時(shí)間：2023-08-14 16:41:55
序論：在您撰寫數(shù)學(xué)圖形知識(shí)時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
小升初數(shù)學(xué)備考——小升初數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之平面圖形
平面圖形
1、長(zhǎng)方形
(1)特征
對(duì)邊相等，4個(gè)角都是直角的四邊形。有兩條對(duì)稱軸。
(2)計(jì)算公式
c=2(a+b)
s=ab
2、正方形
(1)特征：
四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形。有4條對(duì)稱軸。
(2)計(jì)算公式
c=4a
s=a2
3、三角形
(1)特征
由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。
(2)計(jì)算公式
s=ah/2
(3)分類
按角分
銳角三角形：三個(gè)角都是銳角。
直角三角形：有一個(gè)角是直角。等腰三角形的兩個(gè)銳角各為45度，它有一條對(duì)稱軸。
鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍角。
按邊分
不等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度不相等。
等腰三角形：有兩條邊長(zhǎng)度相等;兩個(gè)底角相等;有一條對(duì)稱軸。
等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度都相等;三個(gè)內(nèi)角都是60度;有三條對(duì)稱軸。
4、平行四邊形
(1)特征
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。
相對(duì)的邊平行且相等。對(duì)角相等，相鄰的兩個(gè)角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形容易變形。
(2)計(jì)算公式
s=ah
5、梯形
(1)特征
只有一組對(duì)邊平行的四邊形。
中位線等于上下底和的一半。
等腰梯形有一條對(duì)稱軸。
(2)公式
s=(a+b)h/2=mh
6、圓
(1)圓的認(rèn)識(shí)
平面上的一種曲線圖形。
圓中心的一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母o表示。
半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用r表示。
在同一個(gè)圓里，有無數(shù)條半徑，每條半徑的長(zhǎng)度都相等。
通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。
同一個(gè)圓里有無數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。
同一個(gè)圓里，直徑等于兩個(gè)半徑的長(zhǎng)度，即d=2r。
圓的大小由半徑?jīng)Q定。圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。
(2)圓的畫法
把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離(即半徑);
把有針尖的一只腳固定在一點(diǎn)(即圓心)上;
把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一個(gè)圓。
(3)圓的周長(zhǎng)
圍成圓的曲線的長(zhǎng)叫做圓的周長(zhǎng)。
把圓的周長(zhǎng)和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。
(4)圓的面積
圓所占平面的大小叫做圓的面積。
(5)計(jì)算公式
d=2r
r=d/2
c=∏d
c=2∏r
s=∏r2
7、扇形
(1)扇形的認(rèn)識(shí)
一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。
圓上AB兩點(diǎn)之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”。
頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
在同一個(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān)。
扇形有一條對(duì)稱軸。
(2)計(jì)算公式
s=n∏r2/360
8、環(huán)形
(1)特征
由兩個(gè)半徑不相等的同心圓相減而成，有無數(shù)條對(duì)稱軸。
(2)計(jì)算公式
s=∏(R2-r2)
9、軸對(duì)稱圖形
(1)特征
如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸。
正方形有4條對(duì)稱軸，長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱軸。
等腰三角形有2條對(duì)稱軸，等邊三角形有3條對(duì)稱軸。
一、巧設(shè)意境，空間體驗(yàn)，感知概念，讓課堂教學(xué)趣味化
技術(shù)的融入給予有限的課堂教學(xué)的情境設(shè)置以無限的時(shí)空和可能，合理利用交互式電子白板的插入、鏈接或聚光燈、書寫工具等，讓課堂教學(xué)可根據(jù)具體內(nèi)容跨地域、時(shí)空等限制而選擇與學(xué)生年齡和認(rèn)知特點(diǎn)相符合的熟悉、喜歡的境、物、事等進(jìn)行情境的創(chuàng)設(shè)和再造，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)體驗(yàn)空間、感知概念的平臺(tái)，有效調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。
例如，《周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)》一課，用白板的插入鏈接功能播放動(dòng)物們的運(yùn)動(dòng)會(huì)。小兔、小馬、小猴都參加了比賽，同樣的一個(gè)橢圓形跑道，由于跑的路徑不同，小兔繞著邊線跑了一圈用了124秒，小馬繞著邊線跑了一圈用了95秒，小猴跑了半圈用了87秒。當(dāng)裁判說出：“小馬是冠軍”時(shí)，小猴郁悶了：“明明我用的時(shí)間最短，冠軍應(yīng)該是我呀！”形象生動(dòng)的情境吸引了學(xué)生的注意力，讓學(xué)生快速地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，并在討論“為什么小猴不是冠軍”等問題情境中引出并感知“一圈”的概念，再抽象到數(shù)學(xué)中“一周”的概念的學(xué)習(xí)，同時(shí)用白板的書寫文本識(shí)別功能板書出課題，有效的情境設(shè)置，優(yōu)化了概念新授課的導(dǎo)入。
二、合作探究，交互操作，內(nèi)化概念，讓思維過程可視化
幾何圖形概念具有高度的抽象性和較強(qiáng)邏輯思維性，而且需要調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官進(jìn)行觀察、比較、概括等思維活動(dòng)，同時(shí)，還要把學(xué)生這種復(fù)雜的活動(dòng)思維過程展示出來，以便及時(shí)引導(dǎo)、調(diào)度學(xué)生的學(xué)習(xí)策略，從而內(nèi)化對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解。而交互式電子白板具有可寫、可畫、可改、可拖等感應(yīng)系統(tǒng)，師生可直接用感應(yīng)智能筆代替鼠標(biāo)在白板上進(jìn)行操作，讓學(xué)生思維過程可視化，真正體現(xiàn)了新課程中師生交互、人機(jī)交互的新理念。
例如，在教學(xué)《認(rèn)識(shí)立體圖形》時(shí)，白板和桌面上同時(shí)出示生活中熟悉的、常見的各種物體，四人小組進(jìn)行實(shí)物分類后，再讓學(xué)生到白板上根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)用電子白板的拖拉功能鍵再現(xiàn)分類過程。盡管剛開始上臺(tái)操作的學(xué)生受已有的生活經(jīng)驗(yàn)影響，會(huì)出現(xiàn)把象棋、網(wǎng)球和乒乓球分成了一類或把長(zhǎng)主體和正方體合成一類等現(xiàn)象，但在其它學(xué)生質(zhì)疑、補(bǔ)充、糾正、重構(gòu)中不斷感受、類比各類物體的形狀特征，積淀直接的抽象經(jīng)驗(yàn)和實(shí)現(xiàn)對(duì)圖形共性的抽象過程，從而在頭腦中逐步經(jīng)歷從模糊到清晰，從矛盾到頓悟的內(nèi)化過程。這樣的人機(jī)交互操作，突破了傳統(tǒng)教學(xué)中只有小組合作交流而無法把各組各個(gè)學(xué)生的思維在全班進(jìn)行交流、碰撞的局限。同時(shí)也讓老師及時(shí)了解學(xué)生的思維動(dòng)態(tài)并進(jìn)行啟發(fā)、引導(dǎo)。
三、聯(lián)系生活，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，形成概念，讓具象圖形抽象化
學(xué)生由于從小開始接觸各種幾何體，已經(jīng)有了較多的關(guān)于幾何圖形感知方面的經(jīng)驗(yàn)，隨著學(xué)生思維能力的提高，需要將這種感性經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步抽象化，形成簡(jiǎn)單的幾何模型幾何概念，發(fā)展初步的空間觀念。但學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)是從“空間感知-空間表象-空間想象”的過程，為了幫助學(xué)生完成從“形象─表象─抽象”的認(rèn)知難點(diǎn)，教學(xué)中要抓住動(dòng)態(tài)想象的契機(jī)，讓具象圖形抽象化，幫助學(xué)生構(gòu)建幾何概念。
蘇科版數(shù)學(xué)教材中設(shè)置幾何知識(shí)的目的：一方面讓學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)空間中物體的形狀、大小和位置關(guān)系及其描述這些特征的方法，形成相關(guān)的概念.另一方面，借助于平面幾何的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、理性思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、合情推理能力.然而有的學(xué)生認(rèn)為幾何知識(shí)很難學(xué)，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生中存在以下問題.
（一）對(duì)幾何概念理解的不適應(yīng)
1.幾何概念雖然比較直觀，但敘述是非常嚴(yán)密的，學(xué)生一時(shí)難以適應(yīng).如線段中點(diǎn)的定義，學(xué)生認(rèn)為只要OA=OB，那點(diǎn)O不就是線段AB的中點(diǎn)了嗎？為什么還有說點(diǎn)O在線段AB上？這說明他們的思維還不夠嚴(yán)密，對(duì)事物的認(rèn)識(shí)還停留在直觀、簡(jiǎn)單經(jīng)驗(yàn)化水平.
2.對(duì)概念理解的簡(jiǎn)單化.如對(duì)線段的中點(diǎn)的定義的理解，不少學(xué)生對(duì)兩種表述不適應(yīng)，學(xué)生認(rèn)為只要“①點(diǎn)O在線段AB上，且OA=OB，則點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)”和“②如果點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，則OA=OB”兩種敘述中的一種就行了，有不少學(xué)生認(rèn)為“①中點(diǎn)O在線段AB上”這一點(diǎn)是非常明顯的，無需說明.
（二）對(duì)三種語言表達(dá)的不適應(yīng)
相對(duì)于代數(shù)而言，幾何表達(dá)需要將文字、符號(hào)、圖形三種語言靈活運(yùn)用.不少學(xué)生對(duì)運(yùn)用符號(hào)和圖形語言表達(dá)這種方式難以在短時(shí)間適應(yīng)，不能建立符號(hào)、文字和圖形之間的相互聯(lián)系，造成閱讀和理解上的困難.對(duì)準(zhǔn)確作圖的認(rèn)識(shí)不清，作圖的隨意性很大.
（三）對(duì)幾何推理方式的不適應(yīng)
學(xué)生習(xí)慣于解答代數(shù)問題，對(duì)運(yùn)用推理這種表述方式進(jìn)行解題顯得有些不適應(yīng).推理是建立在對(duì)概念之間關(guān)系的理解之上的，學(xué)生不僅要準(zhǔn)確理解概念，還要清楚地理解概念之間的關(guān)系，這對(duì)于學(xué)生來說有一定的難度.有不少學(xué)生對(duì)用推理這種方式表述解題過程難以在短時(shí)間內(nèi)適應(yīng).
二
之所以存在以上問題原因有以下幾點(diǎn)：
（一）理解能力的制約
對(duì)概念的理解是推理的基礎(chǔ)，有不少學(xué)生的理解能力水平還不足以準(zhǔn)確理解教材中的基本概念.比如對(duì)互余的理解，一方面，有不少學(xué)生只注意到和是90°，而沒有注意到必須是兩個(gè)角的和.另一方面，有不少學(xué)生不能理解互余的兩種表達(dá)方式的區(qū)別，在運(yùn)用時(shí)感到迷惘；還有不少學(xué)生對(duì)為什么和要是90°不理解，在運(yùn)用時(shí)只是處于模仿狀態(tài).這種理解能力制約學(xué)生對(duì)概念的快速準(zhǔn)確理解，制約學(xué)生對(duì)概念之間關(guān)系的理解.學(xué)生在學(xué)習(xí)初期的理解能力特點(diǎn)是對(duì)概念的認(rèn)識(shí)比較片面、孤立、靜止，自認(rèn)為已經(jīng)理解了，但到具體運(yùn)用時(shí)會(huì)出錯(cuò)，對(duì)概念之間的關(guān)系認(rèn)識(shí)還比較模糊.
（二）抽象思維能力的制約
學(xué)生雖然經(jīng)歷了幾年的代數(shù)學(xué)習(xí)，已具備了一定的抽象思維能力，但還不能滿足幾何學(xué)習(xí)的需要.幾何的概念比較多，如一開始就有直線、射線、線段、角、線段中點(diǎn)、角平分線、互余、互補(bǔ)、垂直等，抽象思維能力的水平限制了一些學(xué)生對(duì)這些概念的準(zhǔn)確理解（在以后的學(xué)習(xí)中同樣存在這樣的問題），更重要的是這些概念理解的困難直接影響了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的信心.這時(shí)期的學(xué)生對(duì)什么是“事物的本質(zhì)”的認(rèn)識(shí)還不是很清楚，認(rèn)識(shí)事物主要停留在事物的表面，主觀性比較強(qiáng)，抽象時(shí)不能抓住事物的實(shí)質(zhì).總之，他們的理性思維能力比較差.
（三）邏輯思維水平的制約
歐氏平面幾何是在積累了大量的材料后經(jīng)歐幾里得整理后才成為一門科學(xué)的，而這種整理不是一般的理一理順序的問題，而是歐幾里得經(jīng)過對(duì)材料的嚴(yán)密的思維、仔細(xì)推敲后的創(chuàng)造性的整理，他使得雜亂的材料變成了一個(gè)有機(jī)整體，使所有知識(shí)都建立在幾個(gè)基本的概念和幾個(gè)基本公理、公設(shè)之上的.現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材雖然做了處理，以符合初中學(xué)生的思維特點(diǎn)和思維發(fā)展水平，但初一學(xué)生的思維還停留在自由式的思考模式狀態(tài)，知識(shí)在他們的大腦中還是處于散亂的狀態(tài)，學(xué)生還沒有整理知識(shí)的主觀愿望，沒有形成對(duì)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系的認(rèn)識(shí)，這說明學(xué)生的邏輯思維水平還很低，所以在推理時(shí)顯得機(jī)械、無序.
三
作為教師，我們今后在教學(xué)中應(yīng)做到：
（一）加強(qiáng)對(duì)學(xué)生概念的教學(xué)
幾何概念雖來源于現(xiàn)實(shí)空間的實(shí)際物體的形狀、大小和位置關(guān)系，但它有與現(xiàn)實(shí)物體有著本質(zhì)的區(qū)別，教學(xué)時(shí)要逐步提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生把現(xiàn)實(shí)空間的物體的形狀、大小和位置關(guān)系與幾何上的形狀、大小和位置關(guān)系加以區(qū)別.如平行線的概念，什么是不相交？這要借助于在陽光透過窗戶時(shí)的光線的實(shí)際情形，使學(xué)生發(fā)揮想象力理解不相交，等等.通過這些基本概念的教學(xué)使學(xué)生逐步提高抽象思維能力，逐步適應(yīng)幾何概念的學(xué)習(xí).
（二）加強(qiáng)學(xué)生的思維能力培養(yǎng)
學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容需要學(xué)生具備一定的思維能力.在學(xué)習(xí)幾何的初期，學(xué)生主要借助于直觀和簡(jiǎn)單的判斷，較低水平的抽象思維能力，這些較低級(jí)水平的思維能力不能使學(xué)生學(xué)好幾何.借助于幾何基本概念的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的思維能力是一個(gè)非常重要的任務(wù).在這些學(xué)習(xí)基本概念時(shí)，重點(diǎn)是使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分析法和綜合法，這是提高學(xué)生推理能力的基礎(chǔ).
（三）加強(qiáng)學(xué)生畫圖和識(shí)圖能力培養(yǎng)
畫圖和識(shí)圖能力對(duì)學(xué)好幾何來說是非常重要的，在幾何的入門階段，一定要重視學(xué)生的畫圖，要讓學(xué)生嚴(yán)格按照規(guī)定尺寸畫圖（尺寸太大時(shí)可以讓學(xué)生按比例進(jìn)行畫圖），使學(xué)生養(yǎng)成良好畫圖的習(xí)慣；另外，要重視學(xué)生的識(shí)圖訓(xùn)練，要通過訓(xùn)練使學(xué)生把圖形和文字統(tǒng)一起來，逐步達(dá)到圖形語言、文字語言和符號(hào)語言的靈活轉(zhuǎn)換.
（四）加強(qiáng)學(xué)生的推理能力培養(yǎng)
圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、量的計(jì)量
一、長(zhǎng)度單位是用來測(cè)量物體的長(zhǎng)度的。常用的長(zhǎng)度單位有：千米、米、分米、厘米、毫米。
二、長(zhǎng)度單位：
1千米=1000米
1米=10分米
1分米=10厘米
1厘米=10毫米
1米=100厘米
1米=1000毫米
三、面積單位是用來測(cè)量物體的表面或平面圖形的大小的。常用面積單位：平方千米、公頃、平方米、平方分米、平方厘米。
四、測(cè)量和計(jì)算土地面積，通常用公頃作單位。邊長(zhǎng)100米的正方形土地，面積是1公頃。
五、測(cè)量和計(jì)算大面積的土地，通常用平方千米作單位。邊長(zhǎng)1000米的正方形土地，面積是1平方千米。
六、面積單位：（100）
1平方千米=100公頃
1公頃=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
七、體積單位是用來測(cè)量物體所占空間的大小的。常用的體積單位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。
八、體積單位：（1000）
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1升=1000毫升
平面圖形【認(rèn)識(shí)、周長(zhǎng)、面積】
一、用直尺把兩點(diǎn)連接起來，就得到一條線段；把線段的一端無限延長(zhǎng)，可以得到一條射線；把線段的兩端無限延長(zhǎng)，可以得到一條直線。線段、射線都是直線上的一部分。線段有兩個(gè)端點(diǎn)，長(zhǎng)度是有限的；射線只有一個(gè)端點(diǎn)，直線沒有端點(diǎn)，射線和直線都是無限長(zhǎng)的。
二、從一點(diǎn)引出兩條射線，就組成了一個(gè)角。角的大小與兩邊叉開的大小有關(guān)，與邊的長(zhǎng)短無關(guān)。角的大小的計(jì)量單位是（°）。
三、角的分類：小于90度的角是銳角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是鈍角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。
四、相交成直角的兩條直線互相垂直；在同一平面不相交的兩條直線互相平行。
五、三角形是由三條線段圍成的圖形。圍成三角形的每條線段叫做三角形的邊，每?jī)蓷l線段的交點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)。
六、三角形按角分，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。
按邊分，可以分為等邊三角形、等腰三角形和任意三角形。
七、三角形的內(nèi)角和等于180度。
八、在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。
九、在一個(gè)三角形中，最多只有一個(gè)直角或最多只有一個(gè)鈍角。
十、四邊形是由四條邊圍成的圖形。常見的特殊四邊形有：平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形。
十一、圓是一種曲線圖形。圓上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等，這個(gè)距離就是圓的半徑的長(zhǎng)。通過圓心并且兩端都在圓的線段叫做圓的直徑。
十二、有一些圖形，把它沿著一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對(duì)稱圖形。這條直線叫做對(duì)稱軸。
十三、圍成一個(gè)圖形的所有邊長(zhǎng)的總和就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。
十四、物體的表面或圍成的平面圖形的大小，叫做它們的面積。
十五、平面圖形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)：
【1】平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程
①把平行四邊形通過剪切、平移可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形。
②長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬等于平行四邊形的高，長(zhǎng)方形的面積等于平行四邊形的面積。
③因?yàn)椋洪L(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，所以：平行四邊形面積=底×高。即：S=ah。
【2】三角形面積公式的推導(dǎo)過程
①用兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。
②平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高等于三角形的高，三角形面積等于和它等底等高的平行四邊形面積的一半
③因?yàn)椋浩叫兴倪呅蚊娣e=底×高，所以：三角形面積=底×高÷2。 即：S=ah÷2。
【3】梯形面積公式的推導(dǎo)過程
①用兩個(gè)完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形
②平行四邊形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四邊形的高等于梯形的高，梯形面積等于平行四邊形面積的一半
③因?yàn)椋浩叫兴倪呅蚊娣e=底×高，所以：梯形面積=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h÷2。
【4】畫圖說明圓面積公式的推導(dǎo)過程
①把圓分成若干等份，剪開后，拼成了一個(gè)近似的長(zhǎng)方形。
②長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑。
③因?yàn)椋洪L(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，所以：圓面積=πr×r=πr2。即：S=πr2
十六、平面圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式：
長(zhǎng)方形周長(zhǎng) =（長(zhǎng)+寬）× 2
長(zhǎng)方形面積 = 長(zhǎng) × 寬
正方形周長(zhǎng) = 邊長(zhǎng) × 4
正方形面積 = 邊長(zhǎng) × 邊長(zhǎng)
平行四邊形面積 = 底 × 高
三角形面積 = 底 × 高 ÷ 2
立體圖形【認(rèn)識(shí)、周長(zhǎng)、面積】
一、長(zhǎng)方體、正方體都有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)。正方體是特殊的長(zhǎng)方體。
二、圓柱的特征：一個(gè)側(cè)面、兩個(gè)底面、無數(shù)條高。
三、圓錐的特征：一個(gè)側(cè)面、一個(gè)底面、一個(gè)頂點(diǎn)、一條高。
四、表面積：立體圖形所有面的面積的和，叫做這個(gè)立體圖形的表面積。
五、體積：物體所占空間的大小叫做物體的體積。容器所能容納其它物體的體積叫做容器的容積。
六、圓柱和圓錐三種關(guān)系：
①等底等高： 體積1︰3
②等底等體積：高1︰3
③等高等體積：底面積1︰3
七、等底等高的圓柱和圓錐：
①圓錐體積是圓柱的1/3，
②圓柱體積是圓錐的3倍，
③圓錐體積比圓柱少2/3，
④圓柱體積比圓錐多2倍。
八、等底等高的圓柱和圓錐：錐1、差2、柱3、和4。
九、立體圖形公式推導(dǎo)：
【1】圓柱的側(cè)面展開后得到一個(gè)什么圖形？這個(gè)圖形的各部分與圓柱有何關(guān)系？（圓柱側(cè)面積公式的推導(dǎo)過程）
①圓柱的側(cè)面展開后一般得到一個(gè)長(zhǎng)方形。
②長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于圓柱的高。
③因?yàn)椋洪L(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，所以：圓柱側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高。
④圓柱的側(cè)面展開后還可能得到一個(gè)正方形。
正方形的邊長(zhǎng)=圓柱的底面周長(zhǎng)=圓柱的高。
【2】我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓柱體積的計(jì)算公式時(shí)，是把圓柱轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的一種立體圖形（近似的）進(jìn)行推導(dǎo)的，請(qǐng)你說出這種立體圖形的名稱以及它與圓柱體有關(guān)部分之間的關(guān)系？
①把圓柱分成若干等份，切開后拼成了一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。
②長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積，長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高。
③因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體體積=底面積×高，所以：圓柱體積=底面積×高。即：V=Sh。
【3】請(qǐng)畫圖說明圓錐體積公式的推導(dǎo)過程？
①找來等底等高的空?qǐng)A錐和空?qǐng)A柱各一只。
②將圓錐裝滿沙子，倒入圓柱中，發(fā)現(xiàn)三次正好裝滿，將圓柱里的沙子倒入圓錐中，發(fā)現(xiàn)三次正好倒完。
③通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一；圓柱的體積等于和它等底等高的圓錐體積的三倍。即：V=1/3Sh。
十、立體圖形的棱長(zhǎng)總和、表面積、體積計(jì)算公式：
名稱
計(jì)算公式
長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和
長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和 = （長(zhǎng)+寬+高）× 4
長(zhǎng)方體表面積
長(zhǎng)方體表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2
長(zhǎng)方體體積
長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高
正方體棱長(zhǎng)總和
正方體棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)×12
正方體表面積
正方體表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6
正方體體積
正方體體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)
圓柱體側(cè)面積
圓柱體側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高
圓柱體表面積
圓柱體表面積=側(cè)面積+底面積×2
圓柱體體積
圓柱體體積=底面積×高
圓錐體體積
圓錐體體積=
圖形與變換
一、變換圖形位置的方法有平移、旋轉(zhuǎn)等，在變換位置時(shí)，每個(gè)圖形的相應(yīng)頂點(diǎn)、線段、曲線應(yīng)同步平移，旋轉(zhuǎn)相同的角度。
二、不改變圖形的形狀，只改變它的大小時(shí)，通常要使每個(gè)圖形的要素，如長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，三角形的底與高等同時(shí)按相同比例放大或縮小。
三、對(duì)稱圖形是對(duì)稱軸兩邊的圖形經(jīng)對(duì)折后能夠完全重合，而不是完全相同。
圖形與位置
人類對(duì)幾何的認(rèn)識(shí)大致可以分為從無意識(shí)幾何到實(shí)驗(yàn)幾何，再到推理幾何這樣一個(gè)過程。它的發(fā)展是不斷被完善而非被推翻或改革的，伴隨這一過程的是人類思維的不斷進(jìn)步與成熟。因?yàn)樾W(xué)生空間思維有一定的限制，讓很多小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)圖形知識(shí)認(rèn)識(shí)不到位，那么教師要如何實(shí)施教學(xué)才能讓學(xué)生學(xué)得更好呢？
一、教師須先了解小學(xué)生的空間圖形思維水平發(fā)展的特點(diǎn)
要想學(xué)生的成績(jī)得到提高，作為教師就必須了解其認(rèn)知水平及其特點(diǎn)；所以在教學(xué)幾何知識(shí)時(shí)，教師必須先清楚小學(xué)生在幾何思維發(fā)展方面存在以下幾個(gè)階段。第一，水平0階段。這一階段屬于前認(rèn)知階段，兒童只能感覺幾何形態(tài)，受到其感覺活動(dòng)的不足，只能注意到對(duì)象的形狀的直觀特征的某一個(gè)部分。對(duì)于這階段的學(xué)生來說，其思維依賴對(duì)象的具體想象和自己的觸覺刺激。第二，水平1階段。屬于直觀化階段，兒童根據(jù)外觀來識(shí)別圖形，不關(guān)心圖形的幾何形狀或一類圖形的本質(zhì)特征，思維以知覺為主，僅從外觀和形狀來認(rèn)知。如，他們無法區(qū)分二維和三維的圖形，他們會(huì)認(rèn)為“長(zhǎng)方形”和“長(zhǎng)方體”的形狀是一樣的。第三，水平2階段。屬于描述和分析階段，這一階段兒童能夠在觀察、測(cè)量、搭建或繪畫的基礎(chǔ)上，掌握?qǐng)D形性質(zhì)，并通過日常生活的經(jīng)驗(yàn)用語描述出來，能將這些性質(zhì)與一類圖形建立聯(lián)系。
二、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣
數(shù)學(xué)美客觀存在。較之藝術(shù)美而言，數(shù)學(xué)美是一種至上的、崇高的理性美。而“空間與圖形”知識(shí)就更顯示了數(shù)學(xué)學(xué)科的一種獨(dú)到的美。因此，在課堂教學(xué)中，我們更是關(guān)注讓學(xué)生從中享受到“做數(shù)學(xué)”的樂趣，體驗(yàn)到“做數(shù)學(xué)”的成功喜悅。在教學(xué)“對(duì)稱圖形”一課時(shí)，就先讓學(xué)生仔細(xì)觀察各種各樣的圖形，從中受到美的熏陶，激發(fā)起學(xué)習(xí)興趣，然后再畫對(duì)稱圖形，剪對(duì)稱圖形，找對(duì)稱軸、畫對(duì)稱軸等等，就都迎刃而解了，在這樣“做數(shù)學(xué)” 的過程中，使學(xué)生獲得審美體驗(yàn)，提高學(xué)生的審美能力。
三、發(fā)現(xiàn)生活中的素材，加強(qiáng)知識(shí)與生活的聯(lián)系
在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生接觸到的知識(shí)往往比較抽象和理論化，與實(shí)際生活之間存在著一定的距離。而只有將理論與實(shí)踐相結(jié)合，才能夠加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用方法。因此，在對(duì)學(xué)生進(jìn)行圖形與空間觀念的教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)課堂知識(shí)與實(shí)際生活的聯(lián)系，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在生活中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，使學(xué)生在課堂內(nèi)外均能夠完成對(duì)知識(shí)的應(yīng)用和探索，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)空間圖形的完整塑造。圖形的教學(xué)內(nèi)容上設(shè)計(jì)了很多這方面的活動(dòng)。如“你說我擺”、“觀察與測(cè)量”、“有趣的圖形”、“動(dòng)手做游戲”等，在合作中進(jìn)行學(xué)習(xí)，體驗(yàn)合作學(xué)習(xí)的必要性和樂趣。例如教學(xué)《認(rèn)識(shí)物體和圖形》一課時(shí)，我們就搜集了很多學(xué)生熟悉的生活中的各種形狀的物體，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)。上課伊始，教師一邊拿出一些物體一邊讓學(xué)生說出物體名稱并引導(dǎo)說出幾何名稱：如牙膏盒?D?D長(zhǎng)方體、魔方?D?D正方體、茶葉罐?D?D圓柱體、乒乓球?D?D球體等等。
四、要有好的教學(xué)設(shè)計(jì)
教師是整個(gè)教學(xué)的引導(dǎo)者，教師做好自己的教學(xué)準(zhǔn)備工作，才能帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)到更全面的知識(shí)。
例如《圓柱體認(rèn)識(shí)》教學(xué)片段我們這樣設(shè)計(jì)：
制作罐頭盒?D感受和認(rèn)識(shí)圓柱各部分的特征及相互關(guān)系。
①觀察并制定制作方案
請(qǐng)學(xué)生觀察鐵皮制作的圓柱形罐頭盒，要制作它需要哪幾部分？你想先做哪一部分？怎樣把各部分連接？分小組討論制作方案。
②準(zhǔn)備制作工具 ： 硬紙、剪刀、圓規(guī)、直尺、漿糊。
③實(shí)際制作并交流討論：先制作蓋子和側(cè)面。
方案一：將罐頭盒子的蓋子放在紙上畫圓兩個(gè)，剪下做蓋子；用細(xì)繩量周長(zhǎng)，用直尺量盒子高度，以這兩個(gè)尺寸分別做長(zhǎng)和寬畫一個(gè)長(zhǎng)方形（有的可能是正方形）做側(cè)面。
方案二的制作過程與上面過程相反（略）。
討論交流制作的感受：
結(jié)論一：圓柱上下兩個(gè)面是圓形，側(cè)面打開時(shí)是長(zhǎng)方形或者正方形。
結(jié)論二：兩個(gè)圓形面積相等，側(cè)面展開的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高。
再連接三部分成盒子。
學(xué)生操作，把長(zhǎng)方形卷曲成側(cè)面，再把兩個(gè)蓋子粘上。
討論交流制作的感受：
我們作為設(shè)計(jì)工程師，要向制作工人提醒制作過程中需要注意的問題。
要把長(zhǎng)方形中與盒子模型高度相等的兩個(gè)邊連接。
由于連接的兩個(gè)邊有重合部分，在實(shí)際生產(chǎn)中，制作側(cè)面的鐵皮長(zhǎng)度要有所富裕，也就是制作側(cè)面的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)要比底面周長(zhǎng)多出一些。
小升初數(shù)學(xué)備考——小升初數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之立體圖形
立體圖形
(一)長(zhǎng)方體
1特征
六個(gè)面都是長(zhǎng)方形(有時(shí)有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形)。
相對(duì)的面面積相等，12條棱相對(duì)的4條棱長(zhǎng)度相等。
有8個(gè)頂點(diǎn)。
相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)、寬、高。
兩個(gè)面相交的邊叫做棱。
三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。
把長(zhǎng)方體放在桌面上，最多只能看到三個(gè)面。
長(zhǎng)方體或者正方體6個(gè)面的總面積，叫做它的表面積。
2計(jì)算公式
s=2(ab+ah+bh)
V=sh
V=abh
(二)正方體
1特征
六個(gè)面都是正方形
六個(gè)面的面積相等
12條棱，棱長(zhǎng)都相等
有8個(gè)頂點(diǎn)
正方體可以看作特殊的長(zhǎng)方體
2計(jì)算公式
S表=6a2
v=a3
(三)圓柱
1圓柱的認(rèn)識(shí)
圓柱的上下兩個(gè)面叫做底面。
圓柱有一個(gè)曲面叫做側(cè)面。
圓柱兩個(gè)底面之間的距離叫做高。
進(jìn)一法：實(shí)際中，使用的材料都要比計(jì)算的結(jié)果多一些，因此，要保留數(shù)的時(shí)候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進(jìn)1。這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法。
2計(jì)算公式
s側(cè)=ch
s表=s側(cè)+s底×2
v=sh/3
(四)圓錐
1圓錐的認(rèn)識(shí)
圓錐的底面是個(gè)圓，圓錐的側(cè)面是個(gè)曲面。
從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高。
測(cè)量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。
把圓錐的側(cè)面展開得到一個(gè)扇形。2計(jì)算公式
v=sh/3
(五)球
1認(rèn)識(shí)
球的表面是一個(gè)曲面，這個(gè)曲面叫做球面。
球和圓類似，也有一個(gè)球心，用O表示。
從球心到球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。
通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長(zhǎng)度等于半徑的2倍，即d=2r。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 工程制圖 空間幾何體 多面體 曲面立體 旋轉(zhuǎn)體
《工程制圖》是職業(yè)學(xué)校中機(jī)電專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)的專業(yè)性較強(qiáng)的一門基礎(chǔ)性課程，該課程特殊的專業(yè)性決定了它與數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系，它會(huì)涉及數(shù)學(xué)知識(shí)中棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球體、圓環(huán)等幾何體的概念和性質(zhì)，涉及平面幾何、立體幾何以及復(fù)雜幾何體的視圖的識(shí)別與繪制。所以從某種意義上說，工程制圖就是運(yùn)用這種數(shù)學(xué)幾何圖形來表達(dá)內(nèi)容、分析問題、研究問題，最終解決問題。正是這種形象直觀的特點(diǎn)，彌補(bǔ)了有聲語言和文字描述的不足，也就是說，《工程制圖》運(yùn)用數(shù)學(xué)中幾何圖形的語言解決工程制圖問題。正因如此，學(xué)生在掌握工程制圖中基本幾何體的視圖畫法中，也離不開數(shù)學(xué)中空間幾何體相關(guān)知識(shí)作為基礎(chǔ)。教師在教學(xué)時(shí)，一定要引導(dǎo)學(xué)生具有一定的空間感，同時(shí)也要求學(xué)生在進(jìn)行工程制圖學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)掌握初等幾何相關(guān)的知識(shí)。
一、利用數(shù)學(xué)中的空間幾何體的概念性質(zhì)進(jìn)行制圖教學(xué)
《工程制圖》的基本內(nèi)容我們可以概括為：基本幾何體及其組合體的讀識(shí)和繪制;零件圖的讀識(shí)和繪制;裝配圖的讀識(shí)和繪制等三個(gè)相應(yīng)的學(xué)習(xí)單元。其中，識(shí)讀圖紙及繪制圖紙的能力，與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)有很大關(guān)系。常見的基本工程制圖幾何體有棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球體、圓環(huán)等幾何體，在教學(xué)時(shí)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)與專業(yè)在這幾個(gè)幾何體方面的知識(shí)是一致的。在涉及棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、圓球時(shí)，我們也可以認(rèn)為基本幾何體是空間幾何體，完全可以利用數(shù)學(xué)中的空間幾何體的概念性質(zhì)來理解與解題”，加強(qiáng)將數(shù)學(xué)知識(shí)與專業(yè)知識(shí)緊密結(jié)合。根據(jù)教學(xué)側(cè)重點(diǎn)不同來分析，在《工程制圖》課程中僅對(duì)空間幾何體的形狀與大小進(jìn)行研究。在數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中，教師要善于做出一定的引導(dǎo)，特別是在空間幾何體教學(xué)中，讓學(xué)生意識(shí)到空間幾何體與《工程制圖》中基本幾何體的概念相一致，進(jìn)而能夠讓學(xué)生用數(shù)學(xué)教學(xué)中相關(guān)的空間幾何知識(shí)解決專業(yè)課學(xué)習(xí)中所遇到的問題，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)生中能夠?qū)⒍哌M(jìn)行優(yōu)化結(jié)合。所以，在教學(xué)中教師還應(yīng)該結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，主要體現(xiàn)對(duì)一維、二維、三維空間中方向、方位、形狀、大小等空間概念的理解水平以及幾何特征的內(nèi)化水平上，體現(xiàn)在簡(jiǎn)單幾何體空間位置想象和變換上，以及對(duì)抽象的代數(shù)式子給予具體的幾何意義的想象解釋或表象能力上，從而使學(xué)生在頭腦中從復(fù)雜的圖形中區(qū)分基本圖形，分析基本圖形的基本元素之間度量關(guān)系和位置關(guān)系，借助圖形來反映并思考客觀事物的空間形狀和位置關(guān)系，最終提高學(xué)生的工程制圖能力。
二、利用多面體的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行制圖教學(xué)
其實(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)中的多面體知識(shí)與《工程制圖》中研究的平面立體概念上具有對(duì)等性。數(shù)學(xué)教學(xué)中將多面體定義為“由若干個(gè)多邊形圍成的封閉的空間幾何體”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中也對(duì)多面體中的各個(gè)要素進(jìn)行了相關(guān)分析，并闡述了多面體的分類標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)范圍包括棱柱、棱錐、棱臺(tái)等三種多面體的概念性質(zhì)知識(shí)，并對(duì)其概念和性質(zhì)進(jìn)行了較為詳細(xì)的研究。但是在《工程制圖》中將平面立體概括為由平面組成的幾何形體，并未詳細(xì)分析每個(gè)平面的形狀，其教學(xué)重點(diǎn)在于棱柱、棱錐的三視圖，并未對(duì)平面幾何形體的性質(zhì)與概念進(jìn)行深入的研究。但我們通過數(shù)學(xué)中的多面體知識(shí)和《工程制圖》中的平面立體知識(shí)分析得出二者本質(zhì)上的相同點(diǎn)，如平面立體中要求每個(gè)面須為平面，與多面體定義中每個(gè)面都是多邊形實(shí)際上意義是等同的。教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，就可以利用這種等同關(guān)系對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，如在講述多面體的概念時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)多面體中每個(gè)面均為平面。這樣一來，學(xué)生在進(jìn)行《工程制圖》中平面立體學(xué)習(xí)時(shí)就會(huì)回憶起數(shù)學(xué)教學(xué)中的多面體概念，從而能夠降低難度，遷移知識(shí)，做到數(shù)學(xué)知識(shí)和工程制圖知識(shí)融會(huì)貫通，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)中的棱柱、棱錐知識(shí)，就為工程制圖的學(xué)習(xí)打好了基礎(chǔ)，而且只有能夠把學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)恰如其分地運(yùn)用到工程制圖方面，才能取得事半功倍的效果，才能解決機(jī)械專業(yè)方面的問題。
三、利用曲面立體的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行制圖教學(xué)
數(shù)學(xué)中除了棱柱、棱錐面體的知識(shí)外，還涉及圓柱、圓錐、球體等幾何體知識(shí)。在《工程制圖》的基本幾何體中，關(guān)于曲面立體的定義是“表面是由曲面和平面或者全部都是曲面構(gòu)成的形體，如圓柱、圓錐、球體、圓環(huán)等”。在基本幾何體的視圖分析中，第三、四、五種分別是圓柱、圓錐、球，重點(diǎn)是三視圖分析，都是簡(jiǎn)單地介紹幾何體的形成，粗略帶過相關(guān)的概念性質(zhì)。在數(shù)學(xué)中掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)和球體的相關(guān)知識(shí)就顯得非常重要。
