處有數(shù)學、生活處處用數(shù)學，讓學生體驗到數(shù)學的價值，從而激發(fā)學生熱愛數(shù)學。
二、開展實踐作業(yè)和課題學習，讓學生在活動中學數(shù)學用數(shù)學
從現(xiàn)實問題情景引入數(shù)學知識，解決知識的“入口”問題；把數(shù)學知識應用到現(xiàn)實情景中，解決知識的“出口”問題。在教學中，我們不能只給學生“燒中段”。學生不僅在數(shù)學理論和邏輯思維能力上要得到訓練和提高，而且應用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力同樣需要得到訓練和提高。后者僅限于課堂教學是不夠的。要學生會在實踐中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，會使用數(shù)學知識來分析問題和講座問題，還必須會把數(shù)學上得到的結(jié)論回到實際中解決問題。新教材安排的實習作業(yè)、課題學習是數(shù)學實踐活動的主要形式。無論是實習作業(yè)，還是課題學習，都要立足于教學內(nèi)容，引導學生自主參與，從教學的角度對某些日常生活中和其他學科中出現(xiàn)的問題引進實踐活動，內(nèi)容要立足于課標，問題的設計要符合基礎性、多樣性、層次性、開放性的原則，著重培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識、動手操作能力、創(chuàng)新意識，同時使學生學會與人合作，獲得直接經(jīng)驗，并在探索、實踐中獲得積極的情感體驗。
三、在數(shù)學教學中滲透數(shù)學建模思想
從數(shù)學應用能力測試結(jié)果分析，初中生掌握了一定的數(shù)學知識，但接觸到實際問題時常感到束手無策，而學習數(shù)學建模的過程正是幫助學生應用數(shù)學的思想、方法、語言去描述和解決問題的過程。因此把實際問題經(jīng)過抽象轉(zhuǎn)化，構(gòu)建數(shù)學模型，是培養(yǎng)學生應用意識與能力的關鍵所在。教學中應把數(shù)學建模滲透在日常教學之中。具體而言，可以用數(shù)學模型指導教材中應用問題教學；可以利用各種課程資源充分挖掘數(shù)學建模素材；還可以選擇一些簡單的實例培養(yǎng)學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力。
