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第1篇

近幾年來,數(shù)學問題提出日益受到學者們的重視,它被視為數(shù)學課程的重要組成部分,甚至是數(shù)學教學活動的中心[1~3].例如,我國2011年數(shù)學課程標準在問題解決的課程目標中強調學生要“初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題”[4].數(shù)學問題提出的重要性在2000年美國數(shù)學課程與評價標準中也有所提及[5].

鑒于數(shù)學問題提出在數(shù)學課程與教學中的重要作用,學者們開展了一系列關于數(shù)學問題提出的相關研究.例如,數(shù)學問題提出能力水平的調查研究表明,中國中小學生的數(shù)學問題提出能力還有待于提高[6~7].數(shù)學問題提出能力和數(shù)學問題解決能力關系的調查研究,揭示了學生的數(shù)學問題提出能力和數(shù)學問題解決能力之間存在較高的相關性[8~10].數(shù)學問題提出能力評價的研究認為學生的數(shù)學問題提出能力可以從提出數(shù)學問題的流暢性、變通性和創(chuàng)新性3個方面進行評價[11~21].但是,學生數(shù)學問題提出能力的評價,從數(shù)學問題的流暢性、變通性和創(chuàng)新性3個方面是不全面的,既然數(shù)學問題的復雜程度也代表了一個學生數(shù)學問題提出能力的高低,因此學生提出的數(shù)學問題的復雜性也應是其數(shù)學問題提出能力高低的一個評價方面.同時,對于數(shù)學問題提出能力和數(shù)學問題提出觀念之間關系的研究還存在一定的空白.學者Philippou和Nicolaou對于數(shù)學問題提出能力和觀念之間關系的研究提供了一些啟示[22].他們調查了塞浦路斯五年級和六年級小學生數(shù)學問題提出能力和自我效能觀念之間的關系.結果表明塞浦路斯小學生數(shù)學問題提出能力和自我效能觀念之間存在一定的相關性.但是該研究僅僅調查了學生的自我效能觀念與數(shù)學問題提出能力之間的關系,沒有涉及學生其他的問題提出觀念.例如,學生對數(shù)學問題提出的重要性的認識,對數(shù)學問題提出的興趣,以及對數(shù)學問題提出的教學形式的認識.同時,數(shù)學問題提出能力是否能夠被有效測量,將直接影響研究者深入探索數(shù)學問題提出能力和觀念之間的關系.因此,該研究將首先界定數(shù)學問題提出和數(shù)學問題提出觀念的概念,并構建了一套數(shù)學問題提出的評價體系.在此基礎上,該研究調查了沈陽市小學生數(shù)學問題提出能力和觀念的情況,以及二者之間的關系.

二、相關概念的界定

數(shù)學問題提出是指,新數(shù)學問題的提出和已有數(shù)學問題的重新闡釋,它可以發(fā)生于數(shù)學問題解決之前、之中和之后[2].學生在數(shù)學問題提出的過程中經(jīng)歷信息的理解,信息的轉換,信息的編輯,信息的選擇4種心理過程[23].信息的理解發(fā)生在學生根據(jù)一些數(shù)學表達式提出數(shù)學問題的過程之中;信息的轉換發(fā)生在學生根據(jù)一些數(shù)學圖片和表格提出數(shù)學問題的過程中;信息的編輯發(fā)生在沒有限制條件下,學生根據(jù)一些數(shù)學信息、數(shù)學故事提出數(shù)學問題的過程中;信息的選擇發(fā)生在學生根據(jù)某一個答案提出數(shù)學問題的過程中.觀念是個體所持有的主觀認識和理論,它包含所有個體認為是正確的,但是卻不能提供令人信服的證據(jù)的認識[24].在觀念概念的基礎上,研究者認為數(shù)學問題提出的觀念是指學生對于數(shù)學問題提出的重要性、興趣,以及數(shù)學問題提出學習過程中的信心等的主觀認識與態(tài)度.

三、研究方法

1.樣本

調查了沈陽新民市69個五年級小學生和朝陽北票市48個五年級小學生的數(shù)學問題提出能力和數(shù)學問題提出觀念的情況.根據(jù)數(shù)學課程標準的要求,學生測試前已經(jīng)學習了因數(shù)與倍數(shù)、平行四邊形、三角形面積、梯形的面積、分數(shù)的基本性質,以及分數(shù)的加減法等相關知識.另外,由于參與調查的學生所使用的數(shù)學教材存在少數(shù)的數(shù)學問題提出的情境,所以學生對數(shù)學問題提出有一定的了解.

2.測試過程

為了避免部分學生對數(shù)學問題提出仍然不清楚,測試前,研究者先講解一個數(shù)學問題提出的例題:“服裝店中,一件上衣的價格是60元,一雙鞋的價格是82元,根據(jù)已知條件提出數(shù)學問題.”如果學生提出數(shù)學問題的時候存在困難,調查者可以給出一個例子:一件上衣和一雙鞋一共多少元?之后引導學生根據(jù)該情境提出其他的數(shù)學問題.例題講解之后,研究者強調這次測試不是一次真正的考試,其目的是了解他們的數(shù)學問題提出能力水平,因此考試的時候不要緊張.在測試的過程中,如果學生對題意等不是很理解,教師可以給予必要的提示.數(shù)學問題提出測試結束后實施數(shù)學問題提出觀念的測試,兩個測試一共用時約50分鐘.

3.測試工具

數(shù)學問題提出能力測試包括6個算術領域的問題提出測試題(測試題2對學生提出數(shù)學問題的解決策略的運算類型加以限制的目的是考察學生在數(shù)學問題提出過程中對信息理解的能力).從問題提出情境的表征方式來看,有圖片、答案、算式、語言描述和表格等.例如,編寫兩個應用題,使其計算方法(列式)都為1.6×8.數(shù)學問題提出觀念問卷包括20個五點李克特觀念問題,涉及學生對于數(shù)學問題提出的重要性,數(shù)學問題提出學習過程中的信心,以及對于數(shù)學問題提出的興趣等.這20個觀念問題從設計方式上分為10個正向問題和10個反向問題.例如,“盡管我很努力地學習,但是我在提出數(shù)學問題的時候還是總遇到困難”為反向問題;“我認為能夠從提出數(shù)學問題的過程中學到很多”為正向問題.

4.評價標準

數(shù)學問題提出測試從流暢性、變通性、新穎性和復雜性4個維度評價.流暢性指提出正確數(shù)學問題的個數(shù)【評價一個數(shù)學問題是否為正確的數(shù)學問題,首先,評價所提出的數(shù)學問題是否滿足題意的要求.其次,評價所提出的數(shù)學問題是否為一個可解的數(shù)學問題(一個數(shù)學問題不可解是指這個數(shù)學問題的數(shù)學信息不充分或者和已知條件相矛盾).最后,評價所提出的數(shù)學問題是否符合生活實際】.對于某一個測試題,學生提出一個正確的數(shù)學問題,則得1分,否則得0分.變通性指學生根據(jù)某一個問題提出情境提出的兩個數(shù)學問題的類型的變化程度,如果兩個數(shù)學問題都錯誤,或者其中一個錯誤,或者兩個數(shù)學問題都正確且屬于同一個類型,都得0分,如果兩個數(shù)學問題都正確且不屬于同一個類型,則得1分.數(shù)學問題的類型根據(jù)該數(shù)學問題的總的語義類型來確定.加減法的語義類型分為變化、合并和比較3種類型,乘除法的語義類型分為等量組的聚集、倍數(shù)、矩形和組合[25].例如,“小明帶了100元,買了2條圍巾和1雙手套,剩多少元?”和“買2副手套和1條圍巾共多少元?”,前一個數(shù)學問題的語義類型為變化,后一個數(shù)學問題的語義類型為合并,所以該生測試題1的變通性維度得1分.新穎性是指學生所提出的數(shù)學問題比較有新意,具體的評價方法是如果提出的某一類正確的數(shù)學問題的個數(shù)占所有提出的正確數(shù)學問題的個數(shù)的百分比小于10%,那么這類數(shù)學問題就被評價為新穎性的數(shù)學問題.該維度中,數(shù)學問題類型的劃分方法與變通性維度中數(shù)學問題類型的劃分方法相同.學生提出一個新穎性的數(shù)學問題,則得1分,非新穎性的數(shù)學問題或者不正確的數(shù)學問題為0分.復雜性是指學生提出的正確的數(shù)學問題所包含的語義類型的個數(shù).某一個測試題中,學生提出的兩個數(shù)學問題中至少有一個數(shù)學問題包含兩種語義類型,則得1分,至少有一個包含3種及以上語義類型的數(shù)學問題,則得2分,其余為0分(兩個問題中至少一個問題錯誤或者兩個數(shù)學問題都正確,但是每個問題僅僅包含一個語義結構).例如,一個學生提出兩個數(shù)學問題“一共有多少個動物?”和“草地上有5只母雞和8頭牛,草地上一共有多少條腿?”,第二個數(shù)學問題包括合并和等量組的聚集兩種語義結構,該生復雜性維度得1分.數(shù)學問題提出能力測試4個維度的分數(shù)重復累計,流暢性和創(chuàng)新性維度的總分各是12分,變通性維度總分是6分,復雜性維度總分是10分(測試題2要求學生根據(jù)指定的算式編寫數(shù)學問題,因此,評價學生根據(jù)該問題情境提出的數(shù)學問題的復雜性是沒有意義的),所以數(shù)學問題提出能力測試的最低分為0分,最高分為40分.

數(shù)學問題提出觀念問卷中,反向問題反向記分.例如,對于問題“盡管我很努力地學習,但是我在提出數(shù)學問題的時候還是總遇到困難”,選項“非常不同意”記5分,選項“不同意”記4分,選項“不知道”記3分,選項“同意”記2分,選項“非常同意”記1分.正向問題正向計分,例如,對于問題“我能夠正確地評價提出的某一個數(shù)學問題是否正確”,選項“非常不同意”記1分,選項“不同意”記2分,選項“不知道”記3分,選項“同意”記4分,選項“非常同意”記5分.數(shù)學問題提出觀念問卷的最低分為20分,最高分為100分.

四、研究結果

1.數(shù)學問題提出能力的結果

從測試總體情況來看,大部分學生能夠提出正確的數(shù)學問題,數(shù)學問題提出能力測試的4個維度得分率情況分別為,流暢性:87.5%,變通性:45.7%,創(chuàng)新性:12.3%,復雜性:20.3%.可見,在問題提出的流暢性維度上,學生的數(shù)學問題提出的分數(shù)還是較高的.但是,也不乏一些學生提出不符合要求的數(shù)學問題,例如,在測試題2中,根據(jù)問題的要求,學生需要提出應用題,而有的學生卻提出文字表述題,如:“8個1.6的和是多少?”在測試題4中,根據(jù)問題的要求,學生需要提出用乘法或除法解決(可以包含加法或減法)的應用題,而有的學生卻提出:“小明存250元,小麗存300元,小明比小麗少多少?”在測試題5中,學生需要根據(jù)情境中隱含的規(guī)律提出問題,但有的學生卻提出:“第四天,他用23根火柴搭了幾個正方形?”顯然這個數(shù)學問題不符合題中隱含的規(guī)律;在測試題6中,有的學生提出數(shù)學問題:“一只母雞一天下10個蛋,那么5只母雞一個月30天下多少個蛋?”可見提出的數(shù)學問題不符合生活實際.與數(shù)學問題提出的流暢性維度相比,學生在數(shù)學問題提出能力的創(chuàng)新性和復雜性維度上的表現(xiàn)不容樂觀.學生傾向于提出和課本類似的、練習中常見的、簡單的數(shù)學問題.例如,對于測試題1,類似于“買2雙鞋和1副手套共需多少錢?”的合并問題為36%;類似于“2副手套花多少錢?”的等量組聚集問題為26%.

2.數(shù)學問題提出觀念的結果

從數(shù)學問題提出觀念問卷來看,部分學生對數(shù)學問題提出的觀念不容樂觀.例如,對于觀念問題4“盡管我很努力地學習,但是我在提出數(shù)學問題的時候還是總遇到困難”中,有38%的學生選擇同意或者非常同意,表明很大一部分學生對學好數(shù)學問題提出缺乏一定的信心.對于問題19“我愿意提出和課本上類似的數(shù)學問題”,高達62%的學生選擇了同意或非常同意,這可能是學生數(shù)學問題提出的創(chuàng)新性較差的一個原因.但是,學生很喜歡數(shù)學問題提出的活動.例如,對于觀念問題15“如果數(shù)學課堂能夠給學生提供更多的數(shù)學問題提出活動,那么數(shù)學課堂就會變得更加有趣”,90%的學生選擇了同意或者非常同意.

3.數(shù)學問題提出能力和觀念之間的關系

皮爾遜相關分析表明,首先,學生的數(shù)學問題提出能力和觀念在0.05的顯著性水平上正相關(=0.21,P=0.02);學生的數(shù)學問題提出能力的創(chuàng)新性與數(shù)學問題提出觀念在0.05的顯著性水平上正相關(=0.27,P=0.00).其次,對于數(shù)學問題提出的4個評價維度,創(chuàng)新性分別和變通性(=0.29,P=0.00)和復雜性(=0.40,P=0.00)在0.05的顯著性水平上正相關(研究中只計算了數(shù)學問題提出的變通性,復雜性和創(chuàng)新性之間的相關性,而沒有把正確性包含在內,因為變通性、復雜性和創(chuàng)新性3個維度是以正確性為基礎的,即,只有正確的數(shù)學問題才能評價其變通性、復雜性和創(chuàng)新性).最后,學生的數(shù)學問題提出觀念能夠從很大程度上預測他們的數(shù)學問題提出能力(R=0.21,F=5.47,p=0.02).

五、討論

通過該研究,可以得出,學生傾向于提出一些常規(guī)性的、熟悉的數(shù)學問題,而不擅長提出創(chuàng)新性、復雜性的數(shù)學問題.因此,在日常教學活動過程中,需要教師把培養(yǎng)問題提出能力作為一個重要的教學目標,落實在各學段的課堂教學之中.

首先,教師不僅要提供豐富多彩的數(shù)學情境,激發(fā)學生提出數(shù)學問題的欲望,鼓勵學生提出數(shù)學問題,同時也要教給學生提出數(shù)學問題的一些方法,在學生提出數(shù)學問題的過程中給予一些幫助.例如,在學生提不出數(shù)學問題的時候給學生提供一些例子,在學生總是提出類似的數(shù)學問題的時候,提供學生從另外的角度提問的例子,鼓勵學生對提出的數(shù)學問題進行評價與反思.此外,培養(yǎng)學生提出問題的能力,僅僅依靠課堂教學來促進學生的數(shù)學問題提出能力的提高是不夠的.還需要借助于各類考試對數(shù)學教學的影響作用,即在考試中增加一些數(shù)學問題提出的測試題.當然,在考試中,增加什么形式的數(shù)學問題提出的測試題,還需要進一步研究.

其次,既然數(shù)學問題提出觀念和學生數(shù)學問題提出能力之間存在密切的關系,因此要重視學生的數(shù)學問題提出觀念的培養(yǎng),要讓學生認識到,提出數(shù)學問題和解決數(shù)學問題同等重要.提出一個好的數(shù)學問題也是聰明程度的一個重要的表現(xiàn),同時,要更多地鼓勵學生,樹立學好數(shù)學問題提出的信心.