時(shí)間：2023-07-05 16:12:51
序論：在您撰寫數(shù)學(xué)思維策略的基本原理時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
一、要切實(shí)加強(qiáng)兩個(gè)基本原理的教學(xué)
加法原理與乘法原理作為《排列與組合》單元中的基本原理，不僅起著理論上的奠基作用，而且作為一種解題方法，它還貫穿于整節(jié)內(nèi)容的始終。因此，它理應(yīng)成為我們重點(diǎn)把握的教學(xué)內(nèi)容。然而，由于兩個(gè)基本原理內(nèi)容不多，“教參”中所分配的課時(shí)較少（約兩課時(shí)），因而容易將此關(guān)鍵內(nèi)容一帶而過，而把主要精力和大量時(shí)間花在“排列”與“組合”概念以及排列數(shù)與組合數(shù)公式的記憶與應(yīng)用之上。孰不知，“排列”問題與“組合”問題只不過是利用兩個(gè)基本原理來解決的兩個(gè)特殊的計(jì)數(shù)問題，而大量的問題（包括現(xiàn)實(shí)問題和有關(guān)習(xí)題以及近幾年來的高考題）并不單純是教材中所定義的“排列”、“組合”問題。即便是教材中所定義的“排列”、“組合”問題，利用其計(jì)算公式也只不過是減少了計(jì)算步驟和可以利用符號(hào)“”表示結(jié)果而減少了一點(diǎn)計(jì)算量而已。那么，如何切實(shí)做到加強(qiáng)兩個(gè)基本原理的教學(xué)呢？我認(rèn)為應(yīng)從以下三個(gè)方面入手。
1.加強(qiáng)引入。首先，應(yīng)通過對(duì)一系列實(shí)際問題的分析講解后，讓學(xué)生先用自己的語言歸納概括出這兩個(gè)基本原理，然后再與課本相對(duì)照，進(jìn)一步完善和精練語句。由此調(diào)動(dòng)學(xué)生的自主探索精神，培養(yǎng)其抽象概括能力。其次，要講清“這兩個(gè)原理的正確性由什么來保證”的問題，使學(xué)生形成或強(qiáng)化“數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。
2.加強(qiáng)辨析。要用對(duì)比的手法分清兩個(gè)基本原理的條件和結(jié)論，比較出其異同。要讓學(xué)生弄懂弄通什么叫做“完成了一件事”、什么叫“分步”、“分類”以及什么情況下要分步、要分類等問題，為正確應(yīng)用兩個(gè)基本原理打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
3.加強(qiáng)應(yīng)用。除了認(rèn)真完成課本上的例子和練習(xí)外，還應(yīng)適當(dāng)補(bǔ)充有關(guān)“可重復(fù)”與“不允許重復(fù)”以及“步中有類”、“類中有步”這些交叉型的問題。
【例1】今有壹角幣一張、貳角幣一張、伍角幣一張、壹圓幣兩張、伍圓幣兩張，用這些人民幣可以組成多少種不同數(shù)額的款項(xiàng)？
解法1：分五個(gè)步驟：(1)取“壹角”幣，有兩種方法，即“取一張”或“不取”；(2)取“貳角”幣，同樣有兩種方法；(3)取“伍角”幣，同樣有兩種方法；(4)取“壹圓”幣，有三種方法，即“取一張”、“取兩張”或“不取”；(5)取“伍圓”幣，同樣有三種方法。故由乘法原理知共有2×2×2×3×3種取法。而由“壹角”、“貳角”、“伍角”、“壹圓”、“伍圓”這些幣值的特殊性，可知每一種“取法”對(duì)應(yīng)著一款“數(shù)額”，且不同的“取法”對(duì)應(yīng)著不同的“數(shù)額”。再注意到若都是“不取”，則“數(shù)額”為0，這不符合題意。故所求答案應(yīng)為2×2×2×3×3－1=71（種）。
解法2：分四類：(1)只有1張“壹圓”和1張“伍圓”的參與組額，有種不同數(shù)額的款子；(2)兩張“壹圓”的必在內(nèi)且“伍圓”的只取一張參與組額，有種不同數(shù)額的款子；(3)兩張“伍圓”的必在內(nèi)且“壹圓”的只取一張參與組額，同樣有種不同數(shù)額的款子；(4)兩張“壹圓”的和兩張“伍圓”的都必在內(nèi)，則有種不同數(shù)額的款子。故由加法原理知所求結(jié)果即為上述四類結(jié)果之和，即71種。
二、要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的挖掘、提煉和滲透
把握好數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于抓住數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)與核心，探索解題的思路與策略，以及促進(jìn)創(chuàng)造性思維活動(dòng)的開展和發(fā)展，都有著不可低估的作用?！杜帕信c組合》這一單元中蘊(yùn)涵著較多的數(shù)學(xué)思想方法，主要有分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、對(duì)應(yīng)思想、對(duì)稱思想、整體思想等。例如，兩個(gè)基本原理和排列數(shù)公式的導(dǎo)出就用到歸納法；組合數(shù)公式的導(dǎo)出，既用到歸納法，又利用了轉(zhuǎn)化的思想；組合數(shù)的性質(zhì)“”與“”的組合定義證法，就用到了一一對(duì)應(yīng)思想和對(duì)稱思想以及分類討論思想。這些，都值得我們認(rèn)真加以對(duì)待。
數(shù)學(xué)思想方法的把握，對(duì)于解題思路的探索和解題策略的制定以及解題過程的優(yōu)化尤顯重要。因此，在例題的講解和習(xí)題的講評(píng)過程中，我們不應(yīng)只停留在就題論題的層面上進(jìn)行簡(jiǎn)單的模仿，而應(yīng)在數(shù)學(xué)思想方法的把握與運(yùn)用上下功夫，以求達(dá)到高屋建瓴之境界。
【例2】求方程x+y+z=9的正整數(shù)解的組數(shù)
解析：等式9=x+y+z表示將9劃分為三個(gè)正整數(shù)之和，因此將并列的9個(gè)1的八個(gè)空隙之間插入兩隔板，如：1 1 │ 1 1 1 │ 1 1 1 1，就是對(duì)9的一種劃分，即每一種插法都對(duì)應(yīng)著方程x+y+z=9的一組正整數(shù)解；反之，方程x+y+z=9的每一組正整數(shù)解都對(duì)應(yīng)著這樣一種插法。故原方程共有C82=28組正整數(shù)解。
利用數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，就必須對(duì)其有比較全面的認(rèn)識(shí)。下面我就自身的幾點(diǎn)體會(huì)淺談一下：
一、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的心理學(xué)意義
美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理?！薄皩W(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！睌?shù)學(xué)思想與方法為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分。下面從布魯納的基本結(jié)構(gòu)學(xué)說中來看數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)所具有的重要意義。
第一，“懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解”。心理學(xué)認(rèn)為，“由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包攝和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí)，因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)?！碑?dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識(shí)“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義，”即使新知識(shí)能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想、方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。
第二，有利于記憶。布魯納認(rèn)為，“除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會(huì)忘記。”“學(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具?！庇纱丝梢?，數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。無怪乎有人認(rèn)為，對(duì)于中學(xué)生“不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！?/p>
第三，學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”。布魯納認(rèn)為，“這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心――用基本的和一般的觀念來不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)。”曹才翰教授也認(rèn)為，“如果學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對(duì)于新學(xué)習(xí)是有利的，”“只有概括的、鞏固的和清晰的知識(shí)才能實(shí)現(xiàn)遷移?！泵绹?guó)心理學(xué)家賈德通過實(shí)驗(yàn)證明，“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個(gè)先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，形成類比。才能遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中。”學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想、方法有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。
第四，強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，“能夠縮挾‘高級(jí)’知識(shí)和‘初級(jí)’知識(shí)之間的間隙。”一般地講，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)的許多具體內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中不再出現(xiàn)了，有些術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學(xué)中要賦予它們以新的涵義。而在高等數(shù)學(xué)中幾乎全部保留下來的只有中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法以及與其關(guān)系密切的內(nèi)容，如集合、對(duì)應(yīng)等。因此，數(shù)學(xué)思想、方法是聯(lián)結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條紅線。
二、中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法
數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。由于中學(xué)生認(rèn)知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而對(duì)有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高。我們認(rèn)為，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有三個(gè)：集合思想、化歸思想和對(duì)應(yīng)思想。其理由是：（1）這三個(gè)思想幾乎包攝了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容；（2）符合中學(xué)生的思維能力及他們的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，易于被他們理解和掌握；（3）在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會(huì)比較多：（4）掌握這些思想可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 思想方法 理解 記憶 遷移
【中圖分類號(hào)】G427
【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A
【文章編號(hào)】1006――5962(2012)01(a)――0113――01
進(jìn)入20世紀(jì)80年代，數(shù)學(xué)方法論作為研究數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門新學(xué)科，在我國(guó)數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界獲得了廣泛重視。其中徐利治先生的《數(shù)學(xué)方法論選講》、鄭毓信先生的《數(shù)學(xué)方法論入門》等，是奠基性和開創(chuàng)性的著作，直接推動(dòng)了我國(guó)數(shù)學(xué)思想方法的研究。進(jìn)人20世紀(jì)90年代以后，出現(xiàn)了許多有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的新論著。那么，什么是數(shù)學(xué)思想方法呢?
1 數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵 “方法”一詞，起源于希臘語，字面意思是沿著道路運(yùn)動(dòng)。其語義學(xué)解釋是指關(guān)于某些調(diào)節(jié)原則的說明，這些調(diào)節(jié)原則是為了達(dá)到一定的目的所必須遵循的?！短K聯(lián)大百科全書》中說：“方法表示研究或認(rèn)識(shí)的途徑、理論或?qū)W說，即從實(shí)踐上或理論上把握現(xiàn)實(shí)的，為解決具體課題而采用的手段或操作的總和?！泵绹?guó)麥克來倫公司的《哲學(xué)百科全書》將“方法”解釋為“按給定程序達(dá)到既定成果必須采取的步驟”。我國(guó)《辭源》中解釋“方法”為“辦法、方術(shù)或法術(shù)”。從科學(xué)研究的角度來說，方法是人們用以研究問題、解決問題的手段、工具，這種手段、工具與人們的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、理論水平密切相關(guān)，是指導(dǎo)人們行動(dòng)的原則。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)方法是指某一數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的途徑、程序、手段，是提出、分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的概括性策略，它具有過程性、層次性和可操作性等特點(diǎn)。
在現(xiàn)代漢語中，“思想”解釋為客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。《辭?！分蟹Q“思想”為理性認(rèn)識(shí)?！吨袊?guó)大百科全書》認(rèn)為“思想”是相對(duì)于感性認(rèn)識(shí)的理性認(rèn)識(shí)成果。《蘇聯(lián)大百科全書》中指出：“思想是解釋客觀現(xiàn)象的原則?！本C合起來看，思想是認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段，是事物本質(zhì)的、高級(jí)抽象的概括的認(rèn)識(shí)。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想就是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程中提煉和概括出來而后被反復(fù)證實(shí)的數(shù)學(xué)規(guī)律，是人們對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)過長(zhǎng)期實(shí)踐而形成的具有一股意義和相對(duì)穩(wěn)定特征的理性認(rèn)識(shí)。
數(shù)學(xué)方法是解決問題的策略與程序，是數(shù)學(xué)思想具體化的反映。數(shù)學(xué)思想直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)方法起指導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段。數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的，而數(shù)學(xué)方法是外顯的，數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻、更抽象地反映了數(shù)學(xué)對(duì)象間的內(nèi)在聯(lián)系。但兩者的區(qū)分是相對(duì)的，界限是模糊的，因此，人們也經(jīng)常把數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，不加區(qū)分地通稱為數(shù)學(xué)思想方法。
如果將學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)看作一個(gè)坐標(biāo)系，那么數(shù)學(xué)知識(shí)、技能就好比橫軸上的內(nèi)容，而數(shù)學(xué)思想方法就是縱軸上的內(nèi)容。淡化或忽視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅不利于學(xué)生從縱橫兩個(gè)維度上把握數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，也必將影響其能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題能力的重要途徑，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)改革的突破口。
2 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的心理意義
美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”。所謂基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理”?！皩W(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的”。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分。下面從布魯納的基本結(jié)構(gòu)學(xué)說出發(fā)，談?wù)剶?shù)學(xué)思想方法教學(xué)所具有的重要意義。
2.1 掌握基本原理有利于數(shù)學(xué)理解
心理學(xué)認(rèn)為，由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包括和慨括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí)，因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)。當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識(shí)具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新知識(shí)的意義，即使新知識(shí)能夠順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。
2.2 掌握基本原理有利于數(shù)學(xué)記憶
布魯納認(rèn)為，“除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會(huì)忘記”?！皩W(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具?！庇纱丝梢?，數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。無怪乎有人認(rèn)為，對(duì)于中學(xué)生而言，不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，在隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生。
美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！睌?shù)學(xué)思想與方法為數(shù)學(xué)學(xué)科的重要組成部分，從布魯納的基本結(jié)構(gòu)學(xué)說中可以看出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)所具有的重要意義。
1.懂得基本原理使學(xué)科知識(shí)更容易理解
心理學(xué)認(rèn)為，“由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包攝和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí)，因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)?！毕挛粚W(xué)習(xí)具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)知識(shí)的意義，使新知識(shí)能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。
2.懂得基本原理有利于記憶知識(shí)
布魯納認(rèn)為，“除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會(huì)忘記?！睂W(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具。由此可見，數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。對(duì)于中學(xué)生來說，“不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，能隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生。
3.學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”
布魯納認(rèn)為，“遷移應(yīng)該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)?！辈懿藕步淌谝舱J(rèn)為，“如果學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對(duì)于新學(xué)習(xí)是有利的”。美國(guó)心理學(xué)家賈德通過實(shí)驗(yàn)證明，“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個(gè)先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中。”因此，那些概括的、鞏固的和清晰的知識(shí)能實(shí)現(xiàn)遷移。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，從而可以較快地提高數(shù)學(xué)能力。
4.結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，能夠縮短初高級(jí)知識(shí)之間的間隙
一般地講，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)的許多具體內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中不再出現(xiàn)了，有些術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學(xué)中要賦予它們以新的涵義。在高等數(shù)學(xué)中幾乎全部保留下來的只有中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法以及與其關(guān)系密切的內(nèi)容，如集合、對(duì)應(yīng)等。因此，數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條紅線。
二、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的層次性
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個(gè)層次：一類是表層知識(shí)，一類是深層知識(shí)。表層知識(shí)包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能，深層知識(shí)主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。
表層知識(shí)是深層知識(shí)的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的、教材中明確給出的、具有較強(qiáng)操作性的知識(shí)。學(xué)生只有通過對(duì)教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識(shí)后，才能進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識(shí)。
深層知識(shí)蘊(yùn)含于表層知識(shí)之中，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著表層知識(shí)。教師必須在講授表層知識(shí)的過程中不斷地滲透相關(guān)的深層知識(shí)，讓學(xué)生在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟到深層知識(shí)，才能使學(xué)生的表層知識(shí)達(dá)到一個(gè)質(zhì)的飛躍，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)超脫題海之苦，更富有朝氣和創(chuàng)造性。
那種只重視講授表層知識(shí)，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識(shí)水平永遠(yuǎn)停留在一個(gè)初級(jí)階段，難以提高；反之，如果單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略表層知識(shí)的教學(xué)，就會(huì)使教學(xué)流于形式，成為無源之水，無本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到深層知識(shí)的真諦。因此，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)與整個(gè)表層知識(shí)的講授融為一體，使學(xué)生逐步掌握有關(guān)的深層知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)。
三、中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。由于受中學(xué)生認(rèn)知能力和教學(xué)內(nèi)容的限制，數(shù)學(xué)教學(xué)過程中只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實(shí)，而對(duì)有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高。
在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有集合思想、化歸思想和對(duì)應(yīng)思想。這三種思想幾乎包攝了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，它們符合中學(xué)生的思維方式及他們的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，易于被他們理解和掌握。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會(huì)比較多，掌握這些思想可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)。
一、從布魯納的基本結(jié)構(gòu)學(xué)說中來看數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)所具有的重要意義
第一，懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解。心理學(xué)認(rèn)為，“由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí)，因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)”。當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識(shí)“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義”，使新知識(shí)能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想、方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。
第二，學(xué)習(xí)基本原理有利于記憶。布魯納認(rèn)為，“除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會(huì)忘記”?！皩W(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具?！庇纱丝梢?，數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。
第三，學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”。布魯納認(rèn)為，“這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心――用基本的和一般的觀念來不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)”。曹才翰教授也認(rèn)為，“如果學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對(duì)于新學(xué)習(xí)是有利的”，“只有概括的、鞏固的和清晰的知識(shí)才能實(shí)現(xiàn)遷移”。美國(guó)心理學(xué)家賈德通過實(shí)驗(yàn)證明，“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個(gè)先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中”。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想、方法有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。
第四，強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，“能夠縮小高級(jí)知識(shí)和初級(jí)知識(shí)之間的間隙”。一般地講，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)的許多具體內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中不再出現(xiàn)了，有些術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學(xué)中要賦予它們以新的涵義。
二、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容可分為兩個(gè)層次
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個(gè)層次：一個(gè)稱為表層知識(shí)，另一個(gè)稱為深層知識(shí)。表層知識(shí)包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能，深層知識(shí)主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。
表層知識(shí)是深層知識(shí)的基礎(chǔ)，是《教學(xué)大綱》中明確規(guī)定的，教材中明確給出的，以及具有較強(qiáng)操作性的知識(shí)。學(xué)生只有通過對(duì)教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識(shí)后，才能進(jìn)一步學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識(shí)。
深層知識(shí)蘊(yùn)含于表層知識(shí)之中，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著表層知識(shí)。教師必須在講授表層知識(shí)的過程中不斷地滲透相關(guān)的深層知識(shí)，讓學(xué)生在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟到深層知識(shí)，才能使學(xué)生的表層知識(shí)達(dá)到一個(gè)質(zhì)的“飛躍”，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)超脫“題?！敝啵蛊涓挥谐瘹夂蛣?chuàng)造性。
那種只重視講授表層知識(shí)，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識(shí)水平永遠(yuǎn)停留在一個(gè)初級(jí)階段，難以提高；反之，如果單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略表層知識(shí)的教學(xué)，就會(huì)使教學(xué)流于形式，成為無源之水，無本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到深層知識(shí)的真諦。因此，數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)應(yīng)與整個(gè)表層知識(shí)的講授融為一體，使學(xué)生逐步掌握有關(guān)的深層知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)。
三、中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法
數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。由于中學(xué)生認(rèn)知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而對(duì)有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高。我們認(rèn)為，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有三個(gè)：集合思想、化歸思想和對(duì)應(yīng)思想。其理由是：（1）這三個(gè)思想幾乎包括了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容；（2）符合中學(xué)生的思維能力及他們的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，易于被他們理解和掌握；（3）在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會(huì)比較多；（4）掌握這些思想可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)。
數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的策略，這些策略與人們的數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)思想掌握情況密切相關(guān)。從有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)出發(fā)，本著數(shù)量不宜過多原則，我們認(rèn)為目前應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)方法有：數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合法、變換法、函數(shù)法和類分法等。一般來講，中學(xué)數(shù)學(xué)中分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的活動(dòng)是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，通過一系列數(shù)學(xué)技能操作來完成的。
四、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)模式
數(shù)學(xué)表層知識(shí)與深層知識(shí)具有相輔相成的關(guān)系，這就決定了它們?cè)诮虒W(xué)中的辯證統(tǒng)一性?；谏鲜稣J(rèn)識(shí)，我們給出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一個(gè)教學(xué)模式：操作――掌握――領(lǐng)悟。
對(duì)此模式作如下說明：（1）數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)要求教師較好地掌握有關(guān)的深層知識(shí)，以保證在教學(xué)過程中有明確的教學(xué)目的。（2）“操作”是指表層知識(shí)教學(xué)，即基本知識(shí)與技能的教學(xué)?！安僮鳌笔菙?shù)學(xué)思想、方法教學(xué)的基礎(chǔ)。（3）“掌握”是指在表層知識(shí)教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)表層知識(shí)的掌握。學(xué)生掌握了一定量的數(shù)學(xué)表層知識(shí)，是學(xué)生能夠接受相關(guān)深層知識(shí)的前提。（4）“領(lǐng)悟”是指在教師引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)掌握的有關(guān)表層知識(shí)的認(rèn)識(shí)深化，即對(duì)蘊(yùn)于其中的數(shù)學(xué)思想、方法有所悟，有所體會(huì)。
美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)．”所謂基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理．”“學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的．”數(shù)學(xué)思想與方法為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分．下面從布魯納的基本結(jié)構(gòu)學(xué)說中來看數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)所具有的重要意義．
第一，“懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解”．心理學(xué)認(rèn)為“由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包攝和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí)，因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)．”當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就屬于下位學(xué)習(xí)了．下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識(shí)“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義，”即使新知識(shí)能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去．學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想、方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容．
第二，有利于記憶．布魯納認(rèn)為，“除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會(huì)忘記．”“學(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來．高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具．”由此可見，數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的．無怪乎有人認(rèn)為，對(duì)于中學(xué)生“不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生．”
第三，學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”．布魯納認(rèn)為，“這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)．”曹才翰教授也認(rèn)為，“如果學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對(duì)于新學(xué)習(xí)是有利的，”“只有概括的、鞏固的和清晰的知識(shí)才能實(shí)現(xiàn)遷移．”美國(guó)心理學(xué)家賈德通過實(shí)驗(yàn)證明，“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個(gè)先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中．”學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想、方法有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力．
第四，強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，“能夠縮挾高級(jí)’知識(shí)和‘初級(jí)’知識(shí)之間的間隙．”一般地講，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)的許多具體內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中不再出現(xiàn)了，有些術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學(xué)中要賦予它們以新的涵義．而在高等數(shù)學(xué)中幾乎全部保留下來的只有中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法以及與其關(guān)系密切的內(nèi)容，如集合、對(duì)應(yīng)等．因此，數(shù)學(xué)思想、方法是聯(lián)結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條紅線．
2．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的層次
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個(gè)層次：一個(gè)稱為表層知識(shí)，另一個(gè)稱為深層知識(shí)．表層知識(shí)包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能，深層知識(shí)主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法．
表層知識(shí)是深層知識(shí)的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的，教材中明確給出的，以及具有較強(qiáng)操作性的知識(shí)．學(xué)生只有通過對(duì)教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識(shí)后，才能進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識(shí)．
深層知識(shí)蘊(yùn)含于表層知識(shí)之中，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著表層知識(shí)．教師必須在講授表層知識(shí)的過程中不斷地滲透相關(guān)的深層知識(shí)，讓學(xué)生在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟到深層知識(shí)，才能使學(xué)生的表層知識(shí)達(dá)到一個(gè)質(zhì)的“飛躍”，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)超脫“題?！敝啵蛊涓挥谐瘹夂蛣?chuàng)造性．
那種只重視講授表層知識(shí)，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識(shí)水平永遠(yuǎn)停留在一個(gè)初級(jí)階段，難以提高；反之，如果單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略表層知識(shí)的教學(xué)，就會(huì)使教學(xué)流于形式，成為無源之水，無本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到深層知識(shí)的真諦．因此，數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)應(yīng)與整個(gè)表層知識(shí)的講授融為一體，使學(xué)生逐步掌握有關(guān)的深層知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)．
3．中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法
數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)．由于中學(xué)生認(rèn)知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而對(duì)有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高．我們認(rèn)為，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有三個(gè)：集合思想、化歸思想和對(duì)應(yīng)思想．其理由是：（1）這三個(gè)思想幾乎包攝了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容；（2）符合中學(xué)生的思維能力及他們的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，易于被他們理解和掌握；（3）在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會(huì)比較多；（4）掌握這些思想可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)．
此外，符號(hào)化思想、公理化思想以及極限思想等在中學(xué)數(shù)學(xué)中也不同程度地有所體現(xiàn)，應(yīng)依據(jù)具體情況在教學(xué)中予以滲透．
數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的策略，這些策略與人們的數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)思想掌握情況密切相關(guān)．從有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)出發(fā)，本著數(shù)量不宜過多原則，我們認(rèn)為目前應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)方法有：數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合法、變換法、函數(shù)法和類分法等．一般講，中學(xué)數(shù)學(xué)中分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的活動(dòng)是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，通過一系列數(shù)學(xué)技能操作來完成的．
4．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)模式
數(shù)學(xué)表層知識(shí)與深層知識(shí)具有相輔相成的關(guān)系，這就決定了他們?cè)诮虒W(xué)中的辯證統(tǒng)一性．基于上述認(rèn)識(shí)，我們給出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一個(gè)教學(xué)模式：
“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理。”“學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。”數(shù)學(xué)思想與方法為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分。下面從基本結(jié)構(gòu)學(xué)說中來看數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)所具有的重要意義。
第一.“懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解”。心理學(xué)認(rèn)為“由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包攝和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí)，因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)?！碑?dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識(shí)“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義，”即使新知識(shí)能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想、方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。
第二.有利于記憶。除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會(huì)忘記。學(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具。
由此可見，數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。無怪乎有人認(rèn)為，對(duì)于中學(xué)生“不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！?/p>
第三.學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”。這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)。曹才翰教授也認(rèn)為，“如果學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對(duì)于新學(xué)習(xí)是有利的，”“只有概括的、鞏固的和清晰的知識(shí)才能實(shí)現(xiàn)遷移。”美國(guó)心理學(xué)家賈德通過實(shí)驗(yàn)證明，“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個(gè)先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中?！睂W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想、方法有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。
第四.強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，“能夠縮短‘高級(jí)’知識(shí)和‘初級(jí)’知識(shí)之間的間隙?！币话愕刂v，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)的許多具體內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中不再出現(xiàn)了，有些術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學(xué)中要賦予它們以新的涵義。而在高等數(shù)學(xué)中幾乎全部保留下來的只有中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法以及與其關(guān)系密切的內(nèi)容，如集合、對(duì)應(yīng)等。因此，數(shù)學(xué)思想、方法是聯(lián)結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條紅線。
2。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的層次
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個(gè)層次：一個(gè)稱為表層知識(shí)，另一個(gè)稱為深層知識(shí)。表層知識(shí)包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能，深層知識(shí)主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。
表層知識(shí)是深層知識(shí)的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的，教材中明確給出的，以及具有較強(qiáng)操作性的知識(shí)。學(xué)生只有通過對(duì)教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識(shí)后，才能進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識(shí)。
深層知識(shí)蘊(yùn)含于表層知識(shí)之中，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著表層知識(shí)。教師必須在講授表層知識(shí)的過程中不斷地滲透相關(guān)的深層知識(shí)，讓學(xué)生在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟到深層知識(shí)，才能使學(xué)生的表層知識(shí)達(dá)到一個(gè)質(zhì)的“飛躍”，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)超脫“題?！敝?，使其更富有朝氣和創(chuàng)造性。
那種只重視講授表層知識(shí)，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識(shí)水平永遠(yuǎn)停留在一個(gè)初級(jí)階段，難以提高；反之，如果單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略表層知識(shí)的教學(xué)，就會(huì)使教學(xué)流于形式，成為無源之水，無本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到深層知識(shí)的真諦。因此，數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)應(yīng)與整個(gè)表層知識(shí)的講授融為一體，使學(xué)生逐步掌握有關(guān)的深層知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)。
3。中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法
數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。由于中學(xué)生認(rèn)知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而對(duì)有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高。我們認(rèn)為，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有三個(gè)：集合思想、化歸思想和對(duì)應(yīng)思想。其理由是：
（1）這三個(gè)思想幾乎包攝了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容；
（2）符合中學(xué)生的思維能力及他們的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，易于被他們理解和掌握；
（3）在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會(huì)比較多；
（4）掌握這些思想可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)。
此外，符號(hào)化思想、公理化思想以及極限思想等在中學(xué)數(shù)學(xué)中也不同程度地有所體現(xiàn)，應(yīng)依據(jù)具體情況在教學(xué)中予以滲透。
數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的策略，這些策略與人們的數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)思想掌握情況密切相關(guān)。從有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)出發(fā)，本著數(shù)量不宜過多原則，我們認(rèn)為目前應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)方法有：數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合法、變換法、函數(shù)法和類分法等。一般講，中學(xué)數(shù)學(xué)中分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的活動(dòng)是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，通過一系列數(shù)學(xué)技能操作來完成的。
4。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)模式
數(shù)學(xué)表層知識(shí)與深層知識(shí)具有相輔相成的關(guān)系，這就決定了他們?cè)诮虒W(xué)中的辯證統(tǒng)一性?；谏鲜稣J(rèn)識(shí)，我們給出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一個(gè)教學(xué)模式：
操作——掌握——領(lǐng)悟
對(duì)此模式作如下說明：
（1）數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)要求教師較好地掌握有關(guān)的深層知識(shí)，以保證在教學(xué)過程中有明確的教學(xué)目的；
（2）“操作”是指表層知識(shí)教學(xué)，即基本知識(shí)與技能的教學(xué)。“操作”是數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)的基礎(chǔ)；
（3）“掌握”是指在表層知識(shí)教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)表層知識(shí)的掌握。學(xué)生掌握了一定量的數(shù)學(xué)表層知識(shí)，是學(xué)生能夠接受相關(guān)深層知識(shí)的前提；
