時間：2023-03-08 15:33:57
序論：在您撰寫大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
在近幾年工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，將大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽融入到數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐中，取得了一定的效果，對于教師和學(xué)生來講，數(shù)學(xué)競賽都是很好的提升機會，從而提高了數(shù)學(xué)課程的整體教學(xué)水平。
大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是由中國數(shù)學(xué)會主辦的一項面向本科生的全國性高水平學(xué)科競賽，目前已成為全國影響最大、參加人數(shù)最多的學(xué)科競賽之一，參加該項賽事使得教師和學(xué)生都受益匪淺，整體提高了教學(xué)水平。在教學(xué)改革的實踐中，除了組織專門的教師團隊輔導(dǎo)學(xué)生參賽，還將數(shù)學(xué)競賽融入到平時的日常教學(xué)中，將競賽培訓(xùn)與日常教學(xué)緊密結(jié)合。
通過大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的平臺，一方面鞏固了學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，激勵了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，加強了學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)了大批的優(yōu)秀數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才。另一方面，競賽為教師提供了教學(xué)交流的良好平臺，促進各高校之間數(shù)學(xué)教學(xué)的溝通，提高了教師的業(yè)務(wù)能力和數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，促進了高等教育學(xué)校數(shù)學(xué)課程建設(shè)的改革。
一、數(shù)學(xué)競賽提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)
全面實施數(shù)學(xué)素質(zhì)教育、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是新時期高校教育的主要任務(wù)之一，其根本途徑之一是重視學(xué)生數(shù)學(xué)基本功的培養(yǎng)。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是夯實數(shù)學(xué)基本功的有效途徑，以賽促學(xué)，在實戰(zhàn)中提升，不僅能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，而且鍛煉了意志品質(zhì)。這對于學(xué)生后繼專業(yè)課程的學(xué)習(xí)也能起到良好的促進作用，同時大大增強了學(xué)生在進修和就業(yè)中的競爭實力。
1.以比賽促進學(xué)習(xí)，激發(fā)興趣和熱情。高等數(shù)學(xué)類課程一貫以其抽象性、枯燥性讓很多學(xué)生望而生畏，在教學(xué)改革的實踐中，教師一直在尋找激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的突破口。高等數(shù)學(xué)競賽就是有效的教育手段之一，很好地培養(yǎng)和激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。自2002年起，浙江省高等數(shù)學(xué)教育研究會開始在全省高校范圍內(nèi)舉辦“浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)(微積分)競賽”，為配合國家級、省級高等數(shù)學(xué)競賽，學(xué)校也舉辦校級高等數(shù)學(xué)競賽，包括高等數(shù)學(xué)競賽的輔導(dǎo)和賽事舉辦。在這個過程中，學(xué)校安排教學(xué)經(jīng)驗豐富的教師對學(xué)生進行競賽輔導(dǎo)。培訓(xùn)中不斷夯實學(xué)生的基礎(chǔ)知識，開闊學(xué)生的視野。
教師選擇一些代表性的內(nèi)容進行深入講解，在一定層面上在提升式的練習(xí)，其中部分競賽中的試題與考研試題非常類似，很多學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性由此被調(diào)動起來。通過參加大學(xué)數(shù)學(xué)競賽，學(xué)生從原來的被動接受數(shù)學(xué)知識變成了積極主動地去探討，學(xué)習(xí)的目標變得很明確，學(xué)生學(xué)習(xí)更加有動力。另外，學(xué)校對獲獎學(xué)生的獎勵政策，也給予了數(shù)學(xué)教學(xué)很大的政策支持。學(xué)生在準備參加賽事的過程中，借競賽的平臺被鼓勵和激勵，提升了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。
2.以實戰(zhàn)促進學(xué)習(xí)，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)能力。高等數(shù)學(xué)類課程除了要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，更重要的職責在于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，即分析問題和解決問題的能力。大學(xué)數(shù)學(xué)競賽對提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力起到了重要的促進作用。在準備競賽的過程中，教師和學(xué)生要重新梳理基本的定義及定理等相關(guān)內(nèi)容，整理知識結(jié)構(gòu)和各種題型相應(yīng)的解題方法、技巧，進行系統(tǒng)的強化練習(xí)和訓(xùn)練。
通過對教學(xué)內(nèi)容的更新和拓展，教學(xué)模式的改變，對原有的教學(xué)方式，從共性問題到個性問題重新進行了板塊式設(shè)計，通過把數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容與習(xí)題課相結(jié)合，傳授科學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本原理，突出數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的思想，使學(xué)生的思維能力得到鍛煉，擴大了學(xué)生的思維空間，提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法靈活運用的能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力上升到一個較高的層面。
參加競賽的同學(xué)，不論是否獲獎，在自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上都有很大的收獲。如果獲獎，學(xué)生會有成功的體驗，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增加了自信心，為之后的深入學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。即使沒獲獎，整個培訓(xùn)過程和學(xué)習(xí)過程也使得學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維得到鍛煉，競賽是一次好的歷練和體驗，是一次鞭策與激勵，為他們下一次的成功打下了堅實的基礎(chǔ)。因此，競賽是檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一次實戰(zhàn)性的機會，很好地鍛煉了學(xué)生的各方面能力。
二、數(shù)學(xué)競賽推動了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作
數(shù)學(xué)競賽不僅為廣大學(xué)生提供了展示自我、鍛煉自我的平臺，同時也為教師們提供了溝通的平臺，有利于促進學(xué)校間的教學(xué)交流，提高整體的教學(xué)水平。各參賽學(xué)校在彼此交流中，相互借鑒成功經(jīng)驗，互通有無。同時，交流也促進各學(xué)校在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的投入力度，在學(xué)校政策支持、師資力量以及教學(xué)方法等方面都有不斷的提升。高等數(shù)學(xué)競賽通過有形和無形的方式，積極地開展高等數(shù)學(xué)教學(xué)方面的學(xué)術(shù)交流，促進了數(shù)學(xué)教學(xué)研究，發(fā)揮了一些獨特的作用。
1.多元教學(xué)手段，促進教學(xué)改革。在數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)的過程中，學(xué)生經(jīng)常會有疑問需要及時解答，這也促進了網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺的快速發(fā)展。除了利用QQ、微信等實時通訊工具進行答疑之外，數(shù)學(xué)競賽促進了網(wǎng)絡(luò)教學(xué)手段的改革。建設(shè)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的網(wǎng)絡(luò)平臺，提供教師之間、師生之間、學(xué)生之間的一個有效交流的平臺，實現(xiàn)學(xué)生間的很好的互助模式。同時，利用豐富的數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)資源等平臺，提高學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力和解決問題的能力，從而實現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)全方面的整體提高。
2.培養(yǎng)人才，探索精英教育的有效途徑。數(shù)學(xué)競賽開闊學(xué)生視野，提高整體學(xué)習(xí)水平，同時也是在教學(xué)中探索精英教育的一個有效實踐。參加高數(shù)競賽的同學(xué)相對來講，要求數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)優(yōu)秀人才，數(shù)學(xué)競賽是一個實踐的契機。例如，在實踐中，建立數(shù)學(xué)實驗班，將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生集中教學(xué)，其目的就是培養(yǎng)和發(fā)掘有潛力的優(yōu)秀學(xué)生。探索新的數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)模式，為培養(yǎng)創(chuàng)新型人才探索一條新的途徑。
3.鍛煉教師，促進教師隊伍的建設(shè)。將數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)融入到日常教學(xué)以及競賽的培訓(xùn)工作都需要教師認真設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，積極探索教學(xué)教改方法，這都激發(fā)了教師教學(xué)改革的熱情，直接提高了數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平和大學(xué)數(shù)學(xué)課教師的數(shù)學(xué)功底和教學(xué)能力，提升公共數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)效果和整體實力。
高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，極大地激發(fā)了教師提高教學(xué)質(zhì)量的熱情，促進了師資隊伍的建設(shè)，從而整體提高了數(shù)學(xué)的教學(xué)水平。同時，數(shù)學(xué)競賽是教學(xué)反饋的機會，通過競賽及時反思教學(xué)，從而促進教師自身提高，促進教學(xué)水平提高。比如，可以根據(jù)競賽反饋以及競賽交流，對數(shù)學(xué)課程的教學(xué)大綱、教學(xué)設(shè)計、課程體系等方面進行再思考，在教學(xué)理念、教學(xué)技能和方法等方面提升，從而不斷探索更加適合的培養(yǎng)模式、課程平臺體系等。
三、具體措施與探索
從第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽開始，為了鼓勵更多青年學(xué)子參與到賽事中，我們從學(xué)校、教師、學(xué)生多個角度實施了具體措施，效果良好。
1.學(xué)校政策大力支持保障競賽良性開展。數(shù)學(xué)類課程是高校大學(xué)生理、工、管各專業(yè)的基礎(chǔ)課程，學(xué)校大力支持學(xué)生參與各類競賽，尤其是大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。學(xué)校在競賽所需的場地、費用、資源等方面都非常支持，對參賽獲獎學(xué)生也有政策支持。學(xué)校相關(guān)部門每年在比賽前期組織競賽培訓(xùn)。整個流程從學(xué)生報名、初賽篩選、競賽培訓(xùn)、到參加比賽，整個過程都有條不紊地進行。
另外，對于在國家級、省級大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中獲獎的同學(xué)都有不同級別的學(xué)分獎勵，這對于學(xué)生在以后的保研、考研、就業(yè)等方面都會有很大的幫助。學(xué)校相關(guān)政策的鼓勵和支持，極大地刺激了學(xué)生參與的積極性。
2.優(yōu)秀的競賽教學(xué)團隊。為了更好地參加數(shù)學(xué)競賽，學(xué)校組建了一支優(yōu)秀的教師培訓(xùn)團隊。培訓(xùn)教師年齡層次合理，教學(xué)經(jīng)驗豐富，分工合作，利用周末等休息時間為學(xué)生進行講解、答疑等輔導(dǎo)工作。
教學(xué)團隊廣泛地查閱相關(guān)的參考書，密切關(guān)注和留意高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的動態(tài)，不斷地自我學(xué)習(xí)，提高教學(xué)能力以及自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)團隊在培訓(xùn)中將競賽與考研相結(jié)合，在培訓(xùn)中不僅注重基礎(chǔ)知識，同時在學(xué)生可接受的范圍內(nèi)不斷提高，研究教學(xué)方法，使得學(xué)生更易于接受和理解。另外，教學(xué)團隊將競賽與平時教學(xué)密切結(jié)合，在教學(xué)中滲透競賽的思想和方法，開闊學(xué)生的視野。
在高等數(shù)學(xué)競賽中取得了一定的成績，但在組織和培訓(xùn)的過程中仍發(fā)現(xiàn)一些不成熟的地方有待改善。比如部分同學(xué)對競賽輔導(dǎo)的依賴性很強，過于看重競賽成績，反而不利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)精神。因此，在教學(xué)實踐中，一是幫助學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度，不以考試和競賽為學(xué)習(xí)目的，樹立良好的價值觀。
引導(dǎo)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)的首要目的并不是為了獲獎，而是為了能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更好地奠定學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)思維。高等數(shù)學(xué)競賽是推動高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究，促進教學(xué)經(jīng)驗交流，推廣教學(xué)研究成果，探索提高教學(xué)改革，積累資源的共享平臺。對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力都有很大的幫助。對于教師提升自身教學(xué)素養(yǎng)、促進交流協(xié)作、提高整體教學(xué)質(zhì)量都有積極的作用。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)競賽；數(shù)學(xué)分析；高等代數(shù)；解析幾何
1.引 言
全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是一項面向本科生的全國性高水平學(xué)科競賽，以激勵大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新型人才為目的.從2009年開始舉辦，每屆初賽定在當年10月底，復(fù)賽定于次年3月，參賽人數(shù)逐年上升，已成為全國大學(xué)生中最具影響力的賽事之一.
本文針對這幾屆的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題（數(shù)學(xué)類）做了一些歸納、分析，并通過例子對解題方法進行一些總結(jié).
2.競賽題目分析
通過對2009年以來初賽及復(fù)賽的競賽題進行分析，我們看出競賽題主要包含數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何三門課程，其中數(shù)學(xué)分析的比重50%，高等代數(shù)的比重35%，解析幾何的比重15%，具體內(nèi)容如下：
涉及數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容主要包含一元函數(shù)、多元函數(shù)及級數(shù)等，具體有：利用Taylor公式求變限積分的極限，將微分中值定理應(yīng)用在確定函數(shù)或函數(shù)列零點等問題上，利用構(gòu)造連續(xù)函數(shù)的方法來證明推廣的微積分學(xué)基本定理，導(dǎo)函數(shù)的介值性在不等式方面的應(yīng)用，利用比較法則或被積函數(shù)的單調(diào)性討論反常積分的斂散性或反常積分的極限等問題，利用平均值不等式、Schwarz不等式、被積函數(shù)的單調(diào)性、變限積分等來證明積分不等式或反常積分不等式，用一元凸函數(shù)的連續(xù)性判斷二元函數(shù)的連續(xù)性，用Hesses矩陣求二元函數(shù)極值問題，將三元函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極值問題，用Green公式、坐標變換、冪級數(shù)展開等計算二重積分，用迫斂性及平均值不等式求數(shù)列極限，構(gòu)造條件收斂的數(shù)項級數(shù)使其收斂于任何指定的數(shù)，利用Cauchy收斂準則判斷函數(shù)列一致收斂，利用函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性討論和函數(shù)的性質(zhì)，利用冪級數(shù)展式求數(shù)項級數(shù)的和等內(nèi)容.
涉及高等代數(shù)的內(nèi)容主要包含矩陣、線性空間與線性變換、線性函數(shù)等，具體有：利用列相等證明矩陣的相等，利用正定矩陣性質(zhì)來討論半正定矩陣同時對角化，利用Jordan標準型判斷矩陣方程是否有解，利用矩陣相似、合同的性質(zhì)求解矩陣中未知量，利用不變子空間證明矩陣相似于由可逆矩陣和冪零矩陣構(gòu)成的準對角矩陣，利用矩陣乘積AB與BA的非零特征值不變求解未知矩陣，利用多項式的性質(zhì)證明矩陣相似不會因數(shù)域的變化而改變，利用不變子空間來研究線性變換的特征值及特征向量，通過選取一組基來確定空間維數(shù)及線性變換可對角化，利用矩陣的跡推導(dǎo)線性變換的跡及其性質(zhì)，線性函數(shù)轉(zhuǎn)化成方程組利用子空間的直和證明等式，利用雙線性函數(shù)是跡的應(yīng)用，利用線性函數(shù)的對偶基來證明所給定矩陣為數(shù)量矩陣.
涉及解析幾何的內(nèi)容主要包含空間直線及曲面方程等，具體有：利用向量垂直之間的關(guān)系確定直線方程，確定圓柱的軸線，從而確定圓柱面的方程，一條直線繞另一點旋轉(zhuǎn)形成曲面的可能情形，給定曲面上的一些點判斷曲面的類型，利用過原點的求解截線為圓周的平面方程，利用直線的參數(shù)方程求解錐面方程，給定四個點利用球面的一般方程求解球面方程.
通過競賽題所涉及知識分析看出，競賽題目基本沒有超出這三門課程通常教材范圍，但是競賽分數(shù)卻不是太高，是何原因呢？我們認為可能，由于學(xué)生掌握的基本知識不夠扎實，缺少一些獨立思考，還有知識間的聯(lián)系與運用不太熟悉.因此，我們應(yīng)該在平時的學(xué)習(xí)中首先要從基礎(chǔ)抓起，做到?jīng)]有不熟悉的知識點，理解并掌握每個定義、定理的證明及應(yīng)用.其次建立知識框架，明晰知識之間的關(guān)系，以及知識在學(xué)科之間重合的部分，需要著重把握.最后我們應(yīng)該通過做一些綜合性比較強的題目，來熟練使用知識點，培養(yǎng)獨立思考、分析問題的能力，還要學(xué)習(xí)一些解題技巧，從而提高數(shù)學(xué)思維，這樣可以更好地提高處理問題的能力.
【關(guān)鍵詞】大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽；矩陣；矩陣方程；特征值
【中圖分類號】O151.2【文獻標識碼】C
【基金項目】河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計劃項目（2014GGJS-193）
一、引言
2015年第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（數(shù)學(xué)類）預(yù)賽試題第三大題：
設(shè)A為n階實方陣，其n個特征值皆為偶數(shù).試證明關(guān)于X的矩陣方程X+AX-XA2=0只有零解.
證明如下.
設(shè)C=I+A，B=A2，A的n個特征值為λ1，λ2，…，λn，則B的n個特征值為λ21，λ22，…，λ2n；
C的n個特征值為μ1=λ1+1，μ2=λ2+1，…，μn=λn+1；C的特征多項式為pC（λ）=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μn）.
若X為X+AX-XA2=0的解，則有CX=XB；進而C2X=XB2，…，CkX=XBk，…，結(jié)果0=pC（C）X=XpC（B）=X（B-μ1I）…（B-μnI）.注意到B的n個特征值皆為偶數(shù)，而C的n個特征值皆為奇數(shù)，故（B-μ1I），…，（B-μnI）皆為可逆矩陣，結(jié)果由0=X（B-μ1I）…（B-μnI）立得X=0.
受此啟發(fā)，考慮一般的問題：方陣A與B滿足什么條件時，關(guān)于X的矩陣方程AX=XB只有零解.
二、主要結(jié)論
定義1設(shè)A∈Pn×n，λ∈P，如果存在X∈Pn且X≠0，使AX=λX，則稱λ是矩陣A的一個特征值，稱X是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量.
定義2設(shè)A∈Pn×n，λ∈P.矩陣λE-A的行列式
|λE-A|=λ-a11λ-a12…λ-a1n
λ-a21λ-a22…λ-a2n
λ-an1λ-an2…λ-ann
稱為矩陣A的特征多項式，記為fA（λ）.
注fA（λ）是一個關(guān)于λ的n次多項式，其在P中的根即為矩陣A的全部特征值.
引理1[哈密頓-凱萊（Hamilton-Caylay）定理]設(shè)A∈Pn×n，fA（λ）=|λE-A|是矩陣A的特征多項式，則
fA（A）=An-（a11+a22+…+ann）An-1+…+（-1）n|A|E=0.
注這表明矩陣A的特征多項式是矩陣A的零化多項式.
引理2設(shè)A∈Cn×n，B∈Cm×m，則fA（B）（fB（A））是m階（n階）可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無公共特征值.
證設(shè)A的n個特征值為λ1，λ2，…，λn，B的m個特征值為μ1，μ2，…，μm，則
fA（λ）=|λE-A|n=（λ-λ1）（λ-λ2）…（λ-λn），
fB（λ）=|λE-B|m=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μm），
于是，fA（B）=（B-λ1E）（B-λ2E）…（B-λnE）.
注意到對任意1≤k≤n，有
|B-λkE|m=（-1）m|λkE-B|m=（-1）mfB（λk）=（-1）m（λk-μ1）…（λk-μm）=（-1）m∏mj=1（λk-μj），
故|fA（B）|m=|B-λ1E||B-λ2E|…|B-λnE|=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）.
因此，若fA（B）可逆，則
|fA（B）|m=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）≠0，
于是λi≠μj（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），從而矩陣A與B無公共特征值；反之亦真.
同理可證fB（A）是n階可逆矩陣的充分必要條件是矩陣A與B無公共特征值.（證完）
定理1設(shè)A∈Cn×n，B∈Cm×m，A與B無公共特征值，則矩陣方程AX=XB只有零解，其中X是n×m矩陣.
首先，X=0是AX=XB的一個解.其次，設(shè)X=X0是AX=XB的任一解，tAX0=X0B，于是A2X0=A（AX0）=A（X0B）=（X0B）B=X0B2，進而A3X0=X0B3，…，AkX0=X0Bk，…，（k∈N）.注意到A的特征多項式fA（λ）=λn+∑nk=1（-1）kbkλn-k，其中bk（k=1，2，…，n）是A的所有k階主子式之和，于是有fA（A）X0=X0fA（B）.
由引理1知fA（A）=0，則X0fA（B）=0，又A與B無公共特征值，則由引理2知fA（B）是m階可逆矩陣，于是X0=0.因此，矩陣方程AX=XB只有零解.（證完）
三、應(yīng)用
解決第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（數(shù)學(xué)類）預(yù)賽試題第三大題.
數(shù)學(xué)競賽按專業(yè)性質(zhì)分為數(shù)學(xué)專業(yè)與非數(shù)學(xué)專業(yè)兩類。數(shù)學(xué)專業(yè)預(yù)賽與決賽內(nèi)容主要包括:《數(shù)學(xué)分析》,《高等代數(shù)》與《解析幾何》三門課程中的內(nèi)容。非數(shù)學(xué)專業(yè)預(yù)賽內(nèi)容則主要是:《工科高等數(shù)學(xué)》中的內(nèi)容。但從第五屆開始，初賽內(nèi)容不變，決賽內(nèi)容將有所增加。
參加第四屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的預(yù)報名人數(shù)達到46708人，其中非數(shù)學(xué)專業(yè)35502人，數(shù)學(xué)專業(yè)11206人。目前已成為影響范圍較廣、參加人數(shù)較多的國家級學(xué)科競賽。筆者相信在未來的幾年中，預(yù)報名人數(shù)還會持續(xù)增長，這門學(xué)科競賽的影響力也會越來越大，在全國本科院校中得以普及。
本文所要闡述的是如何在普通高校本科生中建立一個長效機制來開展大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。包括如何穩(wěn)固參加預(yù)賽的人數(shù)、制定合理有效的培訓(xùn)內(nèi)容、師資隊伍的建設(shè)以及經(jīng)費來源等。
1普通高校開展數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)的必要與可行性分析
在高科技產(chǎn)品日新月異的信息時代，筆者認為:數(shù)學(xué)是科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必備技術(shù)工具，是各門學(xué)科發(fā)展的基礎(chǔ)和升華。因此數(shù)學(xué)教育在現(xiàn)化教育中所占據(jù)地位舉足輕重。數(shù)學(xué)競賽的舉辦和發(fā)展為數(shù)學(xué)教育增添了新的活力，提供了新的契機，發(fā)掘了新的人才。從微觀角度來說，為了提高學(xué)生的創(chuàng)新思維和發(fā)散性思維，在數(shù)學(xué)競賽前進行培訓(xùn)顯得尤為重要。從宏觀角度來說，賽前培訓(xùn)對推進教學(xué)改革和提高教學(xué)質(zhì)量，有著多方而的積極意義。應(yīng)與課堂教學(xué)相互配合，相互滲透，但又有著課堂教學(xué)所無法代替的重要作用。
首先，數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)能夠鞏固學(xué)生在課內(nèi)所學(xué)的知識、擴大學(xué)生的視野、拓寬解題思路、增強邏輯推理能力以及解題和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力;其次，數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)能夠幫助學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法，促使大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更好地進行;再次，數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)對提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促進思維能力發(fā)展，增強探索精神和創(chuàng)新才能皆有促進作用;最后，數(shù)學(xué)競賽在發(fā)現(xiàn)和發(fā)揮大學(xué)生的特長，選拔和培養(yǎng)具有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生等方而也有著積極的意義。 參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽除了上述的必要條件之外，還需具備四個充分條件:如何穩(wěn)固參加預(yù)賽的人數(shù)、制定合理有效的培訓(xùn)內(nèi)容、師資隊伍的建設(shè)以及經(jīng)費來源等。首先，如何有效地組織大學(xué)生參加競賽，可謂是四個條件中最重要的一項，也是下一節(jié)筆者所研究的重點;另外，作為數(shù)學(xué)競賽的主要內(nèi)容:《高等數(shù)學(xué)》是工科類學(xué)生必修的基礎(chǔ)理論課，《數(shù)學(xué)分析》, 《高等代數(shù)》,《解析幾何》等課程是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課。這些是數(shù)學(xué)競賽得以順利開展的基礎(chǔ)。第三，調(diào)動部分高校專仟的數(shù)學(xué)教師組成競賽培訓(xùn)團隊也是一項重要的環(huán)節(jié)，筆者將會在第三節(jié)做詳細的研究。最后是競賽活動經(jīng)費，筆者認為可以從以下三個方而獲得:第一方而，每所高校都會有專項的創(chuàng)新活經(jīng)費，可以從此項經(jīng)費中申請一部分;第二方而，各賽區(qū)的主辦方會拔給每個學(xué)校一些經(jīng)費;第三方而，適當?shù)叵騾⒓优嘤?xùn)的學(xué)生收取(或變相地收取)一部分。這些經(jīng)費主要用于:參加競賽的學(xué)生報名費、培訓(xùn)教師的課時費和學(xué)生競賽時的考試相關(guān)費用等。
基于上述分析，在普通高校開展數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)以及組織學(xué)生參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽是完全可行的并具有實際意義的。
2普通高校學(xué)生現(xiàn)狀分析
為了吸引、鼓勵更多的學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽活動，必須先了解現(xiàn)在普通高校本科生的生源現(xiàn)狀及其學(xué)習(xí)狀態(tài)。不得不承認，全國高校自擴招以來，普通高校大學(xué)生的質(zhì)量普遍下降。主要原因有兩個:一是大學(xué)的教育已由精英式轉(zhuǎn)為大眾式;二是隨著擴招的進行，大多數(shù)優(yōu)質(zhì)生源進入了985或211這樣的重點高校，這樣就導(dǎo)致普通高校中的優(yōu)質(zhì)生源比例相對減少。
限于優(yōu)質(zhì)生源比例小的問題，再加上數(shù)學(xué)理論繁雜與深奧，學(xué)習(xí)起來困難重重，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時會產(chǎn)生為難情緒從而心生畏懼。還有小部分的學(xué)生在進校時數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就比較差，(或由此產(chǎn)生的)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性很低。還有一部分學(xué)生認為數(shù)學(xué)無實際用途，從主觀上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣消極?；谝陨蠋c原因加上一些來自普通高校教學(xué)條件的限制，很多大學(xué)生的實際數(shù)學(xué)水平較低，所引發(fā)的直接結(jié)果就是學(xué)習(xí)成績下降、考試分數(shù)偏低、補考人數(shù)增多，更有甚者一些學(xué)生因為數(shù)學(xué)不及格而無法畢業(yè)。
現(xiàn)階段普通高校多數(shù)強調(diào)實踐，所以在大學(xué)一、二年級基礎(chǔ)階段會大量調(diào)減理論課時，特別是有關(guān)數(shù)學(xué)的理論課程。這樣就導(dǎo)致了教師在上課時會對課程進行調(diào)整，例如內(nèi)容增加、進度加快等等。數(shù)學(xué)課中部分核心內(nèi)容由于難以理解，權(quán)衡之下只好放棄。因課時問題，數(shù)學(xué)習(xí)題課早已名存實亡。關(guān)于這一點在文中筆者會有詳盡的論述。一些普通高校強調(diào)少講精講，但數(shù)學(xué)本身就是一門高深抽象的學(xué)科，沒有理論基礎(chǔ)實踐就無從說起。一些內(nèi)容略講或是不講，都有可能在學(xué)生在今后的實際應(yīng)用中造成影響。但即使知道刪減理論會有諸多的弊病，許多普通高校還是在課程中減少了很多的數(shù)學(xué)內(nèi)容。
多數(shù)普通高校的本科學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容少，而且掌握的不扎實不牢固。這一點與數(shù)學(xué)競賽產(chǎn)生了嚴重的予盾。那么哪些學(xué)生適合參加數(shù)學(xué)競賽呢?筆者認為有兩類學(xué)生比較合適一類是自主學(xué)習(xí)能力強，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實，對數(shù)學(xué)非常感興趣的學(xué)生;另一類就是考研的學(xué)生。這兩部分學(xué)生對數(shù)學(xué)的求知欲望非常強烈，因此成為是參加數(shù)學(xué)競賽的主力軍。
3穩(wěn)固參賽學(xué)生群體策略
據(jù)調(diào)查顯示，有的普通高校因為這個問題而放棄參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。即便參加人數(shù)也少的可憐，以我校為例，我校于2011年第一次參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，當時僅有一個非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生參加了競賽，其余29名數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也是被志愿的。為了保障全國性的數(shù)學(xué)競賽活動在我校順利開展，我校實行了以利益驅(qū)動的辦法。使學(xué)生有兩方而的既得利益:選修學(xué)分和考研輔導(dǎo)。
為了穩(wěn)固參賽學(xué)生的群體，我校主要從以下三方而開展了工作。
3. 1有效宣傳
根據(jù)經(jīng)驗，通過學(xué)生(或輔導(dǎo)員)在學(xué)生中進行數(shù)學(xué)競賽宣傳以及在學(xué)生中發(fā)放宣傳小冊子的方法收效甚微。為了能夠在學(xué)生中得到有效的宣傳，我院在大一的第二學(xué)期末，由《高等數(shù)學(xué)》任課教師負責向自己的任課班級做大量宣傳，向?qū)W生講清楚參加數(shù)學(xué)競賽所能獲得的利益，通過自愿報名的方式鼓勵學(xué)生積極參與。
3. 2設(shè)立選修課
為能夠順利進行數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)培訓(xùn)，我們開設(shè)兩門40學(xué)時的選修課《高等數(shù)學(xué)選修》與《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研修》(這兩門課程的學(xué)分均為2學(xué)分，他們的本質(zhì)是數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)課程)。這樣我們就解決了培訓(xùn)的時間與教室的安排問題(當然，我們可以給教務(wù)部門一些時間安排上的建議)。由于大學(xué)生在大學(xué)期間要修滿一定的選修學(xué)分，所以這兩門課程的開設(shè)對學(xué)生是有一定吸引力的。另外，培訓(xùn)內(nèi)容要盡可能讓學(xué)生理解。如果內(nèi)容難度過大，就會造成多數(shù)學(xué)生在課堂的注意力不集中，甚至來上課僅僅是為了走形式。這樣就達不到吸引學(xué)生參加競賽的目的。總的來說，就是用選修課的學(xué)分來吸引學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，在學(xué)生能夠接受的基礎(chǔ)之上對其加以培訓(xùn)，并弱化對選修課的考核。提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)信心，自主自愿報名參加數(shù)學(xué)競賽。
考慮到普通高校的教學(xué)內(nèi)容(無論是專業(yè)的還是非專業(yè)的)無法滿足競賽的要求，而且還有一小部分競賽內(nèi)容不在工科教學(xué)大綱的范圍內(nèi)。我校選擇了開設(shè)《高等數(shù)學(xué)選修》、《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研修》兩門選修課《高等數(shù)學(xué)選修》是為參加數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽的工科類學(xué)生準備的《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研修》是為專業(yè)類的本科學(xué)生而開設(shè)的。這兩門選修課的授課內(nèi)容嚴格遵從《中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽大綱》的要求。對提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)是有百利而無一害的。
3. 3考研輔導(dǎo)
數(shù)學(xué)競賽的難度大大超過了考研數(shù)學(xué)的難度，為了吸引更多考研的學(xué)生，我們的輔導(dǎo)以考研數(shù)學(xué)的難度為基礎(chǔ)的。讓學(xué)生在參賽的同時得到專業(yè)教師的考研輔導(dǎo)，加大學(xué)生對競賽的興趣。競賽輔導(dǎo)的基礎(chǔ)目標是考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)，重要目標是數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)。我們的輔導(dǎo)內(nèi)容遵從競賽大綱、以歷年考研真題結(jié)合歷年的競賽真題的解題技巧制定講授內(nèi)容。這樣既能得學(xué)分，又能得到考研數(shù)學(xué)的輔導(dǎo)，在幫助考研學(xué)生的同時也達到了穩(wěn)定參加數(shù)學(xué)競賽人數(shù)的目的。
筆者認為上述條件能夠吸引很大一批學(xué)生選修《高等數(shù)學(xué)選修》與《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研修》?？焖贁U大數(shù)學(xué)競賽在學(xué)生中的影響。一方而學(xué)生會因為選修學(xué)分易得而在學(xué)生群體廣泛宣傳;另一方而學(xué)生會因為能滿足自己的求知欲望而踴躍報名，還有一些學(xué)生會因能得到免費的考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)而進行宣傳。在參加競賽培訓(xùn)的人數(shù)得以保障的情況想，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中選擇一些較好的參加競賽，這樣就能夠提高獲獎率，也可以減少一些費用(比如報名費、考務(wù)費等)。
另外，我校的學(xué)生在數(shù)學(xué)競賽中獲得的獎項，在物質(zhì)上是沒有任何獎勵的。不過，按獲得的獎項的等級不同會獎勵不同的創(chuàng)新學(xué)分，創(chuàng)新學(xué)分可作為選修學(xué)分。比如，在初賽中獲得國家一等獎，會得5個創(chuàng)新學(xué)分;二等獎，4個創(chuàng)新學(xué)分，依次類推。在決賽中獲得獎項，在我校還從未有過，但筆者相信通過我校師生的共同努力，在不遠的將來一定會實現(xiàn)這個夢想。
4建立一支德能兼?zhèn)涞呐嘤?xùn)團隊
為了能夠更好地讓學(xué)生適應(yīng)競賽試題題型，組建一支具有奉獻精神和敬業(yè)精神的培訓(xùn)教師團隊是關(guān)鍵。組建這樣的隊伍需要兩個條件。首先，培訓(xùn)教師雖然不計報酬但不能沒有報酬，否則會使培訓(xùn)的教師缺乏教學(xué)興趣。由于我校的數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)是以選修課的形式進行教學(xué)的，故大部分的報酬是由學(xué)校以課時費的形式來支付的。但是與培訓(xùn)教師花費大量時間和精力進行試題和教法的研究相比，他們所得的課時費與付出是無法成正比的。其次，大學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)可以看作我們?nèi)粘＝虒W(xué)的有益補充。培訓(xùn)教師必須有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教學(xué)方法，在解題能力和表達能力有較高的水平。同時，還要求培訓(xùn)教師廣泛地查閱課外參考書、新近的考研參考書和各省市及國家的數(shù)學(xué)競賽試卷等?？梢哉f培訓(xùn)團隊業(yè)務(wù)水平及敬業(yè)精神的高低直接決定著數(shù)學(xué)競賽成績的好壞。
以我校為例數(shù)學(xué)專業(yè)的培訓(xùn)團隊有五人，非數(shù)學(xué)專業(yè)的團隊有四人。他們每人分別負責一部分內(nèi)容。大家的同感是:任何一門課程的全部培訓(xùn)內(nèi)容由一人完成幾乎是不可能的，競賽培訓(xùn)備課所需的時間與精力不是正常課程備課所能比擬的。甚至，有時我們在一學(xué)時的時間里只能講解一道例題，不是我們的培訓(xùn)教師沒有能力，而是我們在將知識教授給學(xué)生們的同時還要保證學(xué)生能順利消化，扎實的掌握解題技巧。
據(jù)筆者調(diào)查，各普通高校很少有專門的數(shù)學(xué)教師來輔導(dǎo)將要考研學(xué)生的數(shù)學(xué)知識。由于數(shù)學(xué)競賽的難易程度在考研數(shù)學(xué)的難度之上，故數(shù)學(xué)競賽的培訓(xùn)教師完全勝任考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)。這樣一個專門的考研輔導(dǎo)團隊是學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)和所有將要考研的學(xué)生非常期待的。所以將考研團隊與數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)團隊融為一體，從各個角度上看都是可以實現(xiàn)的，也是具有現(xiàn)實意義的。
5 結(jié)語
【Key words】The chinese mathematics competitions； Training mode； Innovation
全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽自2009年舉辦以來，已連續(xù)開展了六屆，全國26個?。▍^(qū)、市）的數(shù)百所大學(xué)組織了學(xué)生參賽。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽作為一項面向本科生的全國性高水平學(xué)科競賽，為大學(xué)生提供了一個展示數(shù)學(xué)基本功和數(shù)學(xué)思維的舞臺，激勵了大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此，根據(jù)學(xué)校及學(xué)生的實際情況，探討合理、高效、系統(tǒng)的競賽培訓(xùn)方式有利于提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平和推動高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革建設(shè)。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（下文中簡稱數(shù)學(xué)競賽）分為數(shù)學(xué)專業(yè)組和非數(shù)學(xué)專業(yè)組，本文主要探討本科層次第二批次招生的理工科學(xué)校非數(shù)學(xué)專業(yè)的競賽培訓(xùn)模式。
1 培訓(xùn)方式的改進與交流平臺的建立
1.1 實現(xiàn)培訓(xùn)方式式的多樣化
傳統(tǒng)的教學(xué)與培訓(xùn)是指導(dǎo)教師課堂講授、學(xué)生被動接受為主的方式，在此培訓(xùn)方式下，學(xué)生需在較短時間內(nèi)接受、理解大量的信息，難度高，強度大，因此很難達到良好的培訓(xùn)效果。要達到良好的培訓(xùn)效果必須以本著以學(xué)生為主體[1]的原則實現(xiàn)培訓(xùn)方式的多樣化。
除了指導(dǎo)教師講授，學(xué)生聽課的培訓(xùn)模式外，可采用的培訓(xùn)方式有：（1）學(xué)生分組討論，指導(dǎo)老師可先將同一類型的題目分發(fā)至各個小組，各小組組織時間做題，將做題結(jié)果交回給指導(dǎo)老師，指導(dǎo)老師進行匯總講解；（2）學(xué)生自己講解題目，將題目指派到學(xué)生名下，課堂培訓(xùn)時由學(xué)生自己講解其解題思路，再由老師點評更正；（3）對基礎(chǔ)扎實，反應(yīng)較快的同學(xué)增加額外的培訓(xùn)時間，由指導(dǎo)老師引導(dǎo)，組織小班討論、講解；（4） 定期進行測試，請成績優(yōu)秀的同學(xué)與其他師生一起分享解題心得。
1.2 建立良好、高效的交流平臺
良好、高效的交流有利于問題的解決，有利于促進學(xué)生之間、師生之間的相互學(xué)習(xí)[2]。可創(chuàng)建數(shù)學(xué)競賽的QQ群作為交流平臺，要求所有指導(dǎo)老師與參賽學(xué)生都加入該群，學(xué)生可按年級或?qū)I(yè)自行組成討論小組。指導(dǎo)老師與學(xué)生都可將相關(guān)的資料上傳至QQ共享，供大家下載、學(xué)習(xí)。一方面，學(xué)生在課堂聽課之外有相應(yīng)的習(xí)題供其練習(xí)與鞏固，對于課堂以及練習(xí)中遇到疑問，學(xué)生在自主思考之后也未能解決的情況下與老師進行溝通，及時地解決了疑問。另一方面，學(xué)生將待解決的題目發(fā)至對話區(qū)，所有學(xué)生及老師均可對題目發(fā)表自己的觀點，在討論的過程中去尋找解題思路，這讓所有參與討論的人都深刻體會到別人從什么角度去思考解決同樣的問題，讓所有學(xué)生與老師都受益匪淺。
2 培訓(xùn)計劃的制定與競賽梯隊的形成
2.1 制定循序漸進的培訓(xùn)計劃
單一的賽前集中培訓(xùn)要求學(xué)生能在短時間內(nèi)理解、消化大量的信息，可能導(dǎo)致一部分學(xué)生因跟不上進度而中途退出，因此制定循序漸進的培訓(xùn)計劃能保障培訓(xùn)夠順利進行。培訓(xùn)可分為三個步驟：步驟一，入門培訓(xùn)。這一步驟可在學(xué)年的第一學(xué)期進行，對高數(shù)進行系統(tǒng)復(fù)習(xí)與知識點補充，并從課本和考研題中選取難度適中的題目作為練習(xí)題。步驟二，強化訓(xùn)練。這一步驟可在暑期時進行，內(nèi)容為中等難度的競賽題。步驟三，模擬沖刺。這一步驟在學(xué)年的第二學(xué)期數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽前進行，指導(dǎo)教師先將模擬試題上傳至QQ共享，由學(xué)生先自行測驗，之后再在培訓(xùn)時講解。也可讓學(xué)生講解自己的思路和看法，形成良好的交流、探討氛圍。通過入門、強化與沖刺這三個階段，學(xué)生洞察題意和解決問題的能力會有較大的提高。
2.2 實現(xiàn)分層培訓(xùn)，形成持續(xù)的競賽梯隊
參賽學(xué)生大致可分為三個層次：初次參加競賽的大二學(xué)生；已參加過1～2次競賽的學(xué)生；備戰(zhàn)考研的學(xué)生。各年的參賽結(jié)果表明獲獎的選手多為已參加過數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生及備戰(zhàn)考研的學(xué)生，因此根據(jù)學(xué)生的情況實行分層培訓(xùn)可使培訓(xùn)更高效、更合理。對初次參加競賽的大二學(xué)可從教材中的難題為起點，逐步加大題目難度對其進行培訓(xùn)；對已參加過1～2次競賽的學(xué)生可適當復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識，針對各知識點講授新的題目；對備戰(zhàn)考研的學(xué)生可不講解基礎(chǔ)知識，重點講解考研題目，在此基礎(chǔ)之上加入競賽題目。
如何吸引更多優(yōu)秀的大學(xué)生參與到競賽中來并形成持續(xù)的競賽梯隊是競賽的主辦方和參賽學(xué)校都關(guān)注的問題。可通過下述途徑解決該問題：（1）做好數(shù)學(xué)競賽的宣傳工作：通過賽前動員、賽后總結(jié)表彰及獲獎選手報告參賽經(jīng)驗等一系列活動擴大數(shù)學(xué)競賽的影響，讓學(xué)生充分了解競賽的宗旨、形式與作用。（2）將競賽培訓(xùn)設(shè)置為選修課程，獲獎選手除獲獎勵之外還可獲得相應(yīng)的興趣學(xué)分。（3）將輔助考研學(xué)生作為競賽培訓(xùn)的機能之一，通過針對性強的培訓(xùn)提高考研學(xué)生的考研成績，為數(shù)學(xué)競賽與競賽培訓(xùn)建立良好形象。
3 培訓(xùn)資料的收集與整理
以往幾屆的競賽試題無固定的規(guī)律和模式，題目靈活機動，綜合性強，難度較大。提高學(xué)生競賽成績的有效方法之一就是讓學(xué)生接觸各種類型、各個層次的題目，掌握一定的做題技巧，增強學(xué)生的應(yīng)變能力，所以培訓(xùn)資料的收集與整理尤為重要。全國各地區(qū)或高校的數(shù)學(xué)競賽試題、考研試題以及往屆數(shù)學(xué)競賽的試題均可作為培訓(xùn)材料?？筛鶕?jù)題型、難度對這些試題進行分類、排序，使學(xué)生盡可能多地接觸各類題型，循序漸進地掌握好各類題型的解決方法。另外，也可從《數(shù)學(xué)分析》、《常微分方程》、《空間解析幾何》等數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)書中選取與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系較密切的知識點，作為培訓(xùn)資料的一部分在培訓(xùn)時補充講解，以拓寬學(xué)生的知識面，提高學(xué)生的解題能力。
4 競賽培訓(xùn)與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的緊密結(jié)合
對于本科層次第二批次招生的理工科學(xué)校而言，高等數(shù)學(xué)與其大多數(shù)專業(yè)的后續(xù)課程聯(lián)系緊密[3]，因此這些學(xué)校均十分重視高等數(shù)學(xué)的教學(xué)。但是近年來，高校招生人數(shù)不斷擴大，大學(xué)生總體入學(xué)水準和綜合素質(zhì)都不甚理想。因此授課教師在教授高等數(shù)學(xué)時更側(cè)重于講解基本的計算，而忽略了學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)修養(yǎng)的培養(yǎng)，這限制了綜合素質(zhì)較強的學(xué)生的發(fā)展。競賽培訓(xùn)與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的緊密結(jié)合，可彌補日常教學(xué)中的不足，挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)潛能，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才。
競賽的指導(dǎo)老師應(yīng)承擔高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)工作，并要對于非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況和各章節(jié)應(yīng)補充加強的知識點有較深入的了解?？稍谌粘＝虒W(xué)中選出需補充加深的知識點并尋找相應(yīng)的練習(xí)題，經(jīng)指導(dǎo)組成員討論、篩選后確定具體內(nèi)容，在入門培訓(xùn)階段補充講解。實踐表明好學(xué)的學(xué)生對補充的知識點非常感興趣，會在課后積極提問，也會主動完成相應(yīng)的練習(xí)題。競賽培訓(xùn)與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的緊密結(jié)合鞏固了學(xué)生的基礎(chǔ)知識，激勵了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，充分地體現(xiàn)和詮釋了數(shù)學(xué)競賽的宗旨。
1.1 賽事目標
全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，又稱為中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（后面簡稱競賽），是中國數(shù)學(xué)會面向本科生舉辦的一項全國性高水平學(xué)科競賽，旨在發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，促進高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，增加大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)分析、解決問題的能力，為青年學(xué)子提供一個展示基礎(chǔ)知識和思維能力的舞臺。
1.2 競賽內(nèi)容
賽事包括預(yù)賽和決賽兩部分，按專業(yè)性質(zhì)又分為數(shù)學(xué)專業(yè)和非數(shù)學(xué)專業(yè)兩類。參賽對象均為大學(xué)本科二年級及以上的在校大學(xué)生。其中數(shù)學(xué)專業(yè)類考查數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何三門課程，而非數(shù)學(xué)專業(yè)類是面向工科類專業(yè)學(xué)生設(shè)置的，預(yù)賽考查的主要內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)，決賽從第五屆開始增加了線性代數(shù)部分。
1.3 賽事現(xiàn)狀
自2009年開始，每年一屆，一般安排在10月份的最后一??周六舉行。競賽由中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會舉辦，不同高校承辦。截止2016年，該賽事已成功舉辦了8屆，來自全國幾百所本科院校的數(shù)十萬學(xué)生參加了該項競賽，成為影響力最大、參賽人數(shù)最多的高校學(xué)科競賽之一。
1.4 賽事作用
競賽試題一般都具有綜合性、技巧性、探究性、開放性等特點，通常需要采用非常規(guī)的解題方法，答案可能也并不唯一。因此，競賽更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識，嘗試進行多角度、全方位的思考，推動思維創(chuàng)新。學(xué)生在參賽的過程中，會系統(tǒng)的梳理所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與解題技巧，加深對數(shù)學(xué)概念、定理的本質(zhì)的理解和認識，邏輯思維、抽象思維、發(fā)散思維和創(chuàng)新思維都會有一定地提高，有利于學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。
2 賽事組織
2.1 尋求政策支持
學(xué)校政策支持是競賽培訓(xùn)工作長期開展的重要保障。我校非常重視包括學(xué)科競賽在內(nèi)的第二課堂建設(shè)，將第二課堂活動納入人才培養(yǎng)方案，制定第二課堂活動學(xué)分管理辦法及指導(dǎo)教師獎勵辦法等措施。在學(xué)校第二課堂專項活動經(jīng)費的支持下，各系積極組織師資力量，培訓(xùn)學(xué)生參加各類學(xué)科專業(yè)競賽。包括大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽、數(shù)學(xué)建模競賽在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)科競賽培訓(xùn)工作也得到了全面開展。
2.2 建設(shè)輔導(dǎo)團隊
輔導(dǎo)教師團隊是競賽培訓(xùn)工作順利實施的前提條件。大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)不僅需要輔導(dǎo)教師具有高等數(shù)學(xué)相關(guān)課程的教學(xué)經(jīng)驗，還需要投入大量的精力，查閱課外參考書、各省市及其他國家的數(shù)學(xué)競賽試題等，進行試題分析和教法研究。此外，由于競賽培訓(xùn)必須在學(xué)生的課余時間進行，一般都安排在晚上、周末或者假期，需要輔導(dǎo)教師犧牲大量休息時間，具有奉獻精神。我校數(shù)理系于2010年成立了數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)團隊，目前共有6位輔導(dǎo)教師。
2.3 建設(shè)交流平臺
由于非數(shù)學(xué)專業(yè)類的參賽學(xué)生都是來自不同的專業(yè)、不同的年級，因此在宣傳動員、聯(lián)系溝通、組織管理的難度上比數(shù)學(xué)專業(yè)類的學(xué)生要困難很多。為此，我們在系部網(wǎng)站首頁、我校大學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新平臺首頁都設(shè)置了競賽天地版塊，對大學(xué)數(shù)學(xué)競賽的參賽獲獎情況進行宣傳報道。此外，我們還專門建立了合肥學(xué)院數(shù)學(xué)競賽交流群，供有興趣或參賽意向的同學(xué)在線討論交流，教師負責引導(dǎo)答疑。截止目前，該群已有成員近400人，日常交流活躍。
2.4 選拔參賽學(xué)生
為了在各專業(yè)中選拔優(yōu)秀學(xué)生參賽，我校每年6月份，在大一新生高等數(shù)學(xué)課程結(jié)束后舉行一次校級數(shù)學(xué)競賽暨全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽選拔賽。除了海報等常規(guī)宣傳外，我們積極動員所有高等數(shù)學(xué)課程的授課教師，在授課班級內(nèi)進行校賽的宣傳與動員工作，鼓勵學(xué)有余力的同學(xué)參賽。實踐證明，舉辦校賽能夠很好的激勵大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情。除校賽選拔外，我們還歡迎高等數(shù)學(xué)授課教師以個人推薦的方式推薦優(yōu)秀的學(xué)生參加競賽培訓(xùn)。
3 培訓(xùn)實踐
3.1 時間安排
由于我校大二年級的學(xué)生暑期要全部離校開展認知實習(xí)活動，所以暑期沒有安排競賽培訓(xùn)活動。校賽獲獎名單確定后，我們會向獲獎學(xué)生推薦部分競賽輔導(dǎo)書及歷年全國競賽真題，要求其暑期自主學(xué)習(xí)。9月初，根據(jù)學(xué)習(xí)情況正式確定參賽名單并開始競賽培訓(xùn)。培訓(xùn)時間一般是8周，每周3-4次課，一般安排在晚上和周末。據(jù)了解，很多學(xué)校數(shù)學(xué)競賽實行暑期集中培訓(xùn)，可能更有利于提高競賽成績，但這涉及到暑期學(xué)生的住宿及安全管理問題，需要學(xué)校的政策支持。
3.2 培訓(xùn)方式
集中上課培訓(xùn)是常見的競賽輔導(dǎo)方式。由于參賽學(xué)生來自不同的年級，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差別較大，集中授課容易導(dǎo)致部分基礎(chǔ)較弱的學(xué)生很難消化、被動接受，得不到有效的思維訓(xùn)練，學(xué)習(xí)積極性受阻；而一些基礎(chǔ)較好的學(xué)生又覺得“吃不飽”，學(xué)習(xí)效率難以提高。為此，我校采取如下方式分層培訓(xùn)：
3.3 培訓(xùn)內(nèi)容
對于初次參賽的大二學(xué)生，培訓(xùn)內(nèi)容的難度應(yīng)該由淺入深，分階段逐步推進。我校集中培訓(xùn)環(huán)節(jié)安排如下：首先，對高等數(shù)學(xué)上下冊的知識點進行復(fù)習(xí)鞏固、融會貫通，讓學(xué)生對知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系有更深刻的認識；其次，講解近十年考研數(shù)學(xué)一中的部分較難試題，既強化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也為有意向考研的同學(xué)提前復(fù)習(xí)準備；再次，詳細講解全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽與決賽的部分真題，歸納總結(jié)歷屆考點的范圍及難易程度；最后，精選各省市的一些其他競賽真題或模擬題，讓學(xué)生了解知識點的不同命題方式。
對于有參賽經(jīng)歷或正在準備考研的高年級學(xué)生，集中上課培訓(xùn)對競賽成績提升的效果并不明顯。不僅如此，集中上課需要占用學(xué)生較多的課余時間，一些準備考研的優(yōu)秀學(xué)生可能會放棄參賽。由于已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對于這部分學(xué)生，建議成立討論小組，利用在線交流平臺開展討論、交流，讓同學(xué)們自主分析試題、試卷特點，圍繞考點和一些典型試題，探索一題多解和變形推廣，教師給予適當?shù)闹笇?dǎo)，鼓勵學(xué)生理論創(chuàng)新。
要想取得理想的競賽成績，培訓(xùn)課后適當?shù)脑囶}訓(xùn)練是必不可少的。除了推薦復(fù)習(xí)參考書，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)外，我們還挑選部分試題，組成若干套競賽輔導(dǎo)試卷，供學(xué)生分階段練習(xí)，檢驗學(xué)習(xí)成效。賽前，我們還鼓勵學(xué)生將自己復(fù)習(xí)過程中遇到的比較新穎的試題上傳分享，引導(dǎo)大家在線交流發(fā)表自己的思路，既加深了學(xué)生對試題的理解，又培養(yǎng)了分析解決問題的能力。
3.4 培訓(xùn)成果
通過競賽培訓(xùn)，我校在非數(shù)學(xué)專業(yè)類競賽中取得了比較明顯的進步，成績逐年提高，近5年競賽獲獎人數(shù)如圖2所示。
2016年，我校共39人參賽，20人獲獎，獲獎比例超過50%。截止目前，我校非數(shù)學(xué)專業(yè)類共有77人次獲獎，其中一等獎18人，二等獎25人，三等獎34人，遍及化工、電子、機械、計算機等工科專業(yè)，獲獎比例在省屬高校中名列前茅。
4 存在問題
4.1 學(xué)生參與的積極性
受學(xué)業(yè)任務(wù)重、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱、學(xué)習(xí)興趣不足等多方面因素的影響，我校工科類專業(yè)學(xué)生起初參加校級數(shù)學(xué)競賽的積極性并不高。我們嘗試從多方面對學(xué)生的參賽積極性進行激勵，包括通過高等數(shù)學(xué)授課老師動員和鼓勵，提高獲獎人數(shù)的比例，增設(shè)《高等數(shù)學(xué)選講》選修課，認定第二課堂學(xué)分，提供考研內(nèi)容輔導(dǎo)等方式。經(jīng)過幾年的努力，學(xué)生的參賽積極性有了較大的改善，參賽人數(shù)及優(yōu)質(zhì)生源增多，這也是參賽成績逐年提高的一個重要影響因素。
4.2 學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力
眾所周知，最優(yōu)秀的學(xué)生往往并不是老師‘教’出來的。要想在競賽中取得優(yōu)異的成績，學(xué)生還必須具備一定的自主學(xué)習(xí)和探究的能力。在當前高校擴招的大形勢下，普通本科院校招到已具備良好自主學(xué)習(xí)能力的優(yōu)秀生源的比例很低，需要在日常教學(xué)過程中不斷的引導(dǎo)和強化。近年來，我校大力推行模塊化教學(xué)改革，重點培養(yǎng)學(xué)生的實踐應(yīng)用和自主學(xué)習(xí)能力，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識明顯提升，自主學(xué)習(xí)能力逐步加強。
5 結(jié)語
關(guān)鍵詞：大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽 競賽共同體 培訓(xùn)模式
1.背景與問題描述
大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽最早出現(xiàn)在美國和前蘇聯(lián)，1981年我國各省市開始陸續(xù)組織大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，有的中途中斷，有的一直持續(xù)到現(xiàn)在。影響較大的有北京市、天津市、陜西省大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，還有一些學(xué)校也舉行數(shù)學(xué)競賽，如南開大學(xué)、同濟大學(xué)等。2009年中國數(shù)學(xué)學(xué)會普及委員會在全國范圍內(nèi)開始舉辦中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，設(shè)立數(shù)學(xué)類和非數(shù)學(xué)類兩組，分預(yù)賽和決賽兩次進行。自從2009年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽舉辦以來，關(guān)于競賽效用、競賽與教學(xué)及競賽培訓(xùn)等方面的研究逐步展開。有些研究提出大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽活動是創(chuàng)新人才培養(yǎng)的重要載體之一，對培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、優(yōu)化人才培養(yǎng)過程、提高教學(xué)質(zhì)量、促進高校教育教學(xué)改革具有獨特的和不可替代的作用[1]；有些研究指出大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競賽可以推動高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革，促進教師業(yè)務(wù)水平提高[2]；有研究著眼于加強競賽數(shù)學(xué)課程建設(shè)，提出以大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽為契機，不斷增強數(shù)學(xué)教學(xué)實效性[3]；很多高校教師結(jié)合自身的競賽培訓(xùn)工作探索與實踐積累，針對普通高校大學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，設(shè)計了行之有效的培訓(xùn)組織模式，提出了相應(yīng)的競賽培訓(xùn)模式[4]。
上述研究對大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽發(fā)展和數(shù)學(xué)教學(xué)改革無疑有巨大的推動作用。本研究將在上述研究的基礎(chǔ)上，從特訓(xùn)主體、客體及內(nèi)容等方面討論以下問題：（1）如何建設(shè)一支致力于大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的教練團隊；（2）競賽共同體創(chuàng)建模式；（3）特訓(xùn)共同體學(xué)習(xí)模式研究；（4）特訓(xùn)內(nèi)容與時間優(yōu)化設(shè)計。
2.競賽共同體的創(chuàng)建與活動
學(xué)習(xí)一向是心理學(xué)研究的主要課題，不同學(xué)派對學(xué)習(xí)定義各不相同，實際上是從不同側(cè)面揭示學(xué)習(xí)本質(zhì)。有人曾對學(xué)習(xí)提出這樣的定義：學(xué)習(xí)是由經(jīng)驗引起的行為、能力和心理傾向比較持久的變化。這種經(jīng)驗不僅包括外部環(huán)境刺激和個體練習(xí)，更重要的包括個體與環(huán)境之間復(fù)雜的交互作用。由此可見，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者與學(xué)習(xí)環(huán)境不斷相互作用的過程，這種相互作用包括三方面：（1）學(xué)習(xí)者和助學(xué)者之間；（2）學(xué)習(xí)者相互之間；（3）主體（學(xué)習(xí)者、助學(xué)者）與客體（學(xué)習(xí)內(nèi)容）之間。由此不難看出學(xué)習(xí)活動是學(xué)習(xí)共同體性質(zhì)的活動。在學(xué)校里創(chuàng)建各種學(xué)習(xí)共同體，不僅能提高學(xué)生在學(xué)科或?qū)I(yè)方面的素養(yǎng)，更重要的是有利于推進高校學(xué)風(fēng)建設(shè)。
2.1教練團隊的創(chuàng)建
競賽培訓(xùn)不同于一般教學(xué)，前者要求輔導(dǎo)教師對基本概念和基本定理及其聯(lián)系有很透徹的領(lǐng)悟，要有敏銳的觀察能力，要善于啟發(fā)的學(xué)生思維，把握高等數(shù)學(xué)發(fā)展新動態(tài)。在組建教學(xué)團隊之初，所有教師都沒有輔導(dǎo)競賽數(shù)學(xué)的經(jīng)驗，教練團隊并不能一蹴而就。首先，自愿前提下，挑選一批長期從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，有一定教學(xué)成果和敬業(yè)精神者優(yōu)先。人數(shù)最好能固定，有退出再補充。經(jīng)過三五年的發(fā)展，這個團隊成員將基本穩(wěn)定。
任何團隊要獲得成績必須有一定的規(guī)章制度作為保證，如成員的權(quán)利與義務(wù)等，各學(xué)校有自己的做法，在此不做詳細說明。主要介紹一下教練團隊的活動，這些活動保證了競賽教學(xué)質(zhì)量。
2.1.1征訂高等數(shù)學(xué)研究方面的期刊并讓教師借閱；
2.1.2指定教材備課并編寫教案、講義或試卷；
2.1.3指定主題做教學(xué)報告并撰寫教學(xué)論文；
2.1.4討論課堂上傳授賽點的時機、方式方法與度的把握等具體事宜；
2.1.5加強競賽數(shù)學(xué)課程建設(shè)。
2.2引導(dǎo)學(xué)生加入共同體
創(chuàng)建大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽學(xué)習(xí)共同體，就是通過各種媒介創(chuàng)建一個由學(xué)習(xí)者、輔導(dǎo)教師共同構(gòu)成的團體，彼此之間經(jīng)常在學(xué)習(xí)過程中溝通、交流，分享各種學(xué)習(xí)資源，共同完成一定的學(xué)習(xí)任務(wù)，因而成員之間形成相互影響、相互促進的人際聯(lián)系。實踐經(jīng)驗表明，在引導(dǎo)學(xué)生加入共同體的過程中要重點把握六個原則：
2.2.1交流的互動性。學(xué)生與學(xué)生之間、教師與學(xué)生之間建立彼此信賴、和睦相處的融洽關(guān)系，每個人的感受是不僅從共同體中獲益，而且為共同體作出貢獻。
2.2.2參與的積極性。從“合法的邊緣性參與者”逐步成為“共同體的核心成員”。這種成員間角色變化促進了身份重構(gòu)，使其不再感覺自己只是被動的接受者，而是以主人翁的姿態(tài)參與學(xué)習(xí)。
2.2.3目標的一致性。擁有共同目標是共同體創(chuàng)建的基礎(chǔ)，大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽共同體的共同目標就是提高數(shù)學(xué)分析與解題能力，在競賽中取得好成績。
2.2.4學(xué)習(xí)的開放性。這里每個成員都是知識的探索者、開發(fā)者，都要積極提出自己的觀點，無論是對還是錯，共同參與知識建構(gòu)，加深對知識深層次理解。
2.2.5過程的漸進性。學(xué)習(xí)共同體的形成一定是一個漸進的過程，一般有三個時期――初級階段、磨合階段、成熟階段，這個過程中成員從不了解到彼此認同，再到相互協(xié)作。
2.2.6訓(xùn)練的持久性。一個較高目標的實現(xiàn)必須把初期參與積極性轉(zhuǎn)變成訓(xùn)練過程的持久性。國外已有研究表明，數(shù)學(xué)競賽中那些最終成功的學(xué)生在很大概率上是訓(xùn)練最持久的學(xué)生。
經(jīng)過幾年理論和實踐探索，共同體的創(chuàng)建過程及活動基本固定，大致進程包括：通過講座或者課堂進行宣傳全校范圍內(nèi)開設(shè)《競賽數(shù)學(xué)》選修課舉辦校級數(shù)學(xué)競賽（選拔賽）短期集訓(xùn)指導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)建小組各小組展開研究型學(xué)習(xí)各小組報告及成果共享。
