序論：在您撰寫參數(shù)方程時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。

第1篇

參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：

1、利用三角恒等式進(jìn)行消參。消參過程中都應(yīng)注意等價(jià)性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來說應(yīng)分別給出x,?y的范圍。在這過程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法。?

2、所指定參數(shù)不同，方程所表示的曲線也各不相同。從而給出參數(shù)方程一般應(yīng)指明所取參數(shù)。

3、在某些特殊情況，消參之后給出x,y的范圍也不能說明原曲線的軌跡，這時(shí)應(yīng)用語言作補(bǔ)充說明。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

第2篇

一、探求幾何最值問題

有時(shí)在求多元函數(shù)的幾何最值有困難，我們不妨采用參數(shù)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化為求三角函數(shù)的最值問題來處理。

例1（1984年考題）在ABC中，∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且c=10,，P為ABC的內(nèi)切圓的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。

解由，運(yùn)用正弦定理，可得：

sinA·cosA=sinB·cosB

sin2A=sin2B

由A≠B，可得2A=π-2B。

A+B=，則ABC為直角三角形。

又C=10,，可得：

a=6,b=8,r=2

如圖建立坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓的參數(shù)方程為

所以圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+2cosα,2+2sinα)，從而=80-8cosα

因0≤α＜2π，所以

例2過拋物線（t為參數(shù)，p＞0）的焦點(diǎn)作傾角為θ的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)0＜θ＜π，當(dāng)θ取什么值時(shí)，｜AB｜取最小值。

解拋物線（t為參數(shù)）

的普通方程為=2px，其焦點(diǎn)為。

設(shè)直線l的參數(shù)方程為：

（θ為參數(shù)）

代入拋物線方程＝2px得：

又0＜θ＜π

當(dāng)θ=時(shí)，｜AB｜取最小值2p。

二、解析幾何中證明型問題

運(yùn)用直線和圓的標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，能簡捷地解決有關(guān)與過定點(diǎn)的直線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離有關(guān)的問題。

例3在雙曲線中，右準(zhǔn)線與x軸交于A，過A作直線與雙曲線交于B、C兩點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F作AC的平行線，與雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，求證：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e為離心率）。

證明設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)，

A點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)。

又，設(shè)AC的傾角為α，則直線AC與MN的參數(shù)方程依次為：

將①、②代入雙曲線方程，化簡得：

同理，將③、④代入雙曲線方程整理得：

｜FM｜·｜FN｜=

｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。

雙曲線的一條準(zhǔn)線與實(shí)軸交于P點(diǎn)，過P點(diǎn)引一直線和雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，又過一焦點(diǎn)F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，求證：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

證明由已知可得。設(shè)直線AB的傾角為α，則直線AB

的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)）

代入，可得：

據(jù)題設(shè)得直線CD方程為（t為參數(shù)）

代入，得：，從而得，

即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。

三、探求解析幾何定值型問題

在解析幾何中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，有二個(gè)變?cè)?，若用參?shù)方程則只有一個(gè)變?cè)瑒t對(duì)于有定值和最值時(shí)，參數(shù)法顯然比較簡單。

例5從橢圓上任一點(diǎn)向短軸的兩端點(diǎn)分別引直線，求這兩條直線在x軸上截距的乘積。

解化方程為參數(shù)方程：

（θ為參數(shù)）

設(shè)P為橢圓上任一點(diǎn)，則P(3cosθ,2sinθ)。

于是，直線BP的方程為：

直線的方程為：

令y=0代入BP,的方程，分別得它們?cè)趚軸上的截距為和。

故截距之積為：（）·（）=9。

四、探求參數(shù)的互相制約條件型問題

例6如果橢圓與拋物線=6(x-n)有公共點(diǎn)，試求m、n滿足

的條件。

分析如果本題采用常規(guī)的代入消元法，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程來解，極易導(dǎo)致錯(cuò)誤，而且很難發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因。若運(yùn)用參數(shù)方程來解，則可“輕車熟路”，直達(dá)解題終點(diǎn)。

解設(shè)橢圓的參數(shù)方程為

拋物線的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)）

因它們相交，從而有：

由②得：

代入①得：

配方得：。即

第3篇

問題1：經(jīng)過點(diǎn)M（x，y）的直線有多少條？

問題2：再加一個(gè)什么條件就可以確定一條直線？

教師：請(qǐng)同學(xué)們說出經(jīng)過點(diǎn)M（x，y），傾斜角為θ的直線的方程。

學(xué)生：根據(jù)點(diǎn)斜式，斜率k=tanθ，所以直線方程為y-y=tanθ（x-x）。

2.新課講解

教師：能否引進(jìn)一個(gè)參數(shù)，使得直線上任何一點(diǎn)M（x，y）都能用這個(gè)參數(shù)來表示？

學(xué)生：利用|MM|，就是利用M到M的距離。

教師：如果利用距離的話，一個(gè)參數(shù)就會(huì)對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)了，如何解決這個(gè)問題呢？

學(xué)生：根據(jù)方向來區(qū)分，向上是正的，向下是負(fù)的。

教師：很好，那跟方向有關(guān)的話，我們能想到什么？

學(xué)生：向量。

教師：不錯(cuò)，那我們能否找到一個(gè)單位向量和直線是平行的？如果可以的話，那p的坐標(biāo)是什么？并給出提示：op要滿足什么條件就會(huì)和直線是平行的？

學(xué)生：可以，根據(jù)斜率相同就可以了，所以p（cosθ，sinθ），記==（cosθ，sinθ）。

教師：因?yàn)楹褪枪簿€的，所以就可以用表示出來，即=t，那么，M的坐標(biāo)如何用參數(shù)來表示呢？

學(xué)生：根據(jù)向量相等，就能得出直線的參數(shù)方程x=x+tcosθy=y+tsinθ。

教師：這個(gè)參數(shù)方程跟哪種曲線的參數(shù)方程是很像的，有什么區(qū)別？

學(xué)生：跟圓的參數(shù)方程很像，區(qū)別在于，在直線的參數(shù)方程中t是參數(shù)，在圓的參數(shù)方程中θ是參數(shù)。

教師：參數(shù)t的幾何意義是什么呢？

學(xué)生：因?yàn)?|t|=|t|，所以|t|就是M到M的距離。

教師：什么時(shí)候是正的，什么時(shí)候是負(fù)的？

學(xué)生：根據(jù)向量的數(shù)乘可知，如果與同向，則t是正的，反之t是負(fù)的。

教師：很好，那我們看一下的方向有什么特點(diǎn)？

學(xué)生：根據(jù)傾斜角θ的范圍，可以知道的方向總是向上的。

教師：所以我們直接看的方向就可以了，如果的方向是向上的，則t是正的，反之t是負(fù)的。

教師：那M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)是多少？

學(xué)生：根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知，M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)是0。

3.例題講解

例1：已知直線l∶x+y-1=0與拋物線y=x交于A、B兩點(diǎn)，求線條AB的長和點(diǎn)M（-1，2）到A，B兩點(diǎn)的距離之積。

學(xué)生：思考，互相交流。

教師：直線l的參數(shù)方程是什么？

學(xué)生：因?yàn)镸（-1，2）在直線l上，θ=，所以直線l的參數(shù)方程是x=-1-ty=2+t。

教師：能否利用參數(shù)，線段AB的長就是什么？

學(xué)生：根據(jù)參數(shù)的幾何意義可以得出，|AB|=|t|+|t|。

教師：那如何解出t，t呢？

學(xué)生：因?yàn)閠，t是A，B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，而A，B兩點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，所以將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程，得到2+t=（-1-t），化簡得t+t-2=0，所以t，t就是上述方程的兩個(gè)解。

教師：那|MA||MB|=？

學(xué)生：根據(jù)韋達(dá)定理|MA||MB|=|t||t|=|tt|=2。

教師：求|AB|能不能也根據(jù)韋達(dá)定理，不解方程來做？引導(dǎo)學(xué)生從向量的角度來考慮，因?yàn)?-=t-t=（t-t），所以|AB|=|t-t|，那如何用韋達(dá)定理呢？

學(xué)生：|AB|=|t-t|==。

教師：說明一下|AB|=|t-t|是通用的，其中t，t是A，B所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)參數(shù)。

那A，B的中點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的參數(shù)等于多少呢？

學(xué)生：猜測(cè)中點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為。

教師：通過畫圖來解釋，或者根據(jù)向量=+。

例2：經(jīng)過點(diǎn)M（2，1）作直線l，交橢圓+=1于A，B兩點(diǎn)。如果點(diǎn)M恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程。

第4篇

一、利用參數(shù)方程求點(diǎn)的坐標(biāo)

例1：已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），且傾斜角為■，求直線l上到點(diǎn)P的距離為■的點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析：寫出l的參數(shù)方程之后，要求點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵在于對(duì)參數(shù)t的幾何意義的了解。

解：直線l的參數(shù)方程為

x=1+tcos■ x=1+■t （t為參數(shù)）

y=2+tstin■ 即y=2+■t

在直線l上到點(diǎn)P的距離為■的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t滿足|t|=■即t=±■，代入l的參數(shù)方程，得x=3y=4或x=-1y=0。

所以，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）和（-1，0）。

二、利用參數(shù)方程求長度

例2：已知橢圓■+■=1，和點(diǎn)P（2，1），過P作橢圓的弦，使P是弦的中點(diǎn)，求弦長。

解：設(shè)弦所在的直線方程為：x=2+tcosθy=1+tsinθ（t為參數(shù)）

代入橢圓方程，得(2+tcosθ)2+4(1+tsinθ)2=16

化簡：得(cos2θ+4sin2θ)2+4(cosθ+2sinθ)-8=0

P為中點(diǎn)，弦長=|t1-t2|=■=■

=■=■

=■=2■

三、利用參數(shù)方程求最值

例3：已知橢圓方程為■+■=1，求它的內(nèi)接矩形的面積的最大值。

解：橢圓參數(shù)方程為x=acosθy=btcosθ(θ為參數(shù))

設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為(acosθ,bsinθ)(θ為銳角)

則矩形面積S=4acosθ?bsinθ=2absin2θ≤2ab

Smax=2ab

四、利用參數(shù)方程求軌跡

例4：已知拋物線y2=x+1，定點(diǎn)A(3，1)，B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP：PA=1：2，當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程。

分析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x0+y0），由于AP：BP=2：1，得x=■，y=■

即x0=■，y0=■

由于B(x0，y0)的拋物線y2=x+1上，或y20=x0+1

將②代入③，得(■)2=■+1

化簡得3y2-2x-2y+1=0

即x=■y2-y+■

即x=y2，此軌跡為拋物線。

例5:∠MON=60°，邊長為a的正三角形APB在∠MON內(nèi)滑動(dòng)，使得A始終在OM上，且O、P兩點(diǎn)在AB兩側(cè)，求P點(diǎn)的軌跡方程。

解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），∠PBN=θ，θ為參數(shù)，且0≤θ≤■

∠AOB=∠ABP=■

∠OAB=∠PBN=θ

在OBA中，

■=■，

OB=■

x=OB+acosθ=■asinθ+acosθy=asinθ

消去θ得（x-■y）2+y2=a2

即3x2-4■xy+7y2-3a2=0

而x=■sin(θ+arctan■)(其中0≤θ≤■)

則arctan■≤θ+arctan■≤■+arctan■

■≤sin(θ+arctan■)≤1 ■≤x≤■a

第5篇

參數(shù)方程最初起源于力學(xué)及物理學(xué)，例如運(yùn)動(dòng)方程大都采用參數(shù)方程，其中參數(shù)t往往表示時(shí)間這一變量.高中數(shù)學(xué)中解析幾何的核心思想是“用代數(shù)的方法研究幾何問題”.在具體的問題解決中，“方程”的地位十分重要，運(yùn)用代數(shù)方法通常是以“方程”為載體，“方程”架起了“代數(shù)”與“幾何”之間的橋梁，從而使得解析幾何變得如此豐富多彩.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)解析幾何時(shí)，一定要認(rèn)真理解每個(gè)曲線不同形式的方程，這是研究它們幾何性質(zhì)的基礎(chǔ).在直角坐標(biāo)系下，曲線方程通常分為兩大類：參數(shù)方程與普通方程.參數(shù)方程與普通方程是曲線方程的兩種不同的表達(dá)方式，它們?cè)谛问缴?、用途上、方法上各具特點(diǎn)又互相補(bǔ)充，研究它們之間的關(guān)系、實(shí)現(xiàn)它們之間的互化，有利于發(fā)揮它們彼此的長處，從而簡化問題解決的過程.本文擬從互化的視角，以具體問題為例，介紹常見曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化及其運(yùn)用.

一、 兩類方程互化的必然性及其策略

對(duì)于具體問題，有時(shí)我們要選擇將一種曲線方程化為另一種曲線方程，簡稱“互化”.例如當(dāng)點(diǎn)在曲線上任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們常選擇將普通方程化為參數(shù)方程來解決，這也是我們學(xué)習(xí)參數(shù)方程的主要目的，下文將重點(diǎn)闡述.而實(shí)際生活很多問題提煉的數(shù)學(xué)模型往往是參數(shù)方程的形式，例如物理學(xué)中的平拋運(yùn)動(dòng)，我們得到的是水平方向的位移、豎直方向的位移用時(shí)間表示的參數(shù)方程，如果要進(jìn)一步研究其曲線時(shí)，我們就要將之化為普通方程.也有一些數(shù)學(xué)問題是由參數(shù)方程給出的，直接解決比較繁瑣，必須將之轉(zhuǎn)化為普通方程解決.例如：由參數(shù)方程x=cos θ+3,

y=sin θ(θ為參數(shù)）給出的曲線，很難發(fā)現(xiàn)其表示的曲線類型，但如果將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為熟悉的普通方程，則比較簡單.由參數(shù)方程可得：cos θ=x－3,

sin θ=y.因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1，所以x－32+y2=1，即表示的曲線是圓心（3，0），半徑為1的圓.

將“參數(shù)方程”化為“普通方程”的過程本質(zhì)上是“消參”，常見方法有三種：1．代入消參法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù)；2．三角消參法：利用三角恒等式消去參數(shù)；3．整體消參法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去參數(shù).特別強(qiáng)調(diào)的是：“消參”僅僅是對(duì)代數(shù)式進(jìn)行了簡化，沒有涉及到所消參數(shù)的范圍，而兩類方程中的變量x,y的范圍必須相同，所以消參的同時(shí)一定要關(guān)注消參引起的“范圍”變化.

例1

將下列參數(shù)方程化為普通方程：

（1）

x=t+1,

y=1－2t(t為參數(shù)）；（2）x=sin θ+cos θ,

y=1+sin 2θ(θ為參數(shù)）.

思

考通過兩個(gè)例子，我們能體會(huì)到參數(shù)方程化為普通方程的注意點(diǎn)是哪些嗎？

解

析

（1）因?yàn)閤=t+1≥1，所以化為普通方程是y=－2x+3(x≥1).

這是以（1,1）為端點(diǎn)的一條射線（包括端點(diǎn)）.

（2）因?yàn)閤=sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)，所以x∈［－2,2］.

化為普通方程是x2=y,x∈［－2,2］.

評(píng)

注

上述例題我們很容易在轉(zhuǎn)化過程中忽略變量的范圍，如（1）中x=t+1≥1，(2)中x∈［－2,2］，因此在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等價(jià)的.

例2

選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，將下列普通方程化為參數(shù)方程：

（1）xy=9；（2）y2=x.

思

考選取的參數(shù)不同，同樣的曲線方程寫出來的參數(shù)方程是否一樣呢？

解

析

（1）x=t,

y=9tt為參數(shù);（2）x=t2,

y=tt為參數(shù).

評(píng)

注

對(duì)于（1）的參數(shù)方程也可寫成x=9t,

y=tt為參數(shù)，因此同一曲線的參數(shù)方程的形式可以不同，但（2）如果寫成x=t,

y=tt為參數(shù)，則和原來的不等價(jià)，因?yàn)閥≥0，只是y2=x的一部分.

因此，關(guān)于參數(shù)有幾點(diǎn)說明：

① 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的“橋梁”；

② 參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義、幾何意義，也可以沒有明顯意義；

③ 同一曲線選取參數(shù)不同，曲線參數(shù)方程形式也不一樣；

④ 在實(shí)際問題中要確定參數(shù)的取值范圍.

二、 參數(shù)方程的具體運(yùn)用

1． 橢圓參數(shù)方程運(yùn)用

若橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是x2a2+y2b2=1，其參數(shù)方程可設(shè)為：x=acos θ,

y=bsin θ(θ為參數(shù)），其中參數(shù)θ稱為離心角.當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(acos θ,bsin θ)，可以用一個(gè)變量θ表示點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)，體現(xiàn)了使用參數(shù)方程的優(yōu)越性.

例3

已知A,B是橢圓x29+y24=1與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)，在橢圓第一象限的部分求一點(diǎn)P，使四邊形OAPB的面積最大.

圖1

解

析

設(shè)點(diǎn)P(3cos α,2sin α)，SAOB面積一定，只需求SABP的最大值即可，即求點(diǎn)P到直線AB的距離最大值.

d=|6cos α+6sin α－6|22+32

=6132sin(π4+α)-1.

當(dāng)α=π4時(shí)，d有最大值，此時(shí)面積最大，P坐標(biāo)為(322,2).

評(píng)

注

如果不設(shè)參數(shù)方程，則必須設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，這樣處理比較困難.可以看出，關(guān)于點(diǎn)到直線距離的最值問題，借助橢圓參數(shù)方程，將橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決，比用普通方程解決要方便一些.

2. 圓參數(shù)方程的運(yùn)用

若圓的方程是x－a2+y－b2=r2，則其參數(shù)方程通常設(shè)為：x=a+rcos θ,

y=b+rsin θ(θ為參數(shù)），利用參數(shù)方程處理動(dòng)點(diǎn)軌跡問題往往比較簡單.

例4

如圖2，已知點(diǎn)P是圓x2+y2=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是x軸上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為（12,0），當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PA中點(diǎn)M的軌跡是什么？

圖2

解

析

設(shè)M(x,y)，圓x2+y2=16的參數(shù)方程為x=4cos θ,

y=4sin θ.

所以可設(shè)P(4cos θ,4sin θ)，由中點(diǎn)公式得M點(diǎn)軌跡方程為x=6+2cos θ,

y=2sin θ,再轉(zhuǎn)化為普通方程得到：點(diǎn)M軌跡是以（6,0）為圓心，2為半徑的圓.

評(píng)

注

也可利用普通方程解答：設(shè)M(x,y)，則P(2x－12,2y)，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2=16上，所以2x－122+2y2=16，即點(diǎn)M的軌跡方程為x－62+y2=4.

所以M的軌跡是以（6,0）為圓心，2為半徑的圓.求軌跡方程時(shí)，參數(shù)方程也能展現(xiàn)出它的優(yōu)越性，只需把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別用第三個(gè)量來表示即可.當(dāng)然，如果想知道具體是怎樣的曲線，還需化為普通方程來觀察.

例5

已知點(diǎn)px,y是圓x2+y2－6x－4y+12=0上的點(diǎn)，求x+y的最值.

解

析

對(duì)于此題，我們可以通過兩種方法的解答加以對(duì)比，從而體會(huì)參數(shù)方程的運(yùn)用.

圓x2+y2－6x－4y+12=0，即x－32+y－22=1.

方法一：圓參數(shù)方程為x=3+cos θ,

y=2+sin θ,由于P點(diǎn)在圓上，可設(shè)P3+cos θ,2+cos θ.

x+y=3+cos θ+2+sin θ=5+2sinθ+π4，所以x+y最大值為5+2，最小值為5－2.

方法二：令x+y=z，因?yàn)閳Ax－32+y－22=1與直線x+y－z=0相切時(shí)，1=5－z2，所以z=5±2. 所以zmax=5+2 ，zmin=5－2.

故x+y最大值為5+2，最小值為5－2.

評(píng)

注

相比較而言，有關(guān)圓的問題，既可用參數(shù)方程，也可用普通方程解決，但對(duì)于橢圓，用參數(shù)方程解決要比較簡單一點(diǎn).

3. 直線參數(shù)方程的應(yīng)用

如果直線經(jīng)過點(diǎn)M0x0,y0，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為 x=x0+tcos α,

y=y0+tsin α（t為參數(shù)），直線的參數(shù)方程中，它的形式、變量、常量要分清楚.

例如：x=3+tsin 20°,

y=tcos 20°（t為參數(shù)）傾斜角為70°.

又如：直線x+y－1=0的一個(gè)參數(shù)方程為x=1－22t,

y=22t（t為參數(shù)）.

直線的普通方程可以有若干個(gè)參數(shù)方程.

例6

已知直線l：x+y－1=0與拋物線y=x2交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長和點(diǎn)M－1,2到A，B的兩點(diǎn)的距離之和.

思

考在學(xué)習(xí)直線的參數(shù)方程之前，我們會(huì)如何解決上述問題？

解

析

因直線l過點(diǎn)M－1,2,l的傾斜角為3π4，

所以它的參數(shù)方程為

x=－1+tcos3π4,

y=2+tsin3π4（t為參數(shù)），即x=－1－22t,

y=2+22t（t為參數(shù)） ①=1\*GB3.

把①=1\*GB3代入拋物線方程y=x2得t2+2t－2=0， 解得t1=－2+102，t2=－2－102.

由參數(shù)t的幾何意義可得：AB=t1－t2=10， MA?MB=t1t2=2.

評(píng)

注

在學(xué)習(xí)直線的參數(shù)方程之前，我們會(huì)用如下方法解答：

由x+y－1=0,

y=x2得x2+x－1=0，解得x1=－1+52,

第6篇

一、橢圓參數(shù)方程

如圖1，以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b（a＞b＞0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作ANox，垂足為N，過點(diǎn)B作BMAN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程。



解：設(shè)∠xOA=φ,M(x,y), 則A(acosφ,asinφ),B(bcosφ,bsinφ),由已知:{x=acosφy=bsinφ （φ是參數(shù)），即為點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程.消去參數(shù)得:x2a2+y2b2=1，即為點(diǎn)M的軌跡普通方程.(如圖2)注意：1.在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長且a>b>0,φ稱為離心角,規(guī)定參數(shù)φ取值范圍為［0,2π)2.焦點(diǎn)在x軸上，參數(shù)方程為{x=acosφy=bsinφ（φ是參數(shù)）焦點(diǎn)在y軸上，參數(shù)方程為{x=bcosφy=asinφ（φ是參數(shù)）

二、橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用

1. 利用參數(shù)方程求最值例1.過點(diǎn)A(0,－2)作橢圓x24+y22=1的弦AM，則|AM|的最大值為

A. 2

B. 3

C. 22

D. 23分析:此題比較簡單，只要注意A點(diǎn)在橢圓上，設(shè)出點(diǎn)M的參數(shù)方程即可解決。解：設(shè)M（2cosθ,2sinθ），則|AM|=(2cosθ)2+(2sinθ+2)2化簡得|AM|=－2(sinθ－1)2+8所以當(dāng)sinθ=1時(shí)取最大值，且最大值為22。所以選C點(diǎn)評(píng)：橢圓的參數(shù)方程是求解最值問題的最有力工具，所以在解決此類問題時(shí)，首先應(yīng)該想到參數(shù)方程求解。例2.設(shè)點(diǎn)P（x，y）在橢圓x24+y27=1上，試求點(diǎn)P到直線3x－2y－21=0的距離d的最小值。分析：此題可以設(shè)點(diǎn)P（x，y）,然后代入橢圓方程x24+y27=1，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式把d表示出來。但仍然很難繼續(xù)解答。而考慮橢圓的參數(shù)方程卻可以順利解決此問題。解：點(diǎn)P（x，y）在橢圓x24+y27=1上，設(shè)點(diǎn)P（2cosθ,7sinθ）（θ是參數(shù)且θ∈［0,2π)） 則d=|6cosθ－27sinθ－21|32+22=|8sin(θ－φ)+21|13(其中tanφ=377)。當(dāng)sin(θ－φ)=－1時(shí)，距離d有最小值13點(diǎn)評(píng)：在求解最值問題時(shí)，尤其是求與圓錐曲線有關(guān)的最值時(shí)，我們可以考慮利用參數(shù)方程降低難度例3.已知橢圓x2a2+y2b2=1有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面積。分析：此題可以設(shè)矩形長為x,然后代入橢圓方程解出寬，但很難解答。而考慮橢圓的參數(shù)方程可以迎刃而解。解：設(shè)A(acosθ,bsinθ)，則|AD|=|2acosθ|,|AB|=|2bsinθ|所以S=|2a×2bsinθcosθ|=2ab|sin2θ|即矩形ABCD的最大面積為2ab點(diǎn)評(píng)：利用參數(shù)方程后，再利用三角函數(shù)性質(zhì)可以簡化求解的過程和降低求解的難度。

二、參數(shù)方程在求與離心率有關(guān)問題上的應(yīng)用

例4.橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若這個(gè)橢圓上存在點(diǎn)P，使得F1PF2P。求該橢圓的離心率e的取值范圍。分析：如果按常規(guī)設(shè)p(x,y), |F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2展開，與離心率沒有明顯的聯(lián)系，但用參數(shù)方程就非常容易。解：設(shè)P(acosα,bsinα)，因?yàn)楠1(－c,0),F2(c,0)kPF1=bsinαacosα+c,kPF2=bsinαacosα－c,因?yàn)楠1PF2P所以kPF1?kPF2=－1即bsinαacosα+c?bsinαacosα－c=－1,化簡得cos2α=c2－b2a2－b2因?yàn)楠?≤cos2α≤1，所以0≤c2－b2a2－b2≤1解得b2≤c2，所以e=c2a2=c2b2+c2≥c22c2=12即22≤eb>0）與x軸的正向相交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上存在點(diǎn)P，使得OPAP。求該橢圓的離心率e的取值范圍。 分析：此題可仿照上題解法輕松解決，在此不在詳解。答案:(22,1) 

三、參數(shù)方程在證明問題上的應(yīng)用

第7篇

2. 已知拋物線的參數(shù)方程為[x=2pt2，y=2pt，]其中[t]為參數(shù)，[p]>0，焦點(diǎn)為[F]，準(zhǔn)線為[l]，過拋物線上一點(diǎn)[M]作準(zhǔn)線[l]的垂線，垂足為[E]，若[EF=FM]，點(diǎn)[M]的橫坐標(biāo)是3，則[p=] .

3. 在直角坐標(biāo)系[xoy]中，已知曲線[c1：][x=t+1，y=1-2t]（[t]為參數(shù)）與曲線[c2：][x=asinθ，y=3cosθ]（[θ]為參數(shù)，[a]>[0]）有一個(gè)公共點(diǎn)在[x]軸上，則[a]= .

4. 直線[2ρcosθ=1]與[ρ=2cosθ]相交的弦長為 .

5. 在直角坐標(biāo)系[xOy]中，以原點(diǎn)[O]為極點(diǎn)，[x]軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知射線[θ=π4]與曲線[x=t+1，y=（t-1）2]（[t]為參數(shù)）相交于[A，B]兩點(diǎn)，則線段[AB]的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 .

6. 方程[ρ=-2cosθ]和[ρ+4ρ=42sinθ]的曲線的位置關(guān)系為 .

7. 直線[l]的參數(shù)方程是[x=22t，y=22t+42，]其中[t]為參數(shù)，圓[C]的極坐標(biāo)方程為[ρ=2cosθ+π4]，過直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值是 .

8. 曲線[C1]的極坐標(biāo)方程為[ρcos2θ=sinθ]，曲線[C2]的參數(shù)方程為[x=3-t，y=1-t，]以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為[x]軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線[C1]上的點(diǎn)與曲線[C2]上的點(diǎn)最近的距離為 .

9. 在極坐標(biāo)系中，曲線[ρ=cosθ+1]與[ρcosθ=1]的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離 .

10. 在直角坐標(biāo)系[xOy]中，橢圓[C]的參數(shù)方程為[x=acosθ，y=bsinθ.]（[θ]為參數(shù)，[a>0，b>0]），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)[O]為極點(diǎn)，以[x]軸的正半軸為極軸）中，直線[l]與圓[O]的極坐標(biāo)方程分別為[ρsinθ+π4=22m]（[m]為非零常數(shù)）與[ρ=b]，若直線[l]經(jīng)過橢圓[C]的焦點(diǎn)，且與圓[O]相切，則橢圓的離心率為 .

11. 設(shè)曲線[C]的極坐標(biāo)方程為[x=t，y=t2]（[t]為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，[x]軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線[C]的極坐標(biāo)方程為 .

12. 在直角坐標(biāo)系[xOy]中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，[x]軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)[A，B]分別在曲線[C1]：[x=3+cosθ，y=4+sinθ]（[θ]為參數(shù)）和曲線[C2]：[ρ=1]上，則[AB]的最小值為 .

13. 設(shè)曲線[C]的參數(shù)方程為[x=2+3cosθ，y=-1+3sinθ]（[θ]為參數(shù)），直線[l]的方程為[8x+15y+16=0]，則曲線[C]上到直線的距離為2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .