時間：2023-03-02 15:08:45
序論：在您撰寫大學(xué)概率論知識點(diǎn)總結(jié)時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)案例教學(xué)方法的應(yīng)用中，案例的正確選擇非常重要，選擇合適的案例可以讓學(xué)生能更好的進(jìn)入數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，身臨其境的體會概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)帶來的學(xué)習(xí)樂趣，使課堂氣氛變得活躍，從而提高教學(xué)質(zhì)量，同時也增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。例如：選擇概率和彩票的案例進(jìn)行教學(xué)，教師可以適當(dāng)對彩票的相關(guān)知識進(jìn)行拓展；然后將概率和彩票的中獎率聯(lián)系起來，提出概率的運(yùn)算思路，在其中添加統(tǒng)計(jì)的知識點(diǎn)，讓學(xué)生大膽的提出問題；最后，對概率和統(tǒng)計(jì)進(jìn)行歸納，對概率和彩票中獎率的關(guān)系進(jìn)行解答，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，從而達(dá)到案例教學(xué)的目的，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的不斷提高。因此，正確選擇案例，活躍課堂氣氛，在教師的帶動作用下，數(shù)學(xué)教學(xué)可以變得很輕松愉悅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)質(zhì)量可以得到快速提高，從而促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)能力的全面發(fā)展。
二、開放學(xué)生思維，明確教學(xué)目的
在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生是是教學(xué)的主體，每個人都有自己的思維能力，所以教師必須明確教學(xué)目的，使學(xué)生的思維得到盡可能的開放，促進(jìn)學(xué)生探索創(chuàng)新能力的不斷提高。因此，教師在選擇案例時，要綜合評估學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，對概率的概念、公式進(jìn)行仔細(xì)講解，將統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)貫穿到整個課堂教學(xué)，使案例突出教學(xué)重點(diǎn)，達(dá)到知識點(diǎn)融匯教學(xué)的教學(xué)目的。開放課堂教學(xué)，不僅可以使學(xué)生掌熟練握更多的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)，更能拉近學(xué)生與作者、學(xué)生與自己的師生距離，使師生之間的感情更加融洽，從而大大提高教學(xué)質(zhì)量的目的。
三、有效組織教學(xué)，提高綜合能力
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是整個過程中，打好基礎(chǔ)是非重要的，因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中運(yùn)用案例教學(xué)，教師要有效組織教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提高。針對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的難點(diǎn)和易點(diǎn)，循序漸進(jìn)的提升難度，讓學(xué)生熟練掌握每個知識點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生敏捷的數(shù)學(xué)思維能力，不斷開闊學(xué)生的視野，使學(xué)生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析能力變得更強(qiáng)，從而達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。例如：針對籃球投籃問題，根據(jù)球隊(duì)人數(shù)的變化來計(jì)算投籃的概率，從最簡單的計(jì)算開始，隨著人數(shù)的變化，計(jì)算復(fù)雜程度也變得越來越高。這就是一個概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)逐漸加深的案例，通過這個案例教學(xué)，學(xué)生的思維能力可以不斷增強(qiáng)，綜合能力也會得到不斷提高。
四、課后教學(xué)總結(jié)，不斷改革創(chuàng)新
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，案例教學(xué)方法應(yīng)用的課后總結(jié)，是教師對課堂教學(xué)不足的完善，可以有效保證案例教學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，不斷創(chuàng)新教學(xué)方法和模式，同時促進(jìn)教師自我的不斷提升。課后總結(jié)，分為學(xué)生的總結(jié)和教師的總結(jié)，學(xué)生通過總結(jié)，可以對案例教學(xué)進(jìn)行仔細(xì)的分析，培養(yǎng)學(xué)生處理問題和解決問題的思路，提升學(xué)生實(shí)踐動手能力；教師總結(jié)時，對重點(diǎn)知識進(jìn)行再度印象加深，促進(jìn)學(xué)生不斷探索和創(chuàng)新，從而促進(jìn)教師教學(xué)的不斷創(chuàng)新。
五、結(jié)束語
關(guān)鍵詞：概率論；微課；案例教學(xué)
基金項(xiàng)目：本文系石河子大學(xué)教育教學(xué)改革項(xiàng)目（編號KG-2013-13）
O211
Abstract：Probability theory and mathematical statistics is a mathematical subject with strong application. It has been widely used in many fields. This paper summarizes the author accumulated in the work on the teaching of probability theory and mathematical statistics teaching experience， including with micro class to strengthen the students' autonomous learning awareness， improve the efficiency of the classroom examples close to student's life to improve the students' learning interest， probability theory and science and the statistics of mathematical culture to strengthen the students to understand the course described.
概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門理論性、應(yīng)用性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課，它在眾多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。如何在有限學(xué)時內(nèi)開設(shè)該門課程，如何使學(xué)生領(lǐng)略其理論精髓、夯實(shí)基礎(chǔ)知識， 如何讓學(xué)生學(xué)會用所學(xué)概率統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題， 教學(xué)中如何促進(jìn)教學(xué)效率的提高和學(xué)生概率統(tǒng)計(jì)素質(zhì)的優(yōu)化等問題， 已經(jīng)成為擺在高校講授概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教師面前急需解決的一系列問題，是值得深入探索的問題。
通過這幾年本人講授概率統(tǒng)計(jì)這門課的情況來看，如果只采用一般傳統(tǒng)的教學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果并不是很好，一是對于所要講授的內(nèi)容課時有些不夠用，二是教學(xué)效果也不是很理想，大多數(shù)學(xué)生只記得公式、定理，至于怎樣運(yùn)用不能靈活掌握。因此，要使學(xué)生能學(xué)好概率統(tǒng)計(jì)課程，提高學(xué)生對概率統(tǒng)計(jì)在生活實(shí)踐中的重要性的認(rèn)識，必須采取有效的教學(xué)手段和方法。
一、在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中靈活的運(yùn)用微課
微課是指為使學(xué)習(xí)者自主學(xué)習(xí)獲得最佳效果，經(jīng)過精心的信息化教學(xué)設(shè)計(jì)，以媒體形式展示的圍繞某個知識點(diǎn)或教學(xué)環(huán)節(jié)開展的簡短、完整的教學(xué)活動。微課講授的知識內(nèi)容呈點(diǎn)狀，具有碎片化的特征。微課內(nèi)容不僅可以在計(jì)算機(jī)上展示，還可以在多種移動終端設(shè)備播放。對于現(xiàn)今幾乎人人手握一部智能手機(jī)的學(xué)生來說，這有利于學(xué)生隨時隨地的自主學(xué)習(xí)。對教師來說，微課可以作為一種新的教學(xué)模式來利用，突破傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式。
由于教改的實(shí)施，在中學(xué)學(xué)生已經(jīng)接觸過一部分概率與統(tǒng)計(jì)知識。具體的大學(xué)本科階段《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程與普通高中階段“概率與統(tǒng)計(jì)”教學(xué)板塊的知識點(diǎn)及內(nèi)容要求對比可參看參考文獻(xiàn)3。對于這部分內(nèi)容，教師就可以事先做一些小微課，通過高中課本的一些典型例題，喚起學(xué)生對高中知識的記憶，進(jìn)而給出一些概念的形式化描述，并提醒學(xué)生注意大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的抽象性與普通高中階段統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)直觀性的不同。這樣既可以使學(xué)生快速掌握大學(xué)階段的知識點(diǎn)，又可以避免重復(fù)講解，從而節(jié)約課時。
這里我們以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中古典概型的講解為例分析微課教學(xué)內(nèi)容與設(shè)計(jì)過程。
1.給出一個學(xué)生既熟悉又易理解的例子作為引入：設(shè)有3個房間，分給3個不同的人。每人都以 的概率進(jìn)入每一個房間，而且每間房里的人數(shù)無限制。試求下列事件的概率：（1） ={不出現(xiàn)空房}；（2） ={恰好出現(xiàn)一間空房}；（3） ={恰好出現(xiàn)兩間空房}。
2.對問題進(jìn)行分析，喚起學(xué)生對古典概型知識點(diǎn)的記憶，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)習(xí)的積極性，求解得到結(jié)果：3個房間分給3個不同的人共有 種不同的分法，
（1）不出現(xiàn)空房等價于每個房間都有一人，因此共有 種不同的分法，于是 ；
（2）恰好出現(xiàn)一間空房，即3個房間中的某一間是空的，另外兩間房中有一間房恰有兩人，剩余1間房為1人，故有 種分法，從而 ；
（3）恰好出現(xiàn)兩間空房，即3個人恰好住同一間房，故有3種分法，從而 .這種數(shù)字比較簡單的古典概型是學(xué)生中學(xué)比較熟悉的，他們可以很快的給出答案，學(xué)習(xí)的情緒會比較高。
3.對該問題進(jìn)行深化，將例題中的數(shù)字增大或換成字母代替，設(shè)有 個房間，分給 個不同的人。每人都以 的概率進(jìn)入每一個房間，而且每間房里的人數(shù)無限制。再依次計(jì)算1中事件A，B，C所發(fā)生的概率。這時對于有些同學(xué)會感到運(yùn)算吃力，因?yàn)樗麄冊谥袑W(xué)學(xué)習(xí)時習(xí)慣于一個一個的數(shù)樣本空間和隨機(jī)事件當(dāng)中樣本點(diǎn)的個數(shù)，對此我們要引導(dǎo)學(xué)生用排列組合的知識去找樣本空間和隨機(jī)事件中的樣本點(diǎn)的個數(shù)來計(jì)算古典概型。
4.留習(xí)題作為思考題，通過思考題，讓學(xué)生加強(qiáng)和鞏固新學(xué)的古典概型的知識點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生將古典概型的題型分成兩大類，對其進(jìn)行歸納總結(jié)，另外，通過做題讓他們知道在生活中有更多的問題可用古典概型來解決。將留下的習(xí)題分析全過程再做成微課資源發(fā)給學(xué)生，對學(xué)生來說，就能更好的滿足個性化學(xué)習(xí)，這是傳統(tǒng)課堂學(xué)習(xí)的一種重要補(bǔ)充，也為課堂教學(xué)減少了工作量，更加有利于學(xué)生課后的自主學(xué)習(xí)。
微課具體設(shè)計(jì)主要是教師講解及PPT配合，微課只能作為一種輔助教學(xué)手段，不能為了省事或?yàn)榱诵问蕉褂梦⒄n。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中使用微課，是為學(xué)生自主學(xué)習(xí)提供有效支持，讓學(xué)生按自身的學(xué)習(xí)進(jìn)度和節(jié)奏學(xué)習(xí)課程內(nèi)容。
當(dāng)然，微課不僅可以在課堂上使用，也可以在課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)中使用，這樣能更好的讓學(xué)生及時掌握所學(xué)知識，
二、教學(xué)案例要貼近實(shí)際生活與學(xué)生專業(yè)
概率統(tǒng)計(jì)來源于生活，日常生活中隨處可見它的身影，反過來，概率統(tǒng)計(jì)也應(yīng)用于生產(chǎn)、生活及科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域。因此，概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要注重緊密聯(lián)系實(shí)際，從實(shí)際生活中多尋找素材，展示概率統(tǒng)計(jì)的活力與魅力。在教學(xué)中盡可能多的選擇與學(xué)生身邊的生活相聯(lián)系的概率模型，對于經(jīng)濟(jì)類的學(xué)生也可以多選擇一些與經(jīng)濟(jì)有關(guān)的例題，這樣更有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如我們在講伯努利概型時，可借助于買彩票的事例來講解，針對于一次實(shí)驗(yàn)，事件發(fā)生的概率是微乎其微的，但當(dāng)多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)時，獨(dú)立的小概率事件和也會變成大概率事件，由此也可以同時教育學(xué)生不以善小而不為，不以惡小而為之。這樣既講授了知識，又提高了學(xué)生的意識水平。
三、教師要更新教育理念
在課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)上，始終堅(jiān)持以學(xué)生為主體， 以教師為主導(dǎo)的教學(xué)原則。要讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人， 讓他們積極主動地去參與教學(xué)，融入課堂。作為大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)活動的組織者， 教師的任務(wù)是點(diǎn)撥、啟發(fā)、調(diào)控， 而這些都應(yīng)以學(xué)生為中心。當(dāng)然，這種方式要看學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對于學(xué)生整體自主學(xué)習(xí)比較好的班級，可以較多的讓學(xué)生來參與，自主性較差的班級還是需要老師多花些時間和精力去講授知識。
除了要更新上述觀念外，還要更新固有的傳統(tǒng)教學(xué)模式，在網(wǎng)絡(luò)和多媒體技術(shù)飛速發(fā)展的今天，要注重科學(xué)技術(shù)與概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程相結(jié)合， 盡量提供大量的形象化電子版的概率統(tǒng)計(jì)例子，比如我們第一部分提到的微課，這不僅可以提高課堂教學(xué)效率，還可以讓那些沒能當(dāng)堂掌握所學(xué)內(nèi)容的同學(xué)能夠在課下更好的去查缺補(bǔ)漏。還有，在課堂上也可以制作一些比較美觀實(shí)用的課件，這樣可以減少抄題時間，而且對于一些動畫演示也比較直觀，是同學(xué)可以更好的接受所學(xué)內(nèi)容。
四、概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的滲透
數(shù)學(xué)是充滿人文精神的科學(xué)。數(shù)學(xué)文化對人的思想、人的精神世界、人文素質(zhì)有著巨大的影響。在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中融入一些人文化、生活化的知識點(diǎn)，則會讓概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)難度性達(dá)到降低。而概率統(tǒng)計(jì)學(xué)本身就與人們的生活存在緊密的聯(lián)系，同時也間接體現(xiàn)出人們對于世界的思想認(rèn)知，從而通過自身所學(xué)的概率知識去解讀世界一些奇妙的問題。
了解簡單的發(fā)展史既可以增加學(xué)生的知識面，擴(kuò)大學(xué)生的視野，還可以從這些歷史中，了解相關(guān)知識點(diǎn)與方法的產(chǎn)生背景，體會其中的思想、方法，增加學(xué)習(xí)興趣。由于課時時數(shù)的限制，這些內(nèi)容學(xué)生雖然喜歡聽，但也不能用過多的時間去講，只需要簡單的點(diǎn)到為止，可以讓學(xué)生自學(xué)，他們在自學(xué)這些歷史的時候就自然會學(xué)到與歷史相關(guān)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)。
以上只是本人的教W經(jīng)驗(yàn)及與同事的討論結(jié)果，至于具體的教學(xué)方式，還是要根據(jù)學(xué)生情況來定。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課學(xué)習(xí)的目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)思維的能力，從而達(dá)到能夠利用概率統(tǒng)計(jì)的知識去解決實(shí)際問題，能夠用其觀點(diǎn)解釋常見的生活現(xiàn)象，因此我們在教學(xué)過程中要不斷的積累經(jīng)驗(yàn)掌握有效的教學(xué)方法，使學(xué)生學(xué)有所得。
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；數(shù)理統(tǒng)計(jì)；教育
中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）09-125-01
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科，教學(xué)內(nèi)容較多，難度較大，而教學(xué)時數(shù)少，因此，如何提高概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)質(zhì)量是探討的熱點(diǎn)，筆者從以下四個方面作出了探索。
一、重視高中內(nèi)容與大學(xué)內(nèi)容的銜接
高中數(shù)學(xué)中隨機(jī)事件，頻率與概率，古典概型與幾何概型，條件概率與事件的獨(dú)立性，數(shù)學(xué)期望和方差等內(nèi)容【1】與大學(xué)概率的內(nèi)容有所重復(fù)。因此在講解這些內(nèi)容時，可以由學(xué)生來講解高中部分的知識，在這個基礎(chǔ)上，教師再作出適當(dāng)?shù)耐卣?。這樣教學(xué)的重點(diǎn)就得以體現(xiàn)，概念的講解也不顯得突兀。
二、重視實(shí)例的引入
在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，有許多抽象枯燥的知識點(diǎn)，在講解的過程中學(xué)生易出現(xiàn)不愿思考和焦慮的現(xiàn)象。教師要注重實(shí)例的選擇，選擇的實(shí)例既要與時俱進(jìn)，又要充分與專業(yè)相聯(lián)系。筆者所在的是軍事院校，所以在選擇實(shí)例時具有軍事特色。例如，在講解數(shù)學(xué)期望的時就引入航母得平均維修費(fèi)用；在講解貝葉斯公式時，引入武器裝備損傷性的分析和大家都熟悉的“孩子和狼”的故事中，村民對這個孩子的可信度時如何下降的；這些實(shí)例來源于學(xué)生熟悉的軍事生活，從而大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的興趣。
三、重視緒論課
好的開始是成功的一半。緒論課的成功與否關(guān)系到能否調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的興趣。緒論課一般包含以下幾方面的內(nèi)容：第一介紹概率論的起源與發(fā)展；第二介紹本課程的內(nèi)容體系以及解決的問題，給學(xué)生一個全局的印象，知道概率將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容；第三從生活實(shí)例出發(fā)，給學(xué)生一個直觀的認(rèn)識，了解到概率來源于生活。
四、弱化計(jì)算技巧，重視應(yīng)用
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的傳統(tǒng)教學(xué)，重視計(jì)算技巧，推理和證明，教材中有大量的例題和習(xí)題，教師因?yàn)檎n時的限制想做到面面俱到實(shí)屬難事，常常說：要授之予漁。因此，教師必須對教材上的知識進(jìn)行探索歸納總結(jié)，以點(diǎn)帶面，重視思想方法的教學(xué)，淡化計(jì)算過程。特別是連續(xù)性隨機(jī)變量的知識點(diǎn)要用到高等數(shù)學(xué)中的定積分，變上限積分，二重積分以及級數(shù)的知識，學(xué)生這些知識難免會遺忘，筆者在教學(xué)中的處理方法是適當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)補(bǔ)充，再輔助matalab的應(yīng)用。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用部分在數(shù)理統(tǒng)計(jì)，但是目前因?yàn)檎n時，大多數(shù)院校的教學(xué)中心在概率論的知識，部分院校在削減了學(xué)時后，只學(xué)概率而不涉及統(tǒng)計(jì)。 而且統(tǒng)計(jì)這部分內(nèi)容公式繁多，計(jì)算量大，很多學(xué)生學(xué)完之后不知道如何應(yīng)用。筆者結(jié)合這兩年的數(shù)學(xué)建模題講解統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，例如結(jié)合葡萄酒的分析，講解了數(shù)據(jù)的處理，總體的估計(jì)，置信區(qū)間等內(nèi)容，
為了培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，筆者經(jīng)常從一個比較簡單的實(shí)際問題出發(fā)，通過分析整理以及數(shù)學(xué)的抽象，建立一個概率模型，通過對這個模型概率性質(zhì)的研究，再應(yīng)用到更復(fù)雜的實(shí)際問題中，這樣充分培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的能力。
[關(guān)鍵詞]圖解法 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 教學(xué) 案例
[中圖分類號] G642.4 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2015）01-0087-02
用圖形表示知識點(diǎn)能將抽象的問題形象化、寬泛的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化，使得學(xué)生易于理解和接受。[1]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是大學(xué)期間學(xué)生所學(xué)課程中應(yīng)用最廣泛、實(shí)用性最強(qiáng)的一門數(shù)學(xué)課[2] [3] [4] [5]，它是很多理工科的公共必修課，也是數(shù)學(xué)、信息計(jì)算、統(tǒng)計(jì)等專業(yè)的專業(yè)必修課。因?yàn)樵撜n程側(cè)重理論學(xué)習(xí)，其中的很多原理或知識點(diǎn)若能通過圖形來表示，將增加該課程的趣味性、生動性[3] [4] [5]。教學(xué)中可以應(yīng)用的圖解法大致包括：維恩示意圖、直譯示意圖、歐拉邏輯圖、提綱圖等等?；诙嗄甑慕虒W(xué)經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)將各種圖解方法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的應(yīng)用，一一展現(xiàn)如下。
一、提綱圖一目了然
開篇介紹概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究內(nèi)容和研究發(fā)展，用提綱形式展示比較形象。
圖1 課程結(jié)構(gòu)與發(fā)展
圖2 隨機(jī)變量類型
二、維恩圖示意清晰
第一章講隨機(jī)事件及概率，其中事件的關(guān)系與運(yùn)算用維恩圖表示比較形象具體，易于學(xué)生理解。
圖3表示兩事件的和，事件A∪B={ω│ωA或ωB}={A，B至少有一個發(fā)生}。圖4為兩事件包含關(guān)系的維恩圖。其他的還有事件的積、差運(yùn)算，以及事件互逆、互不相容等等的維恩圖表示，不再一一列舉。
圖3 兩事件的和 圖4 兩事件的包含關(guān)系
最典型的維恩圖是全概率公式的表示圖。設(shè)A1，A2，…，An是兩兩互不相容的事件，P（Ai）>0（i=1，2，…，n），且Ai=Ω，則對于任意事件B，有P（B）=P（Ai）P（B│Ai）。其關(guān)系見圖5。
圖5 全概率公式圖解
三、直接示意更加具體
設(shè)X是一個隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x，令F（x）=P（Z≤x）（-∞
圖6 一個隨機(jī)變量的分布函數(shù)示意圖
圖7 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)示意圖
設(shè)（X，Y）是一二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x，y，令F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}，稱F（x，y）為隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。由上圖7可清楚的理解，二維分布函數(shù)是表示向XOY面投點(diǎn)，所投點(diǎn)落在（x，y）點(diǎn)左下方的概率。
圖8 置信區(qū)間示意圖
圖8為正態(tài)或t分布等對稱分布，求參數(shù)置信區(qū)間的示意圖，可以幫助學(xué)生理解置信區(qū)間的含義及做法。也適用于對稱分布的參數(shù)雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的示意，落在兩邊小區(qū)域即拒絕域。
四、坐標(biāo)軸圖解法容易解題
圖9 離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)
上圖9為某離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的含義，可知此分段函數(shù)的跳躍度為隨機(jī)變量取間斷點(diǎn)的概率。由P{x≥1}=0.5，P{x
圖10 連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)
上圖10為某連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)曲線圖，由密度函數(shù)的定義及性質(zhì)可知，隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間（x1，x2）的概率為
圖11 正態(tài)分布密度函數(shù)圖像
圖11做了正態(tài)分布不同參數(shù)的密度函數(shù)曲線，可見σ越大圖形越平緩，呈現(xiàn)尖峰厚尾的特征，而x=μ即圖形對稱軸，決定了圖形的位置。
五、歐拉邏輯圖解法清楚明了
圖12 獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系圖
由圖12可直接看出，獨(dú)立是不相關(guān)中的一種更特殊的關(guān)系。這是因?yàn)椴幌嚓P(guān)是指沒有線性關(guān)系，沒有線性關(guān)系可以有其他關(guān)系，而獨(dú)立是指全方位的沒有任何關(guān)系。
六、結(jié)語
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門非常貼近生活又非常有意思的一門課，在教學(xué)中充分利用圖解法進(jìn)行講解，可以使這門課更生動、形象、具體，更具啟發(fā)性。[5]同時，這里介紹的圖解法也可以拓展應(yīng)用于其他課程的教學(xué)中，這需要教師們進(jìn)一步地研究和探索。
[ 參 考 文 獻(xiàn) ]
[1] 李衛(wèi)國.高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的線性規(guī)劃圖解法運(yùn)用[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)（社會科學(xué)版）2010（5）：188-120.
[2] 黃海平.基于教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的高師數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐――以數(shù)學(xué)教育特色專業(yè)主干課程_概率統(tǒng)計(jì)為例[J].大學(xué)教育，2013（6）：87-89.
[3] 楊火根.教學(xué)研究型工科院校概率統(tǒng)計(jì)課程建設(shè)的一些思考[J].大學(xué)教育，2012（11）：72-74.
【關(guān)鍵詞】案例教學(xué)法 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 教學(xué)模式
一、案例教學(xué)法
案例教學(xué)法指的是通過一個具體教育情景的描述，引導(dǎo)學(xué)生對這些特殊情景進(jìn)行討論的一種教學(xué)方法。具體到我們的教學(xué)中，可以聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活問題，建立數(shù)學(xué)模型或?qū)?shí)際問題經(jīng)過加工處理成具體的數(shù)學(xué)問題，設(shè)立數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生針對從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出的概率統(tǒng)計(jì)問題進(jìn)行討論，得出自己的見解或加深對知識點(diǎn)的掌握和應(yīng)用。進(jìn)一步可以組織學(xué)生進(jìn)行案例討論，根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況安排討論小組，使各抒己見，充分表達(dá)各自的觀點(diǎn)，通過不同思維碰撞，最終形成一致的解決方案。教師的作用是創(chuàng)造自由討論的氣氛，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生積極參與，使案例討論緊緊圍繞中心間題展開，根據(jù)各小組討論的不同情況給出相應(yīng)的指導(dǎo)。討論結(jié)束后，教師要組織學(xué)生進(jìn)行班內(nèi)交流，實(shí)現(xiàn)學(xué)生間知識共享，鼓勵學(xué)生集思廣益。案例教學(xué)法實(shí)施過程中，適時的點(diǎn)評是非常有效的教學(xué)手段。對于學(xué)生遺漏的關(guān)鍵問題進(jìn)行適時的點(diǎn)評，有助于引導(dǎo)學(xué)生對于案例事件分析的深人化，同時對于不同學(xué)生的表現(xiàn)，給予適時鼓勵，可以充分調(diào)動學(xué)生的主動性。案例結(jié)束后，教師要及時進(jìn)行系統(tǒng)完整的知識總結(jié)，對于學(xué)生們尚未深人分析探討的間題，進(jìn)行透徹的理論分析和實(shí)踐指導(dǎo)，通過案例教學(xué)，使學(xué)生獲得的知識更具系統(tǒng)性和條理性。
從教學(xué)法的角度來看，案例教學(xué)法的著眼點(diǎn)在于學(xué)生創(chuàng)造能力以及實(shí)際解決問題的能力的發(fā)展，而不僅僅是獲得那些固定的原理、規(guī)則。通過案例掌握如何以更有效的方式獲得知識。案例教學(xué)實(shí)際上是在經(jīng)驗(yàn)和活動中獲取知識，增進(jìn)才干。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，案例是廣泛而豐富的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)其它基礎(chǔ)課程相比，公式和理論，邏輯和符號相對少些，在教學(xué)的過程中我們有條件、有精力進(jìn)行案例教學(xué)?，F(xiàn)代教學(xué)理念提倡的是學(xué)以致用，案例教學(xué)法給學(xué)生更多的時間思考實(shí)踐，好的案例也給學(xué)生提供了模板，更能將理論聯(lián)系實(shí)際，甚至在實(shí)際中完善理論，創(chuàng)造理論。最后，案例教學(xué)法相對于直白的講述法更易使學(xué)生產(chǎn)生興趣，使用案例教學(xué)法可讓學(xué)生對所學(xué)知識印象更為深刻，更易理解和接受。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)好比是魚，而案例教學(xué)法好比是水，魚離不開水，而水有了魚才有生氣，兩者相得益彰，共同發(fā)展促進(jìn)。
二、案例教學(xué)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用
為了有效的實(shí)施案例教學(xué)，本文以對典型知識點(diǎn)構(gòu)建經(jīng)典案例為基礎(chǔ)，以學(xué)生獨(dú)立分析、分組討論、教師引導(dǎo)為教學(xué)手段，以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)綜合素質(zhì)為教學(xué)目的進(jìn)行案例教學(xué)模式的構(gòu)建。主要研究內(nèi)容包含以下三個方面：1.針對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程面向?qū)嶋H問題，解決實(shí)際問題的特點(diǎn)，教師如何構(gòu)建出能夠引起學(xué)生思想共鳴的課程案例。2.以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為出發(fā)點(diǎn)，提出案例，啟發(fā)式教學(xué)，如何在有限的課堂時間內(nèi)最大化的激發(fā)出學(xué)生對課程的興趣，使其不僅在課堂上，更能夠在課后時間積極主動的通過相關(guān)參考資料，自發(fā)性的學(xué)習(xí)。3.改變以往教學(xué)模式，重引導(dǎo)，重討論，輕灌輸式教育，如何以高效的分組討論方式培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神，同時結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)與評析，使學(xué)生真正掌握課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)。
在講授概率論中的貝葉斯公式時，可以選用的大家熟知的“狼來了”的故事進(jìn)行案例教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的興趣。課前分小組布置任務(wù)：1.了解“狼來了”這個故事的具體內(nèi)容，2.預(yù)習(xí)貝葉斯公式的內(nèi)容，3.思考，為什么村民不再相信這個小孩，是否可以定量刻畫信任程度？上課時，首先讓一位同學(xué)復(fù)述該案例的內(nèi)容，然后教師將相關(guān)內(nèi)容用文本、圖形、聲音、影像等多種形式進(jìn)行有機(jī)組合，做到先易后難，先感性后理性的過渡，體現(xiàn)學(xué)生的主體意識，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。進(jìn)而利用數(shù)學(xué)模型定量研究實(shí)際問題，分析故事中村民對這個小孩的可信程度是如何下降，也就是計(jì)算和比較事件在新的信息下的概率的變化，即條件概率。讓學(xué)生自己利用公式計(jì)算小孩第一次、第二次、第三次說謊后村民對他的可信程度。這個故事學(xué)生都比較熟悉，但貝葉斯公式初次接觸，把這兩者通過案例巧妙地結(jié)合在一起，既提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又通過適當(dāng)?shù)恼n堂討論，在學(xué)習(xí)知識的同時還間接滲透誠信教育，可謂一舉多得。通過課堂討論和課后分組調(diào)研，學(xué)生不僅認(rèn)真學(xué)習(xí)理論知識，還學(xué)會設(shè)計(jì)問卷建立模型，鍛煉了解決問題的能力。
通過國內(nèi)外案例教學(xué)法體系的比較研究，教師在使用案例教學(xué)法時必須做到 1.對教學(xué)案例的統(tǒng)籌設(shè)計(jì)。教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)從整個課程體系層次進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃，案例教學(xué)實(shí)施前，必須制定科學(xué)的目標(biāo)和計(jì)劃，合理地設(shè)計(jì)出該教學(xué)的實(shí)施方案，設(shè)計(jì)配套的多元考核方式。2.加大對教學(xué)案例庫的建設(shè)。要本著“以學(xué)生為主體，以培養(yǎng)解決問題為口標(biāo)”的理念，篩選出典型的案例。同時在設(shè)計(jì)案例時，要強(qiáng)調(diào)案例與所學(xué)知識的相關(guān)性、案例素材的典型性和案例的時效性。3.加強(qiáng)對指導(dǎo)方法的設(shè)計(jì)。在教學(xué)過程中，學(xué)生的前期準(zhǔn)備、課堂中的積極思考和分析論證均有利于提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，而提高的程度則依賴于教師恰到好處的引導(dǎo)與總結(jié)，所以，加強(qiáng)對指導(dǎo)方法的設(shè)計(jì)顯得尤為重要。
三、結(jié)束語
通過案例教學(xué)法將概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程理論與實(shí)際相結(jié)合，能夠使學(xué)生自學(xué)能力、獨(dú)立分析解決問題的能力得到有效提升，學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)際創(chuàng)新能力得到加強(qiáng)，學(xué)生的個性和才能也能得到全面發(fā)展。通過對案例搜集及后期對例子進(jìn)行合理的加工、整理和課后對相關(guān)案例進(jìn)行的修正和更新，提高了教師在概率統(tǒng)計(jì)及其相關(guān)課程中的教學(xué)及科研水平。
參考文獻(xiàn)：
[1]陳佑清，吳瓊.課堂教學(xué)中如何指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究[J]，中國大學(xué)教學(xué)，2012（11）：59-62.
[2]王瑋明，連新澤等.數(shù)學(xué)類專業(yè)研究性教學(xué)模式探索與實(shí)踐[J]，大學(xué)教育，2014（11）：123-125.
[3]林娟.概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中案例教學(xué)法的應(yīng)用[J]，福建商業(yè)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2011（6）： 40-43.
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 數(shù)值分析
【中圖分類號】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）07-0155-01
數(shù)學(xué)是研究自然科學(xué)的基礎(chǔ)工具之一，對科技領(lǐng)域和現(xiàn)代生產(chǎn)實(shí)踐產(chǎn)生了巨大的推動作用。而《數(shù)學(xué)分析》作為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)一門主要的專業(yè)基礎(chǔ)必修課，其教學(xué)的成敗對信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)起著關(guān)鍵的作用。它是后續(xù)課程《常微分方程》，《概率論》，《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，《數(shù)值分析》等的基礎(chǔ)?！稊?shù)學(xué)分析》中的有些知識點(diǎn)在這些課程中得到了直接的應(yīng)用，需要在《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中加以強(qiáng)調(diào)及重視。以下就本人的所知總結(jié)如下：
一、歸結(jié)原則在《概率論》中的應(yīng)用
定理1 若存在單調(diào)增（減）數(shù)列a■，滿足
（i）■an=x■，
（ii）數(shù)列■f(an)=A，
則有■f(x)=A（■f(x)=A）。
這個定理在《概率論》中證明分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性時起到了關(guān)鍵的作用。在《數(shù)學(xué)分析》中強(qiáng)調(diào)這個定理，將為學(xué)生理解分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性奠定基礎(chǔ)。
二、傅里葉變換的應(yīng)用
《概率論》中分布的特征函數(shù)是研究隨機(jī)變量分布的一個重要內(nèi)容。連續(xù)分布的特征函數(shù)和其概率密度是一一對應(yīng)的。第一，特征函數(shù)在求隨機(jī)變量和中簡化了計(jì)算過程。第二，有些多元隨機(jī)變量的密度函數(shù)無法表示出來，但其特征函數(shù)是唯一確定的，例如多元正態(tài)分布，如果其方差矩陣非正定，其概率密度將無法寫出，但是其特征函數(shù)是唯一確定的。因此特征函數(shù)在研究多元隨機(jī)變量的分布中起到不可忽視的作業(yè)。而特征函數(shù)正是概率密度的傅里葉變換，在《數(shù)學(xué)分析》中強(qiáng)調(diào)傅里葉變換的定義，性質(zhì)，對學(xué)生理解和運(yùn)用特征函數(shù)奠定基礎(chǔ)。
利用傅里葉積分變換的性質(zhì)求線性微分方程和線性微分方程組的解也是一個重要內(nèi)容。
三、多元函數(shù)極點(diǎn)存在必要性的應(yīng)用
1.最大似然估計(jì)是《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的一個重要內(nèi)容，而求似然函數(shù)的最大值點(diǎn)的依據(jù)就是多元函數(shù)極點(diǎn)存在的必要性。
2.線性回歸分析中確定系數(shù)的最小二乘法的理論依據(jù)就是多元函數(shù)極點(diǎn)存在的充要條件。
3.條件極值是《數(shù)值分析》中求最優(yōu)化解的主要方法,而拉格朗日函數(shù)正是求條件最優(yōu)解的常用方法，在教學(xué)中可以聯(lián)系《數(shù)值分析》，有針對性的加以講解。
四、含參變量積分的應(yīng)用
1.《概率論》中求邊際概率密度及求分布的特征函數(shù)的依據(jù)是含參變量的積分和含參變量反常積分性質(zhì)。
2.《概率論》中伽瑪分布和貝塔分布是含參變量反常積分B函數(shù)和 函數(shù)的應(yīng)用。B函數(shù)和г函數(shù)的定義，定義域，性質(zhì)， B函數(shù)和г函數(shù)的關(guān)系在研究伽瑪分布和貝塔分布中起到了很重要的作用。如《數(shù)學(xué)分析》中的如下例題：
例：計(jì)算積分■e■dx
解：令t=x■，則■e■dx=■■e■t■dt=■г（■），
利用B函數(shù)和г函數(shù)的關(guān)系得到
B(■,■)=■г(■)■，
再利用B函數(shù)的另一表達(dá)式，得到
B(■,■)=2■dθ=π，
所以得到結(jié)論г(■)=■,■e■dx=■■e■t■dt=■г（■）=■。證畢。
在這個問題的證明過程中用到了B函數(shù)和г函數(shù)的關(guān)系，B函數(shù)的性質(zhì)，而結(jié)論
г(■)=■, ■e■dx=■
更是《概率論》研究正態(tài)分布，伽瑪分布和貝塔分布數(shù)的關(guān)鍵。這個例子的證明及結(jié)論有針對性加以強(qiáng)調(diào)，對后續(xù)的《概率論》有重要的作用。
五、黎曼積分的應(yīng)用
黎曼積分在物理和工程上有重要的應(yīng)用，其定義和計(jì)算方法是《數(shù)學(xué)分析》的重要內(nèi)容。在《概率論》，《數(shù)值分析》，《常微分方程》，《泛函分析》等后續(xù)課程中，黎曼積分的計(jì)算和性質(zhì)是學(xué)生面對的一個難點(diǎn).在《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中，可將后續(xù)課程的內(nèi)容，有針對性加以強(qiáng)調(diào)。
六、《數(shù)值分析》的幾個知識點(diǎn)
誤差估計(jì)和近似計(jì)算是《數(shù)值分析》的兩個主要教學(xué)內(nèi)容。
微分中值定理是誤差估計(jì)的主要理論依據(jù)。
函數(shù)項(xiàng)級數(shù)是近似計(jì)算的主要依據(jù)。
例如：計(jì)算■cost■dt。
解：因?yàn)閏ost■=■■其收斂域?yàn)閠∈R。由冪級數(shù)性質(zhì)，可知
■cost■dt=■■■dt=■■■t■dt=■■。
當(dāng)k充分大是，可得到■cost■dt的近似值，而且可以估計(jì)近似值的誤差。
梯度方向是函數(shù)變化率最大的方向，在近似計(jì)算中可以加速近似計(jì)算的收斂速度,降低計(jì)算量。
了解后續(xù)課程的教學(xué)內(nèi)容，在《數(shù)學(xué)分析》中有針對性的加以強(qiáng)調(diào)，或?qū)⒑罄m(xù)課程的內(nèi)容作為例題來講，可以激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心，為后續(xù)課程的教學(xué)奠定基礎(chǔ)。
本人學(xué)識有限，關(guān)于《數(shù)學(xué)分析》在后續(xù)課程中的應(yīng)用，還有待相關(guān)任課教師進(jìn)一步完善。
參考文獻(xiàn)：
[1]《數(shù)學(xué)分析》（第三版），復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，陳傳璋編，高等教育出版社
[2]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》（第二版），茆詩松，程依明，濮曉龍編，高等教育出版社
關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；案例教學(xué)法；應(yīng)用
中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）20-0080-02
一、引言
隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步與計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，無論在自然科學(xué)領(lǐng)域還是在社會科學(xué)領(lǐng)域中，傳統(tǒng)的肯定性數(shù)學(xué)已經(jīng)不能合乎要求地解決所遇到的各類理論問題及應(yīng)用問題，因而在這個過程中隨機(jī)性數(shù)學(xué)即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展[1]。長期以來，隨著概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在理論上不斷成熟與完善，它在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)等領(lǐng)域中的應(yīng)用日益廣泛和深入。當(dāng)今許多新興學(xué)科諸如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能等都以它為基礎(chǔ)；它與基礎(chǔ)學(xué)科相結(jié)合已發(fā)展出許多邊緣學(xué)科，如生物統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)物理、數(shù)理經(jīng)濟(jì)等。基于上述實(shí)際應(yīng)用背景，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要性越來越受到人們的重視。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程已成為理工科各專業(yè)大學(xué)生的一門必修課程，也是目前全國研究生入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)考試題中重要內(nèi)容之一。因此，學(xué)習(xí)與掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論與應(yīng)用，不僅是將來從事科學(xué)研究與工程實(shí)際工作的需要，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)與個人深造的需要，也是高度發(fā)展的現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)對現(xiàn)代化人才提出的基本要求[1]。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是研究和探索隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)科學(xué)。通過本課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)理工科學(xué)生靈活地運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論和方法處理和解決客觀世界中實(shí)際隨機(jī)現(xiàn)象問題的能力。然而，長期以來以老師為中心的灌輸式、填鴨式的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)模式過于側(cè)重理論推導(dǎo)和計(jì)算技巧訓(xùn)練，忽視對學(xué)生解決問題的思想方法和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。在上述傳統(tǒng)教學(xué)活動過程中學(xué)生往往只是被動的聽眾，并沒有主動地參與教學(xué)活動，不能充分發(fā)揮學(xué)生的主動性和積極性，更談不上利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法去解決實(shí)際問題。因此，如何提高課堂效率和達(dá)到最佳教學(xué)效果成為從事此類教學(xué)工作的教師長期關(guān)注和研究的問題。針對這種情況，許多高校都提出了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》案例教學(xué)法[2-4，6-9]，而如何在課堂上實(shí)施案例教學(xué)成為教學(xué)工作者研究的重點(diǎn)內(nèi)容。
結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，針對傳統(tǒng)教學(xué)法存在的不足，筆者就在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的古典概型知識點(diǎn)的課堂教學(xué)中如何合理地應(yīng)用案例教學(xué)法提出自己的一些認(rèn)識和見解。
二、案例教學(xué)法的內(nèi)涵及優(yōu)勢
案例教學(xué)法自20世紀(jì)初被美國哈佛商學(xué)院倡導(dǎo)用于管理學(xué)教育以來，已被許多國家的教學(xué)實(shí)踐證明是一種具有啟發(fā)性、實(shí)踐性并有利于提高學(xué)生應(yīng)用能力和綜合素質(zhì)的教學(xué)方法[5]。
案例教學(xué)法是以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)方法，教師在教學(xué)過程中，根據(jù)課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)的需要，選擇含有問題或疑難情境在內(nèi)的真實(shí)發(fā)生的典型事件（案例），采用引導(dǎo)、啟發(fā)、參與等多種教學(xué)方式，通過深入分析、討論和交流的教學(xué)互動過程，以設(shè)計(jì)者和激勵者的角色組織學(xué)生積極參與課前精心設(shè)計(jì)的案例所提供的客觀事實(shí)和問題的分析和討論，提出見解并做出判斷和決策，從而加深學(xué)生對課堂教學(xué)內(nèi)容理解和提高學(xué)生分析問題和解決問題能力的一種教學(xué)方法。案例教學(xué)法具有教學(xué)目的明確、引用案例客觀真實(shí)、對學(xué)生有深刻的啟發(fā)性、充分發(fā)揮學(xué)生主體性、較強(qiáng)的實(shí)踐性等特點(diǎn)，在實(shí)際教學(xué)過程中發(fā)揮著重要的作用[10]。
與傳統(tǒng)教學(xué)法相比，案例教學(xué)法具有明顯的優(yōu)勢[6]，具體包括：①有利于提高學(xué)習(xí)的趣味性；②有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性；③有利于提高學(xué)生的語言文字表達(dá)能力；④有利于培養(yǎng)學(xué)生交流和合作的意識；⑤有利于實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長。同時，大量研究表明：案例教學(xué)法可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性與積極性，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，從而達(dá)到“教”和“學(xué)”的互動交流，增強(qiáng)師生之間的溝通，有助于生動活潑的課堂氣氛的形成。
三、案例教學(xué)法在課堂教學(xué)中的應(yīng)用
1.案例教學(xué)法的應(yīng)用步驟。根據(jù)案例教學(xué)法的上述內(nèi)涵可知，案例教學(xué)法是在課堂教學(xué)中對案例進(jìn)行深入分析和討論的基礎(chǔ)上引入某一基本概念或理論知識，并不是簡單地實(shí)例推理、求解，而這樣可以提高學(xué)生對這一知識的理解和掌握，進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決實(shí)際問題的能力。因此在課堂上應(yīng)用案例教學(xué)法時，通常要遵循以下幾個步驟。
（1）根據(jù)所講授的知識點(diǎn)內(nèi)容，精選案例。案例與一般的例題不同，必須有產(chǎn)生問題的實(shí)際背景，并能夠?yàn)閷W(xué)生所理解，任何理想化的、脫離實(shí)際的例子都會誤導(dǎo)學(xué)生，從而失去教學(xué)的意義，這是實(shí)施案例教學(xué)的前提條件。選出的案例要求主題突出、有理論深度，而且具有真實(shí)性、針對性、典型性和時代性，是大家共同感興趣的話題。總體而言，為了達(dá)到良好的教學(xué)效果，應(yīng)選擇與相應(yīng)專業(yè)比較貼近的案例，以便調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。
（2）對挑選出的案例進(jìn)行問題設(shè)計(jì)，做好案例的討論、分析。案例的討論與分析是案例教學(xué)的中心環(huán)節(jié)。對案例進(jìn)行討論的目的是提出解決問題的途徑與方法，可以從自身角度出發(fā)來剖析案例，說明自己的觀點(diǎn)和看法。教師要掌握討論的進(jìn)程，讓學(xué)生成為案例討論的主體，同時把握好案例討論的重點(diǎn)和方向，進(jìn)行必要的引導(dǎo)。同時，在組織案例教學(xué)時要輔以各種有效的教學(xué)方法，如啟發(fā)式教學(xué)、討論式教學(xué)，讓學(xué)生積極參與，大膽發(fā)表意見，提出觀點(diǎn)，深入思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情及科研興趣，使案例教學(xué)效果達(dá)到最佳，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)原理解決實(shí)際問題的能力[2，7]。
（3）對所選的案例所解決的問題一定要進(jìn)行歸納總結(jié)。案例總結(jié)是保證和提高案例教學(xué)質(zhì)量的必備環(huán)節(jié)。對案例的總結(jié)一般要包括以下內(nèi)容：一是對討論過程進(jìn)行總結(jié)，對于一個案例，讓學(xué)生提出各種觀點(diǎn)及其案例所包含的概率統(tǒng)計(jì)原理，讓學(xué)生通過分析和評價案例，掌握正確處理和解決復(fù)雜多變的現(xiàn)實(shí)問題的思路與方法[2，7]；二是教師對案例中的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題作補(bǔ)充或提高性的闡述，指出學(xué)生在分析案例時存在的問題，并提出需要進(jìn)一步深入思考的問題[2，7]；三是教師自身在課后進(jìn)行總結(jié)分析，所選取的教學(xué)案例是否恰當(dāng)，與課堂知識點(diǎn)的結(jié)合是否良好，案例教學(xué)是否達(dá)到了預(yù)期效果，存在哪些問題，以便加以改進(jìn)[7]。
2.案例教學(xué)法應(yīng)用實(shí)例。在教授古典概型時，可以采用如下步驟進(jìn)行案例教學(xué)。
（1）案例引入。引入擲骰子實(shí)驗(yàn)，提出的問題是：①實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果是什么，是否是有限的？②每一個實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否是等可能出現(xiàn)的，概率為多少？③擲骰子擲出偶數(shù)點(diǎn)的概率是多少？
（2）案例分析與討論。首先，分析擲骰子的實(shí)驗(yàn)結(jié)果即樣本空間？贅={1，2，3，4，5，6}，從而得到實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是有限個；其次，討論每一個實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否等可能的發(fā)生，經(jīng)過討論得出在骰子質(zhì)量均勻分布情況下，每個實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果都是等可能發(fā)生的，從而得出每個實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率為■；然后，在第二個問題討論的基礎(chǔ)上，得出偶數(shù)點(diǎn)的出現(xiàn)概率為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為2、4、6的概率之和，即■+■+■=■=■。
（3）歸納總結(jié)。
（a）經(jīng)過歸納可知，擲骰子實(shí)驗(yàn)有兩個特點(diǎn)：①實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是有限的；②實(shí)驗(yàn)的每個結(jié)果是等可能發(fā)生的。凡是滿足上述兩個特點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)，都屬于古典概型的范疇，從而引入了古典概型的概念。為了加深學(xué)生對古典概型的認(rèn)識，也可以對拋硬幣、抽取產(chǎn)品、買彩票等實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析，以判斷它們是否為古典概型。
（b）授課教師在課堂上通過引導(dǎo)學(xué)生參與討論與分析，總結(jié)出古典概型中事件A的概率計(jì)算公式，即
P（A）=■
（4）實(shí)例應(yīng)用。在公園門口，一個擺地?cái)偟馁€主將8個白色的、8個紅色的乒乓球放在袋子里。賭主規(guī)定：自愿摸彩者在交1元錢的“手續(xù)費(fèi)”后，可一次性從袋子中摸出5個球；在摸出的5個乒乓球中，有5個紅球獎勵20元，有4個紅球獎勵2元，有3個紅球獎勵價值5角的紀(jì)念品，而僅有1個或2個紅球則無任何獎勵。由于本錢較少，許多圍觀者都躍躍欲試，有的竟連摸數(shù)十次，結(jié)果許多人“乘興而摸，敗興而歸”，獲獎?wù)吡攘葻o幾，這是怎么一回事呢？請計(jì)算能獲得20元和2元獎勵的概率分別是多少？假如每天按摸球1000次計(jì)算，賭主一天可掙多少錢？
分析：由題意分析可得，從袋子中取球?qū)儆诠诺涓判停虼嗣郊t球的概率計(jì)算可采用上述古典概型事件概率計(jì)算公式。從袋子中摸出5個球的情況共有C■■種，摸到5個紅球的情況有種C■■，摸到4個紅球的情況有種C■■C■■，摸到3個紅球的情況有種C■■C■■。因此，摸獎?wù)攉@得20元獎金的概率為C■■/C■■=0.0128，獲得2元獎金的概率為C■■C■■/C■■=
0.128，獲得紀(jì)念品的概率為C■■C■■/C■■=0.359。由此可以看出，摸獎?wù)攉@得20元和2元獎金的概率都比較低，所以許多人都“乘興而摸，敗興而歸”。假定一天摸球1000次，按照上述計(jì)算得到的概率值，獲得20元獎金的次數(shù)為13次，獲得2元獎金的次數(shù)為128次，獲得紀(jì)念獎的次數(shù)為359次，因此賭主支付的獎金總額為13×20+128×2+359×0.5=695.5元，而賭主收到的摸彩手續(xù)費(fèi)為1000元，則賭主一天可掙1000-695.5=304.5元。
從上述實(shí)例中可以看出，摸彩是一種欺詐行為，賭主保贏不輸。通過上述案例教學(xué)，學(xué)生在課堂上不僅學(xué)習(xí)了新知識，還增強(qiáng)了自身對社會詐騙行為的防范意識，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
四、案例教學(xué)法的應(yīng)用效果
與傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)方法相比，案例教學(xué)法可以充分發(fā)揮教學(xué)互動的優(yōu)點(diǎn)，體現(xiàn)學(xué)生是教學(xué)主體，使原本枯燥刻板的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論變得直觀易懂。教師結(jié)合案例的應(yīng)用，用通俗易懂的教學(xué)方式將這些理論講細(xì)、講透，讓學(xué)生真正理解并掌握案例所涉及的理論知識，從而降低專業(yè)課的理論難度；案例教學(xué)法的討論模式既豐富了教學(xué)形式，又要求學(xué)生靈活地運(yùn)用所學(xué)知識，模擬解決實(shí)際問題，促使學(xué)生主動思考、分析、解決問題；同時，學(xué)生間、師生間的合作分析與研討還可以鍛煉和提高學(xué)生合作共事與交流協(xié)作的能力[8，9]。
與其他教學(xué)法相比，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課堂教學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)法可以更好地加深學(xué)生對基本概念的理解和對理論與方法的掌握；實(shí)施案例教學(xué)法可以顯著提高學(xué)生對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的學(xué)習(xí)積極性與主動性，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力、語言表達(dá)能力，從而取得良好的教學(xué)效果。
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