時(shí)間：2023-06-18 10:35:52
序論：在您撰寫數(shù)學(xué)與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
一、經(jīng)驗(yàn)性教學(xué)資源
經(jīng)驗(yàn)性課堂教學(xué)資源的含義是指以老師學(xué)生在日常生活中所共有的經(jīng)驗(yàn)為依托，在此基礎(chǔ)上將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容與之結(jié)合，使學(xué)生能夠借助于生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)了解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與技能。
例如教師在進(jìn)行“加減法的一些簡(jiǎn)便計(jì)算”相關(guān)內(nèi)容教學(xué)的時(shí)候，學(xué)生對(duì)于“2938+198=2938+200―2”和“2938―198=2938―200+2”這樣一類含有簡(jiǎn)單算理在內(nèi)的簡(jiǎn)算過(guò)程不是太容易接受，這是因?yàn)閷W(xué)生在當(dāng)前階段還沒(méi)有具備一定的數(shù)學(xué)思維，即使這是一種最為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思維。為此，教師在生活的寶庫(kù)中尋找相似場(chǎng)景，相關(guān)的可供使用的原型很多，譬如發(fā)工資獎(jiǎng)金加班費(fèi)、在柜臺(tái)買東西找零、在水果批發(fā)市場(chǎng)稱重、物資庫(kù)內(nèi)物資的出入庫(kù)等等?？紤]到最為貼近學(xué)生的生活，教師選取了“發(fā)工資獎(jiǎng)金”和“柜臺(tái)買東西找零”的場(chǎng)景進(jìn)行了模擬，分別將“2938+198=2938+200―2”與“2938―198=2938―200+2”的數(shù)字表達(dá)轉(zhuǎn)化為“甲一個(gè)月工資2938元，因?yàn)槟持芰影嘁徽?，單位?huì)計(jì)又額外補(bǔ)發(fā)給他198元，會(huì)計(jì)給他兩張一百元面值的鈔票，甲找出兩塊錢硬幣給會(huì)計(jì)”和“甲隨身帶了2938元現(xiàn)金去商場(chǎng)購(gòu)買了一雙198元的鞋，甲拿出兩張一百面值的鈔票，收銀員找了他兩塊錢的硬幣”，同時(shí)教師也讓學(xué)生來(lái)進(jìn)行模擬操作。
在學(xué)生模擬完成之后，教師及時(shí)總結(jié)出“先補(bǔ)整，后找零”的簡(jiǎn)單算理，這樣的一種經(jīng)驗(yàn)型隱性課程資源的開發(fā)不僅使學(xué)生掌握了簡(jiǎn)單算法，而且對(duì)于數(shù)學(xué)思維有了最為基本的接觸，更為重要的是親自將數(shù)學(xué)與生活進(jìn)行了結(jié)合，這一切對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)都是“脫離了書本的新鮮事物”，與此同時(shí)，學(xué)生們看待數(shù)學(xué)的眼神正在悄悄的改變著。
二、生成性教學(xué)資源
生成性教學(xué)資源的含義是指在教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)內(nèi)容的反應(yīng)（行為或者語(yǔ)言上的表現(xiàn)），并靈活選取其中的具體內(nèi)容，輔以教師的引導(dǎo)，從而將自己的教學(xué)通過(guò)學(xué)生的反應(yīng)來(lái)進(jìn)行有機(jī)的聯(lián)系，將教學(xué)以一種易被學(xué)生接受的方式高效的進(jìn)行。這樣的教學(xué)方式叫做生成式教學(xué)，在這之中，學(xué)生的一些對(duì)于教學(xué)有很好幫助的反應(yīng)（基本上是以語(yǔ)言的形式來(lái)表達(dá)，是思維的反映）就可以稱之為生成性教學(xué)資源。
例如，在教學(xué)“統(tǒng)計(jì)”的時(shí)候，教師設(shè)計(jì)了FLASH動(dòng)畫，以空白球場(chǎng)和籃球、足球、排球、橄欖球、網(wǎng)球、羽毛球、乒乓球等若干種學(xué)生較為熟悉的球類為主體，設(shè)計(jì)制作出了“非常多的球無(wú)規(guī)則排列成一條直線依次滾進(jìn)場(chǎng)地”的情景，這樣的情景會(huì)自然而然的促使學(xué)生特別的想知道這里面一共有幾種球，與此同時(shí)就會(huì)有學(xué)生根據(jù)自己的想法、運(yùn)用自己的方法來(lái)對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。
動(dòng)畫播完之后教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行提問(wèn)“畫面中一共有多少只球？”、“這里面有幾種球？”、“每種球有幾只？”
隨即有學(xué)生回答“多少只球沒(méi)有數(shù)，但是我看清楚了這里面有七種不一樣的球！”
師：那么有誰(shuí)將動(dòng)畫里出現(xiàn)的球的總數(shù)數(shù)清楚了？
生1：老師，我數(shù)清楚了，應(yīng)該是99只球。
師：不錯(cuò)，那么又有誰(shuí)知道每一種球分別有多少只呢？
生2：這個(gè)還真沒(méi)有數(shù)清楚！
生3：老師，我喜歡足球，我就盯著足球看了，好像一共有10只足球。
師：非常好！這位同學(xué)數(shù)出了足球的個(gè)數(shù)！那么有沒(méi)有其他同學(xué)數(shù)了其他的球呢？
生：沒(méi)有。
師：那么我們?cè)倏匆槐楹貌缓?，每個(gè)同學(xué)都自己數(shù)一遍，看看能不能數(shù)清楚！
生：好！
學(xué)生們?cè)俅斡^看動(dòng)畫！在這之前，“統(tǒng)計(jì)”的相關(guān)概念已經(jīng)通過(guò)老師和學(xué)生問(wèn)與答具化為“數(shù)清楚每一種球類的個(gè)數(shù)”，于是學(xué)生們開動(dòng)腦筋，使用自己的辦法，依據(jù)自己的能力，或自力或合作，運(yùn)用了各種方式，將各種球類的個(gè)數(shù)清楚了，而緊接著教師再次運(yùn)用規(guī)范語(yǔ)言對(duì)“統(tǒng)計(jì)”進(jìn)行簡(jiǎn)介，相輔相成，便將統(tǒng)計(jì)教好教透，學(xué)生在此過(guò)程中不僅收獲了知識(shí)也收獲了意識(shí)與能力的提升。
三、錯(cuò)誤性教學(xué)資源
錯(cuò)誤性教學(xué)資源的含義是教師對(duì)于教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤（以學(xué)生學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤為主，教師在教學(xué)中原則上不能出錯(cuò)，除非錯(cuò)的恰到好處精妙異常）予以改正或“將錯(cuò)就錯(cuò)”，以使學(xué)生的思維得到拓寬。
例如，在學(xué)習(xí)角的過(guò)程之中，教師為了拓展學(xué)生對(duì)于角的理解和把握，于是采用提問(wèn)的方式，要求學(xué)生說(shuō)出生活中出現(xiàn)的角。
生1：墻角。
生2：桌角。
生3：菱角。
師：什么菱角？
生3：菜市場(chǎng)有的賣的那個(gè)好吃的菱角。
師：哦，吃的?。。ń處熞詾樵搶W(xué)生在開玩笑，一時(shí)也沒(méi)有反應(yīng)過(guò)來(lái)，所以語(yǔ)氣與表情都帶有質(zhì)疑的涵義）
學(xué)生們瞬間哄笑開來(lái)。該學(xué)生臉漲得通紅，很無(wú)辜的說(shuō)：“菱角雖然可以吃但是它的確也是角啊！你看兩個(gè)尖的，有的側(cè)面也有兩個(gè)尖的，可以說(shuō)是銳角的一種變形?！?/p>
教師瞬間的冷靜了下來(lái)，一點(diǎn)都沒(méi)有錯(cuò)，菱角真的也是有好幾個(gè)角，只是不規(guī)范而已！
于是教師快速的進(jìn)行應(yīng)變，請(qǐng)?jiān)搶W(xué)生對(duì)他的答案進(jìn)行解釋，同學(xué)們聽(tīng)了之后，在覺(jué)得該同學(xué)的觀察細(xì)致入微的同時(shí)也暗自要求自己要更加的細(xì)膩。
這就是一種由錯(cuò)誤引出的隱性教學(xué)資源。
全面貫徹黨的教育方針，深化教育改革，推進(jìn)素質(zhì)教育，是當(dāng)前我國(guó)教育改革的重要任務(wù)。教育部計(jì)劃從2001年秋季開始，用大約五年左右的時(shí)間在全國(guó)推行義務(wù)教育新的課程體系。在新一輪基礎(chǔ)教育課程改革中，在理念、目標(biāo)、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、實(shí)施、評(píng)價(jià)等方面較以往的課程有了重大的突破和創(chuàng)新，對(duì)廣大中小學(xué)教師和教育工作者提出了許多新的更高的要求，對(duì)培養(yǎng)教師的高等師范院校提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。高師數(shù)學(xué)教育面對(duì)課改帶來(lái)的一系列變化，應(yīng)采取積極的策略應(yīng)對(duì)這些挑戰(zhàn)，不僅有利于保障課改的順利實(shí)施，也有利于推動(dòng)高師教育自身的發(fā)展。
一、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課改對(duì)高師數(shù)學(xué)教育的挑戰(zhàn)
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程改革具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，是真正意義上的課程文化創(chuàng)新，是一場(chǎng)深刻的課程文化變革，它將改變學(xué)生沿襲已久的被動(dòng)接受的學(xué)習(xí)方式，同時(shí)也將改變教師的角色，教師從“兒童的保姆”、“小樹的園丁”、“知識(shí)的批發(fā)商”轉(zhuǎn)變?yōu)?ldquo;教學(xué)活動(dòng)的組織者”、“學(xué)生成長(zhǎng)的促進(jìn)者”、“課程結(jié)構(gòu)的研究者”?；A(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革向培養(yǎng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的高師數(shù)學(xué)教育提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。
挑戰(zhàn)一：教育理念的更新
新舊課程的本質(zhì)區(qū)別是教育理念的不同。舊課程觀認(rèn)為課程是知識(shí)，教師是知識(shí)的傳授者，教師是中心，學(xué)生是知識(shí)的接受者，而新課程觀認(rèn)為課程不僅是知識(shí)，同時(shí)也是經(jīng)驗(yàn)，是活動(dòng)；課程不僅是文本課程，更是體驗(yàn)課程；學(xué)生獲取知識(shí)的過(guò)程是自我構(gòu)建的過(guò)程，是師生共同探究新知識(shí)的過(guò)程。舊課程認(rèn)為課程就是教材，教材又是知識(shí)的載體，而新課程觀認(rèn)為課程是教材、教師、學(xué)生、環(huán)境等因素的整合，是一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)；師生是課程資源的開發(fā)者，共創(chuàng)共生，形成學(xué)習(xí)共同體。目前，師范在校生接受的是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育，陳舊的教學(xué)理念在頭腦里根深蒂固。而基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程改革能否取得成功的核心問(wèn)題是數(shù)學(xué)教育理念能否轉(zhuǎn)變?yōu)榻處煹慕虒W(xué)行為，陳舊的教育理念很難保證高師生在未來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)中適應(yīng)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程的改革。
挑戰(zhàn)二：教育目標(biāo)的多維性
傳統(tǒng)的應(yīng)試教育由于過(guò)分注重知識(shí)的傳授和學(xué)科本位，強(qiáng)調(diào)知識(shí)和技能的獲得，學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)，死記硬背，機(jī)械訓(xùn)練，大部分學(xué)生失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，90%的學(xué)生陪10%的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。新課程數(shù)學(xué)教育是“知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀”三維一體的培養(yǎng)目標(biāo)，不只是讓學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，還包括在啟迪思維、解決問(wèn)題、情感與態(tài)度等方面的發(fā)展；讓學(xué)生愿意親近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識(shí)自己所生活的環(huán)境和社會(huì)；學(xué)會(huì)“做數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)地思考”；發(fā)展學(xué)生的理性精神、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生克服困難的意志力，建立自信心等。但目前的師范生，大多采用被動(dòng)接受的學(xué)習(xí)方式，重結(jié)果輕過(guò)程，重套用輕創(chuàng)造，重理論輕實(shí)踐；對(duì)學(xué)生情感、態(tài)度和價(jià)值觀的培養(yǎng)不夠關(guān)注，這樣培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教師與素質(zhì)教育要求的新型教師是不相符的。
挑戰(zhàn)三：數(shù)學(xué)課內(nèi)容的整合性
基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程與原課程相比較有重大變化，一是教材內(nèi)容的變化。增加了一些有用的、與日常生活緊密的內(nèi)容，如視圖與投影，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)建模，算法，信息安全與密碼，測(cè)量，二維與三維圖形的轉(zhuǎn)化，風(fēng)險(xiǎn)決策等，這些內(nèi)容在高師數(shù)學(xué)專業(yè)課中比較薄弱，有些甚至是沒(méi)有覆蓋的。二是教學(xué)內(nèi)容的變化。教學(xué)內(nèi)容不僅僅是教材，還包括教師、學(xué)生、教材和環(huán)境等因素的整合，因?yàn)檫@些因素對(duì)學(xué)生的教育和影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于學(xué)生在課本上學(xué)到的東西。這就向傳統(tǒng)的、有缺陷的高師數(shù)學(xué)課內(nèi)容提出了挑戰(zhàn)。
挑戰(zhàn)四：教學(xué)活動(dòng)中角色的轉(zhuǎn)變
素質(zhì)教育提出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過(guò)程，是以學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和內(nèi)在需要為基礎(chǔ)，以主動(dòng)探索、變革、改造活動(dòng)對(duì)象為特征，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生主體能力綜合發(fā)展為目的的主體活動(dòng)。學(xué)生是教學(xué)活動(dòng)的主人，教師是組織者、引導(dǎo)者和合作者，教師要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐、思考、探索、交流獲得知識(shí)、形成技能、發(fā)展思維、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，有效地實(shí)施有差異的教學(xué)，使每個(gè)學(xué)生都能得到充分的發(fā)展。而目前高師數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師基本上是“滿堂灌”，教學(xué)過(guò)程呆板，缺乏探究和學(xué)生的主動(dòng)參與，缺乏相互的合作和交流。學(xué)生是忠實(shí)的聽(tīng)眾，被動(dòng)地圍繞上課、作業(yè)和考試轉(zhuǎn)，缺乏主動(dòng)探索精神，這樣的教學(xué)活動(dòng)不利于師范生從學(xué)生向新型教師角色的轉(zhuǎn)變。
二、高師數(shù)學(xué)教育的應(yīng)對(duì)策略
在我國(guó)教育戰(zhàn)略、政策、體制改革的大背景下，隨著教師教育改革的不斷深入，高等師范院校在未來(lái)教師培養(yǎng)方面所面臨的挑戰(zhàn)應(yīng)予高度重視。針對(duì)當(dāng)前我國(guó)基礎(chǔ)教育正在進(jìn)行大規(guī)模的改革，中小學(xué)數(shù)學(xué)課程出現(xiàn)前所未有的變化，高師數(shù)學(xué)教育“教什么、怎么教”，如何使培養(yǎng)的學(xué)生適應(yīng)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革的發(fā)展要求，是需要深入研究的問(wèn)題。筆者認(rèn)為高師數(shù)學(xué)教育面對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課改的挑戰(zhàn)應(yīng)做好五個(gè)“轉(zhuǎn)變”：
策略一：教學(xué)內(nèi)容的轉(zhuǎn)變
高師數(shù)學(xué)教育類課在很大程度上仍然沒(méi)有跳出“數(shù)學(xué)+教育學(xué)”的傳統(tǒng)框架，所開設(shè)的課程基本上是純數(shù)學(xué)的，重在專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)的培養(yǎng)，這當(dāng)然是必須是。但素質(zhì)教育要求數(shù)學(xué)必須與其他學(xué)科和生活實(shí)際相聯(lián)系，更注重實(shí)用性，更注重師范生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和師范技能的培養(yǎng)，使師范畢業(yè)生在具有扎實(shí)的專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，還要具有應(yīng)用意識(shí)、建模意識(shí)、學(xué)科綜合意識(shí)和教育現(xiàn)代化意識(shí)。所以，高師數(shù)學(xué)教育應(yīng)調(diào)整基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程和應(yīng)用數(shù)學(xué)課程，對(duì)專業(yè)必修課的內(nèi)容進(jìn)行整合和優(yōu)化，加強(qiáng)基礎(chǔ)性、前沿性和綜合性內(nèi)容。教學(xué)內(nèi)容應(yīng)包括教
轉(zhuǎn)貼于
育的現(xiàn)展、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)、數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐、數(shù)學(xué)建模、新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀、新教材教法研討、課例評(píng)析等，使高師數(shù)學(xué)教育達(dá)到“授人以業(yè)、授人以法、授人以道”的目的。
策略二：教學(xué)方法的轉(zhuǎn)變
恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法是對(duì)素質(zhì)教育理解的直接體現(xiàn)，教師的作用是通過(guò)課堂教學(xué)來(lái)體現(xiàn)的。傳統(tǒng)的講授法不能適應(yīng)素質(zhì)教育的要求。素質(zhì)教育的最大特征就是由“教給學(xué)生數(shù)學(xué)的結(jié)果”轉(zhuǎn)化為“引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程”，這不僅僅是對(duì)中小學(xué)的要求，也是對(duì)高師的要求，更是對(duì)高師數(shù)學(xué)教師的要求。高師數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中的地位應(yīng)重新定位為數(shù)學(xué)探索活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、組織者、“導(dǎo)游”，數(shù)學(xué)教學(xué)必須使學(xué)生參與到數(shù)學(xué)探索活動(dòng)中來(lái)，傳統(tǒng)的“以教師為中心”、“教師在課堂上起支配和決定作用”的狀況應(yīng)改變，學(xué)生的主體地位應(yīng)加強(qiáng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中進(jìn)行探索并主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)。發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探索、自主構(gòu)建、自主創(chuàng)造的行為模式。高師數(shù)學(xué)教師的教學(xué)行為直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和未來(lái)的教學(xué)方式，許多有效的學(xué)習(xí)方法和教學(xué)方法是直接從教師具有示范性的教法轉(zhuǎn)化而來(lái)的。
策略三：教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變
由于同一年級(jí)學(xué)生的知識(shí)、能力、背景和理想等因素的不同，傳統(tǒng)的同一的教學(xué)模式與分化的學(xué)生之間存在的矛盾比較突出：“比較差”的學(xué)生跟不上，“優(yōu)秀”的學(xué)生感到吃不飽；立志從教的學(xué)生（假設(shè)為a層）覺(jué)得師范技能培養(yǎng)不夠，立志進(jìn)一步深造的學(xué)生（假設(shè)為b層）感到專業(yè)知識(shí)需要提高。分層次教學(xué)模式是解決這一矛盾的有效方法。對(duì)不同的學(xué)生制定不同的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，提出不同的要求：a層學(xué)生應(yīng)達(dá)到中學(xué)教師的基本要求，b層學(xué)生在知識(shí)能力達(dá)到較高要求的同時(shí)應(yīng)在創(chuàng)新和應(yīng)用上有所拓展。
策略四：學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變
長(zhǎng)期以來(lái)，相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生幾乎是從小學(xué)開始面對(duì)應(yīng)試的競(jìng)爭(zhēng)，并隨著年級(jí)的升高愈演愈烈，這對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式產(chǎn)生了許多不良影響：讀死書和死讀書；死記硬背概念、公式、性質(zhì)、定理和解題方法；搞題海戰(zhàn)術(shù)；不習(xí)慣于合作和探索?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論研究的一個(gè)重要成果是獲得了關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)本質(zhì)更為深刻的認(rèn)識(shí)：這是一個(gè)以其已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程，是一個(gè)社會(huì)的過(guò)程。學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于對(duì)概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受。高師院校應(yīng)充分利用自己的課程資源和各種信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的平臺(tái)，給學(xué)生自由學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間，為學(xué)生創(chuàng)造充分的條件，在獨(dú)立思考、自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)和課題研究中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，學(xué)會(huì)“做數(shù)學(xué)”的方法。
策略五：學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)方式的轉(zhuǎn)變
關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；理性思維；思維模板教學(xué)法
對(duì)絕大部分運(yùn)動(dòng)員來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門課程對(duì)他們而言是很痛苦的。所以在數(shù)學(xué)課堂上，除了少數(shù)幾個(gè)能夠一直跟著老師的思路學(xué)習(xí)的，其他的人不是睡覺(jué)，就是在做自己的事情。毫無(wú)疑問(wèn)，這些運(yùn)動(dòng)員的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诳荚嚨臅r(shí)候基本上都是在掛紅燈籠。作者在上海體育職業(yè)學(xué)院上數(shù)學(xué)課也將近兩年了，各個(gè)年齡層次，各個(gè)基礎(chǔ)層次的學(xué)生也接觸了不少，以上的情況基本上都出現(xiàn)在每個(gè)年級(jí)，每個(gè)班。課后，與他們交流為什么不想學(xué)數(shù)學(xué)，他們的回答也都很實(shí)在：“學(xué)數(shù)學(xué)做什么，只要錢不會(huì)數(shù)錯(cuò)，不就行了!”“你給我們的那些什么推導(dǎo)啊、公式什么的，有什么用啊，以后又不會(huì)用到?！痹诼?tīng)了這些話后，作為一名教育者，真是心酸又好笑，都是十六七歲快成年的人了，對(duì)于數(shù)學(xué)，對(duì)于科學(xué)的看法怎么還跟小朋友差不多呢，思考問(wèn)題還是停留在表面，缺乏深度，這不免讓人對(duì)他們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)和工作產(chǎn)生擔(dān)憂。
一、運(yùn)動(dòng)員對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭學(xué)情緒的原因
數(shù)學(xué)本身就是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)，連貫性很強(qiáng)的學(xué)科，首先對(duì)學(xué)生的出勤率就有要求。而我們的運(yùn)動(dòng)員，尤其是我們體育職業(yè)學(xué)院附中的優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員對(duì)于這點(diǎn)本身就很難做到，每年在十月到十二月份，三月至六月份，外出集訓(xùn)或者各類大小的比賽致使他們無(wú)法正常地坐在教室里面聽(tīng)課，以至于回來(lái)之后，老師當(dāng)堂講的內(nèi)容他們消化不了，再加上訓(xùn)練過(guò)后的疲勞，自然而然教室里面趴倒一大片，這是其一。
其二，就如上文提到的，很多學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)就有誤解，認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是可有可無(wú)的，以后也用不到。其實(shí)，這個(gè)原因也與他們從小到大文化學(xué)習(xí)的不完整、不連貫有關(guān)。如果是普通全日制的學(xué)生，他們應(yīng)該有了解，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是教我們學(xué)會(huì)算數(shù)，這只是學(xué)數(shù)學(xué)的表面層次，更重要的是，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)是培養(yǎng)我們理性思維的載體。在我們國(guó)家，運(yùn)動(dòng)員都有一個(gè)很普遍的性格特征，在對(duì)待問(wèn)題方面，他們不是缺乏解決問(wèn)題的膽量，而是缺乏思考，做事情比較沖動(dòng)，考慮問(wèn)題不是很周全，我認(rèn)為這與他們數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的薄弱性是有很大關(guān)系的。
二、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的重要性與必要性
其實(shí)，我們的小學(xué)數(shù)學(xué)，初中數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)都是有很強(qiáng)的系統(tǒng)性的，只不過(guò)，這個(gè)知識(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜程度不一樣。前面，我們也說(shuō)到，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不只是單純的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)（概念、定理、公式等等），更重要的是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體培養(yǎng)理性思維。這種素質(zhì)的培養(yǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)員而言，無(wú)疑是非常必要的。例如，在解數(shù)學(xué)證明題時(shí)，我們由已知能得到什么，條件預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段，導(dǎo)出結(jié)論需要什么，它預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向。如果由已知條件能直接得到結(jié)論，則解題成功；如果由條件不能直接得到結(jié)論，就要轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化必須等價(jià)，因此前一步到后一步往往會(huì)有附加條件約束，它是正確解題的前提，也是檢驗(yàn)的依據(jù)，可以是數(shù)形結(jié)合，可以是變形（恒等變形或非恒等變形），可以構(gòu)造模型，也可以用辯證思想作指導(dǎo)，等等。各種思想方法在此大有用武之地。
三、如何做到有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)
由于客觀原因的存在（學(xué)習(xí)時(shí)間有限，無(wú)可避免地缺課），在目前我們無(wú)法改變客觀存在的時(shí)候，我們只能在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)最有效的教學(xué)。
第一，教材的處理。
目前，就數(shù)學(xué)教材而言，我們所用的還是全日制普通中學(xué)的教材，如果按照教材上既定的課時(shí)進(jìn)行教學(xué)的話，一是難度較大，二是課時(shí)任務(wù)緊張。這就要求我們老師在備課的時(shí)候，結(jié)合運(yùn)動(dòng)員的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，將難度降低（降低到最簡(jiǎn)單），對(duì)課時(shí)進(jìn)行壓縮（壓縮到一學(xué)期課時(shí)任務(wù)的三分之二）。這樣，不僅減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的任務(wù)，而且使課堂的有效性學(xué)習(xí)得到提高。
而對(duì)于長(zhǎng)時(shí)間不能上課的運(yùn)動(dòng)員，在他們也要考試的時(shí)候，我們也可以將這些內(nèi)容以“常識(shí)”的形式介紹給他們。之前，我在給一個(gè)海事大學(xué)大三的運(yùn)動(dòng)員補(bǔ)數(shù)學(xué)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)他連對(duì)數(shù)是什么形式的都不知道，這種情況在當(dāng)今這個(gè)時(shí)代應(yīng)該算是荒唐的，對(duì)此，讓他再重新學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒(méi)有必要也沒(méi)有時(shí)間，那么，就給他辯證地介紹對(duì)數(shù)的起源，既學(xué)到了知識(shí)，又減輕了負(fù)擔(dān)，而且還具體地了解了辯證思維的一個(gè)實(shí)例。
第二，課堂教學(xué)。
目前全日制學(xué)校普遍倡導(dǎo)的是以學(xué)生為主體的教學(xué)組織形式，然而，我認(rèn)為這方式還是不能完全適用于我們的運(yùn)動(dòng)員。
根據(jù)我們上海體職院附中運(yùn)動(dòng)員的學(xué)習(xí)特點(diǎn)與他們目前的知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)看，讓學(xué)生去主動(dòng)地探究學(xué)習(xí)，不符合實(shí)際，而且會(huì)降低課堂學(xué)習(xí)效率，何況，他們的學(xué)習(xí)時(shí)間已經(jīng)非常少了，最終的結(jié)果只是浪費(fèi)時(shí)間。但是，我們可以結(jié)合教師為主導(dǎo)以及學(xué)生為主體的這兩種教學(xué)組織形式運(yùn)用到我們的運(yùn)動(dòng)員學(xué)習(xí)的課堂上來(lái)。
其實(shí)，思維與語(yǔ)言也類似。在語(yǔ)言的學(xué)習(xí)初期，我們只是純粹地模仿，在熟練之后，我們才會(huì)自然而然地運(yùn)用語(yǔ)言去演講，去寫文章，古今中外的文人騷客們創(chuàng)造出了多少流芳百世的奇聞佳話啊。同樣的，在思維的初期，我們也可以先進(jìn)行模仿，也就是說(shuō)把思維模板化，讓運(yùn)動(dòng)員去熟練各種各樣的思維模式。再結(jié)合前面的教學(xué)組織形式，我把這種教學(xué)方式成為“思維模板教學(xué)法”。
在課堂一開始的時(shí)候，這個(gè)時(shí)間段學(xué)生的思維比較活躍，老師可以對(duì)本節(jié)課的問(wèn)題給出一個(gè)思維模板，并對(duì)這個(gè)思維模板進(jìn)行較詳細(xì)地解釋（教師為主導(dǎo)）；在課堂中間的這個(gè)時(shí)間段，學(xué)生對(duì)于這個(gè)思維模板已經(jīng)有了一定的了解，這個(gè)時(shí)候，可以適當(dāng)?shù)匕颜n堂交給學(xué)生，教師可以給出一到兩個(gè)類似的問(wèn)題，讓學(xué)生模仿這個(gè)思維模板進(jìn)行解決問(wèn)題，并給出一些獎(jiǎng)懲制度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣（學(xué)生為主體）；課堂尾聲，教師再重回主導(dǎo)地位，根據(jù)學(xué)生對(duì)這個(gè)思維模板的掌握情況的反饋，及時(shí)給出有效性的解決方案，完善課堂教學(xué)情況。這是我在教學(xué)兩年來(lái)，相對(duì)狹義地認(rèn)為是對(duì)運(yùn)動(dòng)員的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較有效的一種方法。
第三，課后交流。
在客觀上，運(yùn)動(dòng)員的主要任務(wù)還是在于訓(xùn)練?？紤]到這個(gè)特殊性，為了更好地教學(xué)，我們不僅要與學(xué)生及時(shí)溝通，也要和他們的教練，領(lǐng)隊(duì)做好溝通。前者，完全看老師；后者，雖然教務(wù)處的工作人員已經(jīng)在這方面做出了很大的努力了，當(dāng)然，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況最了解的還是老師。所以，不管是學(xué)生還是教練、領(lǐng)隊(duì)，都需要我們老師及時(shí)地去溝通。然而，我認(rèn)為這種溝通還不夠深入，尤其是教練、領(lǐng)隊(duì)這塊。目前，我們的溝通都只是停留于電話和聯(lián)系單，這些都存在很大的滯后性，導(dǎo)致解決問(wèn)題不徹底。在這里，我有一個(gè)建議，文化教師與教練或領(lǐng)隊(duì)進(jìn)行交流互動(dòng)。文化老師在沒(méi)課的情況下可以去訓(xùn)練場(chǎng)了解運(yùn)動(dòng)員的訓(xùn)練情況，據(jù)我觀察了解，絕大多數(shù)在學(xué)習(xí)上比較刻苦用功的運(yùn)動(dòng)員他們的運(yùn)動(dòng)成績(jī)也都比較優(yōu)秀，這其實(shí)也證實(shí)了方法是相通的，思維也是相通的道理；而教練或領(lǐng)隊(duì)在運(yùn)動(dòng)員上課的時(shí)間可以與運(yùn)動(dòng)員一起聽(tīng)課，這對(duì)運(yùn)動(dòng)員的學(xué)習(xí)自然而然地就會(huì)起到一個(gè)督促作用。
以上是我對(duì)如何更好地促進(jìn)運(yùn)動(dòng)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)理性思維的一點(diǎn)自己的觀點(diǎn)和建議，在內(nèi)容和結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)性上還存在很多不足，希望各位同行能夠多多提出指導(dǎo)意見(jiàn)。
關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)；代數(shù)知識(shí)；融合思路
1 引言
隨著社會(huì)的發(fā)展和經(jīng)濟(jì)的進(jìn)步，國(guó)家越來(lái)越重視對(duì)于人才的培養(yǎng)，未來(lái)國(guó)家之間的競(jìng)爭(zhēng)，歸根結(jié)底是人才的競(jìng)爭(zhēng)，于是承擔(dān)教育人才和培養(yǎng)人才的教學(xué)工作也尤為重要。教育在發(fā)展，教育改革也在不斷探索，我國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂中，將微積分學(xué)與線性代數(shù)作為兩個(gè)分開的學(xué)科進(jìn)行教學(xué)，有的學(xué)校甚至要求不同的教師進(jìn)行分別授課，這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中就會(huì)隨著趨勢(shì)將兩種知識(shí)劃分出界限，用兩種不同的思維去看待兩種課。而實(shí)際上，這兩種課型只是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分類，在實(shí)際的解題過(guò)程中應(yīng)用著相同的數(shù)學(xué)思維，為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量，我們必須將兩種學(xué)科進(jìn)行有意識(shí)的融合，讓基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，只有這樣學(xué)生才能逐步形成大數(shù)學(xué)的概念，便于學(xué)生在繼續(xù)深造的過(guò)程中更好地利用數(shù)學(xué)知識(shí)，熟練地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。
2 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)與代數(shù)知識(shí)融合的必要性
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的入門課程，比較偏重于探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的規(guī)律和特點(diǎn)，是狹義的數(shù)學(xué)，是廣義數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，我們?cè)趯W(xué)校中所學(xué)習(xí)的代數(shù)、幾何以及高校中的微積分都是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的內(nèi)容和組成部分。所謂的代數(shù)就是數(shù)字之間的游戲，主要研究數(shù)字之間的計(jì)算基本原理以及各種數(shù)字計(jì)算的基本方法，一言以蔽之，就是研究數(shù)字的一個(gè)學(xué)科分支。通常來(lái)說(shuō)，學(xué)校的數(shù)學(xué)課從啟蒙之初首先開始教的就是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，例如我們?cè)谡n堂上向?qū)W生傳授數(shù)的概念，基本的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算進(jìn)而逐漸拓展到乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算，乃至相應(yīng)的分?jǐn)?shù)計(jì)算和小數(shù)計(jì)算等，拓展學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的規(guī)律。隨著學(xué)生認(rèn)知水平的提升，以及知識(shí)積累程度的增加，在初中階段逐漸引導(dǎo)學(xué)生開始認(rèn)識(shí)幾何圖形，從理論上的數(shù)字計(jì)算拓展到抽象數(shù)學(xué)思維的提升，很多學(xué)生在升入初中開始接觸幾何圖形后，數(shù)學(xué)成績(jī)會(huì)直線下降，他們既有的數(shù)學(xué)思維難以適應(yīng)抽象的數(shù)學(xué)分析，這成為初中數(shù)學(xué)教師普遍遇到的難題。而究其原因，就在于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)圖形的認(rèn)識(shí)過(guò)于晚，已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)概念難以延伸到抽象幾何圖形中去，為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，降低初中數(shù)學(xué)教育的壓力，有必要在小學(xué)階段，甚至是學(xué)生開始接觸數(shù)學(xué)學(xué)科階段就培養(yǎng)他們的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)的融合，拓寬數(shù)學(xué)思維的廣度和深度，逐漸形成基本的數(shù)學(xué)能力。
2.1數(shù)學(xué)各學(xué)科之間相互滲透是數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)
數(shù)學(xué)之間的融合是教育的一個(gè)必然發(fā)展趨勢(shì)，目前一些學(xué)校已經(jīng)開始著手進(jìn)行綜合學(xué)科的教育探索，學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)是未來(lái)人才教育的一個(gè)重點(diǎn)。在這樣的大背景之下，數(shù)學(xué)學(xué)科必然要適應(yīng)教育改革的發(fā)展趨勢(shì)，在自身的教學(xué)工作中努力實(shí)現(xiàn)融合，這就要求基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)融合。同時(shí)數(shù)學(xué)之間的知識(shí)是融會(huì)貫通的，如果強(qiáng)行將二者分開，不僅在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解難度會(huì)提升，而且兩個(gè)學(xué)科之間的進(jìn)度存在差異，學(xué)生在理解某些基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中，需要應(yīng)用到的代數(shù)知識(shí)如果還沒(méi)有學(xué)習(xí)，那么整個(gè)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教育工作就會(huì)受到影響。
2.2提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力
學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)能力是運(yùn)用公式進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的處理，而基礎(chǔ)能力的培養(yǎng)則在于挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)思維，使其能夠獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并很好地解決問(wèn)題。而數(shù)學(xué)是一個(gè)連貫的體系，如果分開授課，學(xué)生的思維必然會(huì)受到影響，一些數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)方法的發(fā)現(xiàn)必然會(huì)受到制約。如果將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)工作與代數(shù)知識(shí)的講解結(jié)合起來(lái)，那么學(xué)生的思維必然得到拓寬，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力也必然會(huì)提高，教師會(huì)發(fā)現(xiàn)，原本的課堂難點(diǎn)，在學(xué)生獨(dú)立自主探究的過(guò)程中就轉(zhuǎn)化成為了簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)，解放了教師，也培養(yǎng)了學(xué)生。
2.3為學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)知識(shí)打下基礎(chǔ)
我們對(duì)于人才的培養(yǎng)應(yīng)該是立足長(zhǎng)遠(yuǎn)的，立足于學(xué)生更遠(yuǎn)、更深入的知識(shí)性的學(xué)習(xí)，學(xué)生在進(jìn)入高等院校之后必然會(huì)接觸到更為深?yuàn)W的數(shù)學(xué)問(wèn)題，此時(shí)，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決必須應(yīng)用到相應(yīng)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)，同時(shí)需要他們之間方法的融合，如果此時(shí)才進(jìn)行新的方法的教授，學(xué)生的固有思維已經(jīng)根深蒂固了，教學(xué)壓力就更大了。因此，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)應(yīng)該是在教育的初級(jí)階段就進(jìn)行相應(yīng)的滲透，只有將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)的教學(xué)工作進(jìn)行融合，才能更好地促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)。
3 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)與代數(shù)知識(shí)的融合思路探究
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)之間的融合并不是簡(jiǎn)單地將兩節(jié)課并為一節(jié)課，將兩個(gè)授課教師變成一個(gè)授課教師，它更加重視的是一種思路的融合、一種方法的融合甚至是一種觀念的融合。因此，即便我們認(rèn)識(shí)到了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)融合的必要性，也樂(lè)于去嘗試融合性教學(xué)，但是在實(shí)際的課堂當(dāng)中，落實(shí)過(guò)程中仍然面臨著諸多的問(wèn)題。例如融合的具體模式是怎樣的，融合的主要內(nèi)容如何選取，融合的知識(shí)如何傳授才能符合學(xué)生的認(rèn)知水平，這些問(wèn)題都有待于教育學(xué)家與一線的數(shù)學(xué)教師進(jìn)行深入探討和研究。筆者具有多年一線教育經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)擔(dān)任數(shù)學(xué)教材的編寫和研究工作，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)情和內(nèi)容等都比較熟悉，因此，在不斷的課堂探索和理論分析中，逐漸形成了幾點(diǎn)自己的建議，下面進(jìn)行詳細(xì)的說(shuō)明和分析。
3.1教師要完善教學(xué)體系
學(xué)生是課堂的主體，是課堂活動(dòng)的主要參與者，而教師則是課堂活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者，要想將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)進(jìn)行高效融合，教師首先需要建立起一套完整的教學(xué)體系。對(duì)此，我們提出了如下要求：一線數(shù)學(xué)教師要充分掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，并對(duì)所有的知識(shí)點(diǎn)能夠進(jìn)行橫縱兩個(gè)方向的獨(dú)立梳理，站在高處俯視教學(xué)工作，對(duì)于教學(xué)過(guò)程中可能涉及到的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都具有精通的水平；教師是傳道授業(yè)解惑的主體，在教學(xué)過(guò)程中教師不必每一道題都詳細(xì)地講解和分析給學(xué)生看，但是教師必須具備將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)進(jìn)行融合的方法，并能夠?qū)⑦@種方法很好地描述給學(xué)生，努力提高學(xué)生掌握方法的能力。當(dāng)然在實(shí)際的教學(xué)工作中，由于學(xué)生的認(rèn)知水平以及學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)能力的差異，學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的領(lǐng)悟和分析能力是有差異的，所以在實(shí)際的教學(xué)工作中還要因人而異地進(jìn)行教學(xué)體系的適當(dāng)調(diào)整。
3.2將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)與代數(shù)知識(shí)進(jìn)行整體講解，合理安排教學(xué)順序
在進(jìn)行基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)與代數(shù)融合的時(shí)候，教師須要根據(jù)教學(xué)需要對(duì)所教授的課程進(jìn)行合理安排?；A(chǔ)數(shù)學(xué)授課與代數(shù)知識(shí)教學(xué)課程一般是分離的，采用將兩者融合的方法促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)存在困難，所以對(duì)課程做出合理的安排對(duì)方法的實(shí)行有很大的促進(jìn)作用。在實(shí)踐中，教師可以先講解代數(shù)中的邏輯、集合映射、群、環(huán)、域等內(nèi)容，針對(duì)這些內(nèi)容，講解基本數(shù)學(xué)中的單變量微積分，再講解代數(shù)知識(shí)中的矩陣、行列式、矩陣空間，與這些代數(shù)知識(shí)相聯(lián)系的是多變量微積分。通過(guò)這樣的講解方式，學(xué)生能夠很清楚地認(rèn)識(shí)到基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)與代數(shù)知識(shí)是密不可分的，它們之間的融合更能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。
3.3教師在教學(xué)過(guò)程中要多設(shè)置兩者都能解答的題型
學(xué)生的固有思維一旦形成，那么就很難將其更改。所以教師在授課過(guò)程中要有意識(shí)地多設(shè)置一些必須充分運(yùn)用到代數(shù)知識(shí)和基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)才能夠解答的練習(xí)題或者是家庭作業(yè)，并給學(xué)生充足的思考時(shí)間和解決時(shí)間，學(xué)生在探索過(guò)程中必然會(huì)逐漸摸索方法，實(shí)現(xiàn)方法融合，這樣不僅簡(jiǎn)化了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)的融合教學(xué)過(guò)程，還培養(yǎng)了學(xué)生的融合能力和思維能力。習(xí)題是學(xué)生提升自我能力的一個(gè)重要途徑，任何的講解和方法的傳授最終都需要通過(guò)習(xí)題來(lái)進(jìn)行鞏固，所以在習(xí)題的設(shè)置過(guò)程中就是教師對(duì)學(xué)生能力有方向的培養(yǎng)過(guò)程，教師在題型的設(shè)置問(wèn)題上要尤為注意。
4 結(jié)語(yǔ)
數(shù)學(xué)學(xué)科是一切工科學(xué)科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，無(wú)論是物理學(xué)還是化學(xué)甚至是醫(yī)學(xué)等，都離不開數(shù)學(xué)知識(shí)作為支撐，因此，無(wú)論是學(xué)校還是家長(zhǎng)甚至是社會(huì)對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科都是尤為重視的。而數(shù)學(xué)學(xué)科不同于語(yǔ)文等語(yǔ)言類的學(xué)科，它更加注重對(duì)于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和思維方法的探索。如果能夠?qū)⒒A(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就會(huì)得到很大的提升，學(xué)生在未來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中就會(huì)不斷培養(yǎng)自己解決問(wèn)題的能力，這對(duì)于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展是十分必要的。廣大的教育工作者必須清醒地意識(shí)到將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與代數(shù)知識(shí)進(jìn)行融合的迫切性，要在實(shí)際的教學(xué)工作中進(jìn)行不斷的探索和鉆研。
參考文獻(xiàn)：
[1]徐登明.淺談本科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)中分析與代數(shù)知識(shí)的融合[J].大學(xué)教育，2015，（4）.
關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 小學(xué)生 興趣 基礎(chǔ)學(xué)力
中圖分類號(hào)：G641 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
Talking about interest in Mathematics and Basic
Training of Primary School Students
YUAN Xu
(Shangshui County Education Department of He'nan Province, Zhoukou, He'nan 466100)
AbstractInterest is a positive, active mental state, once students are interested in mathematics, mathematics is a pleasure for them, interest due, basis of of scholastic ability in mathematics can be formed. In this paper, on the basis of exploring scholastic ability and interest, analysis of the affecting factors of the formation of basic skills in primary school students' interest, and for some of the problems in primary school mathematics teaching, put forward some suggestions for improvement.
Key wordsprimary mathematics; primary students; interest; basic scholastic ability
1 興趣與基礎(chǔ)學(xué)力
心理學(xué)研究表明，興趣和個(gè)體活動(dòng)的“目的”與“方法”是一致的。要理解興趣的內(nèi)涵，則須處理好以下兩種關(guān)系：一是直接興趣與間接興趣?！八^直接興趣是指?jìng)€(gè)體對(duì)接觸的事物或參與的活動(dòng)本身引起的興趣，這種興趣要求方法和結(jié)果結(jié)合在一起，主體需要的是一種及時(shí)的對(duì)活動(dòng)本身的感覺(jué)和滿足，不需要在活動(dòng)之外再去尋找某種事物。間接興趣是由活動(dòng)成果或其它傳媒所引起的興趣。有時(shí)候，個(gè)體開始時(shí)并不對(duì)某項(xiàng)活動(dòng)感興趣，但在活動(dòng)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)結(jié)果乃是自己感興趣的，于是，對(duì)于這項(xiàng)活動(dòng)的過(guò)程也來(lái)了興趣。”①二是興趣與基礎(chǔ)學(xué)力?；A(chǔ)學(xué)力指“構(gòu)成一切學(xué)習(xí)之基礎(chǔ)的‘三基’讀、寫、算的基礎(chǔ)學(xué)力?！薄皩W(xué)力結(jié)構(gòu)包括知識(shí)、理解、問(wèn)題解決學(xué)力、興趣、態(tài)度之中作為基礎(chǔ)部分的學(xué)力?！雹谛W(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)力的形成是多種心理因素綜合影響的結(jié)果，而興趣又是小學(xué)生基礎(chǔ)學(xué)力內(nèi)在構(gòu)成的重要因素。
2 興趣對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)力形成的影響
興趣不僅能推動(dòng)人們?nèi)ふ抑R(shí)、鉆研問(wèn)題、開闊視野，而且也是推動(dòng)一個(gè)人走向成才的原動(dòng)力。小學(xué)生一旦對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，就會(huì)持續(xù)地專心致志鉆研它，從而提高數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)力。學(xué)力問(wèn)題的論爭(zhēng)起源于日本，“現(xiàn)代在日本的學(xué)力論爭(zhēng)所缺乏的是，如何變革課程與教學(xué)的討論。”③那么，興趣對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)力形成會(huì)產(chǎn)生什么影響？通過(guò)文獻(xiàn)研究，大致可概括為以下幾個(gè)方面：
（1）興趣是小學(xué)生學(xué)習(xí)的推進(jìn)器。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中善于激發(fā)小學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，就能激活小學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和思考才能由被動(dòng)變主動(dòng)，抽象思維能力和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)力才得以形成。
（2）興趣是影響小學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度的重要因素。心理學(xué)研究表明，在諸多非智力因素中，興趣是影響小學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，影響小學(xué)生學(xué)習(xí)效率的關(guān)鍵因素之一。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，濃厚的數(shù)學(xué)興趣會(huì)使小學(xué)生產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，進(jìn)而推動(dòng)他們興致勃勃地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，自覺(jué)地克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所遇到的各種困難和問(wèn)題。而缺乏興趣的強(qiáng)制性學(xué)習(xí)，只會(huì)扼殺小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的欲望，降低他們的基礎(chǔ)學(xué)力。
（3）興趣影響小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的內(nèi)心體驗(yàn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師們常常嘆息小學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)力低下，那是因?yàn)樾W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中缺乏了豐富的生活體驗(yàn)。唯物辯證法認(rèn)為，實(shí)踐是認(rèn)識(shí)的來(lái)源。因此，對(duì)生活的體驗(yàn)既是小學(xué)生認(rèn)知的源泉，也是小學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)力形成的根基。離開了真實(shí)的生活體驗(yàn)，小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就變成了“無(wú)源之水，無(wú)本之木?！苯處熤挥邪褦?shù)學(xué)教學(xué)落實(shí)到小學(xué)生的生活中去，才能理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)小學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，通過(guò)小學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)力。
3 數(shù)學(xué)教學(xué)中小學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與基礎(chǔ)學(xué)力培養(yǎng)的缺失
興趣是影響小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要因素。隨著基礎(chǔ)教育新課程改革的不斷深化，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究也越來(lái)越關(guān)注小學(xué)生學(xué)習(xí)興趣激發(fā)和基礎(chǔ)學(xué)力的培養(yǎng)。然而，受各種因素的影響，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中小學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和基礎(chǔ)學(xué)力培養(yǎng)還存在一定的缺失，可表現(xiàn)為以下幾方面：
（1）教學(xué)目標(biāo)脫離小學(xué)生的發(fā)展實(shí)際。興趣和自信心是小學(xué)生不斷走向成功的前提條件。然而，目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在著較多的問(wèn)題，影響了小學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣培養(yǎng)和自信心形成。主要表現(xiàn)為教師把教學(xué)目標(biāo)定位過(guò)高。《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。”目前還有不少教師對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)“新課標(biāo)”不理解，教學(xué)目的不明確，教學(xué)中往往以“應(yīng)試教育”為導(dǎo)向，講求“近期效益”，將數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程變得過(guò)于復(fù)雜、過(guò)于抽象化，使小學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué) “高不可攀”，嚴(yán)重挫傷了小學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和自信，出現(xiàn)消沉、厭煩等情緒。
（2）教學(xué)過(guò)程脫離了小學(xué)生的生活體驗(yàn)。數(shù)學(xué)知識(shí)有著顯著的系統(tǒng)性，但對(duì)學(xué)生而言，這種系統(tǒng)性不應(yīng)當(dāng)簡(jiǎn)單地“被告之”，而應(yīng)建立在學(xué)生的生活體驗(yàn)之上，使學(xué)生在體驗(yàn)中形成自主“建構(gòu)”。但是，現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的簡(jiǎn)單、線性和機(jī)械主義，小學(xué)生只知道被動(dòng)接受運(yùn)算訓(xùn)練和基本概念背誦，數(shù)學(xué)課堂變成了“純知識(shí)”教學(xué)，脫離了社會(huì)生活和小學(xué)生的實(shí)際，變得刻板、僵化、難以理解，課堂教學(xué)缺乏興趣、生機(jī)與活力。
（3）常規(guī)教學(xué)定勢(shì)制約了小學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。定勢(shì)是指由于先前的活動(dòng)而造成的一種心理準(zhǔn)備狀態(tài)，它使人以比較固定的方式去進(jìn)行認(rèn)知或做出行為反應(yīng)。學(xué)習(xí)的有關(guān)理論告訴我們，不是所有的學(xué)生都是按照同一種方式加工信息，有點(diǎn)學(xué)生擅長(zhǎng)加工圖片信息，有的學(xué)生擅長(zhǎng)加工文字信息，有的學(xué)生擅長(zhǎng)加工言語(yǔ)信息。而教師常規(guī)的“講”“練”教學(xué)定勢(shì)會(huì)使很多小學(xué)生聽(tīng)不懂、學(xué)不會(huì)，長(zhǎng)此以往，小學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和熱情也蕩然無(wú)存。要激發(fā)和培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和基礎(chǔ)學(xué)力，教師必須打破傳統(tǒng)的教學(xué)定勢(shì)，以多樣化教學(xué)激發(fā)學(xué)生的興趣。
4 小學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)與基礎(chǔ)學(xué)力的培養(yǎng)
新課程理念指導(dǎo)下的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展、符合學(xué)生實(shí)際的、靈活開放的、動(dòng)態(tài)生成的、師生互動(dòng)的教學(xué)過(guò)程。因此，提高小學(xué)生基礎(chǔ)學(xué)力，必須從激發(fā)小學(xué)生的興趣入手，具體措施如下：
（1）基于學(xué)生發(fā)展的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)是解決我們生活和生成問(wèn)題的一門基礎(chǔ)工具學(xué)科。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)不僅僅是要教給學(xué)生一些數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更重要的是要讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想思考現(xiàn)實(shí)生活，解決生活中的問(wèn)題。這就需要小學(xué)數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中突破傳統(tǒng)模式，突出數(shù)學(xué)教學(xué)思想和方法，重視培養(yǎng)小學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法來(lái)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。做到以學(xué)生發(fā)展為主線，目標(biāo)定位明確，開展多種方式的教育教學(xué)，把學(xué)生的主體地位落到實(shí)處，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極投入，提高學(xué)生數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)力。
（2）提高教師的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)技能。小學(xué)數(shù)學(xué)教材看似很簡(jiǎn)單的知識(shí)內(nèi)容，其實(shí)蘊(yùn)涵著很深?yuàn)W的道理，沒(méi)有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)根基，教師就很難把新課程的目標(biāo)內(nèi)容落到實(shí)處。因此，為適應(yīng)小學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)的要求與挑戰(zhàn)，教師必須不斷提高自身的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)技能。一方面，教師要認(rèn)真研究新課程標(biāo)準(zhǔn)和有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論研究成果開闊視野，更新知識(shí)儲(chǔ)備，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，提高教學(xué)能力，增強(qiáng)教學(xué)的有效性。另一方面，教師要認(rèn)真研究小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律，做到不以成人思維代替兒童思維，不斷提升教學(xué)智慧，努力使數(shù)學(xué)課堂成為促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的平臺(tái)，同時(shí)也是自我專業(yè)成長(zhǎng)的舞臺(tái)。
注釋
①魏卿.教育活動(dòng)中的“興趣”辨析[J].教育導(dǎo)刊,2006.4.
【摘要】
在《算術(shù)基礎(chǔ)》中，弗雷格追溯了數(shù)學(xué)表達(dá)式之不變的邏輯基礎(chǔ)的同時(shí)，清理了帶有主觀性和相對(duì)性的心理主義。但心理主義并沒(méi)有因此銷聲匿跡，反而在蒯因那里得到復(fù)興，而且蒯因還基于自然主義的心理主義，否定了弗雷格對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探尋。本文試圖借由解讀弗雷格和蒯因的文本，展示數(shù)學(xué)哲學(xué)中的基礎(chǔ)主義與心理主義之爭(zhēng)，并借由弗雷格的文本對(duì)蒯因的心理主義做出回應(yīng)。
關(guān)鍵詞
基礎(chǔ)主義；心理主義；分析性；整體論
中圖分類號(hào)：B089文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
文章編號(hào)：1000-7660（2015）03-0063-07
作者簡(jiǎn)介：劉鈺森，廣東潮州人，哲學(xué)博士，（廣州510006）華南師范大學(xué)公共管理學(xué)院、哲學(xué)研究所講師。
蒯因（W·V·Quine）在《從刺激到科學(xué)》開頭“追憶往昔”一章中提到弗雷格（Gottlob Frege）時(shí)，將弗雷格的理想概括為探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)以及數(shù)學(xué)真理的基礎(chǔ)。他認(rèn)為弗雷格和羅素、懷特海在這一方面是同路人，他們的結(jié)論是認(rèn)為數(shù)學(xué)可翻譯為純邏輯，由此可以進(jìn)一步推導(dǎo)出數(shù)學(xué)真理是邏輯真理，并且它的全部都能還原為自明的邏輯真理。蒯因認(rèn)為弗雷格等人的這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，而且哥德?tīng)?931年的論文以及羅素1902年的發(fā)現(xiàn)使得弗雷格等人的理想煙消云散
。
弗雷格當(dāng)年在《算術(shù)基礎(chǔ)》等著作中所提出的如蒯因以上所說(shuō)的基礎(chǔ)主義
理想，否定了密爾等人關(guān)于數(shù)學(xué)的心理主義所帶有的主觀性和相對(duì)性。然而，蒯因否定弗雷格等人對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探尋的背后，恰好是他在《真之追求》等著作中所概括的自然主義的心理主義立場(chǎng)。本文試圖通過(guò)從《算術(shù)基礎(chǔ)》到《真之追求》的解讀，展示數(shù)學(xué)哲學(xué)中基礎(chǔ)主義與心理主義之爭(zhēng)的某種面貌，也試圖基于弗雷格的文本，回應(yīng)蒯因新興的心理主義。
一、弗雷格的“基礎(chǔ)主義”
“如果在萬(wàn)物長(zhǎng)河中，沒(méi)有任何東西是不變的，永恒的，那么世界就不再是可認(rèn)識(shí)的，一切就會(huì)陷于混亂?！?/p>
弗雷格要探求的就是這種永恒不變的東西。作為一名數(shù)學(xué)家，他的這種探索是從數(shù)字入手的。比如數(shù)字1，慣常的說(shuō)法是它指示一個(gè)事物；將1這個(gè)數(shù)說(shuō)成屬于事物，卻沒(méi)有說(shuō)明事物是哪個(gè)；這將使得每個(gè)人都可以任意理解這個(gè)名稱，關(guān)于1的同一個(gè)句子對(duì)于不同的人意味著不同的東西。心理主義會(huì)導(dǎo)致的這種相對(duì)主義是弗雷格所反對(duì)的。
弗雷格認(rèn)為，思維本質(zhì)上在哪里都是一樣的：絕不能根據(jù)對(duì)象而考慮不同種類的思維規(guī)律。不同于心理主義從具有相對(duì)性的心理表象來(lái)解釋意義，弗雷格要找的是一個(gè)客觀的外在基礎(chǔ)：“人們從本書將能看出，甚至像從n到n＋1這樣一條表面上專屬于數(shù)學(xué)的推理，也基于普遍的邏輯規(guī)律，而且不需要特殊的聚合思維的規(guī)律?！?弗雷格要的是在語(yǔ)言、數(shù)字后面的那個(gè)永恒不變的東西，他要的是一種在哪里都是一樣的“思維”、一種普遍的邏輯規(guī)律。
弗雷格力圖說(shuō)明，感覺(jué)與內(nèi)在圖像具備不穩(wěn)定性和不確定性，而數(shù)學(xué)概念和對(duì)象則具備確定性和明確性；因此算術(shù)與感覺(jué)根本沒(méi)有關(guān)系，內(nèi)在圖像對(duì)于數(shù)學(xué)是無(wú)關(guān)緊要和偶然的。如果從心靈本質(zhì)對(duì)概念進(jìn)行心理學(xué)解釋，并以為由此可以得到概念的本質(zhì)，那么這只會(huì)使一切成為主觀，走到底甚至?xí)∠?。要認(rèn)識(shí)到概念的純粹性質(zhì)，需要大量的理性工作以追溯定義普遍的邏輯基礎(chǔ)：
如果定義僅僅在后來(lái)由于沒(méi)有遇到矛盾而被證明是有理由的，那么進(jìn)行證明的嚴(yán)格性依然是一種假象，盡管推理串可能沒(méi)有缺陷。歸根到底，人們以這種方式總是只得到一種經(jīng)驗(yàn)的可靠性，實(shí)際上人們必須準(zhǔn)備最終還是會(huì)遇到矛盾，而這個(gè)矛盾將使整個(gè)大廈倒塌。為此，我認(rèn)為必須追溯到普遍的邏輯基礎(chǔ)……
普遍的邏輯基礎(chǔ)的追溯需要堅(jiān)持三條基本原則：“要把心理學(xué)的東西和邏輯的東西，主觀的東西和客觀的東西明確區(qū)別開來(lái)；必須在句子聯(lián)系中研究語(yǔ)詞的意謂，而不是個(gè)別地研究語(yǔ)詞的意謂；要時(shí)刻看到概念和對(duì)象的區(qū)別?！蓖希?—9頁(yè)。 換言之，堅(jiān)持客觀性原則，要求只在心理學(xué)意義上使用“表象”，把表象與概念和對(duì)象區(qū)別開來(lái)，前者代表心理的和主觀的，后者代表客觀的和邏輯的；堅(jiān)持語(yǔ)境原則，要求避免將個(gè)別的心靈的內(nèi)在圖像或活動(dòng)當(dāng)作語(yǔ)詞的意謂；函項(xiàng)原則要求的是，未充實(shí)的概念不可成為不變的客觀對(duì)象。
客觀性原則預(yù)示著弗雷格所追溯的基礎(chǔ)將是與具有相對(duì)性的心理表象無(wú)關(guān)的客觀邏輯基礎(chǔ)，它是普遍性的；而函項(xiàng)原則與語(yǔ)境原則將在獲得作為算術(shù)基礎(chǔ)的數(shù)定義方面起著至關(guān)重要的作用。提出這三個(gè)原則之后，弗雷格指出他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)回到一種甚至要努力超越歐幾里得的嚴(yán)格性，那就是人們對(duì)各種概念進(jìn)行嚴(yán)格的證明；而且他相信沿著嚴(yán)格證明之路，必然能獲得構(gòu)成整個(gè)算術(shù)基礎(chǔ)的數(shù)概念以及適合于正整數(shù)的最簡(jiǎn)單的句子。
于是在弗雷格眼中，數(shù)學(xué)本質(zhì)上只要能用證明就不用歸納來(lái)獲得確證。證明的目的在于使句子的真擺脫各種懷疑，并且提供關(guān)于句子的真之間的相互依賴性的認(rèn)識(shí)。句子間的真的依賴性在哲學(xué)上需要對(duì)先驗(yàn)和后驗(yàn)、分析和綜合做出區(qū)分。在弗雷格看來(lái)，與此區(qū)分有關(guān)的是判斷的根據(jù)（justification），而非其內(nèi)容。因此，通過(guò)證明達(dá)到的根據(jù)如果是普遍的邏輯真理和一些定義，獲得的是分析的真；而根據(jù)非普遍邏輯性質(zhì)的特殊知識(shí)領(lǐng)域的真得到證明的句子，則是綜合的。類似地，是否完全從本身不能夠也不需要證明的普遍定律得到證明，則是區(qū)分一個(gè)句子的真是否先驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)。
從根據(jù)而不是從內(nèi)容區(qū)分真的先驗(yàn)和后驗(yàn)、分析和綜合，這也是弗雷格追溯基礎(chǔ)理想的一種體現(xiàn)，更直接的是，它與追溯算術(shù)基礎(chǔ)時(shí)所必需的嚴(yán)格證明之路密切相關(guān)：在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，要盡可能嚴(yán)格地證明算術(shù)定理，避免推理串中的每個(gè)缺陷，找到證明所依據(jù)的原初真命題。比如：
2加2等于4，這不是直接的真；假定4表示3加1。人們可以如下證明這一點(diǎn)：
定義：1）、2是1加1；2）、3是2加1；3）、4是3加1
公理：如果代入相等的數(shù)，等式依然保持不變。
證明：2＋2＝2＋1＋1＝3＋1＝4（定義1，定義2，定義3）
所以；根據(jù)公理：2＋2＝4
弗雷格認(rèn)為萊布尼茨的上述證明有缺陷，應(yīng)該更精確地書寫為：
2＋2＝2＋（1＋1）
（2＋1）＋1＝3＋1＝4 同上，第16—17頁(yè)。
萊布尼茨的證明缺少2＋（1＋1）＝（2＋1）＋1，它是a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的一種特殊情況；以這條定理為前提，其它公式都能以這種方式被證明，并且每個(gè)數(shù)就能夠由前面的數(shù)定義。“我們甚至沒(méi)有關(guān)于這個(gè)數(shù)的表象，可確實(shí)就這樣把它據(jù)為己有。通過(guò)這樣的定義，數(shù)的無(wú)窮集合化歸為一和加一，并且無(wú)窮多數(shù)公式均能夠由幾個(gè)普遍的句子證明?！被谶@種證明方式，弗雷格試圖從a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的形式來(lái)說(shuō)明，借助幾條普遍規(guī)律，僅從個(gè)別數(shù)的定義可以得出數(shù)公式，但這些定義既不斷定觀察到的事實(shí)，也不假設(shè)其合法性（不需要justification）。他在批評(píng)前面提到的密爾等人的聚合性思維的同時(shí)，認(rèn)為數(shù)的規(guī)律不可能是歸納的真命題：歸納如果是習(xí)慣的話，“習(xí)慣（作為一種主觀狀態(tài)）完全沒(méi)有保真的能力”，“歸納必須依據(jù)概率學(xué)說(shuō)，因?yàn)樗炼嗫梢允挂粋€(gè)句子成為概率的。但是如何能夠在不假設(shè)算術(shù)規(guī)律的前提下發(fā)展概率學(xué)說(shuō)，卻是無(wú)法預(yù)料的”。
弗雷格認(rèn)同萊布尼茨的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)的必然真的命題必須有一些原則，其證明不依賴于例子及感覺(jué)證據(jù)。他認(rèn)為幾何學(xué)定理之間可以互相獨(dú)立，它們不依賴邏輯的初始規(guī)律，因而是綜合的；但經(jīng)驗(yàn)綜合的性質(zhì)并非算術(shù)規(guī)律的性質(zhì)。就數(shù)而言，每個(gè)數(shù)都有自己的獨(dú)特性，它要求關(guān)于數(shù)的科學(xué)原理是分析的，數(shù)相互之間是緊密相連的。關(guān)于數(shù)的普遍句子不必只適用于眼前存在的事實(shí)，數(shù)學(xué)的真命題“會(huì)有一系列未來(lái)使用的推理串，其用途將在于：人們不必再進(jìn)行個(gè)別的推理，而是能夠立即說(shuō)出這整個(gè)系列的結(jié)果?！?/p>
如果真的可以達(dá)到上面提到的作為根據(jù)的普遍句子，以便由之推導(dǎo)出數(shù)公式，那么這樣的句子應(yīng)該是從更基本的數(shù)定義得出的。因此，接下來(lái)需要進(jìn)一步考慮數(shù)的定義。
以往由于定義嘗試的失敗，數(shù)總被認(rèn)為是不可定義的。把數(shù)看作事物性質(zhì)，數(shù)是主觀的東西，把數(shù)解釋為集合、多或眾多，通過(guò)對(duì)不同的實(shí)物集合加以不同的命名來(lái)解釋數(shù)，這些說(shuō)法都被弗雷格一一駁斥了。而對(duì)歐幾里德的“數(shù)是一種單位集合”的解釋，在指出后人的很多說(shuō)法中的問(wèn)題及困難之后，弗雷格提出解決困難的方法是：把一和單位做出區(qū)別。具有客觀性的“一”作為數(shù)學(xué)研究的一個(gè)對(duì)象的專名，不能是復(fù)數(shù)；相應(yīng)地，單位應(yīng)該是一個(gè)概念。概念不同于專名，只有當(dāng)概念帶上定冠詞或指示代詞時(shí)才能被看做一事物的專名，但因此它就不是概念了。因此，“數(shù)是單位”的解釋把概念詞混淆為專名了。
弗雷格認(rèn)為，“數(shù)的給出包含著對(duì)一個(gè)概念的表達(dá)”，“數(shù)的給出表達(dá)了一種獨(dú)立于我們理解的真實(shí)的東西”。上述觀點(diǎn)提醒我們：每一個(gè)個(gè)別的數(shù)詞是專名，它不等同于概念詞，當(dāng)一個(gè)概念詞被它“充實(shí)”而飽和了之后，我們就得到了專名。在貫徹語(yǔ)境原則的前提下，弗雷格認(rèn)為，為了獲得數(shù)這個(gè)概念作為對(duì)象的數(shù)，必須確定數(shù)相等的意義。他借助的是萊布尼茨“用一個(gè)事物替代另一個(gè)事物而不改變真，這樣的事物就是相同的”的解釋，把數(shù)相等界定為外延相等（數(shù)值的相等）。這與他在《含義與指稱》中提到的等值置換原則相一致：在邏輯中，真值相同的詞項(xiàng)和命題可以互相置換。我們可以由兩個(gè)等數(shù)的概念得到其下的數(shù)相等，加上“n在自然數(shù)序列中緊跟m”這個(gè)表達(dá)式，就能定義0和1，并且進(jìn)一步確定數(shù)序列是無(wú)窮的。
基于客觀性原則，弗雷格反對(duì)心理主義的相對(duì)主義和主觀主義，他把算術(shù)奠基于一種不變的邏輯基礎(chǔ)之上。遵循語(yǔ)境原則和函項(xiàng)原則，他在《算術(shù)基礎(chǔ)》中主要展示了一種追溯算術(shù)基礎(chǔ)的方法。根據(jù)這種嚴(yán)格證明的方法，弗雷格認(rèn)為從一些自明的公理（即他所謂的普遍的邏輯基礎(chǔ)、普遍句子）出發(fā)，加上數(shù)的定義，可以演繹出所有關(guān)于數(shù)的真命題。雖然這有循環(huán)論證嫌疑，但是弗雷格明確地認(rèn)為按照他的嚴(yán)格證明的方法，可以追溯作為算術(shù)基礎(chǔ)的數(shù)的定義以及自明的公理。他在《算術(shù)基礎(chǔ)》中談及其基礎(chǔ)主義的哲學(xué)動(dòng)機(jī)，在于澄清算術(shù)真是屬于先驗(yàn)還是后驗(yàn)、是屬于分析還是綜合。如前所述，從判斷的根據(jù)而非內(nèi)容解釋真，由算術(shù)真所根據(jù)的是不可證明的普遍句子來(lái)看，算術(shù)真（truth）當(dāng)然是先驗(yàn)分析的。換言之，從算術(shù)真的基礎(chǔ)可以得出算術(shù)真是先驗(yàn)分析的。這種哲學(xué)動(dòng)機(jī)促使弗雷格進(jìn)行基礎(chǔ)的追溯，而分析性也因此成了算術(shù)命題的特性，并且將其與綜合性的心理命題區(qū)分開來(lái)。
二、蒯因的《真之追求》及弗雷格應(yīng)對(duì)的可能性
弗雷格以澄清算術(shù)真的分析性為其哲學(xué)動(dòng)機(jī)，蒯因則由對(duì)分析性概念的批判而提出一種整體論的徹底經(jīng)驗(yàn)主義，他的經(jīng)驗(yàn)主義就是所謂的自然主義的心理主義。基于對(duì)分析命題的態(tài)度，這種經(jīng)驗(yàn)主義并不承認(rèn)數(shù)學(xué)中存在如弗雷格所追求的那種分析性的基礎(chǔ)。
蒯因在他著名的《經(jīng)驗(yàn)論的兩個(gè)教條》中所批判的第一個(gè)非經(jīng)驗(yàn)論教條，就是分析與綜合之分：奠基于非事實(shí)的意義的真（truth）是分析的，而奠基于事實(shí)的真是綜合的。而且，對(duì)分析與綜合之分根源同一的還原論的清理之后，他的結(jié)論是：由真一般地依賴于語(yǔ)言和語(yǔ)言之外的事實(shí)得出，每個(gè)陳述的真可分解為語(yǔ)言部分和事實(shí)部分，這是很多胡說(shuō)的源頭。根據(jù)這種劃分，如果某陳述的真只與語(yǔ)言部分有關(guān)，那么該陳述就是分析的。這種分析和綜合之分，在蒯因看來(lái)是頑固地抗拒任何明確的劃分?？茖W(xué)看起來(lái)總體上依賴于語(yǔ)言與事實(shí)，但逐個(gè)地審視科學(xué)陳述，卻能發(fā)現(xiàn)并非如此。 沒(méi)有教條的經(jīng)驗(yàn)論應(yīng)該主張：“我們所謂的知識(shí)或者信念的總體，從最具因果性的地理和歷史的事實(shí)到相當(dāng)復(fù)雜的原子物理或者甚至純數(shù)學(xué)和邏輯，是一個(gè)人造的構(gòu)架，其僅僅是沿著邊緣侵入經(jīng)驗(yàn)?！盜bid.， p.39.
把架構(gòu)在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的人類知識(shí)體系比喻成一個(gè)倒扣的碗的話，純數(shù)學(xué)和邏輯即便處于碗頂，也最終要與經(jīng)驗(yàn)相關(guān)。這種思想在蒯因后期的《真之追求》得到了進(jìn)一步的闡述，與弗雷格固守理性、固守不變的基礎(chǔ)不同的是，蒯因固守的是他心中的經(jīng)驗(yàn)論規(guī)范：“nihil in menter quod non prius in sensus（心靈中沒(méi)有任何東西是以前感覺(jué)中沒(méi)有的）”。他的出發(fā)點(diǎn)是：感覺(jué)的刺激-感受才是我們關(guān)于外在世界的知識(shí)客觀性的保證：
有關(guān)我們外在世界的知識(shí)的客觀性保持在我們與外在世界的接觸中、從而在我們的神經(jīng)攝取和與之相應(yīng)的觀察句中得以確立。我們從整個(gè)句子而非從詞項(xiàng)出發(fā)。函項(xiàng)的一個(gè)教益是，我們的本體論，像語(yǔ)法一樣，是我們自己對(duì)關(guān)于世界的理論做出的概念的貢獻(xiàn)的一部分。人類提出建議，世界付諸實(shí)施，但這僅僅是經(jīng)由對(duì)具體表達(dá)人的預(yù)見(jiàn)的觀察句做出整句的“是”或“否”的判斷來(lái)達(dá)到的。
在蒯因看來(lái)，我們經(jīng)由感官刺激（stimulation），在歷代累積的創(chuàng)造性之下構(gòu)造關(guān)于外部世界的系統(tǒng)理論。在刺激和感受的關(guān)系或者刺激和我們的外在世界的科學(xué)理論的關(guān)系的分析中，神經(jīng)科學(xué)、心理學(xué)、心理語(yǔ)言學(xué)、遺傳學(xué)或者歷史學(xué)都可以提供資源，而其中有一個(gè)部分可以僅借助邏輯分析來(lái)加以考察，那就是理論被預(yù)言檢驗(yàn)的部分，或者屬于證據(jù)支持關(guān)系的部分。這就進(jìn)入到了“求真”的領(lǐng)域，并且看來(lái)他也將采取邏輯分析和語(yǔ)言分析的方式，從目標(biāo)和方法上看似乎與弗雷格對(duì)算術(shù)基礎(chǔ)的追求是一致的。
但事實(shí)并非如此，究其一生，蒯因直到最后的著作《從刺激到科學(xué)》都立足于前面提到的那個(gè)經(jīng)驗(yàn)論規(guī)范。雖然蒯因有時(shí)候認(rèn)為有些數(shù)學(xué)命題是沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的，但是不同于弗雷格所認(rèn)為的對(duì)每個(gè)對(duì)象都必然有意義的命題都是重認(rèn)命題（recognition?judgment），比如數(shù)學(xué)中的等式，他認(rèn)為有意義的命題恰好是有經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的命題，也就是能被檢驗(yàn)、值得檢驗(yàn)的命題。
蒯因更直接要解決的是所謂“科學(xué)游戲的目的”的問(wèn)題。他認(rèn)為，科學(xué)游戲的壓倒性目的是技術(shù)和理解。從技術(shù)和理解的角度來(lái)看，“所指和本體論如此后退到單純的輔助者的地位。真句子，觀察的和理論的，是科學(xué)事業(yè)的始終。它們由結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來(lái)，而對(duì)象扮演了結(jié)構(gòu)的純節(jié)點(diǎn)的角色”。這種結(jié)構(gòu)就是邏輯的聯(lián)系，在函項(xiàng)的理論下，px原來(lái)意味x是p的地方，可以重新詮釋為x是p的f；即在重新解釋后的句子逐詞保持不變的情況下，觀察句依然和以前一樣與相同的感覺(jué)刺激結(jié)合在一起，而且邏輯聯(lián)系完好無(wú)損，理論的對(duì)象卻被隨意大幅度地移換了。
這說(shuō)明對(duì)象“對(duì)于觀察句的真是無(wú)關(guān)緊要的，對(duì)于觀察句對(duì)理論句提供的支持是無(wú)關(guān)緊要的，對(duì)于這個(gè)理論預(yù)言中的成功也是無(wú)關(guān)緊要的”。只要能保證與感覺(jué)刺激結(jié)合，那么作為“人造架構(gòu)”的觀察句、理論句的對(duì)象就可以隨意移換。語(yǔ)詞、句子不過(guò)是人類使用的符號(hào)，人類可以“任意”地解釋，當(dāng)然，前提是與感覺(jué)刺激結(jié)合：“人類提出建議，世界付諸實(shí)施?！睂?duì)象在蒯因這里并不重要，對(duì)真句子來(lái)說(shuō)更重要的是與感覺(jué)刺激相合。但這種相合并非是孤立的，而是整體的。在他看來(lái)，直接面臨經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)的是所謂的觀察范疇，而蘊(yùn)含觀察范疇的是一個(gè)理論的整體，其中，算術(shù)和其他數(shù)學(xué)的分支是理論背景的一部分。在《真之追求》第6節(jié)中，蒯因試圖通過(guò)在整體論所要求的最低限度肢解整體的準(zhǔn)則之下，保護(hù)任何純數(shù)學(xué)的真，但這種保護(hù)不是因?yàn)閿?shù)學(xué)的基礎(chǔ)性，而是因?yàn)閿?shù)學(xué)滲透到人類關(guān)于世界的知識(shí)系統(tǒng)的各個(gè)分支，對(duì)數(shù)學(xué)的破壞將令人無(wú)法容忍。蒯因認(rèn)為，這可以解釋數(shù)學(xué)必然性，并且基于一個(gè)所謂的未闡明的原理：人類在自由地拒斥其它信念的同時(shí)卻要捍衛(wèi)數(shù)學(xué)。由于整體論，加上數(shù)學(xué)對(duì)我們關(guān)于世界的知識(shí)系統(tǒng)的滲透，在數(shù)學(xué)得到應(yīng)用之處，經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容也被數(shù)學(xué)所分享。
蒯因的老師卡爾納普在他的數(shù)學(xué)哲學(xué)中，使用分析性來(lái)解釋缺乏經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的數(shù)學(xué)如何有意義以及為何數(shù)學(xué)是必然真。之所以使用分析性，在蒯因看來(lái)，是因?yàn)轭愃朴谛味蠈W(xué)的必然性反映出事物的本質(zhì)，分析性反映了語(yǔ)詞的意義。不過(guò)，如前所述，蒯因認(rèn)為通過(guò)整體論就可以解決卡爾納普通過(guò)分析性所解決的那兩個(gè)問(wèn)題。蒯因?qū)τ跀?shù)學(xué)必然性的說(shuō)明，并不是給出像弗雷格那樣的基礎(chǔ)主義證明，而更主要是從數(shù)學(xué)應(yīng)用的效果來(lái)說(shuō)明；與其說(shuō)他想說(shuō)明數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性的必然性，倒不如說(shuō)他想通過(guò)整體論來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)如何跟經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)。
在《真之追求》第40節(jié)，蒯因?qū)ｉT討論“數(shù)學(xué)中的真”。在他看來(lái)，數(shù)學(xué)有一部分因?yàn)椴粦?yīng)用于自然科學(xué)而不享有經(jīng)驗(yàn)意義，集合論的高級(jí)部分也是這樣，而它們的意義在于它們是與應(yīng)用數(shù)學(xué)一樣用相同的語(yǔ)法和詞匯來(lái)進(jìn)行表述的?；蛟S因?yàn)檫@種數(shù)學(xué)的高級(jí)部分的非應(yīng)用性，蒯因認(rèn)為要是將之排除在二值邏輯之外，就需要不自然地劃分語(yǔ)法。因而，由于簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)和自然的考慮，這些高級(jí)部分或者是不必要的想象，或者可以在謂詞邏輯和集合論這類基礎(chǔ)上給出來(lái)；并且這樣處理缺乏經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的純數(shù)學(xué)，跟自然科學(xué)內(nèi)部進(jìn)步的簡(jiǎn)化和經(jīng)濟(jì)達(dá)到一致，“它是關(guān)乎使我們關(guān)于世界的整體系統(tǒng)緊湊（tightening）和簡(jiǎn)化（streamlining）的問(wèn)題”。
從以上對(duì)蒯因在《真之追求》中的觀點(diǎn)的述評(píng)可見(jiàn)，蒯因自然主義的心理主義把人看作自然的一部分，而人們使用的數(shù)學(xué)（包括邏輯、集合論作為其組成部分）只是人們的工具。蒯因不像弗雷格那樣試圖分析出一種外在的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，他只是從數(shù)學(xué)的應(yīng)用來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)的必然性；這種必然性最終與經(jīng)驗(yàn)相關(guān)的應(yīng)用關(guān)聯(lián)起來(lái)：數(shù)學(xué)作為理論背景的一部分，蘊(yùn)含觀察范疇，并且當(dāng)觀察范疇遇到反例時(shí)，唯有數(shù)學(xué)不能被破壞。在《從刺激到科學(xué)》中蒯因用一章的篇幅專門討論了邏輯和數(shù)學(xué)，其中的觀點(diǎn)與《真之追求》是一脈相承的，并且可以增進(jìn)對(duì)他關(guān)于邏輯和數(shù)學(xué)的心理主義觀點(diǎn)的理解。
作為自然一部分的人對(duì)于邏輯的習(xí)得有一種“進(jìn)化”的過(guò)程：人類從孩提時(shí)代習(xí)得“并非”、“并且”、“或者”這些邏輯聯(lián)結(jié)詞以及“有的”、“每個(gè)”這些量詞的時(shí)候，就逐步把蒯因界定的狹義的邏輯的基本律內(nèi)化了；而當(dāng)人類數(shù)學(xué)理論成熟時(shí)，就能夠在一種形式化中把這種邏輯壓縮為：證明一個(gè)給定的前提集對(duì)預(yù)期結(jié)論的蘊(yùn)含，就是證明該前提集與結(jié)論的否定的不一致。這種觀點(diǎn)把數(shù)學(xué)當(dāng)成比邏輯更加高級(jí)的知識(shí)體系，蒯因接下來(lái)的一句話可以更清楚地看出這一點(diǎn)：“我樂(lè)意于如此狹義地限制詞項(xiàng)‘邏輯’，而把集合論處理為數(shù)學(xué)另一更高級(jí)的分支?！彼诤竺嫔踔涟鸭险摦?dāng)成數(shù)學(xué)的代名詞，即邏輯是數(shù)學(xué)的分支、集合論則是更高級(jí)的分支。并且，這種“狹義”的邏輯和集合論及數(shù)學(xué)的其它分支，有著三個(gè)重要的區(qū)別：一、邏輯沒(méi)有能稱為屬于它自己的對(duì)象，其變量允許所有離散的值；二、除去同一性，邏輯沒(méi)有自己的謂語(yǔ)；三、邏輯允許有完全的證明程序，而數(shù)學(xué)其它分支則由于哥德?tīng)柌煌耆远ɡ矶辉试S有完全的證明程序。
從以上對(duì)比可見(jiàn)，就沒(méi)有對(duì)象與謂語(yǔ)而言，邏輯如前面所引述的《真之追求》的觀點(diǎn)所表明的那樣，更主要的是具有一種聯(lián)系的功能；就證明的完全性來(lái)說(shuō)，邏輯看來(lái)比之?dāng)?shù)學(xué)的其它分支更有優(yōu)勢(shì)。如前所述，在蘊(yùn)含觀察范疇方面，蒯因把數(shù)學(xué)律與自然律的作用等同起來(lái)，因?yàn)榧险摵蛿?shù)學(xué)其余部分的規(guī)律排列在進(jìn)行蘊(yùn)含的前提之中，等同于自然科學(xué)的規(guī)律和假說(shuō)。不過(guò)，這并不與公認(rèn)的數(shù)學(xué)缺乏經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的看法相沖突，蒯因認(rèn)為數(shù)學(xué)的這種參與并不賦予經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)內(nèi)容是屬于進(jìn)行蘊(yùn)含的集合并且不被其成員所分享的。
在《真之追求》里能夠享有經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的是應(yīng)用中的數(shù)學(xué)，而這里作為進(jìn)行蘊(yùn)含的集合一部分的數(shù)學(xué)，是所謂的非詮釋數(shù)學(xué)（uninterpreted mathematics），它們不僅缺乏經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容，且缺乏真假。蒯因在比擬這一類數(shù)學(xué)真理為經(jīng)驗(yàn)真理時(shí)，主要出于其對(duì)觀察范疇的蘊(yùn)含有幫助的考量，而將其對(duì)經(jīng)驗(yàn)的背離忽略不計(jì)。蒯因認(rèn)為許多這樣的語(yǔ)句可以用應(yīng)用數(shù)學(xué)中所堅(jiān)持的規(guī)律來(lái)處理，另外一些解證地獨(dú)立于先前理論的情形則還是用經(jīng)濟(jì)原則來(lái)處理。加上哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ?，令蒯因?yàn)殡y的還有：有許多屬于數(shù)學(xué)的閉合句在一致的證明程序中，不可證明也不可證偽。最后，蒯因只能與這種超出他認(rèn)為的值得并且能夠檢驗(yàn)的才是真陳述的要求的句子做出妥協(xié)。但是，他還是強(qiáng)調(diào)，即使這涉及到康德的物自體問(wèn)題，關(guān)鍵卻還在于人類的用法，而并非宇宙之秘。
與密爾等心理主義的前輩相比，蒯因并不否認(rèn)數(shù)學(xué)尤其是純數(shù)學(xué)對(duì)于經(jīng)驗(yàn)的背離；而對(duì)于邏輯，他則更主要從一種工具的角度來(lái)對(duì)待。在寫作《經(jīng)驗(yàn)論的兩個(gè)教條》時(shí)，蒯因認(rèn)為人類的知識(shí)最終都與經(jīng)驗(yàn)相關(guān)；而到了《從刺激到科學(xué)》，他卻承認(rèn)非詮釋的數(shù)學(xué)對(duì)于經(jīng)驗(yàn)的背離。即使借用應(yīng)用數(shù)學(xué)的規(guī)律處理部分這樣的數(shù)學(xué)陳述的真假問(wèn)題，同時(shí)用奧康的剃刀處理另外一些數(shù)學(xué)命題，還是存在著真假不定的數(shù)學(xué)命題，蒯因提到非詮釋數(shù)學(xué)即抽象代數(shù)時(shí)說(shuō)它們沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容、也沒(méi)有真假。而這與前面提到的他所貫徹的經(jīng)驗(yàn)論的規(guī)范是沖突的。
蒯因的這種困境在弗雷格看來(lái)或許并不成為困境。弗雷格其實(shí)并不否認(rèn)經(jīng)驗(yàn)的作用，他承認(rèn)感覺(jué)印象是認(rèn)知數(shù)和其他一些東西的條件，但他強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面中經(jīng)驗(yàn)是無(wú)關(guān)的。在《概念文字》的序言中，他把科學(xué)真理分成兩類：一類是其證明純粹由邏輯完成，另一類是必須被經(jīng)驗(yàn)支撐的。不過(guò)，即使是第一類，也是與這樣的事實(shí)相一致的：“沒(méi)有任何感覺(jué)活動(dòng)的話它是絕不會(huì)在人心中稱為意識(shí)”；只是它并非源起于心理學(xué)，而是基于分類之上的最好的證明方法。感覺(jué)活動(dòng)是意識(shí)形成的必要條件，包括其證明純粹由邏輯完成的科學(xué)真理也是如此，不過(guò)感覺(jué)活動(dòng)卻并非基礎(chǔ)。泰勒·伯奇（Tyler Burge）考究了奠基（grounding）一詞的德語(yǔ)，認(rèn)為基礎(chǔ)和奠基是與理性相關(guān)的。哲學(xué)家所談?wù)摰睦硇?，一般意指源自亞里士多德的范疇理性，即弗雷格在《算術(shù)基礎(chǔ)》第31節(jié)提到的，使我們與動(dòng)物區(qū)別開來(lái)的更高精神力量。 作為算術(shù)基礎(chǔ)的命題恰好是不需要檢驗(yàn)的、自明的，其作為真命題的意義因此不在于蒯因所要求的值得檢驗(yàn)和能被檢驗(yàn)，而在于它們所含有的內(nèi)容是理性所必須確認(rèn)的。
與《算術(shù)基礎(chǔ)》開篇建立的那三個(gè)原則相適應(yīng)，弗雷格把科學(xué)真理分成兩類，其中，客觀性的算術(shù)真理純粹由邏輯得到證明。算術(shù)領(lǐng)域的真在弗雷格那里如同赤道與北海的存在一樣，具有超乎經(jīng)驗(yàn)的客觀性。算術(shù)真理在弗雷格那里具備的獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)的地位，恰好就標(biāo)出了蒯因極不情愿地作出妥協(xié)后逐步接近的那種立場(chǎng)。另一方面，即使蒯因的經(jīng)驗(yàn)論看起來(lái)似乎更符合人類的實(shí)際（人們通過(guò)微弱的紐帶與包括數(shù)學(xué)對(duì)象這一類抽象對(duì)象的外在世界相連，更多的時(shí)候，人們談?wù)撝R(shí)就是在談?wù)撊藗兘?jīng)驗(yàn)中的知識(shí)，在此意義上，人類提出建議，世界付諸實(shí)踐），但是他卻無(wú)法將經(jīng)驗(yàn)主義的規(guī)范貫徹到非詮釋數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。
最后回到本文開頭轉(zhuǎn)述的蒯因?qū)τ诟ダ赘窭硐氲姆穸?。自明的邏輯真理作為算術(shù)基礎(chǔ)的探尋在蒯因看來(lái)之所以是失敗的，與蒯因?qū)Ψ治鲂愿拍畹膽B(tài)度密切相關(guān)。如前所述，弗雷格基礎(chǔ)主義探究的哲學(xué)動(dòng)機(jī)是進(jìn)一步澄清分析與綜合之分，把通過(guò)證明由非事實(shí)的普遍邏輯真理或定義得到辯護(hù)的數(shù)學(xué)真視為分析性的，并且在《算術(shù)基礎(chǔ)》結(jié)尾部分還認(rèn)為他在這一點(diǎn)上推進(jìn)了康德的研究。 蒯因在《經(jīng)驗(yàn)論的兩個(gè)教條》中雖然直接針對(duì)的是卡爾納普的分析與綜合之分，但就以奠基于非事實(shí)與事實(shí)來(lái)區(qū)分分析與綜合而言，他的這種批判也可以針對(duì)弗雷格的分析與綜合之分。蒯因否定奠基于非事實(shí)的分析的真的存在，最終目的是得出他的整體論的經(jīng)驗(yàn)主義。克里斯托弗·皮卡克（Christopher Peacocke）指出，蒯因拒斥分析性與他的整體論、可錯(cuò)論相關(guān)聯(lián)，而他的整體論是刺激意義（stimuli?meaning）的整體論。如前所引的《真之追求》中的觀點(diǎn)所顯示的，在蒯因那里，可以說(shuō)感官刺激才是所有知識(shí)的基礎(chǔ)。皮卡克指出，刺激意義并不必然具有一般的意義同一性。比如，對(duì)一個(gè)嚴(yán)重散光的人來(lái)說(shuō)，“那條線是直的”的刺激意義將與他視力更好的朋友不同，但是這個(gè)句子在兩種情況下都有同樣的意義。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；基礎(chǔ)教育；教學(xué)；改革；反思
【基金項(xiàng)目】本文系欽州學(xué)院科研項(xiàng)目“師范專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣與方法研究”（編號(hào)：2011XJKY-38C）的階段性成果。
中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2017）09-0008-02
數(shù)學(xué)教育作為我國(guó)基礎(chǔ)教育中的一門基礎(chǔ)性學(xué)科內(nèi)容，在我國(guó)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育改革的發(fā)展進(jìn)程中，不斷汲取和吸納國(guó)內(nèi)外的成功教育經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的教學(xué)理論進(jìn)行研究，還對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行了創(chuàng)新和變革。同時(shí)，在不斷創(chuàng)新和改革的時(shí)代變化中，將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育與網(wǎng)絡(luò)新媒體相結(jié)合，在大數(shù)據(jù)下實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的創(chuàng)新，在一定程度上推動(dòng)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的改革與發(fā)展。
一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育改革的現(xiàn)狀分析
我國(guó)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育改革在歷經(jīng)很長(zhǎng)時(shí)間的磨礪之后，獲得了較為豐富、寶貴的教學(xué)理論知識(shí)和教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，并培育出較多的數(shù)學(xué)競(jìng)賽的佼佼者。他們?cè)跀?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，不僅基本功扎實(shí)，具有較為突出的優(yōu)點(diǎn)，而且還受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的矚目。然而，盡管我國(guó)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育改革發(fā)生了翻天覆地的變化，卻仍舊存在數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力相對(duì)薄弱的現(xiàn)象，相對(duì)于國(guó)外數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育改革成功的國(guó)家而言，還具有一定的差距。主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：
1. 數(shù)學(xué)課程教育呈現(xiàn)出枯燥單調(diào)、深?yuàn)W抽象的現(xiàn)象
受應(yīng)試教育“指揮棒”的影響，學(xué)生大多處于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)中的被動(dòng)狀態(tài)。固態(tài)的數(shù)學(xué)教學(xué)思維和模式，在一定程度上壓抑了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，加之?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)自身的抽象性和枯燥的內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生難以擺脫機(jī)械性教育的困境和束縛。以考試成績(jī)作為衡量學(xué)生學(xué)習(xí)效果的大環(huán)境，使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育難以擺脫傳統(tǒng)教學(xué)模式，因而在具體的教學(xué)中，難以增進(jìn)學(xué)生的科學(xué)精神，對(duì)于數(shù)學(xué)思想和方法的理解也無(wú)法得到升華。
2. 過(guò)于追求數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)習(xí)數(shù)量
在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中，依據(jù)舊知導(dǎo)入新知的教學(xué)方式可以較好地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。然而，為了不斷地接受新的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生總是依靠強(qiáng)記硬背的方法來(lái)達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的掌握與學(xué)習(xí)，對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行記憶，數(shù)學(xué)知識(shí)并沒(méi)有真正滲入到學(xué)生的腦海中，出現(xiàn)快速遺忘的現(xiàn)象和問(wèn)題。這就使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育成了應(yīng)付考試的途徑，并沒(méi)有使學(xué)生真正意識(shí)到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的應(yīng)用價(jià)值和功能。
3. 教師壓力大
教師往往要花費(fèi)極大的心血和精力，使學(xué)生理解相對(duì)抽象和枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，這對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言，無(wú)疑是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。教師為了提高學(xué)生的考試成績(jī)，常常采用傳統(tǒng)的“題?！睉?zhàn)術(shù)，讓學(xué)生沉浸于數(shù)學(xué)的習(xí)題解答過(guò)程之中，通過(guò)大量的數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練，讓學(xué)生解答各種難題和偏題，而對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和方法的培養(yǎng)卻較少關(guān)注，難以真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的價(jià)值。
二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的改革發(fā)展與反思
我國(guó)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育與國(guó)外相比還存在著較大的差距，大多數(shù)學(xué)生可以較為熟練地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本技能，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用卻顯得較為滯后，因而難以真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。為此，我們要進(jìn)一步推動(dòng)我國(guó)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育改革，在此過(guò)程中，不斷反思并獲得更為深刻的啟迪。
1. 全面落實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的課程標(biāo)準(zhǔn)
要全面落實(shí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，必須在轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的理念前提下，以學(xué)生為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力和正確的行為習(xí)慣。因此，教師要全面、深入地了解學(xué)生思維活動(dòng)中的既有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與實(shí)踐探索，培養(yǎng)其直觀、理性的思維能力。
2. 注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)教育教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)體系的深化變革
在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的課程教學(xué)中，需要對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育教材進(jìn)行創(chuàng)新性變革，在轉(zhuǎn)變應(yīng)試教育的傳統(tǒng)觀念之下，克服單純以數(shù)學(xué)理論教學(xué)為主體的教學(xué)狀態(tài)，適當(dāng)增添數(shù)學(xué)應(yīng)用型實(shí)例的教學(xué)內(nèi)容，把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)與生活現(xiàn)實(shí)相契合，使學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)思想和精神。同時(shí)，還可以引入“一課研究”的研究和教育架構(gòu)，這是一種創(chuàng)造性數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育架構(gòu)和模式，主要涵括以下幾個(gè)方面的維度和內(nèi)容：
（1）數(shù)學(xué)的知識(shí)維度。包括小學(xué)、初中、高中、大學(xué)階段中的數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)。
（2）課程標(biāo)準(zhǔn)維度。
（3）教材比較維度。即教師對(duì)一節(jié)課的教材內(nèi)容進(jìn)行縱、橫向比較性的研究和教育。
（4）理論指導(dǎo)的維度。這主要是指教師在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的教學(xué)中，可以努力探索數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的理論，并將其應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂的具體教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的價(jià)值和意義。
（5）學(xué)生起點(diǎn)維度。在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育之中，教師要圍繞一節(jié)課的教學(xué)，充分了解學(xué)生的起點(diǎn)，并以此為依據(jù)完成教學(xué)設(shè)計(jì)。
（6）教學(xué)設(shè)計(jì)維度。教師可以對(duì)一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)加以明確，再根據(jù)不同的學(xué)情，設(shè)計(jì)出具有針對(duì)性、個(gè)性化的教學(xué)過(guò)程。
（7）課堂教學(xué)的維度。即教師要對(duì)課堂教學(xué)情況全面觀察和分析、評(píng)價(jià)，從而更好地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育教學(xué)的實(shí)效性。
（8）課后評(píng)價(jià)的維度。指教師在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的情感態(tài)度和“四基”等方面，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的測(cè)試和評(píng)價(jià)。
（9）校本教研維度。指的是教師要緊緊圍繞一節(jié)課的熱藎進(jìn)行全面、系統(tǒng)地設(shè)計(jì)，完成校本教研活動(dòng)方案。
3. 完善數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的專業(yè)課程設(shè)計(jì)
在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育之中，要完善對(duì)學(xué)生的專業(yè)課程設(shè)計(jì)內(nèi)容，具體包括有：
（1）必修基礎(chǔ)課程。這主要包括代數(shù)、幾何、數(shù)學(xué)分析三大部分。
（2）必修應(yīng)用類課程。這主要是指數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的概率論教學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)、數(shù)學(xué)建模、模糊數(shù)學(xué)應(yīng)用等內(nèi)容，但它們之間各有其側(cè)重點(diǎn)。
（3）數(shù)學(xué)教育類課程。這主要包括數(shù)學(xué)問(wèn)題研究、數(shù)學(xué)教學(xué)論、數(shù)學(xué)文化等內(nèi)容，要在這個(gè)內(nèi)容中培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，從而更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、方法和技術(shù)。
綜上所述，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的過(guò)程中，要堅(jiān)持以學(xué)生為主體，轉(zhuǎn)變?cè)械慕虒W(xué)觀念和意識(shí)，努力夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，不斷培養(yǎng)學(xué)生潛在的數(shù)學(xué)能力，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的熱情，并在數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、分析、反思和解決的過(guò)程中，更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維創(chuàng)新能力。除此之外，教師還要根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)情和知識(shí)，以及既有實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，完善和優(yōu)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育內(nèi)容和體系，穩(wěn)步持續(xù)地推進(jìn)我國(guó)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育改革。
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