時(shí)間：2023-09-22 15:31:51
序論：在您撰寫科學(xué)計(jì)數(shù)法的方法時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)問題 教學(xué)方法 數(shù)學(xué)課堂 數(shù)學(xué)結(jié)論 數(shù)學(xué)知識(shí)
課堂教學(xué)中教學(xué)策略的使用直接影響到課堂教學(xué)效果。那么，在新課程實(shí)施背景下，如何采取有效的教學(xué)策略提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率呢？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勛龇ā?/p>
一、數(shù)學(xué)問題情境化
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)”。從教學(xué)實(shí)踐來看，教師可以從學(xué)生熟悉的生活環(huán)境、知識(shí)背景出發(fā)，創(chuàng)設(shè)他們感興趣的學(xué)習(xí)情境，寓問題于情境之中，引發(fā)學(xué)生的思考。如教學(xué)“三角形中位線”的知識(shí)時(shí)，在新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了如下情境：如圖1，A、B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量A、B間的距離，但繩子長度不夠，一位初三同學(xué)幫他想了一個(gè)主意：先在地上取一個(gè)可以直接達(dá)到A、B兩點(diǎn)的C點(diǎn)，再找到AC、BC的中點(diǎn)D、E，當(dāng)測(cè)量出DE的長度為15米后，這位初三同學(xué)告訴小明，線段AB長是30米，你知道為什么嗎？
圖1
此問題情境蘊(yùn)含著三角形中位線定理的應(yīng)用，我將這一知識(shí)情境化，并通過設(shè)置懸念順利引入本節(jié)課題――三角形中位線，水到渠成，激發(fā)了學(xué)生的好奇心和探究新知的欲望。
二、教學(xué)方法多元化
“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿和記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”。教學(xué)實(shí)踐中，筆者為滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求，精心設(shè)計(jì)豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)，留給學(xué)生充分的、自主選擇的余地，讓他們根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)的特點(diǎn)及自身的喜好，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x用獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、小組合作、探索發(fā)現(xiàn)等多種學(xué)習(xí)活動(dòng)方式，使他們?cè)凇翱匆豢础薄皵[一擺”“剪一剪”“切一切”“做一做”中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如教學(xué)“從不同方向看”這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，先是引導(dǎo)學(xué)生用山芋、蘿卜切成小正方體，再用制成的小正方體擺一擺，讓處在不同方位的學(xué)生分別說說看到的是什么圖形，并把它們畫出來，啟發(fā)學(xué)生思考：“為什么同一物品看到的模樣卻是不一樣的？”進(jìn)而揭示三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）的有關(guān)概念，這樣既形象直觀，又讓人印象深刻。
三、數(shù)學(xué)結(jié)論過程化
第斯多惠有句名言：“一個(gè)壞教師奉獻(xiàn)真理，一個(gè)好教師則教人發(fā)現(xiàn)真理?！睌?shù)學(xué)教學(xué)中有很多的概念、定理、結(jié)論、規(guī)律都有其生長、發(fā)展、形成的過程。這一過程中教師要帶領(lǐng)學(xué)生一起經(jīng)歷、共同發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生親身感受、親耳所聞、親眼目睹知識(shí)產(chǎn)生、形成、發(fā)展，最終成為結(jié)論的過程，從而加深對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生背景、形成過程、應(yīng)用范圍的認(rèn)識(shí)和理解。如教學(xué)“絕對(duì)值”這一概念時(shí)，我設(shè)計(jì)了如下幾個(gè)步驟：
（1）在數(shù)軸上找出表示4的點(diǎn)。（2）觀察這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離有幾個(gè)單位長度。（3）指出：數(shù)軸上表示4的點(diǎn)到原點(diǎn)距離有4個(gè)單位長度，稱4的絕對(duì)值是4，記作：|4|=4。（4）你能按照這樣的方法想一想-4的絕對(duì)值是幾嗎？（5）說一說3，-2，1.5的絕對(duì)值。（6）引導(dǎo)學(xué)生歸納絕對(duì)值的定義。
通過這樣由淺入深、循序漸進(jìn)的幾個(gè)步驟，清晰展示了絕對(duì)值概念的形成過程及本質(zhì)特征（即某一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離），易于被學(xué)生理解、接受。
四、數(shù)學(xué)課堂民主化
民主化的課堂教學(xué)，是建立民主平等和諧師生關(guān)系的基石，更是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性和創(chuàng)造性思維品質(zhì)的重要途徑。在教學(xué)實(shí)踐中，教師要找準(zhǔn)自己的角色，主動(dòng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，精心營造民主、和諧的教學(xué)氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，敢于發(fā)表不同的見解，發(fā)展學(xué)生的求異思維。如教學(xué)完一元二次方程的解法后，出示一道題：解方程（x+1）2-9=0，當(dāng)不少學(xué)生用“直接開平方法”求解后，我問：“你還能用其他方法嗎？再仔細(xì)想想?！辈灰粫?huì)兒就有學(xué)生舉手要發(fā)言。生1：從結(jié)構(gòu)上看，這個(gè)方程具備平方差公式的特征，因此它可分解為（x+1+3）（x+1-3）=0，整理得（x+4）（x-2）=0，求得x1=-4，x2=2。不少同學(xué)表示認(rèn)同。生2：可以將左邊展開，轉(zhuǎn)化成一般形式，再用求根公式求解。有些學(xué)生認(rèn)為這樣解題變得復(fù)雜。在學(xué)生發(fā)言的基礎(chǔ)上，我引導(dǎo)他們比較三種解題方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并讓他們選擇適合自己的解題方法。
五、數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用化
關(guān)鍵詞:初中 數(shù)學(xué)課 導(dǎo)入法
常言道:“萬事開頭難”。要想上好一堂數(shù)學(xué)課,良好的開端是成功的一半。幾十年來,我一直努力探索和試驗(yàn),總結(jié)出了數(shù)學(xué)課的幾種導(dǎo)入方法。
一、溫固知新導(dǎo)入法
溫固知新的教學(xué)方法,可以將新舊知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來,使學(xué)生從舊知識(shí)的復(fù)習(xí)中自然獲得新知識(shí)。例如:在講切割定理時(shí),先復(fù)習(xí)相交弦定理內(nèi)容及證明,即“圓”內(nèi)兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。然后移動(dòng)兩弦使其交點(diǎn)在圓外有三種情況。這樣學(xué)生較易理解切割線定理、推論的數(shù)學(xué)表達(dá)式,在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生敘述定理內(nèi)容,并總結(jié)定理的共同處是表示線段積相等。區(qū)別在于相交弦定理是交點(diǎn)內(nèi)分線段,而切割線定理,推論是外分線段、切線上定理的兩端點(diǎn)重合。這樣導(dǎo)入,學(xué)生能從舊知識(shí)的復(fù)習(xí)中,發(fā)現(xiàn)一串新知識(shí),并且掌握了證明線段積相等的方法。
二、類比導(dǎo)入法
在講相似三角形性質(zhì)時(shí),可以從全等三角形性質(zhì)為例類比。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)周長等相等。那么相似三角形這幾組量怎么樣?這種方法使學(xué)生能從類推中促進(jìn)知識(shí)的遷移,發(fā)現(xiàn)新知識(shí)。
三、親手實(shí)踐導(dǎo)入法
親手實(shí)踐導(dǎo)入法是組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作,通過學(xué)生自己動(dòng)手動(dòng)腦去探索知識(shí)、發(fā)現(xiàn)真理。
四、反饋導(dǎo)入法
根據(jù)信息論的反饋原理,一上課就給學(xué)生提出一些問題,由學(xué)生的反饋效果給予肯定或糾正后導(dǎo)入新課。如在上直角三角形習(xí)題課時(shí),課前可以先擬一個(gè)有代表性的習(xí)題讓學(xué)生討論。
五、設(shè)疑式導(dǎo)入法
設(shè)疑式導(dǎo)入法是根據(jù)中學(xué)生追根求源的心理特點(diǎn),一上課就給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一些疑問,創(chuàng)設(shè)矛盾,設(shè)置懸念,引起思考,使學(xué)生產(chǎn)生迫切學(xué)習(xí)的濃厚興趣,誘導(dǎo)學(xué)生由疑到思,由思到知的一種方法。例如:有一個(gè)同學(xué)想依照親戚家的三角形玻璃板割一塊三角形,他能不能把玻璃帶回家就割出同樣的一塊三角形呢?同學(xué)們議論紛紛。然后,我向同學(xué)們說,要解決這個(gè)問題就要用到三角形的判定?，F(xiàn)在我們就解決這個(gè)問題――全等三角形的判定。
六、演示教具導(dǎo)入法
演示教具導(dǎo)入法能使學(xué)生把抽象的東西,通過演示教具形象、具體、生動(dòng)、直觀地掌握知識(shí)。例如:在講弦切角定義時(shí),先把圓規(guī)兩腳分開,將頂點(diǎn)放在事先在黑板上畫好的圓上,讓兩邊與圓相交成圓周角∠BAC,當(dāng)∠BAC的一邊不動(dòng),另一邊AB繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與圓相切時(shí),讓學(xué)生觀察這個(gè)角的特點(diǎn),是頂點(diǎn)在圓上一邊與圓相交,另一邊與圓相切。它與圓周角不同處是其中一條邊是圓的切線。這種教學(xué)方法,使學(xué)生印象深,容易理解,記得牢。
總之,數(shù)學(xué)的導(dǎo)入法很多,其關(guān)鍵就是要?jiǎng)?chuàng)造最佳的課堂氣氛和環(huán)境,充分調(diào)動(dòng)內(nèi)在的積極因素,激發(fā)學(xué)生的求知欲,使學(xué)生處于精神振奮狀態(tài),注意力集中,為學(xué)生能順利接受新知識(shí)創(chuàng)造有利的條件。
參考文獻(xiàn):
1.武.《如何激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣》,《湖南教育》,2001年23期
關(guān)鍵詞：信息技術(shù)；教學(xué)規(guī)律；教學(xué)方法
今天的學(xué)生將是21世紀(jì)的主人，電腦的知識(shí)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)應(yīng)該成為他們的基本素質(zhì)。作為一名教師，該如何把信息技術(shù)知識(shí)既深入又活潑生動(dòng)地教給學(xué)生，學(xué)生又該如何學(xué)習(xí)信息技術(shù)，很值得我們研究。我在這七年的教學(xué)中也總結(jié)了一些經(jīng)驗(yàn)，做了一些實(shí)踐的探索，認(rèn)為探索信息技術(shù)教育、教學(xué)規(guī)律，尋求合適的教學(xué)方法、策略是教學(xué)的重要任務(wù)。
下面談?wù)勎业囊稽c(diǎn)個(gè)人己見。
一、信息技術(shù)課程的特點(diǎn)
“信息技術(shù)”是一門實(shí)踐性非常強(qiáng)的課程，其價(jià)值在于學(xué)會(huì)使用它去解決生活、學(xué)習(xí)中的問題，同時(shí)它也是一種“工具”，然而在功能上它很強(qiáng)大，復(fù)雜了些，只要我們真正理解、掌握了它的應(yīng)用，就能夠體會(huì)到它的優(yōu)越性；
二、信息技術(shù)教育、教學(xué)理念
首先樹立“以人為本”的教育思想；“以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的教學(xué)理念，采取合適的教學(xué)方法、尋求教學(xué)策略。其次轉(zhuǎn)變教師在教學(xué)中的角色，由傳統(tǒng)的“以教師為中心”變?yōu)榻處熢诮虒W(xué)中充當(dāng)學(xué)生的“組織”、“引導(dǎo)”、“幫助”、“促進(jìn)”者，努力去創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景，設(shè)計(jì)教學(xué)過程，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的目標(biāo)。
三、獲取教學(xué)信息，形成教學(xué)思想、思路
1、樹立“以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的教學(xué)理念，善于從學(xué)生了解需要，認(rèn)識(shí)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，以及興趣所在，使其轉(zhuǎn)化為教學(xué)中的教師的思想資源，教育源泉，做出正確的教學(xué)設(shè)計(jì)；
2、要能夠從學(xué)生中來回到學(xué)生中去，在這個(gè)過程中體會(huì)、體驗(yàn)教學(xué)的全過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生中存在的問題，教學(xué)需要改進(jìn)的內(nèi)容，及時(shí)總結(jié)，形成可行性的教學(xué)策略、方法。
3、操作中的表現(xiàn)：A、能夠經(jīng)常問：怎樣操作；B、能夠經(jīng)常說：“為什么這樣操作C、問一問：還有其它的方法嗎？D、會(huì)不會(huì)應(yīng)用操作——>創(chuàng)新。
四、選擇合適的教學(xué)方法、策略；優(yōu)化教學(xué)方法，注重學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)
興趣是最好的導(dǎo)師，學(xué)習(xí)興趣是學(xué)生基于自己的學(xué)習(xí)需要而表現(xiàn)出來的一種認(rèn)識(shí)傾向，它在學(xué)生的學(xué)習(xí)中具有重要的作用。對(duì)于那些單調(diào)、枯燥的練習(xí)和難以理解的理論知識(shí)，教師應(yīng)特別注意教學(xué)方法的選擇，以保持和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在具體的教學(xué)過程中，首先做好課堂的有效調(diào)控，保證教學(xué)順利進(jìn)行，有序而不亂，嚴(yán)而不沉悶，有的放矢；其次在教學(xué)內(nèi)容處理上，通過情景提出相應(yīng)的任務(wù)以后，將實(shí)現(xiàn)的過程給學(xué)生，相信學(xué)生，在時(shí)間、空間上給學(xué)生以自由（但不是放松）教師做好發(fā)現(xiàn)問題、幫助解決的任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)任務(wù)，必要時(shí)加以強(qiáng)調(diào)、總結(jié)；強(qiáng)調(diào)的是錯(cuò)誤的方法、習(xí)慣、學(xué)生的意識(shí)錯(cuò)誤；總結(jié)的不是具體的操作，而是任務(wù)的實(shí)現(xiàn)方法、思想，創(chuàng)新意識(shí)的養(yǎng)成；提高的不是操作技巧、而是處理信息的知識(shí)、方法、能力、信息素養(yǎng)的綜合素質(zhì)。
五、組織協(xié)作學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生自學(xué)能力、合作精神的培養(yǎng)
協(xié)作學(xué)習(xí)是指通過兩個(gè)或兩個(gè)以上的個(gè)體在一起，從事學(xué)習(xí)活動(dòng)，互促學(xué)習(xí)，以提高學(xué)習(xí)成效的一種教學(xué)形式，組織協(xié)作學(xué)習(xí)，一方面培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性；另一方面也便于學(xué)生按照自己的情況安排學(xué)習(xí)內(nèi)容和進(jìn)度，鍛煉了學(xué)生的自學(xué)能力，培養(yǎng)了良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和團(tuán)結(jié)協(xié)作精神。如五年級(jí)的學(xué)生制作演示文稿時(shí)，我對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，四個(gè)同學(xué)一組，同組的同學(xué)各有分工，互相配合，有專門選圖片的，有整理文字的，有技術(shù)支持的等等。學(xué)生間語言更貼近，更能溝通，互教互學(xué)。練習(xí)一階段后，開展組與組之間的競賽，展示好的作品，讓學(xué)生自己去講解。進(jìn)一步激起他們的好勝心，當(dāng)然自覺性、自信心也隨之增強(qiáng)，并能更好地促進(jìn)學(xué)生間的團(tuán)結(jié)協(xié)作，因?yàn)閷?duì)于一項(xiàng)集體活動(dòng)，只有合作愉快了，才有可能獲勝。在協(xié)作學(xué)習(xí)的方式下，學(xué)生感受到同學(xué)之間不僅是競爭的對(duì)手，而是促進(jìn)學(xué)習(xí)的幫助者。協(xié)作學(xué)習(xí)使得學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)更加生動(dòng)活潑和豐富多彩。
六、建立評(píng)價(jià)機(jī)制、保證教學(xué)效果
本著“以評(píng)促學(xué)”，“以評(píng)促教”的評(píng)價(jià)思想。一、評(píng)價(jià)方式：首先從課堂評(píng)價(jià)入手，對(duì)學(xué)生的作為做出合理的評(píng)價(jià)，對(duì)優(yōu)秀學(xué)生給予表揚(yáng)，在肯定他們成績的同時(shí)，要更進(jìn)一步提出創(chuàng)新要求；當(dāng)然不好的學(xué)生我們更要從多角度肯定他們的長處，積極引導(dǎo)他們向好的方向發(fā)展，使學(xué)生樹立信心。再者經(jīng)過階段的學(xué)習(xí)，我們要能夠?qū)W(xué)生、教學(xué)情況有一個(gè)階段性的認(rèn)識(shí)，找出不足，調(diào)整教學(xué)，同時(shí)注意總結(jié)學(xué)生的知識(shí)、能力結(jié)構(gòu)的建立，信息素養(yǎng)的培養(yǎng)。最后學(xué)習(xí)結(jié)束要進(jìn)行總結(jié)性的評(píng)價(jià)，明確學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，以及掌握的信息技術(shù)對(duì)我們學(xué)習(xí)、生活能夠帶來的幫助。二、評(píng)價(jià)內(nèi)容：首先是知識(shí)的評(píng)價(jià)，要求能夠掌握全面、系統(tǒng)的知識(shí)體系；再者是能力方面的評(píng)價(jià)，操作能力是基礎(chǔ)，應(yīng)用是根本，具有學(xué)會(huì)遷移知識(shí)、操作的能力，具有學(xué)習(xí)思想、作品創(chuàng)作、學(xué)習(xí)應(yīng)用的能力。三、評(píng)價(jià)策略：建立和內(nèi)容、方式相適應(yīng)的思想、方法，做出評(píng)價(jià)結(jié)果；可以建立學(xué)生平時(shí)表現(xiàn)檔案、學(xué)習(xí)成績檔案、作品的創(chuàng)新。
Technology Stockholm, Sweden
Ake Bjrck Linkoping University
Linkoping, Sweden
Numerical Methods in
Scientific Computing
vol.1
2008, 717pp.
Hardcover
ISBN 9780898716443
SIAM
G. 達(dá)爾奎斯特等著
1974年出版的《數(shù)值方法》是當(dāng)時(shí)Prentice-Hall叢書中最成功的經(jīng)典著作之一,它是在KTH本科教學(xué)用書的基礎(chǔ)上編寫的英文版本,正是這本書使得數(shù)值方法在科學(xué)研究與工程技術(shù)中發(fā)揮了越來越重要的作用。它已被翻譯成多國文字,1990年出現(xiàn)中文版本。2003年由Dover出版社再版。而這本經(jīng)典著作正是出自本書的兩位作者之手。
本書共分6章。1.基礎(chǔ)的思想和概念,包括一些數(shù)值算法、求線性方程數(shù)值解和最小二乘法問題的基本方法、常微分方程數(shù)值解法初值問題的基本方法、矩陣計(jì)算等內(nèi)容,還介紹了Monte Carlo法,包括對(duì)方差縮減技術(shù)、偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器等內(nèi)容進(jìn)行了回顧;2.如何獲得和評(píng)估準(zhǔn)確度。包括誤差估計(jì)的基本概念、計(jì)算機(jī)的計(jì)數(shù)系統(tǒng)、準(zhǔn)確度與舍入誤差、誤差傳播、精度的自動(dòng)控制與校驗(yàn)計(jì)算;3.級(jí)數(shù)、算子和連分式。主要討論了數(shù)值計(jì)算中無窮冪級(jí)數(shù)的不同用法,包括病態(tài)和半收斂級(jí)數(shù);4.插值與近似。介紹了多項(xiàng)式插值的基礎(chǔ)知識(shí)及相關(guān)的插值公式,重點(diǎn)討論了重心Lagrange插值公式的優(yōu)點(diǎn),介紹了在復(fù)平面中運(yùn)用復(fù)分析推導(dǎo)多項(xiàng)式插值通用Lagrange-Hermite公式,簡單回顧了有理數(shù)和多維插值的運(yùn)算法則。分段多項(xiàng)式在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造中應(yīng)用越來越廣泛,介紹了如何從分段Bern?tein多項(xiàng)式得到參數(shù)Bézier曲線;5.數(shù)值積分。首先介紹了等距節(jié)點(diǎn)Newton-Cotes法則和數(shù)值積分Clenshaw-Curtis插入法則,然后討論了Romberg法和算法外插法。對(duì)一些特殊算例中的梯形超法則和用于振蕩被積函數(shù)的Filon型方法等超收斂方法也進(jìn)行了介紹;6.標(biāo)量非線性方程求解。介紹了二分法、不動(dòng)點(diǎn)迭代、收斂階等基本概念與方法。
G. 達(dá)爾奎斯特教授是瑞典數(shù)學(xué)家和數(shù)值分析學(xué)家,1962年創(chuàng)建了皇家科技研究所數(shù)值分析系,是數(shù)值分析領(lǐng)域的奠基人。1965年被選入瑞典皇家科學(xué)院, 1988年受邀參加工業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)John von Neumann Lecturer演講。為了表彰G. 達(dá)爾奎斯特教授在數(shù)值分析領(lǐng)域的開創(chuàng)性工作,1995年SLAM設(shè)立了以G. 達(dá)爾奎斯特教授名字命名的國際Germund Dahlquist獎(jiǎng),該獎(jiǎng)每兩年由工業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)頒發(fā)一次。1999年由于他在數(shù)值分析領(lǐng)域的杰出貢獻(xiàn)獲得了蘇黎世聯(lián)邦高等工業(yè)學(xué)院和工業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的Peter Henrici 獎(jiǎng)。
ke Bjrck是瑞典Linkping大學(xué)數(shù)學(xué)系教授,曾于1996年出版《最小二乘法問題的數(shù)值方法》一書,1993-2003年間是BIT Numerical Mathematics 雜志的常務(wù)編輯。研究方向?yàn)閿?shù)值線性代數(shù)、最小二乘法問題和稀疏矩陣計(jì)算。
本書作者還根據(jù)40年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)在書中準(zhǔn)備了很多問題和練習(xí)題。本書可以作為大學(xué)本科數(shù)值分析課程的入門教材,也可以作為相關(guān)科研人員的參考用書。
論立勇,博士生
(中國科學(xué)院理化技術(shù)研究所)
關(guān)鍵詞：數(shù)值計(jì)算方法；創(chuàng)新意識(shí)；計(jì)算平臺(tái)
作者簡介：張俊麗（1980-），女，山東菏澤人，內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，講師。（內(nèi)蒙古?通遼?028000）
中圖分類號(hào)：G642.0?????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?????文章編號(hào)：1007-0079（2012）28-0087-01
隨著科技的飛速發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，數(shù)值計(jì)算方法已成為重要的橋梁和工具深入到航天航空、地質(zhì)勘探、汽車制造、橋梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)等各個(gè)領(lǐng)域，成為每一位科研人員和工程技術(shù)人員所必備的知識(shí)。為了滿足社會(huì)需求，數(shù)值計(jì)算方法現(xiàn)已成為高等院校理工類學(xué)生的一門專業(yè)必修課程，其目的是讓學(xué)生掌握設(shè)計(jì)數(shù)值算法的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力，為以后用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
一、“數(shù)值計(jì)算方法”課程的特點(diǎn)與教學(xué)現(xiàn)狀
數(shù)值計(jì)算方法，簡稱計(jì)算方法，又叫數(shù)值分析，是一門研究數(shù)學(xué)問題的近似解并利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)的學(xué)科，是數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)、高等代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的后續(xù)課程，它既有數(shù)學(xué)理論上的抽象性與嚴(yán)謹(jǐn)性，又有實(shí)驗(yàn)性與應(yīng)用性的數(shù)值特征。計(jì)算方法課程的內(nèi)容包括插值和擬合、數(shù)值微分和數(shù)值積分、求解線性方程組的數(shù)值方法（直接法和迭代法）、非線性方程數(shù)值解、矩陣特征值計(jì)算及常微分方程初值問題數(shù)值解法等；[2]它的計(jì)算對(duì)象是數(shù)學(xué)中的微積分、線性代數(shù)、常微分方程，只是它不像別的數(shù)學(xué)課程那樣只是研究純粹的數(shù)學(xué)理論，而是把數(shù)學(xué)理論與計(jì)算相結(jié)合，重點(diǎn)探討數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法及應(yīng)用；它的課程要求是在掌握算法原理的前提下設(shè)計(jì)算法編程實(shí)現(xiàn)。
“數(shù)值計(jì)算方法”是一門介紹科學(xué)計(jì)算的核心理論和基本方法的數(shù)學(xué)課程，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力和解決實(shí)際問題的能力具有不可替代的作用。從20世紀(jì)80年代起，“數(shù)值計(jì)算方法”相繼成為各高等院校數(shù)學(xué)及其他理工科（如物理、計(jì)算機(jī)等）專業(yè)本科生的一門專業(yè)基礎(chǔ)課。但內(nèi)蒙古民族大學(xué)（以下簡稱“我?！保┑臄?shù)值計(jì)算方法課程只在應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)兩個(gè)專業(yè)開設(shè)必修課，一般開設(shè)在第三或第四學(xué)期，理論課48學(xué)時(shí)，上機(jī)實(shí)驗(yàn)16學(xué)時(shí)，在別的學(xué)院（如物理、計(jì)算機(jī)等）沒有開設(shè)該課程。該課程普遍存在的教學(xué)現(xiàn)狀是：理論課內(nèi)容多，學(xué)時(shí)少，各部分內(nèi)容不連貫，公式繁多，枯燥乏味，使得學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒；上機(jī)課時(shí)間緊，且一般集中上機(jī)，與理論課內(nèi)容脫節(jié)，失去了上機(jī)實(shí)驗(yàn)操作的意義；很多時(shí)候這門課程的學(xué)習(xí)都結(jié)束了，學(xué)生還不清楚這門課程與原來的課程有什么聯(lián)系，學(xué)習(xí)這門課有什么用，更無從談起培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力；而且“數(shù)值計(jì)算方法”課程教學(xué)過程中還存在著教學(xué)內(nèi)容陳舊、教學(xué)方式落后及考試形式單一等問題。針對(duì)該課程目前的教學(xué)現(xiàn)狀，如何對(duì)該課程教學(xué)進(jìn)行教學(xué)改革，是值得深入思考的問題。
二、關(guān)于“數(shù)值計(jì)算方法”課程改革的若干建議
根據(jù)前文分析可知，目前“數(shù)值計(jì)算方法”課程教學(xué)中存在著一些不容忽視的問題。那么如何進(jìn)行教學(xué)改革，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，體現(xiàn)該課程在工程科學(xué)中的價(jià)值和意義，是值得數(shù)學(xué)界思考的問題。根據(jù)近年來我校師生在該課程教學(xué)中出現(xiàn)的問題，本文對(duì)“數(shù)值計(jì)算方法”課程教學(xué)改革提出以下幾點(diǎn)建議：
1.優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，選擇合適教材
“數(shù)值計(jì)算方法”課程講授時(shí)既要強(qiáng)調(diào)它的理論結(jié)構(gòu)與使用價(jià)值，又要注重提升它與計(jì)算機(jī)使用密切結(jié)合的實(shí)用性特點(diǎn)，所以該門課程對(duì)教材的要求很高。然而現(xiàn)行教材有的理論偏深，不適合普通本科生使用；有的內(nèi)容陳舊，與實(shí)際聯(lián)系缺乏；有的實(shí)用性強(qiáng)，但與實(shí)踐結(jié)合的算例較少；[3]再加上該課程內(nèi)容抽象，知識(shí)連貫性不強(qiáng)，定理和公式較多，推導(dǎo)過程煩瑣，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)沒有興趣，只是為了應(yīng)付考試機(jī)械性地記憶公式。按照教育部關(guān)于“數(shù)值計(jì)算方法”課程在教學(xué)過程中應(yīng)把握“重概念、重方法、重應(yīng)用、重能力”的培養(yǎng)要求，對(duì)該課程的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)靈活把握，知識(shí)點(diǎn)講解應(yīng)詳略得當(dāng)，不同專業(yè)的學(xué)生對(duì)該課程的要求不同，講解的側(cè)重點(diǎn)也應(yīng)有所不同，最好選用的教材也不同。對(duì)數(shù)學(xué)類的學(xué)生來說，理論與實(shí)踐應(yīng)并重，而對(duì)于別的理工科的學(xué)生來說，不在于理論的論證與推導(dǎo)，而應(yīng)側(cè)重算法原理與實(shí)際應(yīng)用。當(dāng)選定教材后，在實(shí)際教學(xué)過程中還需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容靈活整合，對(duì)于一些復(fù)雜且后繼課程將會(huì)深入學(xué)習(xí)的內(nèi)容（例如微分方程的數(shù)值解法等），[4]可以略講甚至不講。不同地區(qū)的高校對(duì)該課程的教學(xué)要求也略有不同，例如我校處少數(shù)民族地區(qū)，學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)相對(duì)較差，在該課程授課時(shí)更應(yīng)減少煩瑣公式的推導(dǎo)，重在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握與實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)。鑒于該課程對(duì)以后學(xué)習(xí)和工作的重要性，我校建議除了數(shù)學(xué)與信息類的學(xué)生以外，別的理工科（如物理，計(jì)算機(jī)、信息工程等）的學(xué)生也應(yīng)開設(shè)數(shù)值計(jì)算方法課程的選修課。我院本專業(yè)教師在包玉蘭教授的帶領(lǐng)下，根據(jù)我校學(xué)生的狀況及多年積累的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，編寫了比較適合少數(shù)民族地區(qū)學(xué)生特點(diǎn)的數(shù)值計(jì)算方法教材，現(xiàn)已經(jīng)出版在我校試用。該教材內(nèi)容較淺，并配備一定量的習(xí)題和上機(jī)實(shí)驗(yàn)題，要求理論學(xué)時(shí)50～60學(xué)時(shí)（包含習(xí)題課），上機(jī)實(shí)驗(yàn)16～20學(xué)時(shí)，并且標(biāo)注了一些選講的內(nèi)容，不同專業(yè)的學(xué)生可以針對(duì)性地學(xué)習(xí)，[5]基本上滿足了我校學(xué)生對(duì)該課程教材的要求。
1．在巧設(shè)情境中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣
學(xué)習(xí)興趣濃厚，求知欲望強(qiáng)烈是直接推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的一種內(nèi)部動(dòng)因，為此，我在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中根據(jù)小學(xué)生的“好奇”心理巧設(shè)情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。如我在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，在課的一開始就這樣設(shè)計(jì)情（景）境：“同學(xué)們，現(xiàn)在我們來做一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，看是誰能考倒老師，只要是首位相同兩個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)之和是十的乘法算式，老師一定能很快說出它的積是多少?！边@時(shí)的學(xué)生，他們爭先恐后地發(fā)言、一心想考倒老師：98×92、76×74、55×55、83×87、69×61、84×86……結(jié)果老師不但回答得很快，而且每一題的答案都是正確無誤。驚嘆不余，學(xué)生急于想知道老師快速計(jì)算的訣竅，于是這節(jié)課學(xué)生帶著滿腹疑問和追求知識(shí)的渴望在進(jìn)行新知識(shí)的探求過程中學(xué)好了這節(jié)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）”乘法運(yùn)算的新知識(shí)。
2．在動(dòng)手操作和數(shù)學(xué)活動(dòng)中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
“解放學(xué)生的雙手，使之能干?！薄澳芨伞本褪钦f學(xué)生具有動(dòng)手操作的技能。通常學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，或多或少存在著“數(shù)學(xué)難學(xué)”的畏難情緒，而活潑好動(dòng)是他們與生俱來的特點(diǎn)，在教學(xué)中若能讓學(xué)生生動(dòng)手操作，則不僅課堂學(xué)習(xí)氣氛活躍，而且他們會(huì)學(xué)得興趣盎然也能充分調(diào)動(dòng)其數(shù)學(xué)思維、學(xué)習(xí)成效明顯。
如教學(xué)《三角形面積的計(jì)算》時(shí)，我以兩個(gè)完全相等的三角形出示，對(duì)學(xué)生說：“請(qǐng)同學(xué)們拿出你們自己的兩個(gè)完全相同的三角形擺一擺、拼一拼，拼成不同的四邊形，看誰拼的個(gè)數(shù)最多”這就激活了學(xué)生的積極性，他們能擺拼出平行四邊形、長方形、正方形等等，接著我繼續(xù)，要求學(xué)生把拼出的長方形橫畫下來，量一量它的長和寬各是多少，算一算長方形的面積是多少？最后要求學(xué)生把這兩個(gè)三角形剪下來，讓學(xué)生在已有的知識(shí)上去感悟、探索三角形面積的求法，又幫助學(xué)生輕松愉悅地學(xué)習(xí)了“三角形面積”。
又如我在教學(xué)行程應(yīng)題：甲乙兩輛汽車同時(shí)從東西兩站相同開出25小時(shí)后相遇，甲車每小時(shí)45公里，乙車每小時(shí)50公里，問兩地間路程是多少公里？頓時(shí)，很多學(xué)生產(chǎn)生了思維障礙，我就先讓學(xué)生利用演示的形式來沖緩思維坡度，請(qǐng)高矮兩位學(xué)生在臺(tái)前相對(duì)走，老師數(shù)時(shí)間……直到倆相遇。接著把全班學(xué)生分成幾組活動(dòng)比賽，看哪一組在規(guī)定的距離內(nèi)相遇的時(shí)間較短就獲勝。頓時(shí)，學(xué)生一下子活躍起來，個(gè)個(gè)興趣勃勃地參與活動(dòng)。這時(shí)我抓住時(shí)機(jī)，要求大家求出每組所走路程有多少米，從而因勢(shì)利異，輕而易舉地解答了上述問題。這樣學(xué)生在親自經(jīng)歷中獲得啟發(fā)，使他們感到了學(xué)生數(shù)學(xué)是一種樂趣，又培養(yǎng)了他們數(shù)學(xué)邏輯推理的能力。
3．在數(shù)學(xué)游戲中激發(fā)學(xué)生的興趣
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我往往選擇一些符合教學(xué)內(nèi)容的游戲來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能在輕松、愉快的氣氛中鞏固學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)。如復(fù)習(xí)“認(rèn)識(shí)人民幣”這節(jié)內(nèi)容時(shí)，我設(shè)計(jì)了一個(gè)“爭當(dāng)模范營業(yè)員和文明顧客”的游戲：我利用事先準(zhǔn)備好的各種玩具、學(xué)生游戲卡和一元以內(nèi)的各種人民幣，且每種物品都標(biāo)上價(jià)格，把班上學(xué)生分成兩組，一組當(dāng)“營業(yè)員”，另一組當(dāng)“顧客”角色輪一次，在教室里展開購物活動(dòng)，讓“顧客”思考這么多錢可以買哪些東西，讓“營業(yè)員”思考“顧客”給的錢要不要找？怎么找。學(xué)生通過買賣活動(dòng)表現(xiàn)得大膽仔細(xì)，而且非常有禮貌，他們不僅加深認(rèn)識(shí)人民幣而且也能算出要找回的錢。兩次后評(píng)出模范“營業(yè)員“和“文明顧客”，這樣既促使學(xué)生進(jìn)一步鞏固學(xué)到的知識(shí)，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)濃厚興趣。
又如我在教學(xué)“千米和米長度單位間的換算”中的鞏固練習(xí)課的一道思考題：一幢宿舍樓，每層有20個(gè)臺(tái)階，每個(gè)臺(tái)階的高度是15厘米。一個(gè)同學(xué)從一樓走到三樓，他升高了多少米？對(duì)這一道思考題，我沒有馬上讓學(xué)生去面對(duì)而且以“登高”的游戲來把學(xué)生男女分成若干組，從教學(xué)樓的一層跑上四層、比一比，看哪組快。這一情境，學(xué)生可高興極了，他們以滿懷必勝的信心。一口氣就從教學(xué)樓的一層跑到四層。趁著學(xué)生的興致高漲，這時(shí)我馬上把學(xué)生帶入這道思考題中來，讓學(xué)生自己去感悟體驗(yàn)解決這個(gè)問題。讓學(xué)生把知識(shí)的獲得與思維的發(fā)展有機(jī)地結(jié)合起來，既活躍了學(xué)生思維又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
4．在形象生動(dòng)的語言誘導(dǎo)中激發(fā)學(xué)習(xí)興趣
數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容較抽象、枯燥、無味，它沒有形象生動(dòng)的語言及生動(dòng)的故事情節(jié)，不易引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。因此，在教學(xué)生認(rèn)數(shù)和記數(shù)時(shí)，我采用具體形象的事物和一些有趣的故事來激發(fā)學(xué)生的興趣。如：為了讓學(xué)生記住數(shù)學(xué)1-9的字形，我教學(xué)生背誦順口溜：“1象粉筆、2象鴨子、3象耳朵、4象小旗、5象鉤子、6象口哨、7象銀鋤、8象葫蘆、9像蝌蚪?！币源藖韼椭鷮W(xué)生記住字形。通過這樣的教學(xué)，賦予數(shù)學(xué)內(nèi)容以一定的感彩，將數(shù)學(xué)的知識(shí)滲透到童話的故事中去，從而激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。
關(guān)鍵詞： 新課標(biāo) 高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)方法論 數(shù)學(xué)教學(xué)
如何按照數(shù)學(xué)家的思維模式去進(jìn)行思維呢？我根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)給出數(shù)學(xué)方法論的涵義。
1.數(shù)學(xué)方法論的界定和分類
1.1界定。
我國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)方法論的倡導(dǎo)者徐利治先生指出：“方法論(methodology)就是把某種共同的發(fā)展規(guī)律和研究方法作為討論對(duì)象的一門學(xué)問。”數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法，以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)造等法則的一門新興學(xué)科。數(shù)學(xué)方法論很大程度上可以被說成對(duì)于數(shù)學(xué)思想（維）方法的研究，其目標(biāo)就是幫助人們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維。通過對(duì)具體數(shù)學(xué)事例的研究實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)思維過程的“理性重建”，獲得各個(gè)方法論原則的深刻體會(huì)，并使之真正成為“可以理解的”“可以學(xué)到手的”和“能夠加以推廣應(yīng)用的”。
1.2分類。
數(shù)學(xué)科學(xué)和數(shù)學(xué)史料是數(shù)學(xué)方法論的源泉，同時(shí)，數(shù)學(xué)方法論還涉及哲學(xué)、思維科學(xué)，心理學(xué)、一般科學(xué)方法論、系統(tǒng)科學(xué)等眾多的領(lǐng)域。一般情況下，數(shù)學(xué)方法論分為以下兩類：數(shù)學(xué)宏觀方法論和數(shù)學(xué)微觀方法論。
數(shù)學(xué)宏觀方法論所研究的是整個(gè)數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、形成和發(fā)展的規(guī)律，數(shù)學(xué)理論的構(gòu)造，以及數(shù)學(xué)與其他科學(xué)之間的關(guān)系。研究宏觀方法論的主要途徑之一是研究數(shù)學(xué)史，另一條主要途徑是研究數(shù)學(xué)理論體系的構(gòu)造。
數(shù)學(xué)微觀方法論所研究的是一些比較具體數(shù)學(xué)方法，特別是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造的方法，包括數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)解題心理與數(shù)學(xué)解題理論，等等。
2.高中數(shù)學(xué)方法論的特點(diǎn)
數(shù)學(xué)方法對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展起著關(guān)鍵性的推動(dòng)作用，許多比較困難的重大問題的解決，往往取決于數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法上的突破，如歷史上古希臘三大尺規(guī)作圖難題，就是笛卡爾創(chuàng)立解析幾何之后，數(shù)學(xué)家們借助解析幾何，采用了RMI［關(guān)系(relationship)―映射(mapping)―反演(inversion)］方法，才得到徹底解決。這又啟發(fā)了后來的數(shù)學(xué)家們采用類似的辦法解決了歐氏幾何與實(shí)數(shù)理論的相對(duì)相容性問題。
新課標(biāo)下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。
2.1數(shù)學(xué)方法論的理論研究得到了發(fā)展。
對(duì)數(shù)學(xué)方法論的早期研究，十七世紀(jì)就已經(jīng)開始了，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲都曾做過這方面的探討。歷史上不少著名的大數(shù)學(xué)家，如歐拉、高斯、希爾伯特等人也曾就數(shù)學(xué)方法淪的問題發(fā)表過許多精辟的見解。但是，對(duì)數(shù)學(xué)方法論進(jìn)行系統(tǒng)的研究，還是最近幾十年的事，在這方面作了突出的貢獻(xiàn)，當(dāng)首推美國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞。最近幾十年來，由于現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)技術(shù)已經(jīng)進(jìn)入了人工智能和模擬思維的階段，就更加促使數(shù)學(xué)方法論蓬勃發(fā)展起來；信息論，控制論、認(rèn)知科學(xué)和人工智能的最新研究成果相繼引進(jìn)了數(shù)學(xué)方法論的領(lǐng)域。
1980年出版的《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》中涉及“一些基本的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法”，這里的數(shù)學(xué)思想和方法就是數(shù)學(xué)方法論。進(jìn)入80年代之后，數(shù)學(xué)方法論有很大的發(fā)展。南京大學(xué)鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)方法論》一書中有一段意味深長的開頭：“數(shù)學(xué)方法論現(xiàn)今對(duì)于我國數(shù)學(xué)界、特別是數(shù)學(xué)教育界已不是一個(gè)陌生的名稱……”特別是在徐利治教授的倡導(dǎo)下，數(shù)學(xué)方法論的研究已經(jīng)形成了一個(gè)影響全國的氣候。
2.2數(shù)學(xué)方法論中的思想。
2.2.1抽象化思想。小學(xué)從具體事物的數(shù)量中抽象出數(shù)字，開創(chuàng)了算術(shù)運(yùn)算的時(shí)期。中學(xué)用字母表示數(shù)，開創(chuàng)了在一般形式下研究數(shù)、式、方程的時(shí)期。高等代數(shù)用字母表示多項(xiàng)式、矩陣，開始研究具體的代數(shù)系統(tǒng)，進(jìn)而又用字母表示滿足一定公理體系的抽象元素，開始研究抽象的代數(shù)系統(tǒng)――向量空間、歐氏空間。隨著概念抽象化程度不斷提高，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象急劇增加。
2.2.2化歸思想。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問題一種方法。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。中學(xué)數(shù)學(xué)中，化無理方程為有理方程，化分式方程為整式方程，化三元一次方程組為二元一次方程組直至一元一次方程，從一切角度利用誘導(dǎo)公式都可以化成銳角形式來求其三角函數(shù)值，這些都用到化歸思想。總之，化歸在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化為熟悉，復(fù)雜化為簡單，抽象化為直觀，含糊化為明朗。
2.2.3分類討論思想。需要運(yùn)用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，就其分類的原則，可歸結(jié)為：①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；②運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；③求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；④數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值的不同會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的不同。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。
2.2.4類比推理思想。波利亞曾說：“類比是一個(gè)偉大的引路人?！痹谥袑W(xué)數(shù)學(xué)中，由兩個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中所含元素的屬性在某些方面相同或相似，推出它們的其他屬性也可能相同或相似的思維形式被稱為類比推理，運(yùn)用類比推理的模式解決數(shù)學(xué)問題的方法稱為類比法。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，由分?jǐn)?shù)的性質(zhì)類比推理分式的性質(zhì)；由兩直線的位置關(guān)系類比推理兩平面的位置關(guān)系；中學(xué)數(shù)學(xué)通過數(shù)軸建立了直線上點(diǎn)的坐標(biāo)，類比建立平面上和空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)。
3.數(shù)學(xué)方法論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義
數(shù)學(xué)方法論對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的積極意義主要在于：以數(shù)學(xué)方法論為指導(dǎo)進(jìn)行具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)有助于我們將數(shù)學(xué)課“講活”、“講懂”、“講深”。
3.1數(shù)學(xué)課程目標(biāo)改革的必然要求。
目前新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)課程改革，強(qiáng)調(diào)“情感態(tài)度與價(jià)值觀”，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“過程與方法”，強(qiáng)調(diào)“探究與發(fā)現(xiàn)”。在這種理念下，要使數(shù)學(xué)新課程改得以有效實(shí)施，教師就必須加強(qiáng)和重視數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)和研究，這樣對(duì)教材才有正確清楚的認(rèn)識(shí)。
3.2數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)代化的改革要求。
現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂不再是單純的“傳授式”教學(xué)，新課標(biāo)明確指出：“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者?！币庠谶M(jìn)一步改變數(shù)學(xué)的教學(xué)模式，拓寬學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的空間，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。而數(shù)學(xué)方法論在教學(xué)實(shí)踐中以“問題解決”為中心組織教學(xué)，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)的思維”，把問題作為載體，將數(shù)學(xué)思維方法的分析滲透到具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)中，使學(xué)生真正看到思維的力量，并使之成為可以理解的、可以學(xué)會(huì)的和能夠加以推廣應(yīng)用的知識(shí)。
3.3數(shù)學(xué)教師專業(yè)化發(fā)展的客觀要求。
數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展，不僅要掌握深厚廣博的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且要了解數(shù)學(xué)發(fā)展的學(xué)科歷史，掌握數(shù)學(xué)的思想方法，深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)，懂得其來龍去脈及數(shù)學(xué)的價(jià)值。對(duì)于從事數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，不能不懂得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的原理、規(guī)則和思想方法，它們能使我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中更好地駕馭教材，把數(shù)學(xué)教學(xué)變得更為生動(dòng)，教出方法、教出發(fā)現(xiàn)、教出創(chuàng)新。因此，數(shù)學(xué)方法論是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展及自身成長的必備知識(shí)。
四、數(shù)學(xué)方法論在教學(xué)實(shí)踐中注意的問題
數(shù)學(xué)方法論是一門實(shí)踐性的學(xué)科，它在教學(xué)實(shí)踐中主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。在教學(xué)中，應(yīng)重視如何能將所學(xué)到的各種方法和策略應(yīng)用到實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去，包括以數(shù)學(xué)思維方法的分析去帶動(dòng)和促進(jìn)具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)。
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4.1關(guān)注學(xué)生最近發(fā)展區(qū)。
在貫徹?cái)?shù)學(xué)思想方法地教學(xué)中，要關(guān)注學(xué)生的最進(jìn)發(fā)展區(qū)，盡可能幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法并根據(jù)學(xué)生的差異，采取不同的思想方法，幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)遷移。布魯姆認(rèn)為，教育的基本任務(wù)是找到這樣的策略，既考慮到個(gè)別的差異，又能促進(jìn)個(gè)體最充分地發(fā)展。因此，教師應(yīng)盡可能設(shè)計(jì)有利于學(xué)生發(fā)展的教學(xué)環(huán)節(jié)，如在教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂探究等過程中，都應(yīng)該注意不同層次的學(xué)生能不同程度地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，使全體學(xué)生盡量使用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題，最終使每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平都有所發(fā)展。
4.2設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)情境，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺。
數(shù)學(xué)直覺是一種不包括普通邏輯推理過程的直接悟性，它的思維方式是有其特別之處的。培養(yǎng)直覺思維，我們還要從數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程入手證明問題?，F(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材都是經(jīng)過邏輯加工好的數(shù)學(xué)形式，定理的證明及公式的推導(dǎo)一般都是按照編排好的邏輯演繹方式進(jìn)行講授。在證明問題前，如果能先將數(shù)學(xué)結(jié)論獲得前的推測(cè)簡要地重現(xiàn)給學(xué)生，或者將自己對(duì)結(jié)論的猜測(cè)告訴學(xué)生，又或者創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生去猜測(cè)、提出疑問等引導(dǎo)學(xué)生探索“發(fā)現(xiàn)”結(jié)論將有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺。比如說下面例題：
橢圓+=1的焦點(diǎn)F、F，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FPF為鈍角時(shí)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍。
分析：點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，要使∠FPF＞90°，憑借直覺，首先想到當(dāng)∠FPF=90°時(shí)，點(diǎn)P的位置在哪里呢？又根據(jù)平面幾何知識(shí)可知點(diǎn)P又在以FF為直徑的圓周上，所以當(dāng)∠FPF=90°時(shí)，點(diǎn)P為圓和橢圓的交點(diǎn)，由對(duì)稱性有-＜x＜。
根據(jù)直覺思維考查問題，還要重視各個(gè)元素之間的聯(lián)系，以及系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)，從整體上把握研究的內(nèi)容和方向并選取數(shù)學(xué)問題供學(xué)生訓(xùn)練，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)去猜想、發(fā)現(xiàn)、最后論證。“直覺無處不在，直覺為我們打開發(fā)現(xiàn)真理的大門”。直覺思維是人類基本的思維形式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行上述思考和探索加上善于聯(lián)想數(shù)形結(jié)合，就一定能提高學(xué)生的直覺思維能力。
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