時間：2023-11-16 10:36:04
序論：在您撰寫數(shù)學(xué)中的反證法時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
1 可以應(yīng)用反證法的幾類問題
1.1 某些具有唯一性的命題
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，唯一性的問題比較常見，也是很平凡的一類數(shù)學(xué)問題，而要對于這些唯一性的命題加以論證，用我們常用的直接推理方法是很難證明的，也是不能直觀啟示我們解決這種問題，通過圖形的啟發(fā)，有利于得到證題的途徑，那么解決這類問題最好的方法就是采用反證法，能夠簡便的證明唯一性的命題。
由此來看，在應(yīng)用直接證明法證明問題時，要盡可能畫出準(zhǔn)確圖形，這樣可以通過圖形的直觀啟示，有利于找到證明的途徑，而反證法卻恰好不同，它往往為了清楚地說明問題，常常需要畫出某些不準(zhǔn)確的圖形，甚至不存在的圖形，從而進(jìn)行歸謬證明，這就是反證法的基本特征之一。
1.2 結(jié)論為“不是”“不等”“不平行”或“必是”“必過”等否定或肯定的命題
在結(jié)論給予的是否定或肯定的命題時，通常采用直接法是很難得出證明途徑的，就算能夠經(jīng)過分析法、綜合法多種方法的合用能夠加以證明，但證明過程相當(dāng)復(fù)雜，而且難度很大，此時，我們通常采用“反證法”。
1.3 某些結(jié)論以“至多”“至少”等形式出現(xiàn)的命題
像“至多”或“至少”這樣的問題，通常可以從相反的意義“至少”或“最多”來考慮問題，那么這類問題就簡單多了。
1.4 用反證法證明“無限”類的命題
有些命題要證明結(jié)論中涉及“無限”的形式，如：要證明具有某種性質(zhì)的元素有無窮多個，一般來說不容易直接證明的，而“無限”的反面是“有限”，以“有限”為前提進(jìn)行推理論證就要方便多了。
綜述，以上四種類型的問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用反證法最基本、最典型的幾類問題。
2 反證法中怎樣推出矛盾
2.1 與“反設(shè)”矛盾
例如：如圖2-1所示，已知在ABC中，BEAC于點(diǎn)E，CFAB于點(diǎn)F，求證：AB=AC
證明：假設(shè)AB≠AC，若AB>AC，
SABC= AB?CF，
SABC=AC?BE，BE=CF，
AB?CF>AC?BE
即：SABC>SABC，這是個矛盾，
若AB
假設(shè)不成立，即：AB=AC
2.2 與“已知條件”矛盾
例如：如圖2-2所示，在四邊形ABCD中，AB+DB≤AC+CD，
求證：AB
證明：假設(shè)AB=AC，則在ABC中，
∠ACB=∠CBA，
但∠BCD>∠ACB，
∠BCD>∠CBD，
BD>CD，
BD+AB>CD+AC
這與已知條件AB+DB≤AC+CD相矛盾，
若AB>AC，在ABC中∠ACB>∠CBA，
又∠BCD>∠ACB
∠BCD>∠CBA 而∠CBA>∠CBD，
∠BCD>∠CBD BD>CD
AB+BD>AC+CD
與已知條件AB+DB≤AC+CD相矛盾
綜述，AB≠AC，AB≯AC，AB
2.3 導(dǎo)致自相矛盾
例如：求證：方程8x+15y=50沒有正整數(shù)解
證明：假設(shè)方程8x+15y=50有正整數(shù)解，x=x0，y=y0
則：8x0+15y0=50
8x0=50-15y0=5（10-3y0）5是8x0的約數(shù)，
因此，5是x0的約數(shù)，x0≥5
又8x0=50-15y0，y0是正整數(shù)，y0≥1，
8x0≤50-15=35
x0≤35/8 這與前面推出的x0≥5相矛盾，
故，方程8x+15y=50沒有正整數(shù)解
2.4 推出與已知的定義、定理、公理、性質(zhì)矛盾
例如：已知點(diǎn)A、B、C、D是平面內(nèi)4個點(diǎn)，其中任意兩個點(diǎn)不在同一條直線上，求證：總能在其中選出三個點(diǎn)，使其三點(diǎn)組成的三角形至少有一個不大于45°。
證明：假設(shè)在點(diǎn)A、B、C、D中任三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的所有內(nèi)角都大于45°，可分兩種情況：
⑴ 若點(diǎn)A、B、C、D成凸四邊形（如圖右）則假設(shè)∠ABD、∠CBD、∠BAC、∠DAC、∠ADB、∠CDB、∠ACB、∠ACD都大于45°，
則：∠ABD+∠CBD+∠BAC+∠DAC+∠ADB+∠CDB+∠ACB+∠ACD>8×45°=360°，
即∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC>360°，
這與四邊形的內(nèi)角和為360°矛盾。
⑵ 若點(diǎn)A、B、C、D成凹四邊形（如圖2-4-2），連結(jié)AC、BD，假設(shè)∠ABD、∠ABC、∠ACB、∠ACD、∠ADC、∠ADB都大于45°，
則∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC+∠ADB>6×45°=270°，
即：∠DBC+∠BCD+∠CDB=270°
這與三角形的內(nèi)角和為180°矛盾，
由⑴、⑵可知，命題得證。
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，反證法中的矛盾大致由以上四種矛盾靈活組成，只要推出矛盾存在，則假設(shè)不成立。推出矛盾是反證法中的關(guān)鍵步驟，也是反證法中的必要步驟，通過矛盾來肯定結(jié)論。
3 總結(jié)中心論點(diǎn)及其反證法的錯誤使用和結(jié)果
反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的證明方法之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中占有較高的地位，應(yīng)用及其廣泛，靈活運(yùn)用反證法能夠有效地解決某些數(shù)學(xué)問題，這就要求我們學(xué)會正確使用反證法，把反證法在數(shù)學(xué)中運(yùn)用得靈活多變、自如。
何 昊
（江蘇省南京市第十三中學(xué)鎖金分校）
摘 要：系統(tǒng)地介紹了理論基礎(chǔ)，對反證法的邏輯形式，唯一的負(fù)命題，命題，肯定命題三用反證法適用的命題類型進(jìn)行了詳細(xì)討論。
關(guān)鍵詞：反證法；否定性；唯一性
在數(shù)學(xué)的諸多方法中，反證法是一種重要的證明方法，尤其在數(shù)學(xué)證明中，它是一種間接的證據(jù)，被稱為“一個最先進(jìn)的武器”的數(shù)學(xué)家.反證法經(jīng)常被用來證明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命題.用反證法證明命題成立的基本步驟可以簡單地概括為“否定―推理―反駁―肯定”四個步驟.一個數(shù)學(xué)問題的解決方案，如果你覺得不足或沒有啟動的“條件”，不妨考慮反證法的使用.反證法的應(yīng)用范圍很廣，比如代數(shù)、數(shù)論、幾何、組合等方面的應(yīng)用.
一、反證法的概念及類型
反謂反證法，就是在要證明“若A則B”時，可以先將結(jié)論B予以否定，記作，然后從A與出發(fā)，經(jīng)正確的邏輯推理而得到矛盾，從而原命題得證.
反證法大致可分為以下兩種類型：
歸謬法：論題結(jié)論的反面只有一種情況，只要把這種情況就達(dá)到了目的.
窮舉法：論題結(jié)論的反面不止一種情況，要一一駁倒，最后才能肯定原命題結(jié)論正確.
二、反證法常用于以下幾種命題的證明
1.存在性命題
例1：證明A，B，C，D，E五數(shù)之和等于5，則其中必有一個不小于1.
分析：這個問題似乎很簡單，但直接的證明是不容易的.因此，應(yīng)用反證法，它可以很容易地證明.
證明：假設(shè)A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+E
所以5個數(shù)都小于1不成立，故必有一個數(shù)不小于1，即原命題是正確的.
2.否定性命題
例2：設(shè)平面上有六個圓，每個圓的圓心都在其余各圓的外部.試證明：平面上任一點(diǎn)都不會同時在這六個圓的內(nèi)部.
分析：直接證明某點(diǎn)在哪些圓的內(nèi)部，在哪些圓的外部，有些困難，故最好用反證法來證明.
證明：假設(shè)平面內(nèi)有一點(diǎn)M同時在這六個圓的內(nèi)部，為了方便，我們把繞M的六個圓心從某個開始按順時針方向分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，連結(jié)MA，MB，MC，MD，ME，MF.
考慮AMB，M在A內(nèi)，B在A外，所以有AB>AM，同理，AB>BM，即在AMB中，AB大于其他兩邊.
由“大邊對大角”知，∠AMB>∠ABM.同理，∠AMB>∠BAM.
所以，3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，
所以∠AMB>60°.
同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.
所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.
但是，很顯然，這個角圍成了一個周角，它們的和不可能大于360°，出現(xiàn)矛盾.
故而假設(shè)不正確，所以原命題成立.
3.唯一性命題
例3：求證方程x=sinx+a（a為常數(shù)）的解唯一.
分析：直接解或證明是非常困難的，作為唯一的命題往往采用反證法證明.
所以原方程的解是唯一的.
從上面的例子中，我們可以看到，最大的優(yōu)勢是反證法――超過一個或幾個條件，從相反的結(jié)論來看，與一些已知的條件下，原出口的沖突，從而達(dá)到負(fù)的假設(shè)、肯定原命題的目的.從上面，我們應(yīng)該充分利用反證法，必須正確把握靈活運(yùn)用“反設(shè)”“歸謬”這兩個反證步驟.反設(shè)是反證法的第一步，能否正確否定結(jié)論，對論證的正確性有著直接的影響.
反證法是很巧妙的，它的應(yīng)用是很廣泛的，但究竟怎樣的命題證明才適于用反證法，卻很難回答，這是一個經(jīng)驗(yàn)問題.
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 反證法 使用條件
在生活中，我們都有這樣的常識，去掉大米中的砂粒，有兩種方法.一種是直接從大米中把砂粒一粒一粒地揀出來；一種是用間接的方法――淘洗法，把砂粒殘留下來.這兩種方法雖然形式不同，但結(jié)果卻是一樣的，都能達(dá)到去掉砂粒的目的.有時用直接方法很困難，而用間接方法卻容易得多.牛頓曾說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”當(dāng)一些命題不易從正面直接證明時，就可考慮用反證法.
一、反證法的基本概念
1.反證法的定義
法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪對反證法的實(shí)質(zhì)做了如下概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾.”這是對反證法的極好概括.其實(shí)反證法也稱作歸謬法。反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較簡單的題目，在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較為廣泛，在解決一些較難問題的時候，反證法能體現(xiàn)其優(yōu)越性.
2.反證法的基本思想
反證法的基本思想就是否定之否定，這種基本思想可以用下面的公式表示：
“否定推理矛盾肯定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定.
3.反證法的邏輯依據(jù)
通過以上三個步驟，為什么能肯定原命題正確呢？其邏輯根據(jù)就在于形成邏輯的兩個基本規(guī)律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”.反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假.再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真.所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的.
二、反證法的步驟
用反證法證題一般分為三個步驟：
1.反設(shè).假設(shè)原命題的結(jié)論不成立；
2.歸謬.從這個結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；
3.結(jié)論.由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論正確.
即：否定結(jié)論推導(dǎo)出矛盾結(jié)論成立.
三、反證法的種類
1.歸謬反證.結(jié)論的反面只有一種情形，只要把它駁倒，就能達(dá)到證題目的.
2.窮舉反證.結(jié)論的反面不止一種情形，必須將它們逐一駁倒，才能達(dá)到證題目的.
四、反證法的典型例題
例1：已知：AB，CD是圓內(nèi)非直徑的倆弦（如圖），求證：AB與CD不能互相平分.
證明：假設(shè)AB與CD互相平分與點(diǎn)M，則由已知條件AB，CD均非圓O直徑，可以判定M不是圓心O，聯(lián)結(jié)OA，OB，OM.
因?yàn)镺A=OB，M是AB中點(diǎn)，所以O(shè)MAB（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊）.同理可得：OMCD，從而過點(diǎn)M有兩條直線AB，CD都垂直于OM.這與已知的定理相矛盾.故AB與CD不能互相平分.
五、反證法的使用條件
任何方法都有它成立的條件，也都有它適用的范圍.離開了條件超越了范圍就會犯錯誤，同樣，問題解決也就沒有那么容易.因此，我們應(yīng)該學(xué)會正確使用反證法解題.
雖然用反證法證明，邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)而清晰，論證自然流暢，可謂是干凈利落，快速而可行，是一種很積極的證明方法，而且用反證法證題還有很多優(yōu)點(diǎn)：如思想選擇的余地大、推理方便等.但是并不是什么題目都適合用反證法解決.
例2：如果對任何正數(shù)p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個根是正實(shí)數(shù)，則系數(shù)a=0，試證之.
分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實(shí)第三步，即肯定原結(jié)論成立的論證錯了.因?yàn)椋绢}的題設(shè)條件為對任意正數(shù)p，y=0有兩個正實(shí)數(shù)根，結(jié)論是a=0，但本題的題設(shè)條件與結(jié)論是矛盾的；當(dāng)a=0時，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時，對于任何正數(shù)p，它只有一個根；在b=0時，僅當(dāng)p=-c>0的條件下，它有無數(shù)個根，否則無根，但總之不會有兩個根.題設(shè)條件和結(jié)論矛盾.因此，本題不能反證法來處理.若原題改為“如果對于任何正數(shù)p，只存在正實(shí)根，則系數(shù)a=0”，就能用反證法證明.
因此，對于下列命題，較適用反證法解決.
（1）至多至少型命題；（2）唯一性命題；（3）否定型命題；（4）明顯型命題；（5）此前無定理可以引用的命題.
例3：設(shè)a，b都是正數(shù)，求證：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.
證明：反設(shè)ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有l(wèi)n（a/b）≥（a-b）/b，由對稱性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a
即：0>（a-b）/a≥0這一矛盾說明ln（a/b）≤（a-b）/b
即：ln（b/a）≥（a-b）/b
交換位置：ln（a/b）≥（a-b）/b
合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b
反證法是數(shù)學(xué)中的一種重要的證明方法.牛頓曾說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”它是從命題的否定結(jié)論出發(fā)，通過正確的邏輯定理推理導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題的正確性的一種重要方法.反證法之所以有效是因?yàn)樗鼘Y(jié)論的否定實(shí)際上增加了論證的條件，多一個條件，這對發(fā)現(xiàn)正確的解題思路是有幫助的.對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，通過逆向思維，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題就能迎刃而解.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一.
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞：反證法；證明；矛盾；命題；假設(shè)
有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天他和小朋友發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨(dú)有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的?！边@個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃.在數(shù)學(xué)里這種方法叫反證法.
反證法不但在實(shí)際生活和初等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在高等數(shù)學(xué)中也具有特殊作用.數(shù)學(xué)中的一些重要結(jié)論，從最基本的性質(zhì)、定理，到某些難度較大的世界名題，往往是用反證法證明的.即：提出假設(shè)――推出矛盾――肯定結(jié)論.
“反證法”雖然是在平面幾何教材中出現(xiàn)的，但對數(shù)學(xué)的其他各部分內(nèi)容，如代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何中都可應(yīng)用.下面通過具體的例子來說明其應(yīng)用。
一、否定性命題
證明：假設(shè)AB，CD不平行，即AB，CD交于點(diǎn)P，則過P點(diǎn)有ABEF，且CDEF，與“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線垂直于已知直線”矛盾.假設(shè)錯誤，則AB∥CD
否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但何時出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測的，也沒有一個機(jī)械的標(biāo)準(zhǔn)，有的甚至是捉摸不定的.一般總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮（例如，平面幾何問題往往聯(lián)系到相關(guān)的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點(diǎn).因此在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得出什么樣的矛盾.只需正確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結(jié)束.
反證法推理過程中出現(xiàn)的矛盾是多種多樣的，推理導(dǎo)出的結(jié)果可能與題設(shè)或部分題設(shè)矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質(zhì)）相矛盾，可能與臨時假設(shè)矛盾，或推出一對相互矛盾的結(jié)果等.
關(guān)鍵詞：反證法；數(shù)學(xué)；證明
【中圖分類號】G633.6
1 引言
公元前六世紀(jì)中期的古希臘七賢之首--泰勒斯最早引入了數(shù)學(xué)證明的思想，公元前三世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德第一個最廣泛、最嫻熟地運(yùn)用了數(shù)學(xué)證明，我國數(shù)學(xué)家江澤函則指出："沒有數(shù)學(xué)證明，就沒有數(shù)學(xué)"。反證法是數(shù)學(xué)證明中的一種間接證明方法，在數(shù)學(xué)命題的證明中被廣泛應(yīng)用。歐幾里德證明"素?cái)?shù)有無窮多"、歐多克斯證明"兩個正多邊形的面積比等于其對應(yīng)線段比的平方"、"鴿子原理"和"最優(yōu)化原理"的證明等都用了反證法。但是由于在現(xiàn)行的各種教材中沒有對反證法給出系統(tǒng)的介紹，學(xué)生對反證法原理的理解和恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用也存在不少的問題，故本文在此"拋磚引玉"。
2 反證法內(nèi)涵
2.1 什么是反證法
法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪說過："反證法在于表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾。"即先假設(shè)命題中結(jié)論的反面成立，結(jié)合已知的定理?xiàng)l件，進(jìn)行正確的推理、論證，得出和命題中的題設(shè)或前面學(xué)習(xí)過的定義、公理、定理、已知的事實(shí)相矛盾，或自相矛盾的結(jié)果，從而斷定命題結(jié)論的反面不可能成立，因而斷定命題中的結(jié)論成立，這種證明的方法就叫做反證法。
2.2 反證法的原理
2.2.1 矛盾律
矛盾律是亞里士多德的形式邏輯的基本規(guī)律之一，其基本內(nèi)容是：在同一個論證過程中，對同一對象的兩個相矛盾的、對立的判斷，其中至少有一個是假的，它的公式是：不是。如對""這個對象，"是有理數(shù)"和"是無理數(shù)"的兩個判斷中至少有一個是假的。
2.2.2 排中律
排中律是形式邏輯的由一個基本規(guī)律，其基本內(nèi)容是：在同一個論證過程，對同一對象的肯定判斷和否定判斷。這兩個相矛盾的判斷必有一個是真的，它的公式是：或者是或者是，排除了第三種情況的可能，在數(shù)學(xué)論證中常根據(jù)排中律進(jìn)行推理。如要證明"是有理數(shù)"，只要證明"不是有理數(shù)"不真就夠了。這是因?yàn)?不是有理數(shù)"和"是有理數(shù)"是對象的兩個相矛盾的判斷，根據(jù)排中律，其中必有一個是真的。
2.3 運(yùn)用反證法證明論題的步驟
運(yùn)用反證法證明數(shù)學(xué)命題""，首先，必須弄清楚命題的條件和結(jié)論，然后按以下步驟進(jìn)行論證：
第一步：否定命題的結(jié)論，作出與相矛盾的判斷，得到新的命題；
第二步：由出發(fā)，利用適當(dāng)?shù)亩x、定理、公理進(jìn)行正確的演繹推理，引出矛盾結(jié)果；
第三步：斷定產(chǎn)生矛盾的原因，在于判斷不真，從而否定，肯定原結(jié)論成立，間接證明了原命題。
分析上述三個步驟可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于由新的論題演繹出一對矛盾，一般為推出的結(jié)果與某一定義、定理、公理、已知條件、所作題斷矛盾，或是推出兩個相互矛盾的結(jié)果。
值得注意的是在運(yùn)用反證法證明命題時要認(rèn)真細(xì)致地審題，若發(fā)現(xiàn)與論題結(jié)論相矛盾方面有不止一種情況，必須予以一一否定。且有時并非全部運(yùn)用反證法，它可能只在證明過程中部分地出現(xiàn)。
3 反證法在證明論題中的運(yùn)用
反證法是重要的證明方法，在幾何、代數(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的運(yùn)用，現(xiàn)分類舉例說明。
3.1 反證法在幾何中的運(yùn)用
3.2 反證法在代數(shù)中的運(yùn)用
4 結(jié)語
由上可知，用反證法證明一些問題時，有著其它方法所不能替代的作用。師生在了解了反證法的特點(diǎn)、證明過程及應(yīng)用"須知"后，加強(qiáng)訓(xùn)練、不斷總結(jié)，就能熟練地運(yùn)用了。
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞：反證法；證明；矛盾；應(yīng)用
中圖分類號：G633.6？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0077-02
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，反證法應(yīng)用相當(dāng)廣泛。怎樣正確運(yùn)用反證法是一個難題。本文主要研究的是一些直接證明難以入手甚至無法入手的題目，用反證法就會使證明變得輕而易舉。
一、反證法原理及解題步驟
1.反證法原理。反證法是一種論證方式。它首先假設(shè)某命題不成立，然后推出明顯矛盾的結(jié)論，從而得出原假設(shè)不成立，原命題得證?？偟膩碚f反證法就是通過證明原命題的反面不成立來確定原命題正確的一種證明方法。反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用。有的問題不易從問題的正面去解答，但若從問題的反面著手卻容易解決，它從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過正確嚴(yán)格的推理，得到與已知假設(shè)或已成立的數(shù)學(xué)命題相矛盾的結(jié)果，從而得到原命題的結(jié)論是不容否定的正確結(jié)論。
2.反證法的解題步驟。在中學(xué)數(shù)學(xué)題目的求解證明過程中，當(dāng)直接證明一個命題感到困難時，我們經(jīng)常采用反證法的思想。由此，我們總結(jié)出用反證法證明命題的三個步驟：①提出假設(shè)：做出與求證結(jié)論相反的假設(shè)。②推出矛盾：與題設(shè)矛盾；與假設(shè)矛盾；恒假命題。③肯定結(jié)論：說明假設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。數(shù)學(xué)問題是多種多樣的，盡管大多問題一般使用直接證明，但有些問題直接證明難度較大，而用反證法證明，卻能迎刃而解。下面我們結(jié)合實(shí)例總結(jié)幾種常用反證法的情況。
二、反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
反證法雖然是在平面幾何教材中提出來的，但對數(shù)學(xué)的其他部分內(nèi)容如代數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何中都可應(yīng)用反證法。那么，究竟什么樣的命題可以用反證法來證呢？下面就列舉幾種一般用反證法來證比較方便的命題。
1.基本命題?；久}就是學(xué)科中的起始性命題，這類命題由于已知條件及能夠應(yīng)用的定理、公式、法則較少，或由題設(shè)條件所能推出的結(jié)論很少，因而直接證明入手較難，此時應(yīng)用反證法容易奏效。
例1 求證：兩條相交直線只有一個交點(diǎn)。已知：如圖，直線a、b相交于點(diǎn)P，求證：a、b只有一個交點(diǎn)。證明：假定a，b相交不只有一個交點(diǎn)P，那么a，b至少有兩個交點(diǎn)P、Q。于是直線a是由P、Q兩點(diǎn)確定的直線，直線b也是由P、Q兩點(diǎn)確定的直線，即由P、Q兩點(diǎn)確定了兩條直線a，b。
與已知公理“兩點(diǎn)只確定一條直線”相矛盾，則a，b不可能有兩個交點(diǎn)，于是兩條相交直線只有一個交點(diǎn)。
2.否定性命題。否定性命題，也就是結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題，即結(jié)論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現(xiàn)的命題，直接證法一般不易人手，而運(yùn)用反證法能使你見到“柳暗花明又一村”的景象。
3.存在性問題。在存在性問題中，結(jié)論若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此來推出矛盾，從而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我們用反證法來證明。
例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求證：a，b，c中至少有一個不小于1。證明：假設(shè)a，b，c都小于1，則2x2-2x+3.5
4.無窮性命題。無窮性命題是指在求證的命題中含有“無窮”、“無限”等概念時，從正面證明往往無從下手時，我們常使用反證法。
例3 證明■是無理數(shù)。證明：假設(shè)■不是無理數(shù)，那么■是有理數(shù)，不妨設(shè)■=■（m，n為互質(zhì)的整數(shù)）， m2=3n2，即有m是3的倍數(shù)，又設(shè)m=3q（q是整數(shù)），代人上式得n2=3q2，這又說明n也是3的倍數(shù)，那么m與n都是3的倍數(shù)，這與我們假設(shè)m、n互相矛盾，■是無理數(shù)。
5.唯一性命題。有關(guān)唯一性的題目結(jié)論以“…只有一個…”或者“……唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題，用反證證明，常能使證明過程簡潔清楚。
例4 設(shè)0
從而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此與x1≠x2且0
三、應(yīng)用反證法應(yīng)該注意的問題
對于同一命題，從不同的角度進(jìn)行推理，常常可以推出不同性質(zhì)的矛盾結(jié)果，從而得到不同的證明方法，它們中有繁冗復(fù)雜，有簡單快捷，因此，在用反證法證明中，應(yīng)當(dāng)從命題的特點(diǎn)出發(fā)，選取恰當(dāng)?shù)耐评矸椒ā?/p>
1.必須正確“否定結(jié)論”。正確否定結(jié)論是運(yùn)用反證法的首要問題。
2.必須明確“推理特點(diǎn)”。否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測的。一般是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮，這正是反證法推理的特點(diǎn)。只需正確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一出現(xiàn)，證明即告結(jié)束。
3.了解“矛盾種類”。反證法推理過程中出現(xiàn)的矛盾是多種多樣的，推理導(dǎo)出的結(jié)果可能與題設(shè)或部分題設(shè)矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質(zhì)）相矛盾，可能與臨時假設(shè)矛盾，或推出一對相互矛盾的結(jié)果等。
反證法是一種簡明實(shí)用的數(shù)學(xué)解題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。學(xué)會運(yùn)用反證法，它可以讓我們掌握數(shù)學(xué)邏輯推理思想及間接證明的數(shù)學(xué)方法，提高觀察力、思維能力、辨別能力，以及養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的習(xí)慣。我認(rèn)為，只有了解這些知識，在此基礎(chǔ)上再不斷加強(qiáng)訓(xùn)練，并不斷進(jìn)行總結(jié)，才能熟練運(yùn)用。
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關(guān)鍵詞：反證法；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用
反證法是一種重要的證明方法，歷來是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。運(yùn)用反證法有時可以達(dá)到簡練又確切的良好效果，可以說，沒有反證法的數(shù)學(xué)，只是原始、極不完整的數(shù)學(xué)，因此，深刻的理解反證法的實(shí)質(zhì)，了解這種方法的一般規(guī)律，對于提高邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的能力，有著十分重要的意義。本文通過以下方面來說明反證法在教學(xué)中的應(yīng)用。
一、什么是反證法
反證法是一種間接證明命題的方法。該方法先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后以此及其有關(guān)的定義、公理、定理、題設(shè)為依據(jù)，言出有據(jù)地導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，從而證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不能成立，進(jìn)一步肯定原來的結(jié)論必定成立。簡言之，就是從反面人手論證命題的真實(shí)性的方法。
反證法具體又分為歸謬法和窮舉法，在反證法中，當(dāng)命題的結(jié)論的反面只有一個時，則只需這種情況就能證明結(jié)論正確，這種反證法叫做“歸謬法”。當(dāng)命題結(jié)論的反面有兩種或兩種以上的可能時，則需一一，從而肯定原結(jié)論為真，這種反證法叫做“窮舉法”。
二、反證法的證題步驟
運(yùn)用反證法證題時，一般有下述三個步聚：
（1）反設(shè)：就是假設(shè)原命題的結(jié)論的反面成立。
（2）歸謬：從假設(shè)出發(fā)，由正確的演繹推理過程，推出與公理，或定義，或與已知定理和公式，或與已知條件，或與假設(shè)相矛盾的結(jié)果，或所推得的結(jié)果自相矛盾。
（3）結(jié)論：判斷原命題結(jié)論反面不能成立，從而肯定原命題結(jié)論成立。
三、宜用反證法證明的命題形式
為了便于運(yùn)用反證法證題，必須搞清宜用反證法證明的命題所具有的以下幾種常見形式。
待證命題用直接法難于人手時，宜用反證法.如立體幾何中開始的一些性質(zhì)定理的證明就是如此。
下面再舉一例
例1 如果正實(shí)數(shù)a，b滿足ab=ba，且a
證：假設(shè)a≠b，即ab
ab=bablna=alnb，
這與（1）式相矛盾，故a>b的假設(shè)不成立
所以，有a=b
說明：此題用反證法，推出結(jié)論與題設(shè)相矛盾，并及時地發(fā)現(xiàn)矛盾。
四、反證法證題時，應(yīng)注意的問題
（1）一定要在推理過程中有意地制造矛盾，并及時地發(fā)現(xiàn)矛盾。
