時(shí)間：2024-03-05 16:28:59
序論：在您撰寫(xiě)高等函數(shù)的概念時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開(kāi)闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
三角函數(shù)與解三角形
第九講
三角函數(shù)的概念?誘導(dǎo)公式與三角恒等變換
2019年
1.(2019北京9)函數(shù)的最小正周期是
________.
2.(2019全國(guó)Ⅲ理12)設(shè)函數(shù)=sin()(>0),已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn),下述四個(gè)結(jié)論:
①在()有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)
②在()有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)
③在()單調(diào)遞增
④的取值范圍是[)
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是
A.
①④
B.
②③
C.
①②③
D.
①③④
3.(2019天津理7)已知函數(shù)是奇函數(shù),將的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.若的最小正周期為,且,則
A.
B.
C.
D.
4.(2019全國(guó)Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin
2α=cos
2α+1,則sin
α=
A.
B.
C.
D.
5.(2019江蘇13)已知,則的值是_________.
6.(2019浙江18)設(shè)函數(shù).
(1)已知函數(shù)是偶函數(shù),求的值;
(2)求函數(shù)
的值域.
2010-2018年
一?選擇題
1.(2018全國(guó)卷Ⅲ)若,則
A.
B.
C.
D.
2.(2016年全國(guó)III)若
,則
A.
B.
C.1
D.
3.(2016年全國(guó)II)若,則(
)
A.
B.
C.
D.
4.(2015新課標(biāo)Ⅰ)
A.
B.
C.
D.
5.(2015重慶)若,則=
A.1
B.2
C.3
D.4
6.(2014新課標(biāo)Ⅰ)若,則
A.
B.
C.
D.
7.(2014新課標(biāo)Ⅰ)設(shè),,且,則
A.
B.
C.
D.
8.(2014江西)在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為,若,則
的值為(
)
A.
B.
C.
D.
9.(2013新課標(biāo)Ⅱ)已知,則(
)
A.
B.
C.
D.
10.(2013浙江)已知,則
A.
B.
C.
D.
11.(2012山東)若,,則
A.
B.
C.
D.
12.(2012江西)若,則tan2α=
A.?
B.
C.?
D.
13.(2011新課標(biāo))已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊在直線上,則=
A.
B.
C.
D.
14.(2011浙江)若,,,,則
A.
B.
C.
D.
15.(2010新課標(biāo))若,是第三象限的角,則
A.
B.
C.2
D.-2
二?填空題
16.(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù),則的最小值是_____.
17.(2018全國(guó)卷Ⅱ)已知,,則___.
18.(2017新課標(biāo)Ⅱ)函數(shù)的最大值是
.
19.(2017北京)在平面直角坐標(biāo)系中,角與角均以為始邊,它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若,則=___________.
20.(2017江蘇)若,則=
.
21.(2015四川)
.
22.(2015江蘇)已知,,則的值為_(kāi)______.
23.(2014新課標(biāo)Ⅱ)函數(shù)的最大值為_(kāi)___.
24.(2013新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)為第二象限角,若,則=___.
25.(2013四川)設(shè),,則的值是_____.
26.(2012江蘇)設(shè)為銳角,若,則的值為
.
三?解答題
27.(2018江蘇)已知為銳角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
28.(2018浙江)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過(guò)點(diǎn).
(1)求的值;
(2)若角滿足,求的值.
29.(2017浙江)已知函數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
30.(2014江蘇)已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
31.(2014江西)已知函數(shù)為奇函數(shù),且,其中.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
32.(2013廣東)已知函數(shù).
(1)
求的值;
(2)
若,求.
33.(2013北京)已知函數(shù)
(1)求的最小正周期及最大值;
(2)若,且,求的值.
34.(2012廣東)已知函數(shù),(其中,)的最小正周期為10.
(1)求的值;
(2)設(shè),,,求的值.
專題四
三角函數(shù)與解三角形
第九講
三角函數(shù)的概念?誘導(dǎo)公式與三角恒等變換
答案部分
2019年
1.解析:因?yàn)?
所以的最小正周期.
2.解析
當(dāng)時(shí),,
因?yàn)樵谟星覂H有5個(gè)零點(diǎn),所以,
所以,故④正確,
因此由選項(xiàng)可知只需判斷③是否正確即可得到答案,
下面判斷③是否正確,
當(dāng)時(shí),,
若在單調(diào)遞增,
則,即,因?yàn)?故③正確.
故選D.
3.解析
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以,.
將的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為,即,
因?yàn)榈淖钚≌芷跒?所以,得,
所以,.
若,即,即,
所以,.
故選C.
4.解析:由,得.
因?yàn)?所以.
由,得.故選B.
5.解析
由,得,
所以,解得或.
當(dāng)時(shí),,,
.
當(dāng)時(shí),,,
所以.
綜上,的值是.
6.解析(1)因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有,
即,
故,
所以.
又,因此或.
(2)
.
因此,函數(shù)的值域是.
2010-2018年
1.B【解析】.故選B.
2.A【解析】由,,得,或
,,所以,
則,故選A.
3.D【解析】因?yàn)?所以,
所以,所以,故選D.
4.D【解析】原式=.
5.C
【解析】
=,選C.
6.C【解析】
知的終邊在第一象限或第三象限,此時(shí)與同號(hào),
故,選C.
7.B【解析】由條件得,即,
得,又因?yàn)?,
所以,所以.
8.D【解析】=,,上式=.
9.A【解析】因?yàn)?
所以,選A.
10.C【解析】由可得,進(jìn)一步整理可得,解得或,
于是.
11.D【解析】由可得,,
,答案應(yīng)選D.
另解:由及,可得
,而當(dāng)時(shí)
,結(jié)合選項(xiàng)即可得.
12.B【解析】分子分母同除得:,
13.B【解析】由角的終邊在直線上可得,,
.
14.C【解析】
,而,,
因此,,
則.
15.A【解析】
,且是第三象限,,
.
16.【解析】解法一
因?yàn)?
所以,
由得,即,,
由得,即
或,,
所以當(dāng)()時(shí),取得最小值,
且.
解法二
因?yàn)?
所以
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),
所以,
所以的最小值為.
17.【解析】,,
①,
②,
①②兩式相加可得
,
.
18.1【解析】化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式,則
,
由可得,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值1.
19.【解析】角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱,所以,
所以,;
.
20.【解析】.
21.【解析】.
22.3【解析】.
23.1【解析】
.,所以的最大值為1.
24.【解析】,可得,,
=.
25.【解析】
,則,又,
則,.
26.【解析】
因?yàn)闉殇J角,cos(=,sin(=,
sin2(cos2(,
所以sin(.
27.【解析】(1)因?yàn)?,所以.
因?yàn)?所以,
因此,.
(2)因?yàn)闉殇J角,所以.
又因?yàn)?所以,
因此.
因?yàn)?所以,
因此,.
28.【解析】(1)由角的終邊過(guò)點(diǎn)得,
所以.
(2)由角的終邊過(guò)點(diǎn)得,
由得.
由得,
所以或.
29.【解析】(Ⅰ)由,,
得.
(Ⅱ)由與得
所以的最小正周期是
由正弦函數(shù)的性質(zhì)得
,
解得,
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是().
30.【解析】(1),
;
(2)
.
31.【解析】(1)因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),而為偶函數(shù),所以為奇函數(shù),又得.
所以=由,得,即
(2)由(1)得:因?yàn)?得
又,所以
因此
32.【解析】(1)
(2)
所以,
因此=
33.【解析】:(1)
所以,最小正周期
當(dāng)(),即()時(shí),.
(2)因?yàn)?所以,
因?yàn)?所以,
所以,即.
34.【解析】(1).
(2)
三角函數(shù)與解三角形
第九講
三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換
2019年
1.（2019北京文8）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，
是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為
（A）4β+4cosβ
（B）4β+4sinβ
（C）2β+2cosβ
（D）2β+2sinβ
2.（全國(guó)Ⅱ文11）已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=
A．
B．
C．
D．
3.（2019江蘇13）已知，則的值是
.
2010-2018年
一、選擇題
1．(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則
A．
B．
C．
D．
2．(2018全國(guó)卷Ⅲ)若，則
A．
B．
C．
D．
3．(2018北京)在平面坐標(biāo)系中，，，，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)在其中一段上，角以為始邊，為終邊，若，則所在的圓弧是
A．
B．
C．
D．
4．（2017新課標(biāo)Ⅲ）已知，則=
A．
B．
C．
D．
5．（2017山東）已知，則
A．
B．
C．
D．
6．（2016年全國(guó)III卷）若，則=
A．
B．
C．
D．
7．（2015重慶）若，，則
A．
B．
C．
D．
8．（2015福建）若，且為第四象限角，則的值等于
A．
B．
C．
D．
9．（2014新課標(biāo)1）若，則
A．
B．
C．
D．
10．（2014新課標(biāo)1）設(shè)，，且，則
A．
B．
C．
D．
11．（2014江西）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為若，則的值為
A．
B．
C．
D．
12．(2013新課標(biāo)2)已知，則
A．
B．
C．
D．
13．（2013浙江）已知，則
A．
B．
C．
D．
14．（2012山東）若，，則
A．
B．
C．
D．
15．(2012江西)若，則tan2α=
A．?
B．
C．?
D．
16．（2011新課標(biāo)）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=
A．
B．
C．
D．
17．（2011浙江）若，，，，則
A．
B．
C．
D．
18．（2010新課標(biāo)）若，是第三象限的角，則
A．
B．
C．2
D．2
二、填空題
19．（2017新課標(biāo)Ⅰ）已知，，則
=__________．
20．（2017北京）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．若sin=，則sin=_________．
21．（2017江蘇）若，則=
．
22．（2016年全國(guó)Ⅰ卷）已知是第四象限角，且，則
.
23．（2015四川）已知，則的值是________．
24．（2015江蘇）已知，，則的值為_(kāi)______．
25．（2014新課標(biāo)2）函數(shù)的最大值為_(kāi)______．
26．（2013新課標(biāo)2）設(shè)為第二象限角，若
，則=_____.
27．（2013四川）設(shè)，，則的值是____________．
28．（2012江蘇）設(shè)為銳角，若，則的值為
．
三、解答題
29．（2018浙江）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若角滿足，求的值．
30．（2018江蘇）已知為銳角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
31．（2015廣東）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
32．(2014江蘇)已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
33．（2014江西）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，其中．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
34．（2013廣東）已知函數(shù)．
(1)
求的值；
(2)
若，求．
35．（2013北京）已知函數(shù)
（1）求的最小正周期及最大值．
（2）若，且，求的值．
36．（2012廣東）已知函數(shù)，（其中，）的最小正周期為10．
(1)求的值；
(2)設(shè)，，，求的值．
專題四
三角函數(shù)與解三角形
第九講
三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換
答案部分
2019年
1.解析
由題意和題圖可知，當(dāng)為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積取最大值，如圖所示，設(shè)圓心為，，.
此時(shí)陰影部分面積.故選B.
2.解析
由，得.
因?yàn)?，所?
由，得.故選B.
3.解析
由，得，
所以，解得或．
當(dāng)時(shí)，，，
.
當(dāng)時(shí)，，，
所以.
綜上，的值是．
2010-2018年
1．B【解析】由題意知，因?yàn)?，所以?/p>
，得，由題意知，所以．故選B．
2．B【解析】．故選B．
3．C【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用三角函數(shù)可得，所以，．所以所在的圓弧是，故選C．
4．A【解析】由，兩邊平方得，所以，選A．
5．D【解析】由得，故選D．
6．D【解析】由，得，或，
，所以，故選D．
7．A【解析】．
8．D【解析】由，且為第四象限角，則，
則，故選D．
9．C【解析】知的終邊在第一象限或第三象限，此時(shí)與同號(hào)，
故，選C．
10．B【解析】由條件得，即，
得，又因?yàn)?，?/p>
所以，所以．
11．D【解析】=，，上式=．
12．A【解析】因?yàn)椋?/p>
所以，選A.
13．C【解析】由，可得，進(jìn)一步整理可得，解得或，
于是．
14．D【解析】由可得，
，，答案應(yīng)選D。
另解：由及可得
，
而當(dāng)時(shí)，結(jié)合選項(xiàng)即可得.答案應(yīng)選D．
15．B【解析】分子分母同除得：，
16．B【解析】由角的終邊在直線上可得，，
．
17．C【解析】
，而，，
因此，，
則．
18．A【解析】，且是第三象限，，
．
19．【解析】由得
又，所以
因?yàn)?，所?/p>
因?yàn)椋?/p>
20．【解析】與關(guān)于軸對(duì)稱，則
，
所以．
21．【解析】．
22．【解析】因?yàn)?，所?/p>
，因?yàn)闉榈谒南笙藿牵裕?/p>
所以，
所以，
所以．
23．【解析】由已知可得，
＝．
24．3【解析】．
25．1【解析】
．，所以的最大值為1．
26．【解析】,可得，
，=．
27．【解析】，則，又，
則，．
28．【解析】因?yàn)闉殇J角，cos(=,sin(=，
sin2(
cos2(，所以sin(．
29．【解析】(1)由角的終邊過(guò)點(diǎn)得，
所以．
(2)由角的終邊過(guò)點(diǎn)得，
由得．
由得，
所以或．
30．【解析】(1)因?yàn)?，，所以?/p>
因?yàn)?，所以?/p>
因此，．
(2)因?yàn)闉殇J角，所以．
又因?yàn)椋裕?/p>
因此．
因?yàn)?，所以?/p>
因此，．
31．【解析】（Ⅰ）．
（Ⅱ）
．
32．【解析】（1），
；
（2）
．
33．【解析】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，而為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，又得
所以，由，得，即
（2）由（1）得：因?yàn)椋糜?，所以因?/p>
34．【解析】（1）
（2）
所以，
因此
35．【解析】：（1）
所以，最小正周期
當(dāng)（），即（）時(shí)，
（2）因?yàn)?，所?/p>
因?yàn)椋?/p>
所以，即
36．【解析】（1）．
（2）
關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué)；教材；全導(dǎo)數(shù)
中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1671-489X（2013）12-0098-02
導(dǎo)數(shù)概念是微積分學(xué)中最重要的概念之一?，F(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中主要講述一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)等概念。全面、系統(tǒng)、準(zhǔn)確地理解并掌握導(dǎo)數(shù)概念是微積分學(xué)中最基本與最重要的教學(xué)目的之一。為了在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中能夠順利地完成與實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目的，基于對(duì)高等教學(xué)多年的教學(xué)實(shí)踐中教與學(xué)兩方面反映出的問(wèn)題的總結(jié)分析，筆者認(rèn)為現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中關(guān)于“全導(dǎo)數(shù)”概念的命名有值得商榷之處。
數(shù)學(xué)思維的突破點(diǎn)為數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也為學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，學(xué)習(xí)者的認(rèn)知過(guò)程會(huì)“重演”它的發(fā)展經(jīng)過(guò)。因此，就數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程而言，學(xué)生就會(huì)有一些問(wèn)題：“全導(dǎo)數(shù)”在什么樣的情況下提出來(lái)的？如何理解“趨近于”？想要弄清楚這些問(wèn)題，就要認(rèn)真研究數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，站在哲學(xué)的視角去認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)。通過(guò)這種方法不僅能夠幫助了解導(dǎo)數(shù)的概念，還能夠幫助構(gòu)建準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念。
回想導(dǎo)數(shù)概念的發(fā)展歷程，從中得知導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵要早于極限的內(nèi)涵，就像積分要早于微分一樣。大多數(shù)人都知道，于古時(shí)候的窮竭法里已有積分內(nèi)涵的萌芽，然而積分的內(nèi)涵與方法差不多是和近代力學(xué)一起出現(xiàn)并發(fā)展起來(lái)的，其也經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的醞釀。
同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編的《高等數(shù)學(xué)》（第四版）中關(guān)于“全導(dǎo)數(shù)”概念的表述為：將一元函數(shù)微分學(xué)中復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣到多元復(fù)合函數(shù)的情形。定理：如果函數(shù)u=j（t）及v=ψ（t）都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=?（u，v）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=?[j（t），ψ（t）]在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：
公式中的導(dǎo)數(shù)稱為“全導(dǎo)數(shù)”。用同樣方法，可把定理推廣到復(fù)合函數(shù)的中間變量多于兩個(gè)的情形[1]。目前國(guó)內(nèi)高校選用較多的一些新編高等數(shù)學(xué)教材中大都沿用這種表述[2]。
對(duì)于高等數(shù)學(xué)教材中導(dǎo)數(shù)概念的定義具有很多的爭(zhēng)議，很多人認(rèn)為微積分是將極限理論作為理論前提的，極限運(yùn)算為微積分運(yùn)算的一種方法，學(xué)生只有掌握好極限，才有可能將導(dǎo)數(shù)知識(shí)學(xué)好；然而也有一部分人認(rèn)為，極限理論的學(xué)習(xí)一直為微積分學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。
基于這種定義，明顯存在一些問(wèn)題。
1）與多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念相比較，這種“全導(dǎo)數(shù)”僅僅是針對(duì)多元函數(shù)中復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的一種特殊情形提出來(lái)的。就復(fù)合函數(shù)而言，復(fù)合過(guò)程比較復(fù)雜，有一元函數(shù)與多元函數(shù)、多元函數(shù)與多元函數(shù)，中間變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)以上等情形。而上述“全導(dǎo)數(shù)”定義中的復(fù)合函數(shù)只是一個(gè)自變量的函數(shù)，只不過(guò)同一層次的中間變量多于兩個(gè)，本質(zhì)上講這種復(fù)合函數(shù)仍然是一元函數(shù)。僅此原因就引出“全導(dǎo)數(shù)”概念，其理由是不充足的。
2）命名中“全”字的漢語(yǔ)意義中，有“全面、全部、全體”等含義，用來(lái)表述一種特殊情形下的導(dǎo)數(shù)，邏輯上直覺(jué)表現(xiàn)為“定義過(guò)寬”。這種“全導(dǎo)數(shù)”概念與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、全微分概念的邏輯關(guān)系難以界定[3]。
3）反映在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于學(xué)生理解有關(guān)導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、全微分等概念會(huì)形成障礙。
①由導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道函數(shù)變化率就是導(dǎo)數(shù)?；趯?dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，教材中一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)的定義都是建立在極限理論基礎(chǔ)之上，這些概念的一致性是顯然的，而所謂“全導(dǎo)數(shù)”概念并不具備這種一致性。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中總是自覺(jué)不自覺(jué)地把這些導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)，教師雖然可以對(duì)此做出解釋，卻陡增節(jié)外生枝之感。
②全微分概念是多元微積分學(xué)中又一重要概念，教材中重點(diǎn)討論偏導(dǎo)數(shù)與全微分之間的關(guān)系。由于所謂“全導(dǎo)數(shù)”概念的提出，教學(xué)過(guò)程中必須對(duì)其與全微分概念之間的關(guān)系加以解釋，以解學(xué)生想當(dāng)然地將全導(dǎo)數(shù)與全微分聯(lián)系之惑，否則對(duì)于順利理解全微分概念勢(shì)必形成干擾。
通常情況下，不可以用函數(shù)?（x）于x1的極限求出?（x1）。如果?（x）在x1連續(xù)，然而導(dǎo)函數(shù)卻不同，即使條件不強(qiáng)也能夠這樣做。定理：假設(shè)函數(shù)?（x）于區(qū)間[x1，x1+k]（k>0）里連續(xù)，并且當(dāng)x>x1時(shí)導(dǎo)數(shù)為有窮?（x）；如果?（x1+0）是存在的，那么導(dǎo)數(shù)?（x1+0）=導(dǎo)數(shù)?（x）。經(jīng)過(guò)證明發(fā)展，其具有兩方面的意義。
第一方面的意義：導(dǎo)函數(shù)于某點(diǎn)的單側(cè)極限存在，那么此點(diǎn)的同側(cè)導(dǎo)函數(shù)一定會(huì)存在；如果該左右極限均相同，極限就為此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。這表明導(dǎo)函數(shù)的極限能夠求解導(dǎo)數(shù)值。該種方法在點(diǎn)比較特殊的時(shí)候，導(dǎo)數(shù)很難求出來(lái)，然而采用導(dǎo)函數(shù)單側(cè)極限來(lái)求解就比較容易。
第二方面的意義：如果某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是存在的，那么導(dǎo)函數(shù)于此點(diǎn)的左右極限均在而且相同，這也說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)不可能存在跳躍間斷點(diǎn)。也可以說(shuō)，存在跳躍點(diǎn)的函數(shù)是不存在原函數(shù)的，也就是不可能為哪個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。這表明含有跳躍點(diǎn)的函數(shù)是不可能求出不定積分的。
綜上所述，究其原因是由于“全導(dǎo)數(shù)”概念的命名形成的。想要解決這個(gè)問(wèn)題可以采用兩種方法：第一種方法是重新命名高等數(shù)學(xué)教學(xué)中導(dǎo)數(shù)的概念；另一種方法就是不命名，仍叫其原來(lái)的名稱。作為教材中復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的內(nèi)容，如果將導(dǎo)數(shù)命名為“復(fù)合導(dǎo)數(shù)”，不足以表達(dá)所有復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，似為有些不妥。筆者認(rèn)為，聯(lián)系高等數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際，為了突出并順利地理解掌握一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、全微分等有關(guān)概念，本著教材編寫(xiě)中刪繁就簡(jiǎn)的原則，避免小題大做，只將其作為“鏈?zhǔn)椒▌t”中的一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式即可，不必做“全導(dǎo)數(shù)”的命名。
參考文獻(xiàn)
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)：下冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，1996：30.
【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；可積；原函數(shù)
【中圖分類號(hào)】O13
引 言
高等數(shù)學(xué)是所有數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，可以當(dāng)作整個(gè)數(shù)學(xué)的樹(shù)干.但是，大部分學(xué)生覺(jué)得此課程枯燥，難以理解，尤其是一些基本概念容易引起混淆.本文就高等數(shù)學(xué)中函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念進(jìn)行探討，希望給學(xué)生有益的啟示.
一、函數(shù)可積與原函數(shù)存在沒(méi)有必然的聯(lián)系
本節(jié)首先給出與函數(shù)可積及原函數(shù)存在這兩個(gè)概念相關(guān)的三個(gè)定理.
定理1 （Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上可積；
（Ⅱ）若有界函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則y=f（x）在[a，b]
上可積；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上可積.
定理2 若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上原函數(shù)存在.
定理3 （Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上含有第一類間斷點(diǎn)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上
不存在原函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有無(wú)窮間斷點(diǎn)，則y=f（x）在[a，b]
上不存在原函數(shù).
二、通過(guò)反例揭示函數(shù)可積與存在原函數(shù)兩者互不蘊(yùn)含
本節(jié)將通過(guò)反例揭示函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念互不蘊(yùn)含.
1.可積不一定存在原函數(shù)
2.存在原函數(shù)不一定可積
三、小 結(jié)
本文通過(guò)比較函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念，給出兩個(gè)經(jīng)典反例，揭示了二者互不蘊(yùn)含的關(guān)系.希望通過(guò)本文的探討，給學(xué)生有益的啟示，提升學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣.
【參考文獻(xiàn)】
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[2]汪林.數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題和反例[M].北京：高等教育出版社，2015.
【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；一致性；連續(xù)性；函數(shù)
一、高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性的基本概念
高等數(shù)學(xué)中的一致連續(xù)性是從函數(shù)連續(xù)的基本概念中派生出來(lái)的新釋義，它是指：存在一個(gè)微小變化的界限區(qū)間，如果函數(shù)定義域以內(nèi)的任意兩點(diǎn)間的距離永遠(yuǎn)不超過(guò)這個(gè)界限范圍，則這兩點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之差就能夠達(dá)到任意小、無(wú)限小，這就是所謂的函數(shù)一致連續(xù)性概念。一直以來(lái)，高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)的概念都是教學(xué)過(guò)程中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)之一，在多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，筆者深刻感受到學(xué)生在學(xué)習(xí)和掌握函數(shù)一致連續(xù)概念時(shí)的疑惑和困難。甚至有不少學(xué)生會(huì)有這樣的疑問(wèn)：函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的本質(zhì)區(qū)別究竟體現(xiàn)在哪里？
帶著上述問(wèn)題，我們對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性進(jìn)行研究和分析。函數(shù)的一致連續(xù)性是函數(shù)的一個(gè)重要的特征和性質(zhì)，它標(biāo)志著一個(gè)連續(xù)函數(shù)的變化速度有無(wú)“突變”現(xiàn)象，并對(duì)其連續(xù)性進(jìn)行歸納總結(jié)。函數(shù)一致連續(xù)性，要求函數(shù)在區(qū)間上的每一點(diǎn)都保持著連續(xù)的特點(diǎn)，不允許出現(xiàn)“突變”現(xiàn)象，同時(shí)還進(jìn)一步要求它在區(qū)間上所有點(diǎn)鄰近有大體上呈現(xiàn)均勻變化的趨勢(shì)。換句話說(shuō)，函數(shù)一致連續(xù)性的定義為：對(duì)于任給定的正數(shù)ε，要求存在一個(gè)與自變量x無(wú)關(guān)的正數(shù)δ，使對(duì)自變量在定義域區(qū)間內(nèi)的任意2個(gè)值x'和x"，只要二者的距離x'-x"＜δ，那么函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x'）-f（x"）＜ε。顯然，函數(shù)一致連續(xù)性的條件要比函數(shù)連續(xù)的條件強(qiáng)。在目前采用的高等數(shù)學(xué)的教材中，只是給出一致連續(xù)的基本定義，以及利用該定義證明函數(shù)f（x）在某區(qū)間上一致連續(xù)的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而呈現(xiàn)出了函數(shù)一致連續(xù)的完美邏輯結(jié)果。這種教學(xué)理念是很好的，但是，從實(shí)踐教學(xué)效果上看，又很不利于學(xué)生對(duì)定義的理解，尤其不利于學(xué)生對(duì)定義中提到的“δ”的理解，因此筆者建議教學(xué)工作者將函數(shù)一致連續(xù)性概念中所隱含的知識(shí)逐步解釋清楚，以此來(lái)幫助廣大學(xué)生更快更好地充分理解一致連續(xù)的概念和意義。高等數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的基本定義為：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)ε＞0，對(duì)于每一點(diǎn)x∈I，都存在相應(yīng)δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)。該定義說(shuō)明了函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)的基本特征。函數(shù)一致連續(xù)的基本概念是：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)ε＞0，存在δ（＞0），使得對(duì)任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。要特別注意的是，連續(xù)概念中δ與一致連續(xù)概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定義，才能避免混淆概念。為了幫助大家更好地理解函數(shù)一致連續(xù)性概念，現(xiàn)將函數(shù)函數(shù)不一致連續(xù)的概念進(jìn)行一下描述：存在某個(gè)ε0，無(wú)論δ 是怎么樣小的正數(shù)，在I上總有兩點(diǎn)x' 和x"，雖然滿足x'-x" ＜0，卻有f（x'）-f（x"）＞ε。這就是函數(shù)不一致連續(xù)的概念，理解和學(xué)習(xí)函數(shù)不一致連續(xù)的相關(guān)知識(shí)，有利于我們更好地學(xué)習(xí)和研究函數(shù)一致連續(xù)性問(wèn)題。
二、高等數(shù)學(xué)引入一致性連續(xù)性的意義和價(jià)值
高等數(shù)學(xué)教材中涉及了較多的理論和概念，比如函數(shù)的連續(xù)性與一直連續(xù)性，以及函數(shù)列的收斂性與一致收斂性等，都是初學(xué)者很容易混淆的相近概念，因而也成為了高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。在工程數(shù)學(xué)中，這些概念非常重要，筆者認(rèn)為，搞清楚和弄明白函數(shù)的一致連續(xù)的基本概念，以及掌握判斷函數(shù)是否具有一致連續(xù)特性的基本方法，無(wú)疑都將是理工科學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)性理論知識(shí)的核心環(huán)節(jié)，也是日后成熟運(yùn)用該數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)和前提。通過(guò)學(xué)習(xí)和比較，我們能夠得出一個(gè)很明顯的結(jié)論：一致連續(xù)要比連續(xù)條件強(qiáng)。高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)是一個(gè)很重要的概念，在微積分學(xué)以及其他工程學(xué)科中常常會(huì)用到一致連續(xù)的知識(shí)，而且函數(shù)列的一致連續(xù)性和一致收斂又有著密切的相互關(guān)系。實(shí)際上，我們?cè)谶M(jìn)行函數(shù)列的收斂問(wèn)題研究時(shí)，常常要用到函數(shù)列與函數(shù)之間的收斂、一致連續(xù)性、一致收斂等概念及其關(guān)系。函數(shù)一致連續(xù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題，證明某一個(gè)函數(shù)是否具有一致連續(xù)性是其中的瓶頸問(wèn)題，這讓很多理工科同學(xué)感到無(wú)從下手。為了解決這一難點(diǎn)，達(dá)到化抽象為簡(jiǎn)單的教學(xué)目的，筆者建議給出一致連續(xù)性的幾種常見(jiàn)等價(jià)形式，能夠很好地幫助學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)更易于理解和掌握函數(shù)一致連續(xù)性這一知識(shí)要點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)一致連續(xù)性、函數(shù)列一致有界性、函數(shù)列一致收斂性等“一致性”概念是學(xué)習(xí)上的難點(diǎn)，也是教學(xué)大綱中的重點(diǎn)。因此，牢固掌握這些概念及與之有關(guān)的理論知識(shí)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力都有著重要的意義。
函數(shù)一致連續(xù)的幾何意義非常非常重要。數(shù)學(xué)分析抽象而且復(fù)雜難懂，這門(mén)學(xué)科本身就有著極強(qiáng)的邏輯思維和嚴(yán)密特征，主要體現(xiàn)在它能夠采用最簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)準(zhǔn)確表述其他語(yǔ)言無(wú)法量化的復(fù)雜多變的事物發(fā)展過(guò)程。換言之，其作用在于，能夠量化抽象事物的動(dòng)態(tài)發(fā)展過(guò)程。其幾何意義將在高等數(shù)學(xué)課程入門(mén)中起到一個(gè)有利引導(dǎo)作用，清晰明朗地向?qū)W生展示高等數(shù)學(xué)中最基本的思想方法和思維方式，幫助學(xué)生理解抽象概念，提高學(xué)生培養(yǎng)自身的創(chuàng)新思維能力。另外，探討函數(shù)一致連續(xù)和一致收斂的關(guān)系，同時(shí)在有界區(qū)間上給出一致連續(xù)和一致收斂的等價(jià)關(guān)系，有利于學(xué)生在今后研究連續(xù)、收斂問(wèn)題中擁有更多的參考依據(jù)。
三、解決高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問(wèn)題的對(duì)策
1.一元函數(shù)在有限區(qū)間上的一致連續(xù)性
由于用函數(shù)一致連續(xù)的定義判定函數(shù) 是否一致連續(xù)，往往比較困難。于是，產(chǎn)生了一些以G.康托定理為基礎(chǔ)的較簡(jiǎn)單的判別法。
定理1 若函數(shù) 在 上連續(xù)，則 在 上一致連續(xù)。
這個(gè)定理的證明方法很多，在華東師大版數(shù)學(xué)分析上冊(cè)中，運(yùn)用了有限覆蓋定理和致密性定理來(lái)分別證明，本文選用閉區(qū)間套定理來(lái)證明。
分析：由函數(shù)一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)知，要證 在 上一致連續(xù)，即是要證對(duì) ，可以分區(qū)間 成有限多個(gè)小區(qū)間，使得 在每一小區(qū)間上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值之差都小于 。
證明：若上述事實(shí)不成立，則至少存在一個(gè) ，使得區(qū)間 不能按上述要求分成有限多個(gè)小區(qū)間。將 二等分為 、 則二者之中至少有一個(gè)不能按上述要求分為有限多個(gè)小區(qū)間，記為 ；再將 二等分為 、 依同樣的方法取定其一，記為 ；......如此繼續(xù)下去，就得到一個(gè)閉區(qū)間套 ，n=1，2，…，由閉區(qū)間套定理知，存在唯一一點(diǎn)c滿足
（2-13）
且屬于所有這些閉區(qū)間，所以 ，從而 在點(diǎn) 連續(xù)，于是 ，當(dāng)時(shí)，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，于是我們可取充分大的k，使 ，從而對(duì)于 上任意點(diǎn) ，都有 。因此，對(duì)于 上的任意兩點(diǎn) ，由（2-14）都有 。（2-15）
這表明 能按要求那樣分為有限多個(gè)小區(qū)間，這和區(qū)間 的取法矛盾，從而得證。定理1對(duì)開(kāi)區(qū)間不成立。阻礙由區(qū)間連續(xù)性轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性有兩種情況：（1）對(duì)于有限開(kāi)區(qū)間，這時(shí)端點(diǎn)可能成為破壞一致連續(xù)性的點(diǎn)；（2）對(duì)于無(wú)限區(qū)間，這時(shí)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處也可能破壞一致連續(xù)性。
定理2函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)，且 與 都存在。
證明：若 在 內(nèi)一致連續(xù)，則對(duì) ，當(dāng) 時(shí)，有
，（2-16）
于是當(dāng) 時(shí)，有
。（2-17）
根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，極限 存在，同理可證極限 也存在，從而 在 連續(xù)， 與 都存在。
若 在 連續(xù)，且 和 都存在，則
令（2-18）
于是有 在閉區(qū)間 上連續(xù)，由Contor定理， 在 上一致連續(xù)，從而 在 內(nèi)一致連續(xù)。
根據(jù)定理2容易得以下推論：
推論1 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。
推論2 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。
當(dāng) 是無(wú)限區(qū)間時(shí)，條件是充分不必要的。
2.一元函數(shù)在無(wú)限區(qū)間上的一致連續(xù)性
定理3 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 都存在。
證明：（1）先證 在 上一致連續(xù)。
令 ，由柯西收斂準(zhǔn)則有對(duì) 使對(duì) ，有
。 （2-19）
現(xiàn)將 分為兩個(gè)重疊區(qū)間 和 ，因?yàn)?在 上一致連續(xù)，從而對(duì)上述 ，使 ，且 時(shí)，有
。 （2-20）
對(duì)上述 ，取 ，則 ，且 ，都有
。 （2-21）
所以函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。
（2）同理可證函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。
由（1）、（2）可得 在 內(nèi)一致連續(xù)。
若將 分為 和 ，則當(dāng) 與 分別在兩個(gè)區(qū)間時(shí)，即使有 ，卻不能馬上得出 的結(jié)論。
由定理3還容易得出以下推論：
推論3 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。
推論4 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。
推論5 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。
推論6 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞：函數(shù)的極限 高職數(shù)學(xué) 教學(xué)
極限概念是微積分學(xué)最基本的概念之一，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等的定義都建立在極限概念的基礎(chǔ)上。極限的思想和方法貫穿在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的始終，是人們研究許多問(wèn)題的工具，是從學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)順利過(guò)渡到學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所必須牢固掌握的內(nèi)容。正確理解和掌握極限的概念和極限的思想方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。對(duì)高職學(xué)生來(lái)說(shuō)，這一部分內(nèi)容也是較難掌握的。若極限學(xué)得不扎實(shí)，必然會(huì)影響到整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，因此準(zhǔn)確地掌握極限概念，對(duì)于進(jìn)一步研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)、積分等具有非常重要的意義。筆者在高職數(shù)學(xué)函數(shù)和極限一章教學(xué)實(shí)踐中做了如下思考和探索。
一、做好與初等數(shù)學(xué)的銜接
初等數(shù)學(xué)研究對(duì)象基本上是不變量，而高等數(shù)學(xué)的微積分以函數(shù)、變量為主要研究對(duì)象。初等函數(shù)是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)課本采用新課程標(biāo)準(zhǔn)，函數(shù)的有些內(nèi)容被刪去了，如反函數(shù)、三角函數(shù)中的余切、正割、余割及反三角函數(shù)。這些知識(shí)在高等數(shù)學(xué)中是必要的，因此在教學(xué)中筆者加入了這些知識(shí)的講授。
大多數(shù)高職學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握并不牢固，所以筆者在教學(xué)中重視復(fù)習(xí)函數(shù)概念、基本初等函數(shù)及其性質(zhì)，及時(shí)復(fù)習(xí)求函數(shù)極限中用到的數(shù)學(xué)公式、方法，如根式的有理化、因式分解、三角恒等變換常用公式等，為后續(xù)的極限教學(xué)做好鋪墊。
二、創(chuàng)設(shè)情境引入極限概念
學(xué)生由初等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)方法、思維習(xí)慣、認(rèn)知理解上會(huì)出現(xiàn)諸多不適應(yīng)。因此，筆者在引入極限概念時(shí)，利用AutoCAD軟件繪制正多邊形的功能來(lái)演示隨著圓內(nèi)（外）接正多邊形邊數(shù)的不斷增加，正多邊形會(huì)越來(lái)越接近圓這一動(dòng)態(tài)效果，使學(xué)生在具體情境中體會(huì)到這種無(wú)限的過(guò)程，使學(xué)生能夠深刻地理解極限思想的內(nèi)涵。讓學(xué)生體會(huì)從“量變”到“質(zhì)變”，從而真正理解極限這個(gè)概念。在教學(xué)上，我們用多媒體課件動(dòng)態(tài)展示有關(guān)函數(shù)的圖形，幫助學(xué)生理解和觀察函數(shù)的左右逼近值，從而建立左右極限的概念。通過(guò)實(shí)踐“情境—問(wèn)題—探究”這一教學(xué)方式，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步體會(huì)常量與變量、有限與無(wú)限、近似與準(zhǔn)確、動(dòng)與靜，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。學(xué)生只有真正掌握了“極限”的動(dòng)態(tài)實(shí)質(zhì)，才能更好地理解和掌握導(dǎo)數(shù)和積分的概念。
三、精講極限概念中的關(guān)鍵詞
刻畫(huà)極限的語(yǔ)言高度概括抽象，復(fù)雜又邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)密。高職學(xué)生難以理解和接受。所以高職數(shù)學(xué)無(wú)需講解極限的定義，采用極限的描述性定義更符合高職學(xué)生的實(shí)際。在極限的描述性定義中有兩個(gè)關(guān)鍵詞，“無(wú)限接近”的含義就是“要多接近就有多接近”，“定義”就是對(duì)“要多接近就有多接近”的定量化。筆者在教學(xué)中利用多媒體課件展示函數(shù)動(dòng)態(tài)圖形，分析一些典型變化趨勢(shì)，通過(guò)比較數(shù)值的變化及函數(shù)圖形解釋“要多接近就有多接近”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探討自變量x“無(wú)限接近”x0的各種不同形式，使學(xué)生在圖形上對(duì)“無(wú)限接近”這種“動(dòng)態(tài)”變化有一較清晰的認(rèn)識(shí)，從而強(qiáng)化對(duì)極限概念的理解。
四、針對(duì)學(xué)生易犯的錯(cuò)誤重點(diǎn)講解
學(xué)生在高中階段已初步學(xué)習(xí)過(guò)極限概念，但缺乏深入的理解，特別是對(duì)“無(wú)窮小”和“無(wú)窮大”更感難以理解。例如對(duì)“無(wú)窮大”的概念，很多學(xué)生認(rèn)為它是一個(gè)無(wú)限大的常數(shù)，思想還停留在常量數(shù)學(xué)階段，而缺乏運(yùn)動(dòng)和變化的思想；相應(yīng)地，將無(wú)限小的數(shù)就理解為“無(wú)窮小”。這樣學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)把“無(wú)窮小”和“無(wú)窮大”當(dāng)成一個(gè)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，極限的四則運(yùn)算法則成立的前提是兩個(gè)函數(shù)的極限都存在，部分學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)而造成錯(cuò)誤。學(xué)生還經(jīng)常忽視自變量的變化趨勢(shì)對(duì)函數(shù)極限的影響，分段函數(shù)在分界點(diǎn)的連續(xù)性是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)為什么要計(jì)算左右極限感到不解。分析其原因，問(wèn)題往往出在對(duì)極限概念的理解上，對(duì)自變量的變化趨勢(shì)的理解不夠。對(duì)此，糾正以上錯(cuò)誤對(duì)具體求函數(shù)極限的習(xí)題也會(huì)有很大幫助。
五、及時(shí)總結(jié)求極限的各種方法
學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)極限這一章內(nèi)容感覺(jué)較難的原因還在于極限的求法眾多，且靈活性強(qiáng)，不是每一種方法都適用于求任意函數(shù)的極限，面對(duì)各種題型學(xué)生往往束手無(wú)策。因此，在教學(xué)中我們很有必要對(duì)函數(shù)極限的各種求法加以歸納總結(jié)分類。在本章教學(xué)結(jié)束時(shí)，筆者針對(duì)求極限的各種方法集中上一次習(xí)題課，詳細(xì)總結(jié)各種求極限的方法，取得了較好的效果。
關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 初等數(shù)學(xué) 教材內(nèi)容 比對(duì) 銜接
中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
Comparison between the Content of Higher
Mathematics and Elementary Mathematics
DU Huijuan
(School of Software, East China Normal University, Shanghai 200062)
Abstract Effective convergence of higher mathematics and elementary mathematics teaching materials, is one of the key issues to effectively improve the quality of teaching of higher mathematics courses learning. Content and teaching requirements of the higher mathematics and elementary mathematics textbooks "function and limit", "derivative and differential", and gives some suggestions to solve these problems.
Key words higher mathematics; elementary mathematics; teaching materials; comparison
經(jīng)過(guò)調(diào)研了解到，2003年3月教育部頒發(fā)的《普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》出臺(tái)之后，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個(gè)重要的特點(diǎn)是新教材進(jìn)一步加強(qiáng)了高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系，高中教材中安排了大學(xué)數(shù)學(xué)課程里的一些基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)和思維方法。試圖從教學(xué)內(nèi)容方面解決高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接問(wèn)題。但是，大學(xué)數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的銜接上還存在不少問(wèn)題。這些問(wèn)題影響了大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，對(duì)大學(xué)新生盡快適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成了障礙。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的有效銜接亟待解決。
1 “函數(shù)與極限”的銜接
函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，高考要求較高，學(xué)生掌握也比較牢固。高等數(shù)學(xué)教材中的這部分內(nèi)容基本相同，但內(nèi)涵更豐富，難度也提高了。
（1）函數(shù)概念：在原有內(nèi)容中，增加了幾個(gè)在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的實(shí)例，如取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、黎曼函數(shù)、符號(hào)函數(shù)等。因此，在學(xué)習(xí)中，函數(shù)概念部分可以簡(jiǎn)略，重點(diǎn)學(xué)習(xí)這幾個(gè)特殊函數(shù)即可。
（2）初等函數(shù)：反三角函數(shù)要求提高，新增加了“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”等內(nèi)容。反三角函數(shù)的概念在高中已學(xué)過(guò)，但高中對(duì)此內(nèi)容要求較低，只要求學(xué)生會(huì)用反三角函數(shù)表示“非特殊角”即可。而高等函數(shù)中要求較高，此處在學(xué)習(xí)中應(yīng)補(bǔ)充有關(guān)內(nèi)容：在復(fù)習(xí)概念的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生熟悉其圖像和性質(zhì)，以達(dá)到靈活應(yīng)用的目的。新增加的“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到，故應(yīng)特別注意。
（3）函數(shù)極限：“數(shù)列極限的定義”，高中教材用的是描述性定義，而高等數(shù)學(xué)重用的是“”定義，此處是學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中遇到的第一個(gè)比較難理解的概念，因此在教學(xué)中應(yīng)注意加強(qiáng)引導(dǎo)，避免影響函數(shù)極限后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。新增內(nèi)容“收斂數(shù)列的性質(zhì)”雖是新增內(nèi)容，但比較容易理解和掌握，教學(xué)正常安排即可?！皹O限四則運(yùn)算”處增加了“兩個(gè)重要極限”，要加強(qiáng)有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。
2 “導(dǎo)數(shù)與微分” 的銜接
高中新教材中的一元函數(shù)微積分的部分內(nèi)容，是根據(jù)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)需要所添加，目的是加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，讓中學(xué)生初步了解微積分的思想。
（1）導(dǎo)數(shù)的定義：高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)教材中，這一內(nèi)容是相同的，不同的是學(xué)習(xí)要求。高中數(shù)學(xué)要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（例如瞬時(shí)速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。也就是說(shuō)，盡管極限與導(dǎo)數(shù)在高中已經(jīng)學(xué)過(guò)，但主要是介紹概念和求法,對(duì)概念的深入理解不作要求。到了大學(xué)，概念上似懂非懂、不會(huì)靈活運(yùn)用，成了夾生飯。但高等數(shù)學(xué)要求學(xué)生掌握并熟練應(yīng)用，這是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，在此處應(yīng)用舉例增加了利用“兩個(gè)重要極限”解題的例題，在教學(xué)中應(yīng)給與足夠的重視。
（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：高中新課標(biāo)教材要求較低：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn)考察利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合能力。
高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對(duì)這部分內(nèi)容要求：掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法；掌握初等函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法，會(huì)求分段函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)；了解微分的概念與四則運(yùn)算。
建議：高中學(xué)過(guò)的僅僅是該內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此需重新學(xué)習(xí)已學(xué)過(guò)的內(nèi)容，為本節(jié)后面更深更難的內(nèi)容打好基礎(chǔ)。
（3）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：高中新教材中僅是借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并通過(guò)實(shí)際的背景和具體應(yīng)用事例引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由函數(shù)增長(zhǎng)到函數(shù)減少的過(guò)程，使學(xué)生了解函數(shù)的單調(diào)性，極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，要求結(jié)合函數(shù)圖像，知道函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性；通過(guò)使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。
高等數(shù)學(xué)對(duì)這部分內(nèi)容的處理是：先介紹三個(gè)微分中值定理、洛必達(dá)法則、泰勒公式，然后嚴(yán)格證明函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性，給出函數(shù)的極值、最值的嚴(yán)格定義，及函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件。在此基礎(chǔ)上，討論求最大最小值的應(yīng)用問(wèn)題，以及用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形的方法步驟。
建議：由以上分析比較可知，高中數(shù)學(xué)所涉及的一元微分學(xué)雖然內(nèi)容差別不大，但內(nèi)容體系框架有很大差異，高等數(shù)學(xué)知識(shí)更系統(tǒng)，邏輯更嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)習(xí)要求上，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及簡(jiǎn)單函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)極值都是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求的重點(diǎn)，是重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練的知識(shí)點(diǎn)。而在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中建議一點(diǎn)而過(guò)，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在用微分中值定理證明函數(shù)單調(diào)性的判定定理、函數(shù)極值點(diǎn)的第一、二充分條件定理以及曲線的凹凸性、拐點(diǎn)等內(nèi)容上。
以上主要分析比較了高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重復(fù)知識(shí)點(diǎn)。除此之外，二者之間以及高等數(shù)學(xué)與后繼課程之間還存在著知識(shí)“斷裂帶”。
3 高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)的“斷裂帶”
高考對(duì)平面解析幾何中的極坐標(biāo)內(nèi)容不做要求，鑒于此這部分知識(shí)在高中大多是不講的；而在大學(xué)教材中，極坐標(biāo)知識(shí)是作為已知知識(shí)直接應(yīng)用的，如在一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用中求曲率，以及定積分的應(yīng)用中求平面圖形的面積等。建議在相應(yīng)的地方補(bǔ)充講解極坐標(biāo)知識(shí)。
初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)除了在教材內(nèi)容上的銜接外，在學(xué)習(xí)思想和方法等方面的銜接也都是值得研究的課題。學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，不能很好地銜接，教師在教學(xué)中要注意放慢速度，幫助學(xué)生熟悉高等數(shù)學(xué)教與學(xué)的方法，搞好接軌。首先要正確處理新與舊的關(guān)系，在備課時(shí)，了解中學(xué)有關(guān)知識(shí)的地位與作用及與高等數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的密切聯(lián)系，對(duì)教材做恰當(dāng)?shù)奶幚?；上課時(shí)教師要經(jīng)常注意聯(lián)舊引新，運(yùn)用類比，使學(xué)生在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上獲得新知識(shí)。
總之，努力探索搞好初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)銜接問(wèn)題，是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。
參考文獻(xiàn)
