時(shí)間：2023-08-31 16:23:18
序論：在您撰寫(xiě)三角函數(shù)值規(guī)律時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開(kāi)闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
關(guān)鍵詞：直角三角形；邊角關(guān)系
中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）04-244-01
直角三角形的邊角關(guān)系，在現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用非常廣泛。而銳角的三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中有著重要的作用，如測(cè)量距離、角度、高度等問(wèn)題，特殊角30度、45度、60度角的三角函數(shù)值也是經(jīng)常用到的，但許多學(xué)生在應(yīng)用這些特殊角的三角函數(shù)值解決問(wèn)題時(shí)，卻總是出現(xiàn)記憶不牢靠或者張冠李戴的現(xiàn)象，如何讓學(xué)生牢固并熟練掌握這些特殊角的三角函數(shù)值呢？我覺(jué)得可以從以下幾個(gè)方面去加強(qiáng)。
一、引入圖形，讓學(xué)生建立清晰的第一印象
由于含30度、45度、60度的直角三角形三邊之間有著特殊比例關(guān)系，因此，教學(xué)時(shí)為了便于學(xué)生理解和記憶，可以根據(jù)含這些特殊角的三角形的邊角之間的關(guān)系，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如30度角所對(duì)的直角邊，所臨的直角邊，斜邊之比為1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三邊之比為1∶1∶√2，讓學(xué)生自己獨(dú)立完成這幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值的求值過(guò)程，學(xué)生根據(jù)定義，便可得到各角的三角函數(shù)值，學(xué)生經(jīng)歷了特殊角的三角函數(shù)值的求值過(guò)程，由于圖形的直觀(guān)作用，必然會(huì)產(chǎn)生清晰的第一印象，方便了記憶。
二、利用三角函數(shù)的增減規(guī)律進(jìn)行記憶
在直角三角形中，當(dāng)銳角的度數(shù)一旦確定，它對(duì)應(yīng)的正弦值、余弦值、正切值也隨之確定，當(dāng)銳角的度數(shù)發(fā)生變化，它的正弦值、余弦值、正切值也隨之發(fā)生變化，為了幫助學(xué)生探索并理解隨著銳角度數(shù)的增大或減小，它對(duì)應(yīng)的正弦值、余弦值、正切值變化的規(guī)律，可設(shè)計(jì)有公共銳角頂點(diǎn)且一直角邊有重疊，以及斜邊相等的一系列直角三角形，通過(guò)圖形，學(xué)生會(huì)直觀(guān)的感受到，當(dāng)銳角的度數(shù)逐漸增大，它所對(duì)的直角邊也隨之增大，它所鄰的直角邊則隨之減小，所以會(huì)很自然地得出結(jié)論，正弦值隨銳角的增大而增大，余弦值隨銳角的增大而減小，正切值隨銳角的增大而增大，用銳角三角函數(shù)的增減性，學(xué)生記憶這幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值就會(huì)容易許多。
三、尋找數(shù)字規(guī)律巧妙記憶
在記憶30度、45度、60度角的三角函數(shù)值時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較，尋找數(shù)字規(guī)律，巧妙記憶，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次對(duì)應(yīng)為：1即√1，√2，√3，而余弦值分子則分別是√3，√2，√1即1，分母也都是2。
四、利用互余兩角正弦和余弦之間的關(guān)系，及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)比較與聯(lián)系記憶。
關(guān)鍵詞：三角變換；誘導(dǎo)公式；倍角公式
三角變換是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是歷年高考的必考內(nèi)容，但也是學(xué)生們比較頭疼的地方，總結(jié)起來(lái)原因有二。第一，三角公式繁多，記憶時(shí)容易出錯(cuò)；第二，即使公式都記住了，用公式解題時(shí)不知道該用哪一個(gè)公式。本文就針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)容易出現(xiàn)的問(wèn)題，探討怎樣巧記活用三角公式進(jìn)行三角變換。
一、把握公式規(guī)律，巧記公式
對(duì)三角公式的準(zhǔn)確、熟練記憶是進(jìn)行三角變換的前提，但是三角公式繁多：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（8個(gè)）、誘導(dǎo)公式（36個(gè)）、兩角和與差的三角函數(shù)公式（6個(gè)）、二倍角公式（5個(gè)），再加上各組公式的變形，總共有60多個(gè)公式。如何才能保證記憶時(shí)不出現(xiàn)錯(cuò)誤呢？這就要求學(xué)生在記憶時(shí)不要死記硬背，而是要把握其中的規(guī)律，巧記公式。下面，介紹各組公式的記憶方法。
1. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
這組公式常稱(chēng)“三類(lèi)八式”，即這八個(gè)公式分為三大類(lèi)：平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系。八個(gè)公式可畫(huà)一個(gè)六邊形來(lái)記憶。
記法：①在最長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)上的兩個(gè)三角函數(shù)的乘積為1。如：tanα?cotα=1；②在3個(gè)倒三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方（中心點(diǎn)為1）。如：tan2α+1=sec2α；③任意一頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值等于與之相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的三角函數(shù)值的乘積。如：sinα=tanα?cosα.
2. 誘導(dǎo)公式
誘導(dǎo)公式看似很多，其實(shí)可以概括為一句口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。誘導(dǎo)公式左邊的角可統(tǒng)一寫(xiě)成k?±α(k∈Z)的形式，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，等號(hào)右邊的三角函數(shù)名稱(chēng)與左邊的三角函數(shù)名稱(chēng)正余互變，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，等號(hào)右邊的三角函數(shù)名稱(chēng)與左邊一樣；而公式右邊的三角函數(shù)之前的符號(hào)，則把α當(dāng)做銳角，k?±α為第幾象限，以及左邊的三角函數(shù)之前的符號(hào)即為公式右邊的符號(hào)。
3. 兩角和與差的三角函數(shù)公式
這6個(gè)公式可分為三組，故可分為三組來(lái)記憶。每一組的特征都很明顯：兩角和（差）的余弦：余余、正正、符號(hào)異；兩角和（差）的正弦：正余、余正、符號(hào)同；兩角和（差）的正切：分子同，分母異。
4. 二倍角公式
其實(shí)，二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式當(dāng)兩角相等時(shí)的特殊情況。把握住這點(diǎn)，記住兩角和的三角函數(shù)公式，二倍角公式自然就記住了。有規(guī)律有方法地巧記公式，有事半功倍的效果。
二、總結(jié)題型規(guī)律，活用公式
記 住了三角公式，如果不了解三角變換的提醒規(guī)律，也很難去用公式解題。三角變換題目雖然很多，但是也是有規(guī)律可循的，大致可以分為以下幾類(lèi)。
1. 角的變換
進(jìn)行角的變換常用的公式有誘導(dǎo)公式、兩角和（差）公式和二倍角公式。因此，題目當(dāng)中需要化角時(shí)就要想到用這些公式，而不是往別的公式上去套。例1：已知α、β為銳角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值。解析：此題就需要用到角的變換β=(α+β)-α，然后兩邊取正弦，右邊用兩角差的正弦公式展開(kāi)即可。
2. 函數(shù)名稱(chēng)的變換
一般是切割化弦或弦化切割，常用公式為同角三角關(guān)系式中的倒數(shù)關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式。例2：已知tanα=3，求的值。解析：已知正切的值，求關(guān)于正余弦的值，很顯然只能采用公式tanα=。
3. 常數(shù)變換
在三角變換中，有時(shí)需要將常數(shù)化為三角函數(shù)值，比較常見(jiàn)的是“1的變換”，常見(jiàn)的變形有1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=cot2α-
sos2α。例3: 若2k?仔-≤α≤2k?仔+(k∈Z)，則+的化簡(jiǎn)結(jié)果為( )。解析：巧用常數(shù)1的變換：1=sin2α+cos2α，則1-2sinαcosα= sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα-cosα)2，同理，1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2，再結(jié)合角的范圍開(kāi)方即可。
4. 冪的變換
降冪是三角函數(shù)變換時(shí)常用的方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)公式一般采用降冪處理方法，常用的降冪公式有：二倍角公式的逆用和同角三角函數(shù)平方關(guān)系式，降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪，如對(duì)無(wú)理式常用升冪處理變成有理式。例4：化簡(jiǎn)cos8x-sin8x+ sin2x?sin4x。解析：本題中三角函數(shù)的次數(shù)較高，需要從降冪入手進(jìn)行化簡(jiǎn)，先后用到平方差公式，二倍角公式和sin2α+cos2α =1。
總之，三角變換題目比較靈活，其解法也千變?nèi)f化，沒(méi)有固定的、唯一的解法。所以，在解題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)確定解題方法和變換技巧，再選擇有關(guān)公式，千萬(wàn)不能對(duì)公式生搬硬套。如果在學(xué)習(xí)過(guò)程中多歸納、多總結(jié)，注意分析題目的結(jié)構(gòu)及發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，則可以結(jié)合所學(xué)的知識(shí)迎刃而解了。
參考文獻(xiàn)：
[1]王紅霞.三角恒等變換的常用方法與技巧[J].新高考,2010(2).
1. 概念理解不透徹
例1 在RtABC中，各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大3倍，那么銳角A的三角函數(shù)值（ ）.
A. 都擴(kuò)大3倍 B. 都擴(kuò)大4倍
C. 不能確定 D. 沒(méi)有變化
【錯(cuò)解】A.
【分析】三角形三邊都擴(kuò)大3倍后的三角形與原三角形相似，所以直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值不變. 錯(cuò)解沒(méi)有真正理解三角函數(shù)的概念.
【正解】D. 三角函數(shù)的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值，大小只與角的度數(shù)有關(guān)，與邊的大小無(wú)關(guān).
2. 忽視求三角函數(shù)的限制條件
例2 （2012?江西內(nèi)江）如圖1，ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（ ）.
A. B.
C. D.
【分析】在本題的解答過(guò)程中，根據(jù)sinA=，部分同學(xué)會(huì)錯(cuò)誤地得出sinA=，導(dǎo)致結(jié)果與選項(xiàng)不符，要么隨便選一個(gè)，降低了正確率，要么開(kāi)始重新審題，浪費(fèi)了寶貴的考試時(shí)間. 這個(gè)錯(cuò)誤的根源在于沒(méi)有真正理解正弦的概念，沒(méi)有掌握銳角三角函數(shù)的使用條件：在直角三角形中. 因此本題需先尋找∠A所在的直角三角形，而圖中∠A所在的ABC并不是直角三角形，這就需要添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形. 如圖1，連接CD，得到CDAB，sinA===.
在斜三角形中求三角函數(shù)值時(shí)往往需要作高（形內(nèi)或者形外）構(gòu)造直角三角形.
3. 忽視分類(lèi)討論
例3 RtABC的兩條邊分別是6和8，求其最小角的正弦值.
【錯(cuò)解】6和8是直角三角形的兩邊，斜邊是10，最小角的正弦值是.
【分析】已知條件中并沒(méi)有指明6和8是兩條直角邊，所以本題應(yīng)分兩種情況：
（1） 6和8是兩條直角邊；
（2） 6是直角邊，8是斜邊.
很多同學(xué)錯(cuò)在忽視了第2種情況.
【正解】當(dāng)6和8是兩條直角邊時(shí)，斜邊是10，所以最小角的正弦值是.
當(dāng)6是直角邊，8是斜邊時(shí)，則另一直角邊是=2，所以最小角的正弦值是=. 綜上可知，最小角的正弦值是或.
4. 忽視銳角三角函數(shù)的范圍
例4 已知α為銳角，4tan2α-3=0，求tanα.
【錯(cuò)解】4tan2α-3=0，tan2α=，
tanα=±.
【分析】銳角三角函數(shù)值等于相應(yīng)直角三角形的邊的比，所以tanα>0.
【正解】4tan2α-3=0，tan2α=，tanα=
±. tanα>0，tanα=.
銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，在求解時(shí)不能忘記.
5. 混淆特殊角三角函數(shù)值的變化規(guī)律
例5 銳角α滿(mǎn)足
A. 30°
C. 45°
【錯(cuò)解】A.
【分析】正弦值與正切值都隨銳角度數(shù)的增大而增大，而余弦值是隨銳角度數(shù)的增大而減小. 本題錯(cuò)在沒(méi)有準(zhǔn)確掌握特殊角的三角函數(shù)，將特殊角的三角函數(shù)值張冠李戴，混淆了銳角的正弦值、余弦值的變化規(guī)律.
【正解】cos60°=，cos45°=，又余弦值隨銳角度數(shù)的增大而減小，cos60°
在銳角范圍內(nèi)，正弦與正切可以看成是單調(diào)遞增函數(shù)，即度數(shù)大三角函數(shù)值就大；而余弦正好相反.
6. 主觀(guān)臆斷
例6 在RtABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，則sin=______.
【錯(cuò)解】sinA===，
sin=.
【分析】本題錯(cuò)在將∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，兩者顯然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本題正確的解法是先求出∠A的度數(shù)，然后再求其正弦值.
【正解】sinA===，
∠A=60°，∠A=30°. sin=.
求一個(gè)角一半的三角函數(shù)值，應(yīng)先求出這個(gè)角的度數(shù)，然后再求其三角函數(shù)值，一定不能用三角函數(shù)值的一半作為角的一半的三角函數(shù)值.
【關(guān)鍵詞】 恒等變換 給值求值 給角求值 給值求角 綜合運(yùn)用
【中圖分類(lèi)號(hào)】G424 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02
三角恒等變換是高考的重點(diǎn)之一,要求掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考對(duì)本部分內(nèi)容的考點(diǎn):一方面是簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)、求值,以客觀(guān)題為主,難度一般不大,有時(shí)以向量為載體出現(xiàn)解答題;另一方面本節(jié)內(nèi)容常作為數(shù)學(xué)工具常融合三角函數(shù),這時(shí)要先對(duì)三角函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形,再深入考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。還需說(shuō)明一點(diǎn)的是“幾個(gè)三角恒等式”及積化和差、和差化積公式和半角公式不要求記憶和運(yùn)用,已經(jīng)淡出高考范圍。本文現(xiàn)從江蘇和全國(guó)其他各省近幾年的高考試卷中精選出一些典型考題與大家一起研討高考中這部分內(nèi)容的命題方向和考查方向,希望能起到一個(gè)拋磚引玉的效果。
1 高考命題熱點(diǎn)一:給值求值問(wèn)題。
【真題再現(xiàn)1】(2011年全國(guó)卷理科第14題)已知,,則
【解析】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與二倍角的正切公式的運(yùn)用。
由已知得,則,所以。
規(guī)律小結(jié):對(duì)于給值求值問(wèn)題,即由給出的某些角的三角函數(shù)值求另外一些角的三角函數(shù)值,關(guān)鍵在于變角,使目標(biāo)角變換成已知角,若角所在的象限沒(méi)有確定則應(yīng)分情況討論,應(yīng)注意這部分內(nèi)容中公式的正用、逆用、變形利用,同時(shí)根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征,學(xué)會(huì)拆角、拼角等技巧,
如,等。
2 高考命題熱點(diǎn)二:給角求值問(wèn)題。
【真題再現(xiàn)2】(2006年江蘇卷第14題)
【解析】本題考查了切割化弦、輔助角公式
,倍角正弦公式、降冪公式。原式
=
=
=。
規(guī)律小結(jié):給角求值問(wèn)題,一般給出的角都是非特殊角,從表面來(lái)看是很難的,但仔細(xì)觀(guān)察非特殊角與特殊角總有一定的關(guān)系。解題時(shí)要利用觀(guān)察得到的關(guān)系,結(jié)合三角公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消去非特殊角的三角函數(shù)而得到解,有時(shí)還要逆用、變用公式,同時(shí)結(jié)合輔助角公式和升冪、降冪公式等技巧。
3 高考命題熱點(diǎn)三:給值求角問(wèn)題。
【真題再現(xiàn)3】(2008年江蘇卷第15題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸為始邊做兩個(gè)銳角,,它們的終邊分別與單位圓相交于A(yíng),B兩點(diǎn),已知A,B的橫坐標(biāo)分別為。(1)求的值;(2)求的值。
【解析】本題融合三角函數(shù)的定義,考查兩角和的正切公式、二倍角的正切公式。由條件得,因?yàn)?為銳角,所以=,因此
(1),
(2),所以,因,為銳角則,故=
規(guī)律小結(jié):給值求角問(wèn)題,往往通過(guò)間接求出這個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值,再得出這個(gè)角的大小,選取某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)可按照下列原則:一般已知是角的正切函數(shù)值,則選所求角的正切函數(shù)值;已知條件是正弦、余弦函數(shù)值,則選所求角的正弦、余弦函數(shù)值皆可;若所求角的范圍是,則選該角的正弦函數(shù)值較好;若所求角的范圍是,則選該角的余弦函數(shù)值較好。解決給值求角問(wèn)題分三步:第一步是求該角的某個(gè)三角函數(shù)值,第二步是確定該角所在的范圍,第三步是根據(jù)角的范圍寫(xiě)出所求的角。
4 高考命題熱點(diǎn)四:三角恒等變換與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用問(wèn)題。
【真題再現(xiàn)4】(2011年重慶卷第16題)設(shè),
,滿(mǎn)足,求函數(shù)在上的最大值和最小值。
【解析】本題考查融合了三角函數(shù)的單調(diào)性和最值的性質(zhì),考查誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、降冪公式、公式
,又考查綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。由已知 ,由得,因此
;由及,解得增區(qū)間;由及,解得減區(qū)間,所以函數(shù)在上的最大值是;又因,則函數(shù)在上的最小值為。
【真題再現(xiàn)5】(2009年江蘇卷第15題)設(shè)向量
,,。
(1)若與垂直,求的值;
(2)求的最大值;(3)若,求證:∥。
【解析】 本題主要考查融合向量的基本概念與向量平行,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、
二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式,考查運(yùn)算和證明得基本能力、綜合分析問(wèn)題和解
決問(wèn)題的能力。
(1)由與垂直,,即
,。
(2)4,
,則的最大值是。
(3)由得,即,所以∥。
規(guī)律小結(jié):三角恒等變換與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用,大多以解答題的形式出現(xiàn),它一方面融合平面向量知識(shí)考查化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式,學(xué)生必須掌握好平面向量知識(shí)特別是數(shù)量積的運(yùn)算才能順利解答問(wèn)題;另一方面三角恒等變換為數(shù)學(xué)解題工具,它往往融合三角函數(shù)考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)(如周期性、單調(diào)性、值域、最值等),這類(lèi)題突破的關(guān)鍵是能正確快速地對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),化簡(jiǎn)的技巧和原則:①采用遇平方降冪的方法使式子的次數(shù)盡量低;②采用輔助角公式、切弦互化使式子的函數(shù)種類(lèi)盡量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的種類(lèi)盡量少;④采用通分等變形技巧使式子結(jié)構(gòu)盡量簡(jiǎn)單,同時(shí)還要注意角的范圍及三角函數(shù)的正負(fù)。隨著知識(shí)的深入還會(huì)更多的接觸到三角恒等變換與解三角形(正弦、余弦定理)融合的題型。
5 高考的考查特點(diǎn)分析和方向預(yù)測(cè)。
上面就一些高考中的三角恒等變換知識(shí)進(jìn)行了深入的分析,通觀(guān)全國(guó)各省對(duì)三角恒等變換的考查,我們發(fā)現(xiàn)有以下特點(diǎn):
(1)分文理科的地區(qū),兩科對(duì)三角恒等變換均有考查;文理試題的題目基本相同,難度區(qū)分不大。
(2)區(qū)分度問(wèn)題:三角恒等變換部分不會(huì)出非常難的題目,一般都是以容易題、中檔題出現(xiàn)。
（3）題型方面:全國(guó)各省在選擇題和填空題中都有所考查,更側(cè)重填空題;在解答題中考查但難度不大;全國(guó)各省高考大多數(shù)都是考一道填空題容易題和一道解答形式的中檔題。
關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；誘導(dǎo)公式；教學(xué)探討
中圖分類(lèi)號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）14-0283-02
目前我國(guó)正在大力地發(fā)展職業(yè)教育，職業(yè)教育的價(jià)值不僅表現(xiàn)為經(jīng)濟(jì)發(fā)展、社會(huì)和諧作做出了貢獻(xiàn)，而且在促進(jìn)社會(huì)就業(yè)、個(gè)人發(fā)展方面做出了貢獻(xiàn).數(shù)學(xué)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、分析推理能力有著不可代替的重要作用，數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)技能知識(shí)的重要工具.三角函數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也可以說(shuō)是幾乎所有高科技的基礎(chǔ)，它是基本初等函數(shù)中的一種，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中都有著重要的不容忽視的核心地位與重要作用.
中職數(shù)學(xué)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式這節(jié)內(nèi)容，在三角函數(shù)部分具有非常重要的地位.學(xué)生能夠掌握并正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式，對(duì)解決三角函數(shù)有關(guān)問(wèn)題會(huì)起到事半功倍的作用.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式是中職數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的重要公式，然而三角函數(shù)誘導(dǎo)公式多而復(fù)雜，利用傳統(tǒng)誘導(dǎo)公式求解相應(yīng)的三角函數(shù)，步驟多且難以理解.如何解決這一難題？筆者在多年的教學(xué)中總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，將三角函數(shù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行拓展，化難為易，以適應(yīng)中職生的學(xué)習(xí)需求.下面筆者就多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合中職學(xué)生的具體實(shí)際，談一談?wù)T導(dǎo)公式教與學(xué)的一些做法，以期為其他同行教師提供一些參考.
中職數(shù)學(xué)誘導(dǎo)公式共有2kπ+α，-α（或2π-α），π+α及π-α四套公式.利用公式的目的就是要把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值.以往學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)最大的困惑是記不住公式和不會(huì)運(yùn)用公式.現(xiàn)就以上問(wèn)題和大家一起探討我在上課時(shí)不太成熟的解決問(wèn)題方法.
一、推導(dǎo)公式
中職教材公式的推導(dǎo)方法學(xué)生不易理解，即使聽(tīng)懂了，學(xué)生也記不住.我在教學(xué)誘導(dǎo)公式時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察上述四套公式，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)幾套公式中，都與2π或π有關(guān)，化簡(jiǎn)后三角函數(shù)名稱(chēng)都不變，符號(hào)有的改變，有的沒(méi)變.然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值“三角函數(shù)名稱(chēng)不變，符號(hào)看象限”的口訣.這里如何確定角的象限至關(guān)重要.例如：π+α這套公式，先設(shè)α為銳角，則π+α為第三象限的角，第三象限角的正弦值為負(fù)，故sin（π+α）=-sinα；同理，第三象限角的余弦為負(fù)，故cos（π+α）=-cosα；第三象限角的正切為正，故tan（π+α）=tanα.這樣學(xué)生只要記住不同象限角的三角函數(shù)值的正負(fù)情況，自己就能輕松推導(dǎo)出公式.不同象限角的各種三角函數(shù)值的正負(fù)口訣是：“一全正、二正弦、三為切、四正弦.”
學(xué)生推導(dǎo)完公式之后，讓他們和教材公式對(duì)照比較，發(fā)現(xiàn)完全正確，他們一定會(huì)有一種成就感.這時(shí)教師不失時(shí)機(jī)地強(qiáng)調(diào)，當(dāng)角α為任意角時(shí)，上述公式照樣適用.通過(guò)以上的方法教與學(xué)，學(xué)生能夠非常順暢地掌握公式.即使課后學(xué)生忘記了，自己也能輕易地推導(dǎo)出來(lái).這樣，在課堂上就能節(jié)省大量時(shí)間.原來(lái)需要四節(jié)課才能講完的內(nèi)容，兩節(jié)課就能講完，并且效果還好.這樣也極大地增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.
二、運(yùn)用公式
我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中教給學(xué)生掌握公式固然重要，但讓學(xué)生會(huì)正確地使用公式更重要.不會(huì)使用公式從理論上說(shuō)等于零.就像士兵一樣，擁有了先進(jìn)的，強(qiáng)大的武器裝備，但不了解其性能，不會(huì)使用它，一點(diǎn)用都沒(méi)用.我們?cè)诮虒W(xué)中遇到問(wèn)題最多的是：學(xué)生經(jīng)常問(wèn)老師這些公式怎么用.所以教師教會(huì)學(xué)生如何正確使用公式至關(guān)重要.
三、課后思考
師者，所以傳道授業(yè)解惑也.授之魚(yú)不如授之以漁.教師不但要善于傳授知識(shí)，還要能夠幫助學(xué)生總結(jié)規(guī)律性的東西，并且運(yùn)用規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題.要正確引導(dǎo)學(xué)生善于觀(guān)察問(wèn)題、分析問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題.我在講授三角函數(shù)誘導(dǎo)公式時(shí)，沒(méi)有利用單位圓和對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)進(jìn)行復(fù)雜的推導(dǎo)，那樣講對(duì)于職業(yè)學(xué)?；A(chǔ)較差的學(xué)生來(lái)說(shuō)太難了.而我通過(guò)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式知識(shí)的教與學(xué)，是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種數(shù)學(xué)思想，那就是不完全歸納法的具體運(yùn)用.它和學(xué)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式一樣，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，利用不完全歸納法非常自然地歸納出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.我們推導(dǎo)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式時(shí)，先設(shè)角α為銳角，利用不同象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)，引導(dǎo)學(xué)生毫無(wú)費(fèi)力地推導(dǎo)出每個(gè)公式，最后讓學(xué)生明白當(dāng)角α為任意角時(shí)照樣適用.在這樣的數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，學(xué)生就能自主輕松地推導(dǎo)公式，掌握公式，達(dá)到事半功倍的效果.從而突破了本節(jié)課的難點(diǎn)，為順利求出各種形式的角的三角函數(shù)值打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在求任意角三角函數(shù)值時(shí)，教師也要引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察，分析每一套公式的特點(diǎn)和使用的條件，讓學(xué)生做到有的放失，少走彎路，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練，很自然地學(xué)會(huì)利用哪個(gè)公式求值了.
總之，教師上好每一節(jié)課，不是簡(jiǎn)單地傳授知識(shí)，而是要注重引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律.讓學(xué)生更好地運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，從而搞好我們的教學(xué)工作.這樣也能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)工具科的作用，更好地為專(zhuān)業(yè)課教學(xué)服務(wù)，提高學(xué)生的文化素質(zhì)和專(zhuān)業(yè)技術(shù)素養(yǎng).
參考文獻(xiàn)：
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“任意角的三角函數(shù)”教材中以初中所學(xué)的銳角三函數(shù)數(shù)為引入，要學(xué)生利用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)?？墒窃诮虒W(xué)過(guò)程中，本人發(fā)現(xiàn)從長(zhǎng)度到坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化過(guò)程學(xué)生理解上存在困難，而且在知識(shí)點(diǎn)的遷移擴(kuò)展上存在不清楚的問(wèn)題。例如，以下教學(xué)過(guò)程：
引入：銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎？
思考：對(duì)于確定的角α，這三個(gè)比值是否會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變呢？
顯然，我們可以將點(diǎn)取在使線(xiàn)段OP的長(zhǎng)r=1的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：
思考：上述銳角α的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示。那么，角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何對(duì)初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個(gè)問(wèn)題――任意角的三角函數(shù)。
探究新知：
1.探究：結(jié)合上述銳角α的三角函數(shù)值的求法，我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢？
顯然，我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，然后就可以類(lèi)似銳角求得該角的三角函數(shù)值了。所以。我們?cè)诖艘雴挝粓A的定義：在直角坐標(biāo)系中，我們稱(chēng)以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓。
2.思考：如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義？
如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么：
（1）y叫做α的正弦（sine），記做sinα，即sinα=y；
（2）x叫做α的余弦（cossine），記做cosα，即cosα=x；
注意：當(dāng)α是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同（指出對(duì)邊，鄰邊，斜邊所在）；當(dāng)α不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)?，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)P（x，y），從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值。
3.思考：如果知道角終邊上一點(diǎn)，而這個(gè)點(diǎn)不是終邊與單位圓的交點(diǎn)，該如何求它的三角函數(shù)值呢？
【關(guān)鍵詞】三角函數(shù) 教材分析 教學(xué)建議
在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí)。三角函數(shù)是學(xué)生遇到的第一個(gè)周期性函數(shù)，是中等教育階段最后一個(gè)基本初等函數(shù)。學(xué)完本章以后，學(xué)生應(yīng)對(duì)函數(shù)的一般內(nèi)容，如函數(shù)符號(hào)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等建立更完整的認(rèn)識(shí)。
初中數(shù)學(xué)教學(xué)中已有銳角的三角函數(shù)的概念，但沒(méi)有將其作為一種函數(shù)來(lái)教學(xué)，關(guān)注的只是三角函數(shù)值，主要利用銳角三角函數(shù)的定義解決直角三角形中有關(guān)邊角的問(wèn)題。到了中職教育階段，需要從函數(shù)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)，落實(shí)大綱中與三角函數(shù)部分相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容與要求。
本章首先對(duì)角的概念進(jìn)行推廣，并通過(guò)弧度制對(duì)角的度量建立角與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)奠定基礎(chǔ)；為了角的概念推廣的需要，把角放到平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，不僅建立了角的大小與終邊位置的關(guān)系，而且通過(guò)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義任意角的三角函數(shù)，并利用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的正負(fù)直觀(guān)性，判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，得到特殊角的三角函數(shù)值，建立同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)圖像以及誘導(dǎo)公式幫助學(xué)生從“形”與“數(shù)”兩方面理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的變化規(guī)律；最后利用計(jì)算器及誘導(dǎo)公式，能由已知三角函數(shù)值求出指定范圍的角。
本章內(nèi)容分為五個(gè)部分：角的概念推廣，弧度制，任意角三角函數(shù)的概念及相關(guān)公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角。
《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》建議本章設(shè)置18課時(shí)，其中新授部分16課時(shí)，復(fù)習(xí)部分2課時(shí)。
《大綱》對(duì)本章知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求包括：4項(xiàng)“了解”（角的概念推廣、誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求指定范圍內(nèi)的角）；4項(xiàng)“理解”（弧度制，任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)）；2項(xiàng)“掌握”（利用計(jì)算器求三角函數(shù)值及利用計(jì)算器求角度）。
本章可看作是第三章（函數(shù)）的延伸和拓展，在教學(xué)中要注意讓學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)與一般函數(shù)之間的關(guān)系，即個(gè)性與共性之間的關(guān)系。同時(shí)，在本章的教學(xué)中，要特別注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如突出“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。由于三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，所以教學(xué)中既要“以形助數(shù)”，突出幾何直觀(guān)幫助學(xué)生理解抽象概念，又要“以數(shù)助形”，通過(guò)代數(shù)性質(zhì)反映圖像的變化規(guī)律。再如，由銳角的三角函數(shù)值到任意角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)圖像上一點(diǎn)的作法到一個(gè)周期內(nèi)的圖像上的畫(huà)法乃至整個(gè)定義域上的圖像的畫(huà)法等都遵循了由特殊到一般的思維方法。學(xué)好余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的最有效的方法是與正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行類(lèi)比。
下面，筆者對(duì)本章的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)習(xí)準(zhǔn)備、教學(xué)探究、教學(xué)過(guò)程及例題處理等方面，分節(jié)給出教學(xué)建議。
一、5.1角的概念推廣（2課時(shí)）
在學(xué)習(xí)了角概念的基礎(chǔ)上，本節(jié)的學(xué)習(xí)將進(jìn)行角的概念推廣。在初中，角的定義是有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形，角的范圍是0°～360°。
為了研究的方便，常將角放在平面直角坐標(biāo)系中，一般將角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與X軸的正半軸重合。這樣對(duì)所有的角來(lái)說(shuō)，角的頂點(diǎn)、始邊是相同的，區(qū)別僅在終邊，而終邊的位置就決定了它是哪個(gè)象限的角。
銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角；鈍角是第二象限角，但第二象限角不一定是鈍角。
由“問(wèn)題解決”可歸納出一般的結(jié)論：
若α是第一象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第二象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第三象限角，則α/2是第二或第四象限角；若α是第四象限角，則α/2是第二或第四象限角。
二、5.2弧度制（1課時(shí)）
本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中學(xué)習(xí)的角度制基礎(chǔ)上進(jìn)行的。首先要引導(dǎo)學(xué)生回顧角度制的規(guī)定：一個(gè)周角的1/360叫做一度。
在此基礎(chǔ)上通過(guò)多種形式的教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生理解：弧度制是一種新的度量角的單位制。一個(gè)角的弧度數(shù)就是這個(gè)角（以角的頂點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑的圓的圓心角）所對(duì)弧的長(zhǎng)度與半徑的比值，關(guān)鍵是要掌握弧度與角度換算的基本關(guān)系式：360°=2π（rad）或180°=π（rad）。
三、5.3任意角的三角函數(shù)（2課時(shí)）
本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。在初中，學(xué)生是通過(guò)直角三角形邊的比值來(lái)規(guī)定角的三角函數(shù)值：對(duì)于一個(gè)直角三角形的銳角，其正弦值為對(duì)邊與斜邊的比值，余弦值為鄰邊與斜邊的比值，正切值為對(duì)邊與鄰邊的比值。現(xiàn)在對(duì)任意角，分別用三個(gè)比值y/r、x/r、y/x來(lái)規(guī)定，它們都只與角的終邊所在位置有關(guān)，而與點(diǎn)P在角的終邊上的具置無(wú)關(guān)。
從“問(wèn)題解決”中，我們可以得出結(jié)論：
一個(gè)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就等于這個(gè)角的正弦；與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就等于這個(gè)角的余弦；與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值就等于這個(gè)角的正切。
由討論可知，對(duì)于任意角α，它的正弦、余弦都有意義（因?yàn)閞>0），但正切不同（因?yàn)閠anα=y/x，x有可能為0），只有當(dāng)x≠0，即角α的終邊不在y軸上才有意義。因此，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是R，正切函數(shù)的定義域是{α|α≠π/2+kπ，k∈Z}。
要確定角α的三個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵還應(yīng)從任意角的三角函數(shù)的定義出發(fā)，結(jié)合圖形更容易掌握。
四、5.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2課時(shí)）
本教材是利用單位圓導(dǎo)出同角三角函數(shù)基本關(guān)系的：角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就等于sinα，橫坐標(biāo)就等于cosα。由此就能得到sin2α+cos2α=1（稱(chēng)為平方關(guān)系）；再由正切的定義tanα=y/x，就可得到sinα/cosα=cosα（稱(chēng)為商數(shù)關(guān)系）。
由兩個(gè)基本關(guān)系式可知，一個(gè)角的正弦、余弦、正切函數(shù)值之間是相互關(guān)聯(lián)的。因此，已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，就可利用基本關(guān)系式求出其余兩個(gè)三角函數(shù)值。
學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系后，除了可以解決已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值，還可以對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)。要啟發(fā)學(xué)生在解題的基礎(chǔ)上討論并總結(jié)化簡(jiǎn)的原則。
五、5.5三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（2課時(shí)）
根據(jù)終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，就能得到誘導(dǎo)公式1；根據(jù)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)關(guān)系，就能得到誘導(dǎo)公式2、誘導(dǎo)公式3、誘導(dǎo)公式4。
要掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，關(guān)鍵是要掌握公式2、3、4的特點(diǎn)：函數(shù)名稱(chēng)不變，至于正負(fù)號(hào)，可以通過(guò)特殊化的辦法來(lái)確定。既然公式對(duì)任意角α都成立，那么，當(dāng)α是銳角時(shí)當(dāng)然也成立。當(dāng)α是銳角時(shí)，-α為第四象限角，其正弦、正切值為負(fù)，余弦值為正，因此，-α的正弦、余弦、正切就分別為-sinα、cosα和-tanα。公式3、4也是如此。
用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)值化為[0，π/2]內(nèi)的角的三角函數(shù)值，正確地化角和正確地運(yùn)用誘導(dǎo)公式是關(guān)鍵。
由“問(wèn)題解決”可知，誘導(dǎo)公式之間是有聯(lián)系的。如對(duì)于sin（π+α），我們可以作如下轉(zhuǎn)化：
sin（π+α）=sin[π-（-α）]=sin（-α）=-sinα.
分析例4時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生回顧：判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，一般都是從定義出發(fā)。在確認(rèn)了定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，接著就考察f（-x）的結(jié)果等于f（x）還是-f（x），進(jìn)而判定這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。
六、5.6正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（3課時(shí)）
用正弦線(xiàn)作正弦曲線(xiàn)的好處是不需要計(jì)算角的正弦值，實(shí)際就是把正弦線(xiàn)平移到相應(yīng)角的位置。這里要特別注意在坐標(biāo)系里橫軸、縱軸的單位必須一致，同時(shí)注意曲線(xiàn)的走向，[0，π]是向上凸的，[π，2π]是向下凹的。“五點(diǎn)法”作正弦曲線(xiàn)，實(shí)際就是列表描點(diǎn)法。這里的五個(gè)點(diǎn)分別是曲線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)和最高點(diǎn)及最低點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)的間隔是π/2。
無(wú)論是幾何法還是“五點(diǎn)法”，都是為了找到曲線(xiàn)上的一些點(diǎn)，再用光滑的曲線(xiàn)把這些點(diǎn)連接起來(lái)。熟練之后就要把握好正弦曲線(xiàn)的形狀和特征，能迅速畫(huà)出正弦曲線(xiàn)的草圖。
由教材P152的“思考交流”所得結(jié)論，我們可以進(jìn)一步推廣：y=-f（x）的圖像，與y=f（x）的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，y=f（x）+1的圖像，可以由y=f（x）的圖像向上平移一個(gè)單位而得到。
無(wú)論是單位圓中角在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中正弦線(xiàn)的變化規(guī)律，還是由誘導(dǎo)公式1，均能得出正弦函數(shù)的圖像是呈“周而復(fù)始”的規(guī)律的。結(jié)合周期函數(shù)的定義和對(duì)周期的規(guī)定，由“探究”所得結(jié)論可知，正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，它的周期為2kπ，k∈Z，最小正周期為2π。
要判斷一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)，通常是按照定義，尋找非零常數(shù)T，滿(mǎn)足f（x+T）=f（x）。由于已約定，在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下，我們所說(shuō)的周期都是最小正周期。因此，在找到這樣的常數(shù)T之后，還要再找出其中的最小正數(shù)。
由于正弦函數(shù)y=sinx的周期為2π，也就是說(shuō)其圖像每經(jīng)過(guò)2π就重復(fù)，因此，要討論正弦函數(shù)的單調(diào)性，只需選取長(zhǎng)度為2π的區(qū)間即可。
解決了例3后，可啟發(fā)學(xué)生總結(jié)：遇到出現(xiàn)含有正弦式的等式，求其他量的范圍問(wèn)題時(shí)，通常是把正弦式放在等式的一側(cè)，其余的放在另一側(cè)。由于sinx的取值范圍是[-1，1]，等式另一側(cè)表達(dá)式的取值范圍也就是[-1，1]，這樣就可求出其他量的范圍。
不求值比較兩個(gè)角的正弦值的大小時(shí)，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問(wèn)題化為在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)角的正弦，再根據(jù)單調(diào)性來(lái)確定它們的大小。
七.5.7余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（2課時(shí)）
本節(jié)的教學(xué)過(guò)程中要充分運(yùn)用好類(lèi)比法，利用上一節(jié)研究正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的類(lèi)似方法來(lái)研究余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)。
與畫(huà)正弦線(xiàn)類(lèi)似，我們要畫(huà)出余弦函數(shù)y=cosx圖像上的點(diǎn)（x，cosx）。但余弦線(xiàn)不像正弦線(xiàn)那樣是“豎立”的。從畫(huà)圖的角度來(lái)說(shuō)，得到每一個(gè)角的余弦線(xiàn)后，用圓規(guī)還是可以把它移到相應(yīng)的位置使它“立”起來(lái)的，但這樣做比較麻煩。用教材P157上的圖5-23，就能達(dá)到使它“立”起來(lái)的效果，這樣畫(huà)圖就比較方便。
無(wú)論是幾何法還是“五點(diǎn)法”，都是為了找到余弦函數(shù)y=cosx圖像上的一些點(diǎn)，再用平滑的曲線(xiàn)把這些點(diǎn)連接起來(lái)。熟練之后把握好余弦曲線(xiàn)的形狀和特征，就能迅速畫(huà)出余弦曲線(xiàn)的草圖。
仔細(xì)觀(guān)察教材P159的“思考交流”中的圖5-28，我們可以發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個(gè)單位得到。
類(lèi)比正弦函數(shù)的性質(zhì)，很容易得到余弦函數(shù)的前三個(gè)性質(zhì)，對(duì)照正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義域、值域、周期沒(méi)有變化，最大的區(qū)別在于奇偶性（是偶函數(shù)）、單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間不同）和最大值最小值（取得最大值最小值的自變量不同）。如此類(lèi)同的根本原因，可以從幾何上得到解釋?zhuān)河嘞液瘮?shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個(gè)單位得到。
不求值比較兩個(gè)角的余弦值的大小時(shí)，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問(wèn)題化為在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)角的余弦，再根據(jù)單調(diào)性來(lái)確定它們的大小。
對(duì)于例3，解決時(shí)要有整體意識(shí)，即把x/3看作一個(gè)角，為了方便，用換元法，設(shè)t=x/3，由t=2kπ，就能得到x/3=2kπ，從而得到x=6kπ。最后還須注意把所得結(jié)果寫(xiě)成集合形式。
八、5.8已知三角函數(shù)值求角（2課時(shí)）
為了解決有關(guān)已知三角函數(shù)值求角的問(wèn)題，學(xué)生需要具備良好的基礎(chǔ)。為此，教師要組織同學(xué)一起回顧本章前面所學(xué)的知識(shí)，特別是誘導(dǎo)公式，各個(gè)象限的三角函數(shù)值的符號(hào)以及特殊角的三角函數(shù)值等。
