時間：2023-08-20 14:47:34
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【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)解題規(guī)律邏輯思維
一、數(shù)學(xué)思想方法
在解題的過程中，學(xué)生對于題目的思考方式和技巧都是影響最終得分的關(guān)鍵因素，因此在教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生獨(dú)立計(jì)算出數(shù)學(xué)問題，并引導(dǎo)他們能夠?qū)?shù)學(xué)思想方法有一個清晰的認(rèn)識，這樣才能正確地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和學(xué)會總結(jié)解題的方法和技巧，提高學(xué)生的解題能力。根據(jù)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)課程，學(xué)生所需要掌握的數(shù)學(xué)思想方法主要有：函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想。學(xué)生能夠充分地在初中階段數(shù)學(xué)的各種題型中運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思考方法，那么他們基本上就已經(jīng)開始了解初中數(shù)學(xué)的解題規(guī)律。下面，作者將簡單地介紹以上幾種數(shù)學(xué)思想方法：
（一）轉(zhuǎn)化與化歸思想
這種思想方法的實(shí)質(zhì)就是揭示問題和結(jié)果之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)從問題到結(jié)果之間的轉(zhuǎn)化。具體操作是通過一系列的觀察、分析、聯(lián)想和類比的過程，運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)方法把問題進(jìn)行交換，劃歸為已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識范圍內(nèi)進(jìn)行簡單的解決。
（二）數(shù)形結(jié)合思想
這是在初中階段較為重要的思想方法。數(shù)，是形的抽象概括；形，是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合思想多采用與幾何圖形的直觀表示數(shù)問題和運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的問題。
（三）分類討論思想
該思想方法多采用于證明題或幾何題。把一個較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分割成若干個小問題逐步解決，從而達(dá)到解決整體問題的目的。是較為常用且重要的思想方法之一。
（四）函數(shù)與方程思想
函數(shù)與方程思想多用于函數(shù)和方程的填空、選擇和解答題中。這種題型首先要做的就是觀察題目所給的圖像，從已知條件出發(fā)，建立有關(guān)的函數(shù)解析式，并認(rèn)真仔細(xì)地進(jìn)行分析，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，最終解決問題。
二、初中數(shù)學(xué)解題規(guī)律
初中數(shù)學(xué)的題目內(nèi)容主要是數(shù)與代數(shù)式、方程與不等式、各種函數(shù)以及幾何證明題和解答題等，而主要題型是選擇題、填空題、解答題以及證明題。在數(shù)學(xué)這門科目中取得高分的關(guān)鍵就是根據(jù)考試內(nèi)容和考試的題型采用不同的解題方法，這樣不僅達(dá)到得高分的目的，而且對于節(jié)省大量的考試時間有極大的幫助。作者將會結(jié)合上文所提到的數(shù)學(xué)思想方法簡單地總結(jié)初中階段數(shù)學(xué)的解題規(guī)律。
（一）選擇填空題
作者堅(jiān)信，只要能夠掌握初中數(shù)學(xué)的解題規(guī)律一定能夠把高分視為囊中之物。不少同學(xué)因?yàn)楦鞣N因素?zé)o法合理安排考試做題時間，導(dǎo)致最后總分都偏低?，F(xiàn)在作者將會以選擇填空題作為例子，簡單介紹幾個巧妙的方法幫助同學(xué)們節(jié)省考試時候做題的時間。
1.直接推演法。顧名思義，直接推演法就是從題目所給的已知條件出發(fā)，利用各種數(shù)學(xué)公式、法則以及定理等進(jìn)行一系列的邏輯推理和運(yùn)算，是一種較為傳統(tǒng)且簡單的解題方法。
2.驗(yàn)證法。在做選擇題的時候，可以把各個選項(xiàng)帶入到題目中去進(jìn)行驗(yàn)算，驗(yàn)證這一個選項(xiàng)是不是正確答案，因此，這個解題方法也可以成為代入法。一般來說，定量命題大多可以利用這個解題方法解決。
3.分析法。對于題目中所給出的條件和結(jié)論進(jìn)行詳細(xì)的分析和判斷，計(jì)算和選擇最終的正確答案，這就是分析法。
4.特殊元素法?？梢岳靡恍┓项}目條件的特殊元素代入到題目的條件或結(jié)論中去，從而得出答案，如計(jì)算題型時可代入特殊數(shù)字1、幾何題型可代入特殊圖形正方形等等。
5.排除、篩選法。對于正確答案有且只有一個的選擇題，可以根據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識以及一系列的推理和驗(yàn)算把錯誤的答案排除，最終得出正確的結(jié)論。
（二）探索題
初中階段的數(shù)學(xué)探索題目大多以命題缺少題設(shè)或結(jié)論為主，要求學(xué)生通過推理或證明并補(bǔ)充命題，大致可以分為以下幾類：
1.條件類。一般要求學(xué)生利用一部分的條件或結(jié)論推理出所缺少的條件。這種類型的題目可以采用逆向思維求得答案。
2.結(jié)論類。這種題型要求學(xué)生根據(jù)已知條件求出相應(yīng)的結(jié)論。
3.情景類。把實(shí)際問題通過建模方式轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，要求學(xué)生計(jì)算出最佳決策。這種題目主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。
4.策略類。這種題型并沒有唯一的解答方案，學(xué)生可以通過各種途徑，利用各種數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答，為求學(xué)生能夠突破慣性思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。
（三）幾何題
幾何題類型一直都是初中學(xué)生的心頭大患。它要求學(xué)生要具有一定的空間思維想象力和邏輯推理辯證能力，有很多學(xué)生面對這種題目都無從下手，是一大失分點(diǎn)。
1.構(gòu)造法。在很多幾何證明題目當(dāng)中，往往需要學(xué)生自己構(gòu)造出一些輔助線，并同時利用一些定理和法則才能夠解答問題。構(gòu)造法是比較常見的解題方法，有時候在代數(shù)、三角的題目中也能夠采用。
2.反證法。有些幾何證明題并不只有一種證明方法，學(xué)生可以先假設(shè)一個和命題的結(jié)論相反的結(jié)果，然后從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评硗瞥雠c題目的條件相矛盾，從而可以否定這個假設(shè)，肯定原命題的結(jié)論。和構(gòu)造法一樣，在很多計(jì)算題型中也可以用到。
3.面積法。在很多幾何題目中，面積公式不僅能夠計(jì)算面積，還可以證明平面幾何所需的結(jié)論。
三、結(jié)言
綜上所述，不難看出在數(shù)學(xué)的解題過程中往往要求學(xué)生能夠靈活多變，傳統(tǒng)的解題方法解決不了就要利用特殊的方法進(jìn)行解答。以上所提到的解題技巧在解題過程中都是十分重要的，因此，教師的引導(dǎo)作用和教導(dǎo)作用是十分重要的。作者堅(jiān)信，學(xué)生只要把握到初中階段的數(shù)學(xué)解題規(guī)律，才能夠提高解題效率，增強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力。
【參考文獻(xiàn)】
[1]崔正月.函數(shù)y=k/x解題技巧[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2010.
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；規(guī)律探究性題目；解題技巧；共性；特性；數(shù)學(xué)思想
一、代數(shù)中的規(guī)律問題
規(guī)律問題的設(shè)置，通常按照一定的順序給出一序列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律。而揭示的規(guī)律常常包含著事物的序列號。所以，把變量和序列號放在一起加以比較，就能很快的發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。
例1.有一組數(shù)為1，3，6，10，15，21......，第n個數(shù)為――。
分析：第一步，尋找個體的共性。這組數(shù)的每一個數(shù)都等于它的序列號數(shù)加上它前面的一個數(shù)字。
第二步，尋找個體的特性，探求特性中的共性（即找第一個數(shù)與1的關(guān)系，第二個數(shù)與2的關(guān)系，第三個數(shù)與3的關(guān)系……），第一個數(shù)1=1，第二個數(shù)3=2+1，第三個數(shù)6=3+3=3+2+1，第四個數(shù)10=4+6=4+3+2+1，第五個數(shù)15=5+10=5+4+3+2+1，也就是說每一個數(shù)都可表示為一個數(shù)列的和，因此，第n個數(shù)為n+（n-1）+（n-2）+（n-3）+（n-4）+（n-5）+……+3+2+1=n（n+1）/2。
例2.有一組數(shù)為1，4，9，16，25，36……
求第20個數(shù)為――，第n個數(shù)為――
分析：第一步，尋找個體的共性。這組數(shù)的每一個數(shù)都等于某數(shù)的平方。第二步，尋找個體的特性，探求特性中的共性（即找第一個數(shù)與1的關(guān)系，第二個數(shù)與2的關(guān)系，第三個數(shù)與3的關(guān)系……）這里的第一個數(shù)正好是1的平方，第二個數(shù)正好是2的平方，第三個數(shù)正好是3的平方，第四個數(shù)正好是4的平方，依此類推，第20個數(shù)為20的平方=400，第n個數(shù)為n2。
例3.一組按規(guī)律排列的數(shù)：14，39 ，716 ，1325，2136 ，3149......請你推斷第9個數(shù)是――。
分析：第一步，尋找個體的共性。這組數(shù)的每一個數(shù)的分母都等于某數(shù)平方，而每個數(shù)的分母與分子之差等于3的倍數(shù)（分母―分子=3的倍數(shù)，分子=分母―3的倍數(shù)）。
第二步，尋找個體的特性，探求特性中的共性（即找第一個數(shù)與1的關(guān)系，第二個數(shù)與2的關(guān)系，第三個數(shù)與3的關(guān)系……），第一個數(shù)的分母正好是2的平方，而分母與分子之差是3的1倍，即第一個數(shù)分子=22-3×1；第二個數(shù)的分母是3的平方，分母與分子之差是3的2倍，即第二個數(shù)分子=32-3×2；第三個數(shù)的分母是4的平方，分母與分子之差是3的3倍，即第三個數(shù)分子=42-3×3；依此類推，第n個數(shù)的分母為（n+1）2，分子為（n+1）2―3n，所以第n個數(shù)的通式為（n+1）2-3n（n+1）2，從而第九個數(shù)是（102-3×9）/102=73/100
例4.有一組數(shù)為1，2，5，10，17，26……請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，第18個數(shù)為――。
分析：第一步，尋找個體的共性。把這組數(shù)的每一個數(shù)都減去1就變成一組平方數(shù)。
第二步，尋找個體的特性，探求特性中的共性（即找第一個數(shù)與1的關(guān)系，第二個數(shù)與2的關(guān)系，第三個數(shù)與3的關(guān)系……）這組新的平方數(shù)第一個數(shù)正好是0的平方，第二個數(shù)正好是1的平方，第三個數(shù)正好是2的平方，第四個數(shù)正好是3的平方，依此類推，第十八個數(shù)為17的平方（172），再把它加上1就是原來那組數(shù)的第十八個數(shù)，所以原來那組數(shù)的第18個數(shù)為172+1=290
二、平面圖形中的規(guī)律問題
解決此類問題的關(guān)鍵是尋找各部分的共性，數(shù)字規(guī)律應(yīng)遵循，圖形中的規(guī)律問題也要遵循。當(dāng)難以直接找到共性時，則可以通過抓住相鄰兩個數(shù)字或兩個式子，兩個圖形之間的關(guān)系來實(shí)現(xiàn)，抓住了變量就等于抓住了解決問題的關(guān)鍵。
例5.兩直線相交有1個交點(diǎn)，三條直線相交最多有3個交點(diǎn)，四條直線相交最多有6個交點(diǎn)，十條直線相交最多有（）個交點(diǎn)。
分析：很容易知道5條直線相交最多有10個交點(diǎn)。第一步，尋找個體的共性。這些交點(diǎn)組成了一組數(shù)，這組數(shù)的每一個數(shù)都能表示為一個數(shù)列之和，如1=1，3=1+2，6=1+2+3。
第二步，尋找個體的特性，探求特性中的共性，為了更清楚地知道直線數(shù)量與交點(diǎn)數(shù)量的關(guān)系，我們作如下的對比。
總之，在求解規(guī)律問題時，必須熟練掌握數(shù)學(xué)建模、分類討論、數(shù)形結(jié)合、類比等數(shù)學(xué)思想，始終遵循“尋找共性―尋找特性中的共性”這一原則，操作起來便會得心應(yīng)手。
參考文獻(xiàn)：
[1]趙優(yōu)群 淺析初中數(shù)學(xué)中考規(guī)律性問題《數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版）》2008年06月期
關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué) 規(guī)律探索型問題 類型 解題方法
規(guī)律探索型問題是中考中的必考知識點(diǎn)，我們把規(guī)律探索型問題也稱為歸納猜想型問題，其特點(diǎn)是這樣的：給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形；或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程；或是給出某一具體的問題情境，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.規(guī)律探索型問題包括三類問題：數(shù)字類規(guī)律探索問題、圖形類規(guī)律探索問題、點(diǎn)的坐標(biāo)類規(guī)律探索問題.
一、數(shù)字類規(guī)律探索問題
1.解題思路
解答數(shù)字類規(guī)律探索問題，應(yīng)在讀懂題意、領(lǐng)會問題實(shí)質(zhì)的前提下進(jìn)行，或分類歸納，或整體歸納，得出的規(guī)律要具有一般性，而不是一些只適合于部分?jǐn)?shù)據(jù)的“規(guī)律”.
2.例題展示
3.例題分析
二、圖形類規(guī)律探索問題
1.解題思路
解答圖形類規(guī)律探索問題，要注意分析圖形特征和圖形變換規(guī)律，一要合理猜想，二要加以實(shí)際驗(yàn)證.
2.例題展示
3.例題分析
針對幾何圖形的規(guī)律探索題，首先要仔細(xì)觀察、分析圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化特點(diǎn)，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式表示出來，從而得出圖形的變化規(guī)律.如果圖形的變化具有周期性，就要先確定循環(huán)周期及一個循環(huán)周期內(nèi)圖形的變化特點(diǎn)，然后用所求總數(shù)除以循環(huán)周期，得到余數(shù)，進(jìn)而使所求問題得以解決.
本題就是一個典型的規(guī)律性問題，由AB為邊長為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B為BC的中點(diǎn)，求出BB的長，利用勾股定理求出AB的長，進(jìn)而求出S，同理求出S，依此類推，得到S.
參考文獻(xiàn)：
[1]趙傳美.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中探索規(guī)律的類型[J].現(xiàn)代中小學(xué)教育，2007（07）.
一、數(shù)學(xué)規(guī)律題型概述
數(shù)學(xué)中的規(guī)律題，主要是指依據(jù)一定的條件，對數(shù)學(xué)對象所具有的不變性或規(guī)律性的問題進(jìn)行探索與發(fā)現(xiàn)，要求學(xué)生通過一組變化的數(shù)、圖形、式子或條件等，利用觀察、閱讀、猜想與分析等方法探求其規(guī)律，體現(xiàn)其由特殊轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕臄?shù)學(xué)思想方法。
實(shí)際上，數(shù)學(xué)規(guī)律題型是一種全新的題型，其涉及了分類討論、數(shù)學(xué)建模、類比等諸多數(shù)學(xué)思想，對于學(xué)生來說也是具有較大難度的一類問題。數(shù)學(xué)規(guī)律題型的解答，需要經(jīng)過一個觀察、思考、分析、猜想、判斷、歸納總結(jié)以及驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律的過程。數(shù)學(xué)規(guī)律題型的有效解題教學(xué)，有利于發(fā)掘?qū)W生的分析與解題能力，激發(fā)其觀察、聯(lián)想及歸納的能力，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)創(chuàng)新與探究的能力。
二、解答數(shù)學(xué)規(guī)律題型的有效教學(xué)策略
數(shù)學(xué)規(guī)律題型，主要表現(xiàn)形式為數(shù)字排列、符號與圖形等。教師應(yīng)對規(guī)律題型進(jìn)行歸納與總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生尋找適當(dāng)?shù)姆椒?，不斷?xùn)練和強(qiáng)化，輔助學(xué)生突破難點(diǎn)，最終達(dá)到數(shù)學(xué)解題的目標(biāo)。
（一）對規(guī)律題型中簡單、易懂題型形成良好掌握
數(shù)學(xué)知識一般都是由淺入深，慢慢形成并發(fā)展的。只有了解基礎(chǔ)題的有效解答方法，對基礎(chǔ)知識形成良好的掌握，為之后較難題型的解答打下良好的基礎(chǔ)，這樣，才能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高。而對 于這類簡單、易懂的規(guī)律題型，數(shù)學(xué)教師應(yīng)注意在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對正確的解題方法形成良好掌握。
例如：有這樣一組數(shù)：5，10，17……觀察其規(guī)律，解答第10個數(shù)是什么，第n個數(shù)是什么？在此類比較簡單的數(shù)學(xué)規(guī)律題目的解答時，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注并強(qiáng)調(diào)首項(xiàng)，這類題目的首項(xiàng)并非都是由“1”開始的，教學(xué)中要關(guān)注并特別強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，及時確定首項(xiàng)，減少學(xué)生在書寫規(guī)律上出現(xiàn)的偏差。此題比較簡單，由觀察可得知，第n個數(shù)為（n+1）2+1，所以第10個數(shù)是122。
（二）引導(dǎo)學(xué)生從題型的特征尋找解題突破點(diǎn)
符號語言、圖像語言與自然語言都是數(shù)學(xué)語言的有機(jī)組成部分，因此解答規(guī)律題型的教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)數(shù)列或函數(shù)的特征，尋找解題的突破點(diǎn)。
例如：有這樣一道序列題：如果序列a滿足條件：a1=2，an+1=an+2n（n是自然數(shù)），則a100=？此題采用符號語言的方式進(jìn)行敘述，所給條件為數(shù)列的遞推公式，其解答也要應(yīng)用數(shù)列題的整體思維方法。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生合理接觸并運(yùn)用簡潔的符號語言，并進(jìn)行解題方法的創(chuàng)新。所以，此題可這樣進(jìn)行解答：a100-a99=2*99，a99-a98=2*98，……a2-a1=2*1，所以將各式相加而知a100-a1=2（1+2+…99），因此可知，a100=9902。
（三）抓住關(guān)鍵變量，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)分析法解答規(guī)律題
規(guī)律性數(shù)學(xué)題目，一般都會有一個或幾個變量，而所謂的找規(guī)律，大都是尋找變量的變化規(guī)律。因此，要善于變量的發(fā)掘，抓住解題的主要關(guān)鍵點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)題目的奧秘。而所給的數(shù)列變量和序號之間存在某種對應(yīng)的關(guān)系，將其放在一起加以比較，更便于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其奧秘。例如：觀察一組數(shù)1，4，9，16，25……依據(jù)一定的規(guī)律寫出第n個數(shù)是幾？這時教師可首先啟發(fā)學(xué)生發(fā)掘這組數(shù)中個體的共性，即每一個數(shù)都是平方數(shù)；然后宣召個體特性，由此探求特性中所含有的共性，即第一個數(shù)與1的關(guān)系為12，第二個數(shù)和2的關(guān)系為22，第三個數(shù)與3的關(guān)系為32等等，與此同時考察這些是否具有相同的關(guān)系。所以依據(jù)此規(guī)律發(fā)展下去，可知第n個數(shù)為n2；最后通過驗(yàn)證與猜想，當(dāng)n為1，2，3……所有的條件都符合，由此可知猜想是正確的。
再比如：觀察這樣一組數(shù)字：1， 5，9，13，17……尋找其構(gòu)成的特點(diǎn)，依據(jù)此規(guī)律解答第50個數(shù)字是什么？此類規(guī)律題的解答，可以引導(dǎo)學(xué)生先尋找一般規(guī)律，把有關(guān)的變量集合在一起后計(jì)算：已知所給的數(shù)字為：1，5，9，13，17……而序列號（n）記為：1，2，3，4，5……那么，序列號（變量n）可被看作按照由小到大的順序取值所得到的對應(yīng)的一列函數(shù)值， 而這一數(shù)字規(guī)律即為相應(yīng)函數(shù)的解析式，輔助學(xué)生用函數(shù)分析法來解答，由此，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行畫圖描點(diǎn)演示：（1，1），（2，5），（3，9），（4，13），（5，17）……
這樣的教學(xué)方法，有助于將抽象的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)展現(xiàn)于學(xué)生面前，便于其形成更好的知識理解與掌握，提高其數(shù)學(xué)圖形的繪畫能力，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力，同時有效掌握數(shù)學(xué)規(guī)律題型的解題方法。
一、例題講解
例1 按下圖的方式，用火柴棒搭三角形.
搭1個三角形需要火柴棒_____根；
搭2個三角形需要火柴棒_____根；
搭3個三角形需要火柴棒_____根；
搭10個三角形需要火柴棒_____根；
搭100個三角形需要火柴棒_____根.
解法一 根據(jù)圖形可知：前三個空應(yīng)填3，5，7，因?yàn)榇畹?個三角形需要3根火柴棒，每增加1個三角形就增加2根火柴棒，所以搭10個三角形需要火柴棒3 + 9 × 2 = 21根，搭100個三角形需要火柴棒3 + 99 × 2 = 201根.
解法二 可以將搭1個三角形看作1 + 2根火柴棒，像這樣搭2個三角形需要1 + 2 × 2 = 5火柴棒，搭3個三角形需要1 + 3 × 2 = 7火柴棒，搭10個三角形需要火柴棒1 + 10 × 2 = 21根，搭100個三角形需要火柴棒1 + 100 × 2 = 201根.
解法三 可以將搭每1個三角形看作用3根火柴棒，搭2個三角形需要2 × 3 - 1 = 5火柴棒，搭3個三角形需要3 × 3 - 2 = 7火柴棒，搭10個三角形需要火柴棒10 × 3 - 9 = 21根，搭100個三角形需要火柴棒100 × 3 - 99 = 201根.
解法四 根據(jù)圖形：可得一組數(shù)列：3，5，7，9，…
用作差法（從第二個數(shù)開始，將每個數(shù)和它的前一個數(shù)作差），可得差值始終是2，所以可猜想第n個數(shù)為2n + ？，再取一個n的值代入，例如取n = 1代入可得2 × 1 + ？= 3，則？ = 1，所以第n個數(shù)可表示為2n + 1. （再任取幾個n的值代入驗(yàn)證. ）
變式訓(xùn)練：
求下列各組數(shù)列中的第100個數(shù).
（1）2，4，6，8，…
（2）1，4，7，10，…
（3）1， ， ， ，…
例2 剪繩子：
（1）將一根繩子對折1次后從中間剪一刀（如圖），繩子變成 段；
將一根繩子對折2次后從中間剪一刀，繩子變成 段；將一根繩子對折3次后從中間剪一刀，繩子變成 段.
（2）將一根繩子對折n次后從中間剪一刀，繩子變成 段.
解 根據(jù)操作可知：
將一根繩子對折1次后從中間剪一刀，繩子變成3段；
將一根繩子對折2次后從中間剪一刀，繩子變成5段；
將一根繩子對折3次后從中間剪一刀，繩子變成9段；
將一根繩子對折4次后從中間剪一刀，繩子變成17段；
按此規(guī)律可得一組數(shù)列：3，5，9，17，…
解法一 作差法. 可得其差值分別為：2，4，8，…，其數(shù)值增長的速度超過之前數(shù)列的數(shù)值增長的速度，所以應(yīng)該比n2的變化更快，而且其差值是以2的乘方在增長，因此，嘗試用2n + ？來描述；再取一個n的值代入，例如取n = 2代入可得22 + ？ = 5，則？= 1. 所以，第n個數(shù)可表示為2n + 1. （再任取幾個n的值代入驗(yàn)證. ）
解法二 對比序號. 把變數(shù)和序號放在一起進(jìn)行對比，本題中將3，5，9，17對應(yīng)①②③④可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列中的數(shù)，都可以表示為2乘方數(shù)多1. 由此可得第n個數(shù)可表示為2n + 1.
變式訓(xùn)練：
求下列各組數(shù)列中的第n個數(shù).
（1）2，4，8，16，32，64，…
（2）5，7，11，19，35，67，…
（3）1，- ， ，- ，…
二、教學(xué)反思
（一）歸納思想的運(yùn)用
解以上這道規(guī)律題都是先通過圖形的直觀性，得出幾個特殊的例子的數(shù)據(jù)，再由特殊到一般探索這類問題的規(guī)律、提出猜想，這個過程運(yùn)用了一個重要的數(shù)學(xué)思想――歸納. 歸納思想是數(shù)學(xué)探索發(fā)現(xiàn)的一種重要的思想，學(xué)生的創(chuàng)造力在很大程度上都是依賴于歸納的能力. 沒有歸納就相當(dāng)于沒有創(chuàng)新的源泉. 推廣到將來的工作、生活中，如果一個人將歸納應(yīng)用于生活中，那么他也將更好的完善自我，更可能實(shí)現(xiàn)自己的奮斗目標(biāo). 所以，歸納思想不僅僅是重要的數(shù)學(xué)思想，更是使人終身受益的重要思想.
（二）轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用
關(guān)鍵詞 找規(guī)律題型；初中數(shù)學(xué)；初中生；中考；規(guī)律變化
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，經(jīng)常會遇到有關(guān)尋找問題規(guī)律和一般性特征的題型，我們可以將其統(tǒng)稱為找規(guī)律的數(shù)學(xué)題型。找規(guī)律類的題型在中考數(shù)學(xué)試題中屢見不鮮，已經(jīng)成為備戰(zhàn)中考的重點(diǎn)和難點(diǎn)。因此，在日常初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生更好的掌握找規(guī)律題型的解法和思路，也是很有必要的。
一、引導(dǎo)學(xué)生從題目要求出發(fā)，探索題型的解決路徑
之所以認(rèn)為找規(guī)律類的題型有所創(chuàng)新和難度，正是因?yàn)轭}型本身的規(guī)律十分顯著，而且可以有效的鍛煉初中生的思維能力和數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力。這里所說的規(guī)律一般是指題目要求給出的相關(guān)線索或延續(xù)性的內(nèi)容，總結(jié)起來就是一種既定的規(guī)律或習(xí)慣。對于初中數(shù)學(xué)教師來說，應(yīng)該迅速的改變傳統(tǒng)的教學(xué)思路和方法，對講規(guī)律類總結(jié)的題型進(jìn)行有機(jī)的整理，并指出最關(guān)鍵的要素，讓學(xué)生更好的理解題目的具體要求，并運(yùn)用他們自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和理論來解決相關(guān)問題，即準(zhǔn)確、迅速和有效的找到題目中蘊(yùn)含的規(guī)律及特征。當(dāng)學(xué)生習(xí)慣類似的規(guī)律類題型的時候，他們的思維儲備和解答習(xí)慣也就自然而然的養(yǎng)成了，長此以往就會上升為數(shù)學(xué)解答的技巧，大大提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維應(yīng)用能力。
所以，對于廣大初中數(shù)學(xué)教師來說，必須首先引導(dǎo)學(xué)生們從題目、題型的一般性規(guī)律出發(fā)，嚴(yán)格遵循題目的要求，對內(nèi)涵的規(guī)律進(jìn)行細(xì)致的梳理和總結(jié)，并且做到“舉一反三，活學(xué)活用”。在這樣的思維方法和技巧規(guī)律的沿襲下，不但初中數(shù)學(xué)教學(xué)能夠有巨大的突破，而且學(xué)生們的技能培養(yǎng)和知識積累也可以提高效率。
例1：用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個圖案：
（1）第四個圖案中有白色地磚_________塊；
（2）第n個圖案中有白色地磚__________塊。
【考點(diǎn)】圖形的變化規(guī)律
【分析】第一個圖形中有白磚6塊，第二個圖形中有白磚10塊，第三個圖形中有白磚14塊，后一個圖形都比前一個圖形多4塊白磚，所以第四個圖形中有白磚18塊，第n個圖形白磚就有4n+2塊。
【解答】18；4n+2
【點(diǎn)評】找到圖形變化規(guī)律是關(guān)鍵。
例2：研究下列算式：1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…用代數(shù)式表示此規(guī)律（n為正整數(shù)）1+3+5+7+……+（2n-1）=______。
【分析】n個連續(xù)奇數(shù)相加，其和是n2
【解答】n2
【點(diǎn)評】找到奇數(shù)的個數(shù)與結(jié)果的關(guān)系。
二、及時進(jìn)行找規(guī)律題型的總結(jié)和解讀，積累解題經(jīng)驗(yàn)和技巧
前面已經(jīng)提到，找規(guī)律類數(shù)學(xué)題型已經(jīng)成為當(dāng)前中考和初中數(shù)學(xué)教學(xué)的熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。那么，如何突破這些疑難的限制，尋找更為快捷、方便的解題方法就成為了廣大初中師生普遍關(guān)注的問題。至少有一點(diǎn)是可以確定的，那就是找規(guī)律的題型也需要在不斷的練習(xí)和實(shí)踐中培養(yǎng)感覺，才能取得技巧積累的突破。找規(guī)律類的題型之所以日漸風(fēng)行，就是因?yàn)檫@類題型可以有效的鍛煉初中生的數(shù)學(xué)思維的敏銳度和創(chuàng)新能力，可以幫助學(xué)生們更好的深入到題目本身和背后，了解數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、存在和應(yīng)用的全過程。所以，找規(guī)律的過程其實(shí)就是學(xué)生獨(dú)立的調(diào)度思維能力和意識去破解數(shù)學(xué)問題的過程，這是學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的綻放，也是思想意識的前行，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)訴求。
因此，廣大初中數(shù)學(xué)教師必須進(jìn)行引導(dǎo)，不要將目光和注意力僅僅停留在某一道題目上，而是要放眼全局，對一類題型進(jìn)行自己的總結(jié)和分析，找出其中的共性和異同點(diǎn)，然后逐步積累題型的解題技巧、方法和策略。經(jīng)過長時間的總結(jié)、歸納和記憶，學(xué)生對找規(guī)律這類的題型必然會有一個全新的認(rèn)知，他們的解題能力和水平也必然有大幅度的上漲。
例3：你能很快算出19952嗎？
為了解決這個問題，我們考察個位上的數(shù)為5的自然數(shù)的平方。任意一個個位數(shù)為52的自然數(shù)可寫成10?n+5，即求（10?n+5）2的值（n為自然數(shù)）。你試分析n=1，n=2，n=3，…，這些簡單情況，從中探索規(guī)律，并歸納、猜想出結(jié)論（在下面空格內(nèi)填上你的探索結(jié)果）。
（1）通過計(jì)算，探索規(guī)律：
152=225可寫成100×1（1+1）+25，252=625可寫成100×2（2+1）+25，352=1225可寫成100×3（3+1）+25，452=2025可寫成100×4（4+1）+25，
……
752=5625可寫成 ，852=7225可寫成 ，
……
（2）從第（1）的結(jié)果，歸納、猜想得：（10n+5）2= . .
（3）根據(jù)上面的歸納、猜想，請算出：19952= . .
【分析】在對這些式子進(jìn)行規(guī)律探索的時候，要找出哪些數(shù)是不變的，哪些數(shù)是隨式子的序號變化而逐步變化的，然后就可以用n來表示這些逐步變化的數(shù)。
【解答】解：（1）100×7（7+1）+25；100×8（8+1）+25.
（2）100n2+100n+25100n（n+1）+25.
（3）100×199（199+1）+25=3980025.
【點(diǎn)評】本題不僅要求歸納猜想和探索規(guī)律，而且要運(yùn)用歸納猜想得出的結(jié)論解決問題。
透過全文的簡要論述以及三個實(shí)際案例，我們可以看出初中數(shù)學(xué)的找規(guī)律題型有其特有的特點(diǎn)和脈絡(luò)，這既需要學(xué)生的實(shí)踐練習(xí)和總結(jié)，也需要教師的點(diǎn)撥、引導(dǎo)和提示。在找規(guī)律類題型日益被重視的今天，加強(qiáng)這方面的教學(xué)工作，提升學(xué)生的解題效率和技巧，應(yīng)該成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要方向。
參考文獻(xiàn)：
[1]胡利民.淺析探索規(guī)律型試題的解法[J].中學(xué)生數(shù)理化（七年級數(shù)學(xué)）（華師大版），2007年10期
[2]王中華.邏輯推理一例[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級數(shù)學(xué)）（華師大版），2008年Z2期
策略一：列表歸納法
找數(shù)式規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律.找出的規(guī)律，通常包含序號.所以，把變量和序號放在一起加比較，也容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.
【例1】 觀察下列各數(shù)：0，3，8，15，24，…試按此規(guī)律寫出第100個數(shù).
分析：解答這一題，可以先找一般規(guī)律，然后使用這個數(shù)式規(guī)律，計(jì)算出第100個數(shù).我們把有關(guān)的量放在一起加以比較：
給出的數(shù)（記為N）：0，3，8，15，24，…
序號（記為n）： 1，2，3， 4， 5，…
可以列表為：
n
1
2
3
…
n
N
3
8
…
N
N與n的關(guān)系
0=12-1
3=22-1
8=32-1
…
N= n2-1
這樣，通過列表的形式，觀察特點(diǎn)，很容易歸納出：給出的數(shù)都等于它的序號的平方減1.因此，第n個數(shù)是n2-1.驗(yàn)證：當(dāng)n=4時，N=42-1=15；當(dāng)n=5時，N=52-1=24.因此，探究得出的數(shù)式規(guī)律是正確的，所以第100個數(shù)是1002-1=9999.
策略二：函數(shù)分析法
我們知道，給出的數(shù)與序號存在一定的對應(yīng)關(guān)系，因此，也可以采用函數(shù)分析法來求解.
【例2】 觀察下列各數(shù)：1，5，9，13，17，…試按此規(guī)律寫出第100個數(shù).
分析：
給出的數(shù)（記為N）：1，5，9，13，17，…
序號（記為n）：1，2，3， 4， 5，…
可以看成序號（自變量n）從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)字規(guī)律也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.因此，可描點(diǎn)（1，1），（2，5），（3，9），（4，13），（5，17）.在畫圖時，為方便起見，在直角坐標(biāo)系兩條坐標(biāo)軸上的單位長度可以不同（如圖）.
觀察圖象，容易發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)，可連成一條直線.因此，可以設(shè)相應(yīng)函數(shù)的解析式為N=kn+b，把（1，1），（2，5）代入N=kn+b，得方程組
k+b=1， 2k+b=5.
解之得，k=4，b=-3，所以N=4n-3, 即第n個數(shù)是4n-3.驗(yàn)證：當(dāng)n=4時，N=4×4-3=13；當(dāng)n=5時，N=4×5-3=17.因此，探究得出的規(guī)律是正確的，所以第100個數(shù)是4×100-3=397.
【例3】 觀察下列各數(shù)：2/3，4/15，6/35，8/63，10/99，…試按此規(guī)律寫出第100個數(shù).
分析：此例是分式形式的數(shù)式規(guī)律題，分子要找規(guī)律，分母也要找規(guī)律，同時還要充分借助分子、分母的關(guān)系.可用列表歸納法或函數(shù)分析法求出可能的規(guī)律.分子：2，4，6，8，10…的數(shù)式規(guī)律是2n；分母：3，15，35，63，99…的數(shù)式規(guī)律是4n2-1.因此，第n個數(shù)是2n / （4n2-1），所以第100個數(shù)是2×100/（4×1002-1）=200/39999.
【例4】 觀察下列各數(shù)：-3，9，-19，33，-51，…試按此規(guī)律寫出第100個數(shù).
分析：此例出現(xiàn)符號問題，可采用（-1）的n次方與（-1）的（n+1）次方來調(diào)解.然后用列表歸納法或函數(shù)分析法求出可能的規(guī)律.可以求出3，9，19，33，51，…的數(shù)式規(guī)律為2 n2+1.因此第n個數(shù)就是（-1）的n次方乘以（2n2+1）的積，所以第100個數(shù)是2×1002+1=20001.
【例5】 用同樣大小的黑色棋子按下圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第100個圖形需要棋子多少枚？
第1個圖 第2個圖 第3個圖
