時(shí)間：2023-03-01 16:33:33
序論：在您撰寫數(shù)學(xué)必修一公式總結(jié)時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)教學(xué) 習(xí)題 數(shù)學(xué)思維能力
新教材的高中數(shù)學(xué)課后習(xí)題是經(jīng)過專家學(xué)者潛心研究，精心設(shè)計(jì)的，具有典型的范例作用，滲透了新課標(biāo)的思想，起著培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的作用，極具探究?jī)r(jià)值。我通過人教必修五第二章數(shù)列課后習(xí)題的教學(xué)談?wù)務(wù)J識(shí)。
一、培養(yǎng)學(xué)生的歸納猜想能力
偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”猜想是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，它可“導(dǎo)出”新穎獨(dú)特的思維成果。在已知領(lǐng)域中有所創(chuàng)新，在未知的領(lǐng)域中有所發(fā)現(xiàn)或突破。在必修五第二章數(shù)列的課后習(xí)題教學(xué)中，應(yīng)把“歸納”與“猜想”兩種思想方法相結(jié)合，從而提高學(xué)生“歸納猜想”的能力。
例1（必修五31頁習(xí)題）根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。
例2（必修五教材第33頁習(xí)題A組5題）根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，在空格和括號(hào)中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和點(diǎn)數(shù)，并寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。
例3（必修五34頁B 組）下圖中的三個(gè)正方形塊中，著色正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前3項(xiàng)，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)和數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。（圖形略）
后兩道題不僅培養(yǎng)了學(xué)生的歸納猜想能力，還通過圖形與數(shù)列的結(jié)合探究，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美育功能。
二、培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力
波利亞曾說：“如果沒有相似推理，那么無論是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)，甚至在其他任何領(lǐng)域中，本來可以發(fā)現(xiàn)的東西，也可能無從發(fā)現(xiàn)?！币虼耍鳛榛A(chǔ)教育之一的中學(xué)數(shù)學(xué)，在教學(xué)中必須重視培養(yǎng)學(xué)生的類比推理的能力。人教版必修五第二章，在等差數(shù)列、等比數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)上，明顯體現(xiàn)出類比的思想，課后的習(xí)題設(shè)計(jì)也體現(xiàn)出這一思想。所以在習(xí)題課中，教師要領(lǐng)會(huì)新課程思想，培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力。
例如必修五第39頁練習(xí)第4題，第5題。學(xué)生探究，老師引導(dǎo)得出相應(yīng)的結(jié)論。所以在人教A必修五第53頁等比數(shù)列習(xí)題中就可以讓學(xué)生進(jìn)行類比推理方法學(xué)習(xí)。等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比學(xué)習(xí)，不僅可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，還可以培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力。
三、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，使學(xué)生初步學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題?！边@一要求揭示了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活之間的關(guān)系，即數(shù)學(xué)源于生活、寓于生活、用于生活。因此，在人教版A必修五數(shù)列的課后習(xí)題中，有大量的實(shí)際應(yīng)用問題，如：購(gòu)房問題等，使學(xué)生通過了解數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際中的廣泛運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看問題，用數(shù)學(xué)頭腦想問題，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)。在教學(xué)中我嘗試將數(shù)學(xué)和生活進(jìn)行有效融合和連接，將抽象的數(shù)學(xué)本質(zhì)生活化，從而大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生將純數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成解決具體實(shí)際問題的能力。
例如（人教必修五62頁）
購(gòu)房問題 ：某家庭打算在2010年的年底花40萬元購(gòu)一套商品房，為此，計(jì)劃從2004年初開始，每年年初存入一筆購(gòu)房專用款，使這筆款到2010年底連本帶息共有40萬元，如果每年的存款數(shù)額相同，依年利息2%并按復(fù)利計(jì)算，問每年應(yīng)該存入多少錢？
引導(dǎo)學(xué)生思考如何把實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。
四、培養(yǎng)學(xué)生探究總結(jié)的能力
高中數(shù)學(xué)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解是高考的熱點(diǎn)之一，是一類考查思維能力的題型，要求考生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理。找到數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)是遞推的思想：從一般到特殊，從特殊到一般；化歸轉(zhuǎn)換思想，通過適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，達(dá)到化陌生為熟悉的目的。通過人教A必修五第二章習(xí)題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生探究總結(jié)的能力。
例如：必修五（人教版）第69頁5題
引申：形如a=pa+q（p、q為常數(shù)，而且p≠0，p≠1），求通項(xiàng)a。
思路1：可用不完全歸納法猜想
思路2：迭代法 （過程略）
思路3：構(gòu)造法 （過程略）
歸納總結(jié)：若數(shù)列{a}滿足a=pa+q（p≠1，q為常數(shù)），則令a+λ=p（a+λ）來構(gòu)造等比數(shù)列，并利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等求λ的值，求通項(xiàng)公式。
例如：必修5教材69頁。本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列，最終用加減消元的方法確定數(shù)列的通項(xiàng)公式。又如：必修五45頁練習(xí)2，引申：已知數(shù)列{a}的前項(xiàng)和為S，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a，這些習(xí)題的引申拓展，能培養(yǎng)學(xué)生的探究總結(jié)能力。
五、培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐能力
荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)教育是一個(gè)活動(dòng)過程，在整個(gè)活動(dòng)過程中，學(xué)生應(yīng)該處于一個(gè)積極、創(chuàng)造的狀態(tài) 。學(xué)生首先要參與這個(gè)活動(dòng)，感覺到創(chuàng)造的需要，他才有可能進(jìn)行再創(chuàng)造。而教師的任務(wù)就是為學(xué)生的發(fā)展、創(chuàng)造提供自由廣闊的天地，引導(dǎo)學(xué)生探索獲得知識(shí)、技能的能力。
例如：人教A必修五62頁第4題：收集本地區(qū)有關(guān)教育儲(chǔ)蓄的信息問題，設(shè)計(jì)本題的目的是培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐能力，處理此題的時(shí)候，我提前布置課外作業(yè)，使學(xué)生有充足的時(shí)間進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，等下一周數(shù)學(xué)課的時(shí)候，采用合作交流的形式完成此題。此課結(jié)束后，學(xué)生異常興奮，在實(shí)踐中體驗(yàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。不僅培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的合作學(xué)習(xí)的精神。
必修五第二章中的一些習(xí)題還能培養(yǎng)學(xué)生利用“數(shù)形結(jié)合”“算法”等思想分析問題、解決問題的能力，所以在習(xí)題課的教學(xué)中我們應(yīng)該有意識(shí)地挖掘，拓展習(xí)題的功效，達(dá)到通過練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力目的。
參考文獻(xiàn)：
［1］高中數(shù)學(xué)必修4（人教A版）教材習(xí)題.
［2］波利亞.數(shù)學(xué)與猜想――數(shù)學(xué)中的歸納與類比［M］.北京：科學(xué)出版社，2001，（7）.
關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)課程 變革方向 解三角形
在學(xué)校眾多教育課程當(dāng)中，數(shù)學(xué)教育有著重要位置，使學(xué)生思維更加清晰，表達(dá)思考更有條理，同時(shí)使學(xué)生掌握有關(guān)數(shù)學(xué)的基本思想、知識(shí)和技能，鍛煉學(xué)生面對(duì)問題鍥而不舍的求知精神及對(duì)問題實(shí)事求是的認(rèn)真態(tài)度。教會(huì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)世界和改造世界。我國(guó)高中數(shù)學(xué)新課程做出了重大嘗試和改變，并且取得了一定的成果，是對(duì)數(shù)學(xué)課程主流改革方向的反映。
一、數(shù)學(xué)課程改革前后的異同點(diǎn)
解三角形是第一冊(cè)下冊(cè)里面的第二個(gè)板塊，在平面向量之后包括正弦定理、余弦定理及解斜三角形的應(yīng)用實(shí)例。在解三角形的應(yīng)用部分的實(shí)習(xí)作業(yè)方面，補(bǔ)充一部分材料閱讀，關(guān)于人們?cè)缙诓捎煤畏N方式測(cè)量地球半徑。這些內(nèi)容都涵蓋在解斜三角形的范圍內(nèi)，在教材139頁到151頁，共有十三頁內(nèi)容[1]。這些內(nèi)容之前有關(guān)于向量的小結(jié)復(fù)習(xí)題，被安排在了高一下學(xué)期數(shù)學(xué)教材的最后一章。
現(xiàn)行新教材中有關(guān)解三角形的內(nèi)容放在人民教育出版社出版的數(shù)學(xué)教材必修5的第一章《解三角形》內(nèi)，其中第一章的內(nèi)容包括正弦、余弦定理的探究和發(fā)現(xiàn)，是對(duì)有關(guān)解三角形內(nèi)容的進(jìn)一步討論；應(yīng)用舉例，包含閱讀思考內(nèi)容；有課后復(fù)習(xí)題、實(shí)習(xí)作業(yè)和小結(jié)。內(nèi)容從第1頁到24頁，總共24頁，對(duì)三角形的編寫篇幅增多，按出版社的意圖從必修一學(xué)習(xí)到必修五，那么解三角形的內(nèi)容在所有必修課本的最后一冊(cè)，意味著學(xué)生要到高二才會(huì)學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。但在實(shí)施過程中，大部分老師會(huì)按照自己的進(jìn)度而不是課本必修1到必修5的順序教學(xué)[2]，從教師角度看，雖然新課程中有關(guān)解三角形的順序有所改變，但教師還是按照以前的教學(xué)方式教學(xué)。
二、高中數(shù)學(xué)新課程變革方向
1.教材貼近生活，使數(shù)學(xué)生活化。
新課改之后的數(shù)學(xué)教材更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣，使學(xué)生由被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，教材內(nèi)容貼近生活，使學(xué)生在不厭煩數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提下更容易進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，激發(fā)探索研究意識(shí)，讓學(xué)生知道學(xué)習(xí)這部分的原因，以及這部分對(duì)現(xiàn)實(shí)生活有什么作用，遇到實(shí)際問題該如何解決，使數(shù)學(xué)教學(xué)生活化，將生活數(shù)學(xué)化。
新教材中關(guān)于解斜三角形的知識(shí)點(diǎn)引用了中國(guó)古代的神話故事嫦娥奔月、十七世紀(jì)法國(guó)天文學(xué)家測(cè)出的月球與地球之間的距離，通過地月之間的距離該如何測(cè)量、輪船的航向和航速、海上島嶼的距離等引申出需要研究的內(nèi)容。這些內(nèi)容貼近生活，展現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)生活的重要作用。
2.學(xué)生是課堂主人公，學(xué)習(xí)能力得到提高。
傳統(tǒng)教學(xué)方式以教師課堂講述為主，教師掌握課堂整體節(jié)奏，采用灌輸式教學(xué)方式，這種方式并沒有多大成效，而且會(huì)引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程的厭煩心理。新教材中更多地采用教師引導(dǎo)的方式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行探究，學(xué)生把握課堂整體節(jié)奏，成為課堂的主人公，更容易調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性。
舊教材中關(guān)于三角形的正弦定理在例題安排方面都是正弦定理的應(yīng)用，沒有涉及解三角形。因此，例1和例2中都試對(duì)三角形中的一個(gè)元素求解，例3涉及三角形的分類討論。新教材在例題設(shè)置方面只安排了兩個(gè)，內(nèi)容涉及解三角形，例2涉及分類討論，同時(shí)在第8頁設(shè)置了關(guān)于解三角形的學(xué)習(xí)探究。這種探究方式為主并且引導(dǎo)學(xué)生思考是否可以運(yùn)用其他方式對(duì)正弦定理進(jìn)行證明，將重點(diǎn)放在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上，而不是老師的教授。
3.適當(dāng)設(shè)定問題，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)思考能力。
新課程改革之后更注重對(duì)學(xué)生思考總結(jié)能力的培養(yǎng)，通過增設(shè)問題引導(dǎo)學(xué)生思考其他方法對(duì)問題進(jìn)行證明，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的思考能力。同時(shí)對(duì)于同一問題的不同方法，教材要求學(xué)生對(duì)其進(jìn)行利弊分析，并對(duì)三角形的問題進(jìn)行分類總結(jié)。
在余弦定理方面，新老教材均設(shè)置了兩個(gè)例題，而且難度相當(dāng)，不同的是新教材使學(xué)生做題時(shí)有了選擇性，在第7頁的解三角形的問題中，可以對(duì)兩種方法的利弊進(jìn)行思考，同時(shí)讓學(xué)生對(duì)三角形的問題類型進(jìn)行總結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生總結(jié)思考能力。
在距離測(cè)量和方向測(cè)量方面，新教材在例1、例2中都設(shè)置成距離測(cè)量，例1給出實(shí)際數(shù)據(jù)，例2進(jìn)行靈活考察，是對(duì)學(xué)生思考能力的極大考驗(yàn)。新教材在距離問題方面設(shè)置了兩個(gè)例題，在以老教材為基礎(chǔ)的前提下，老教材例1和新教材練習(xí)2一樣。在高度方面設(shè)置了3個(gè)例題，更具層次性，利于一步步發(fā)展學(xué)生思考能力。
4.將內(nèi)容與幾何知識(shí)掛鉤，培養(yǎng)學(xué)生幾何思維能力。
新課改之后的課本內(nèi)容應(yīng)用性更廣，設(shè)計(jì)的層次感更強(qiáng)，更注重對(duì)學(xué)生思考能力的培養(yǎng)，而不僅僅是教會(huì)學(xué)生算題。通過設(shè)定一些較難的、水平較高的問題，加之增添一些其他相關(guān)的擴(kuò)展內(nèi)容，使學(xué)生的知識(shí)面得到擴(kuò)展[3]，能力得到真正提高。
關(guān)于對(duì)三角形面積公式的推理證明，老教材要求學(xué)生自己進(jìn)行推導(dǎo)，新教材則直接給出公式，并將這一公式多次進(jìn)行應(yīng)用，同時(shí)在三角形的證明過程中，涉及中線長(zhǎng)度及海倫公式等幾何問題，例9設(shè)置了通過正余弦定理對(duì)三角形進(jìn)行恒等證明，習(xí)題B組中12到14題均為三角形證明題，并多處運(yùn)用面積公式。將這兩者進(jìn)行科學(xué)銜接有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神及幾何思維能力。
高中數(shù)學(xué)在新課程改革過程中將會(huì)更加注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高，引導(dǎo)學(xué)生摸索出適合自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，通過教師的科學(xué)引導(dǎo)提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。
參考文獻(xiàn)：
[1]王保艷.新課程理念下高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的研究[D].華中師范大學(xué)，2012.
一、數(shù)學(xué)課程改革對(duì)比
在解三角形的應(yīng)用舉例部分的實(shí)習(xí)作業(yè)方面補(bǔ)充一部分材料閱讀，關(guān)于人們?cè)缙诓捎煤畏N方式測(cè)量地球半徑。這些內(nèi)容都涵蓋在解斜三角形的范圍內(nèi)，在教材139頁到151頁共有十三頁內(nèi)容。這些內(nèi)容之前有關(guān)于向量的小結(jié)復(fù)習(xí)題，被安排在高一下學(xué)期數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的最后一章。
現(xiàn)行新教材中有關(guān)解三角形的內(nèi)容放在人民教育出版社出版的數(shù)學(xué)教材必修5的第一章《解三角形》內(nèi)，其中第一章的內(nèi)容包括正弦、余弦定理的探究和發(fā)現(xiàn)，是對(duì)有關(guān)解三角形內(nèi)容的進(jìn)一步討論；應(yīng)用舉例，包含閱讀思考內(nèi)容；有課后的復(fù)習(xí)題、實(shí)習(xí)作業(yè)和小結(jié)。內(nèi)容從第1頁到24頁總共24頁的內(nèi)容，對(duì)三角形的編寫篇幅增大，按出版社的意圖從必修一學(xué)習(xí)到必修五，那么解三角形內(nèi)容在所有必修課本的最后一冊(cè)，意味著學(xué)生要到高二才會(huì)學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。但在實(shí)施過程中，大部分老師會(huì)按照自己的進(jìn)度而不是課本必修1到必修5的順序教學(xué)，從教師角度看，雖然新課程中有關(guān)解三角形的順序有所改變，教師還是按照以前的教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)。
二、基于解三角形的高中數(shù)學(xué)新課程變革策略
（一）教材貼近生活，使數(shù)學(xué)生活化。
新課改之后的數(shù)學(xué)教材更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣，使學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)化被動(dòng)為主動(dòng)，教材內(nèi)容貼近生活，使學(xué)生在不對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感到厭煩的前提下更容易進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的探索研究意識(shí)，讓學(xué)生知道學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的原因，以及在現(xiàn)實(shí)生活中有什么作用，遇到實(shí)際問題該如何解決，使數(shù)學(xué)教學(xué)生活化，將生活數(shù)學(xué)化。
新教材中解斜三角形的知識(shí)點(diǎn)引用了中國(guó)古代神話故事嫦娥奔月、十七世紀(jì)法國(guó)天文學(xué)家測(cè)出的月球與地球之間的距離，通過對(duì)地月之間的距離該如何測(cè)量、輪船的航向和航速、海上島嶼的距離等引申出需要研究的內(nèi)容。這些內(nèi)容貼近生活，展現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)生活的重要作用。
（二）學(xué)生是課堂主人公，學(xué)習(xí)能力得到提高。
傳統(tǒng)教學(xué)方式是以教師課堂講述為主，教師掌控課堂整體節(jié)奏，采用灌輸式教育，這種方式并沒有多大成效，而且會(huì)引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程的厭煩心理。新教材中更多的是采用教師引導(dǎo)的方式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行探究，學(xué)生把握課堂整體節(jié)奏，成為課堂的主人公，更容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性。
老教材在例題安排方面都是關(guān)于正弦定理的應(yīng)用，并不涉及解三角形。因此，例1和例2中都試對(duì)三角形中的一個(gè)元素求解，例3涉及三角形的分類討論。新教材中在例題設(shè)置方面只安排了兩個(gè)，內(nèi)容都涉及解三角形，例2也涉及分類討論，同時(shí)在第8頁設(shè)置了關(guān)于解三角形的學(xué)習(xí)探究。這種探究方式引導(dǎo)學(xué)生思考是否可以運(yùn)用其他方式對(duì)正弦定理進(jìn)行證明，將重點(diǎn)放在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上，而不是老師的教授上。
（三）適當(dāng)設(shè)定問題，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)思考能力。
新課程改革之后更注重對(duì)學(xué)生思考總結(jié)能力的培養(yǎng)，通過增設(shè)問題引導(dǎo)學(xué)生思考其他方法對(duì)問題進(jìn)行證明，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的思考能力。同時(shí)同一問題有不同方法，教材要求學(xué)生對(duì)其進(jìn)行利弊分析，并將三角形的問題進(jìn)行分類總結(jié)。
在余弦定理方面，新老教材均設(shè)置了兩道例題，而且難度相當(dāng)，不同的是新教材使學(xué)生做題時(shí)有了選擇性，在第7頁的解三角形的問題中，可以對(duì)兩種方法的利弊進(jìn)行思考，讓學(xué)生對(duì)三角形的問題類型進(jìn)行總結(jié)，提高學(xué)生的總結(jié)思考能力。
在距離測(cè)量和方向測(cè)量方面，新教材在例1、例2中設(shè)置成距離測(cè)量，例1給出實(shí)際數(shù)據(jù)，例2進(jìn)行靈活考查，是對(duì)學(xué)生思考能力的極大考驗(yàn)。新教材在距離問題方面設(shè)置了兩道例題，在以老教材為基礎(chǔ)的前提下，老教材例1和新教材練習(xí)2一樣，在高度方面設(shè)置了3個(gè)例題，更具層次性，利于一步步培養(yǎng)學(xué)生思考能力。
（四）將內(nèi)容與幾何知識(shí)掛鉤，培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維能力。
新課改之后的課本內(nèi)容應(yīng)用性更廣，設(shè)計(jì)層次感更強(qiáng)，更注重對(duì)學(xué)生思考能力的培養(yǎng)，而不僅僅是教會(huì)學(xué)生算題。通過設(shè)定一些較難的、水平較高的問題，加之增添其他相關(guān)擴(kuò)展內(nèi)容，使學(xué)生的知識(shí)面得到擴(kuò)大，能力得到真正提高。
關(guān)于三角形面積公式的推理證明，老教材要求學(xué)生自己推導(dǎo)，新教材則直接給出公式，并將這一公式進(jìn)行多次應(yīng)用，同時(shí)三角形證明過程中涉及中線長(zhǎng)度及海倫公式等幾何問題，例9設(shè)置通過正余弦定理對(duì)三角形進(jìn)行恒等證明，習(xí)題B組中第12到14題均為三角形證明題，并多處運(yùn)用面積公式。將這兩者進(jìn)行科學(xué)銜接有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神及幾何思維能力。
高中數(shù)學(xué)在新課程改革過程中將更注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高，引導(dǎo)學(xué)生摸索出適合的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，通過教師的科學(xué)引導(dǎo)提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。
參考文獻(xiàn)：
[1]李小蛟.從教材對(duì)比看高中數(shù)學(xué)新課程改革――以《解三角形》章節(jié)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志：高中版，2013（3）：10-11.
【關(guān)鍵詞】 定位；知識(shí)呈現(xiàn)；嚴(yán)格性水平；綜合程度；銜接
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)框架中最重要的支柱，三角函數(shù)是函數(shù)知識(shí)的重要組成部分.大家知道，大學(xué)微積分是以函數(shù)研究為對(duì)象的.因此，三角函數(shù)知識(shí)的強(qiáng)化或弱化對(duì)大學(xué)微積分學(xué)習(xí)影響較大.究竟高中教材對(duì)三角函數(shù)應(yīng)做怎樣的取舍，才能不對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面的影響呢？我們不妨研究一下香港教材.香港數(shù)學(xué)教育一向受英美影響較深，很有成績(jī).
本文研究選取的是朗文香港教育出版社2009年出版的《新高中數(shù)學(xué)與生活》[1]系列教材，其中與三角函數(shù)有關(guān)的兩本教材是《新高中數(shù)學(xué)與生活（必修部分）4B》（下文簡(jiǎn)稱《必修4B》）與《新高中數(shù)學(xué)與生活（延伸部分）單元二――代數(shù)與微積分1》（下文簡(jiǎn)稱《微積分1》）.《新高中數(shù)學(xué)》教材系列在香港影響較大.希望通過我們的研究，能讓教材與教參編寫者有所借鑒，對(duì)一線教師有所裨益.
1 三角函數(shù)在高中教材中的定位
香港目前使用的各種版本的高中數(shù)學(xué)教材，都是依據(jù)2007年制訂的《數(shù)學(xué)課程及評(píng)估指引（中四至中六）》編寫的.教材內(nèi)容分必修部分和延伸部分.朗文香港教育出版公司出版的必修教材共6本，《必修4B》是其中的一本，包涵了三角函數(shù)最基礎(chǔ)的知識(shí)及簡(jiǎn)單應(yīng)用.《必修4B》的序言指出：“為所有學(xué)生提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，配合他們?nèi)蘸笤诓煌I(lǐng)域進(jìn)修的需要.”延伸部分備有兩個(gè)選修單元，單元一有教材2本，單元二有教材3本.《微積分1》是單元二的第1本教材，屬選修教材，包涵的三角函數(shù)知識(shí)是《必修4B》所選三角函數(shù)內(nèi)容的加深與拓展，絕大部分知識(shí)與大學(xué)數(shù)學(xué)銜接有關(guān)聯(lián).《微積分1》的序言指出：“集中在更深層次的數(shù)學(xué)上，為希望學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生奠下鞏固的代數(shù)與微積分基礎(chǔ)”；“冀能對(duì)學(xué)生日后升學(xué)或從事與數(shù)學(xué)有關(guān)聯(lián)的專業(yè)，有所裨益”.從這里可以看出，《微積分1》是供相當(dāng)于大陸的理科學(xué)生選修的.
香港教材將“三角函數(shù)”最基礎(chǔ)的一部分內(nèi)容定位為必修內(nèi)容，將難度稍大且與大學(xué)數(shù)學(xué)銜接的內(nèi)容定位為選修內(nèi)容，對(duì)以后不同方向發(fā)展的學(xué)生作了不同的要求.反觀大陸2007年編寫的“人教A版”高中數(shù)學(xué)教材，將三角函數(shù)定位為必修內(nèi)容，學(xué)生高中階段所學(xué)的所有三角函數(shù)知識(shí)全編寫在《必修4》[2]中.
2 三角函數(shù)知識(shí)在教材中的具體呈現(xiàn)
《必修4B》中的三角函數(shù)內(nèi)容有132頁（每頁接近4A紙大小），大約18課時(shí)；《微積分1》中的三角函數(shù)內(nèi)容有90頁，大約14課時(shí).兩本書共有三角函數(shù)內(nèi)容222頁，大約共需32課時(shí).
《必修4B》中三角函數(shù)知識(shí)呈現(xiàn)在第10章“續(xù)三角”與第11章“三角學(xué)的應(yīng)用：二維空間”.第10章的具體編排是：基礎(chǔ)知識(shí)重溫；101旋轉(zhuǎn)角：處于標(biāo)準(zhǔn)位置上的角，四個(gè)象限；102 任意角的三角比：任意角的三角比的定義，三角比的正負(fù)值；103三角函數(shù)的圖像：y=sinθ的圖像，y=cosθ的圖像，y=tanθ的圖像，三角函數(shù)的周期性；104三角方程的圖解法；105三角恒等式：（180°-θ）的三角比，（180°+θ）的三角比，（360°-θ）的三角比，（360°+θ）的三角比，（90°+θ）的三角比；106 利用代數(shù)方法解三角方程；數(shù)學(xué)探究：直角三角形的正切值；IT活動(dòng)：三角比的正負(fù)值，利用單位圓繪畫y=sinθ的圖像；點(diǎn)滴分享知多些：交流電與三角學(xué)在港燈電力供應(yīng)中的應(yīng)用；答案.第11章的具體編排是：基礎(chǔ)知識(shí)重溫；111 三角形面積：三角形面積，海倫公式；112正弦定理；113 余弦定理；114 三角學(xué)上的二維空間應(yīng)用題：回顧，二維空間的應(yīng)用題；數(shù)學(xué)探究：圓內(nèi)接四邊形的面積；答案.
《微積分1》中三角函數(shù)知識(shí)呈現(xiàn)在第4章“續(xù)三角函數(shù)（一）”與第5章“續(xù)三角函數(shù)（二）”中.第4章的具體編排是：41弧度制：度與弧度制的轉(zhuǎn)換，透視弧度法求弧長(zhǎng)及扇形的面積；42三角函數(shù)：三角函數(shù)定義，三角關(guān)系，三角函數(shù)的圖像；43解簡(jiǎn)易三角方程；答案.第5章的具體編排是：51 復(fù)角公式：正弦的復(fù)角公式，余弦的復(fù)角公式，正切的復(fù)角公式；52 二倍角公式；53 積化和差公式與和差化積公式；答案.
《必修4B》介紹了海倫公式：ABC的面積=s（s-a）（s-b）（s-c），教材還不避繁瑣用代數(shù)方法嚴(yán)格地證明了海倫公式.《微積分1》第4章介紹了y=cscθ與y=secx兩個(gè)函數(shù).這樣，誘導(dǎo)公式中多了1+cot2θ=csc2θ、secθ=1cosθ等公式.這些都是人教A版《必修4》中沒有的知識(shí). 《微積分1》第5章介紹了積化和差公式與和差化積公式，并給予了簡(jiǎn)單的證明.因?yàn)橛辛诉@些公式，《微積分1》中出現(xiàn)了：在XYZ中，證明sinX+sinY+sinZ=4cosX2cosY2cosZ2這類例題，也出現(xiàn)了：化簡(jiǎn)
sinπ9cosπ9+cosπ3+cos5π9+cos7π9這類習(xí)題.人教A版《必修4》給出了例題： 證明（1）sinαcosβ=12sin（α+β）+sin（α-β）；（2）sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.這是積化和差與和差化積兩個(gè)公式，其他6個(gè)公式的證明放在習(xí)題中，但教材沒有配套與這8個(gè)公式相應(yīng)的練習(xí)題.
三角方程內(nèi)容在《必修4B》和《微積分1》中都出現(xiàn)過，由于沒有編排反三角函數(shù)的知識(shí)，三角方程都是比較簡(jiǎn)單的，若不是特殊函數(shù)值就需查三角函數(shù)值表來解決.《微積分1》在《必修4B》的基礎(chǔ)上，介紹了y=cotx、y=cscθ、y=secx的圖像、周期性以及定義域與值域，但沒介紹這些函數(shù)的單調(diào)性.人教A版《必修4》介紹了正弦、余弦、正切三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，并介紹了三角函數(shù)更一般形式的單調(diào)性的求法.恒等式證明在《必修4B》與《微e分1》中都有涉及.《必修4B》的恒等式證明大多利用誘導(dǎo)公式完成，難度較??；因《微積分1》介紹過積化和差與和差化積公式，所以《微積分1》中給出的恒等式證明題，若從難度上講，大多比人教A版《必修4》中的恒等式證明題難度要大.
3 知識(shí)的呈現(xiàn)模式與嚴(yán)格性水平
3.1 章首與章尾的內(nèi)容與結(jié)構(gòu)
《必修4B》與《微積分1》呈現(xiàn)的三角內(nèi)容共有4章.每章章首都標(biāo)明了學(xué)習(xí)重點(diǎn)，并給出與本章內(nèi)容密切相關(guān)的一個(gè)生活中的實(shí)際例子，起提綱摯領(lǐng)及導(dǎo)入新知識(shí)的作用；每章章尾附有本章摘要，起歸納總結(jié)的作用.以《微積分1》的第5章“續(xù)三角函數(shù)（二）”為例，章首標(biāo)明的學(xué)習(xí)重點(diǎn)有3點(diǎn)；生活中的實(shí)際例子是“聲波之總和”：在大自然中，聲波之傳播可以用正弦函數(shù)表示.當(dāng)幾個(gè)聲波交疊r，只要把代表各聲音的波加起恚便可得出合波.對(duì)于兩個(gè)相同振幅的聲波W1和W2，其合波可寫成函數(shù)y=sinu+sinv.這樣就很自然地連接上和差化e公式.章末有重要詞匯與重要概念.重要詞匯有4條，均是中英文對(duì)照；重要概念包含19個(gè)重要公式.知識(shí)結(jié)構(gòu)完整，內(nèi)容前后呼應(yīng).
人教A版《必修4》每章章首有類似于導(dǎo)言的文字，章末有小結(jié).“導(dǎo)言”簡(jiǎn)明扼要，也起到了提綱摯領(lǐng)的作用.章末有小結(jié)，包含本章知識(shí)結(jié)構(gòu)及回顧與思考兩個(gè)方面.知識(shí)結(jié)構(gòu)一般用框圖形式呈現(xiàn)出來；回顧與思考有3點(diǎn)，回顧了本章的重要知識(shí)點(diǎn)，還提出了幾個(gè)相關(guān)的問題，這對(duì)進(jìn)一步鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)起到了較好的作用.
3.2 重要概念的引入與公式的推導(dǎo)
《必修4B》與《微積分1》在重要概念的引入上，一般是在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上拓展到新知識(shí)，從特殊情形拓展到一般情形.比如任意角的三角比定義，《必修4B》先從銳角θ說起，利用直角三角形寫出銳角θ的三角比，再定義一般角θ的三角比：將任意角θ放在坐標(biāo)平面上，設(shè)P（x，y）是角θ終邊上的任一點(diǎn)（異于角的頂點(diǎn)），定義sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yxx≠0，其中r=x2+y2.這種引入重要概念的方法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.人教A版《必修4》的做法是，設(shè)角θ的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），于是sinθ=y，cosθ=x，定義表述很簡(jiǎn)潔.比較而言，《必修4B》比人教A版《必修4》在細(xì)節(jié)的處理上要到位一些.教材中比較清晰地討論了特殊角0°、90°、180°、270°和360°的三角比，利用數(shù)形結(jié)合的方法使基礎(chǔ)一般的學(xué)生能很好地理解與記憶.
在重要公式的推導(dǎo)上，《必修4B》與《微積分1》的做法與人教A版《必修4》有些不同.例如推導(dǎo)復(fù)角公式，《微積分1》先推導(dǎo)sin（A+B）的結(jié)論：設(shè)在OPQ中，過頂點(diǎn)O作ORPQ，R是垂足，并設(shè)∠POR=A，∠ROQ=B.利用POQ面積=POR面積+ROQ面積，證明了sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.教材在此處提示了該公式對(duì)任意角也成立.因?yàn)榻茿與角B不是任意角，這樣的推導(dǎo)過程不夠嚴(yán)謹(jǐn).人教A版《必修4》第三章是先推導(dǎo)cos（α-β）的結(jié)論的，證明過程中設(shè)α、β是任意角，利用單位圓和向量的方法完成了證明.這樣證明難度稍大，但證明過程非常嚴(yán)謹(jǐn).
3.3 定理、法則與公式的嚴(yán)格性水平
嚴(yán)格性一般劃分為四個(gè)水平層次：水平1：直接給出理論，沒有任何解釋或證明；水平2：通過例子解釋理論；水平3：較為嚴(yán)格地解釋理論的正確性，但不進(jìn)行證明；水平4：嚴(yán)格地證明理論.
《必修4B》與《微積分1》兩本教材中，正弦的兩角和公式實(shí)際是由特例解釋的，算不上嚴(yán)格的證明，達(dá)到嚴(yán)格性水平2；誘導(dǎo)公式、海倫公式、正弦定理、余弦定理、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、正弦兩角差公式、余弦的兩角和與兩角差公式、正切的兩角和與兩角差公式、二倍角公式、積化和差公式、和差化積公式，均是通過嚴(yán)格證明得到的，達(dá)到了嚴(yán)格性水平4.
人教A版《必修4》中，與-α和π-α相關(guān)的誘導(dǎo)公式、正弦的兩角和與兩角差公式、正切的兩角和與兩角差公式、正弦與余弦的二倍角公式都是直接給出的，沒有嚴(yán)格證明，達(dá)到嚴(yán)格性水平1；與π2+α相關(guān)的誘導(dǎo)公式只給出了嚴(yán)格的解釋，并沒有證明，達(dá)到了嚴(yán)格性水平3；與π+α和π2-α相關(guān)的誘導(dǎo)公式、余弦的兩角和與兩角差公式均通過了嚴(yán)格的證明，達(dá)到了嚴(yán)格性水平4.
可見香港教材的嚴(yán)格性水平整體比較高.人教A版《必修4》的不少公式是直接給出，可能編者認(rèn)為這些公式的證明并不難，學(xué)生可以舉一反三自己完成.
4 例習(xí)題的設(shè)置及綜合性程度
4.1 例習(xí)題的設(shè)置比較
《必修4B》與《微積分1》的例習(xí)題編寫很有特色，層次分明，坡度合理.課內(nèi)有例題，大多深入淺出，展示不同的數(shù)學(xué)技巧.緊跟例題后面有即時(shí)練習(xí)，是些與例題一一對(duì)應(yīng)的題目，以鞏固學(xué)生的知識(shí)，有時(shí)后面還配有綜合性稍強(qiáng)的跟進(jìn)練習(xí)或課內(nèi)練習(xí).課后一般配有不少的練習(xí)題，按程度分為初階和進(jìn)階，并備有開放式題目.每章末配有總復(fù)習(xí)題，按程度分為初階、進(jìn)階、多項(xiàng)選擇題及公開試題目，并為能力較強(qiáng)的學(xué)生提供香港數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目.總復(fù)習(xí)外還配有少量的數(shù)學(xué)探究題與IT活動(dòng)題.設(shè)置數(shù)學(xué)探究題的目的是透過富有趣味性的題目，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解難題技巧，激發(fā)學(xué)生探索與研究的興趣；設(shè)置IT活動(dòng)題的目的是讓學(xué)生熟悉新技術(shù)的運(yùn)用，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的深度理解.
以《必修4B》的第10章“續(xù)三角”為例統(tǒng)計(jì)：例題19個(gè)，即時(shí)練習(xí)題19個(gè)，跟進(jìn)練習(xí)題15個(gè)，課堂練習(xí)題5個(gè).課外練習(xí)中，初階練習(xí)題53個(gè)，其中有4個(gè)開放式練習(xí)題；進(jìn)階練習(xí)題48個(gè).本章總復(fù)習(xí)題中，初階練習(xí)題19個(gè)，其中有1個(gè)開放式練習(xí)題；進(jìn)階練習(xí)題26個(gè)，多項(xiàng)選擇題14個(gè)，公開試題目5個(gè)，香港競(jìng)賽題4個(gè)，數(shù)學(xué)探究問題2個(gè)，IT活動(dòng)題目6個(gè).
對(duì)應(yīng)地對(duì)人教A版《必修4》第1章“三角函數(shù)”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：例題25個(gè)，課內(nèi)習(xí)題58個(gè)，課外練習(xí)A組題61個(gè)，B組題15個(gè)，探究題7個(gè)，IT活動(dòng)題目1個(gè).由此可見，人教A版《必修4》課內(nèi)練習(xí)還是做的很扎實(shí).課外練習(xí)共76個(gè)題，比《必修4B》的第10章“續(xù)三角”課外練習(xí)159個(gè)少了83個(gè).
4.2 例習(xí)題的綜合性程度
例習(xí)題的綜合性分為四種類型：類型1：與三角領(lǐng)域內(nèi)其他知識(shí)的綜合；類型2：與數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)的綜合；類型3：與其他學(xué)科知識(shí)的綜合；類型4：與具有實(shí)際生活背景的問題綜合.
仍以《必修4B》的第10章“續(xù)三角”為例，根據(jù)上述綜合性的分類標(biāo)準(zhǔn)來統(tǒng)計(jì)：例題中屬類型1有14個(gè)，類型2有2個(gè)，類型3有2個(gè)，類型4有1個(gè)；習(xí)題中屬類型1有159個(gè)，類型2有30個(gè)，類型3有14個(gè)，類型4有12個(gè).由此可見，《必修4B》的第10章“續(xù)三角”中的例習(xí)題，主要體現(xiàn)了三角知識(shí)在三角領(lǐng)域內(nèi)的運(yùn)用，突出對(duì)三角知識(shí)的理解與掌握，同時(shí)也兼顧到數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)各分支知識(shí)的聯(lián)系，以及三角知識(shí)在其他學(xué)科上的綜合應(yīng)用.
人教A版《必修4》第1章“三角函數(shù)”中，例題中屬于類型1的18個(gè)，類型2的3個(gè)，類型3的2個(gè)，類型4的4個(gè)；習(xí)題中屬類型1的61個(gè)，類型2的3個(gè)，類型3的2個(gè)，類型4的6個(gè).可見，人教A版《必修4》主要關(guān)注學(xué)生對(duì)三角基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，也注重三角知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.
5 啟示
5.1 香港教材內(nèi)容豐富詳實(shí)、系統(tǒng)性較強(qiáng)
相對(duì)于英國(guó)和美國(guó)的三角函數(shù)教材，香港教材少了反三角函數(shù)內(nèi)容.但相對(duì)于人教A版《必修4》，香港教材多了簡(jiǎn)單的三角方程、海倫公式、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)等.人教A版《必修4》雖然也出現(xiàn)過積化和差與和差化積8個(gè)公式，但因這8個(gè)公式只出現(xiàn)在例題和習(xí)題中，教材并沒有把它們當(dāng)公式用，也沒有編排相應(yīng)的鞏固練習(xí)題，加之高考又不考，所以，這8個(gè)公式學(xué)生學(xué)了等于沒學(xué)，在學(xué)生的知識(shí)鏈上沒有留下多少記憶的痕跡.這樣看，其實(shí)香港教材還多了積化和差與和差化積公式.我們常將三角學(xué)劃分為“三角函數(shù)與方程”、“三角恒等變換”和“三角學(xué)的應(yīng)用”.相對(duì)于這種劃分，香港三角函數(shù)教材內(nèi)容是完整的、豐富詳實(shí)的，系統(tǒng)性較強(qiáng).人教A版《必修4》相對(duì)于香港教材和2003年前的大陸舊教材，刪減內(nèi)容過多.沒有了簡(jiǎn)單的三角方程，學(xué)生連已知三角函數(shù)值求角都不會(huì)做，因而連一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)應(yīng)用問題也處理不了；不學(xué)積化和差與和差化積公式，若有稍微綜合一點(diǎn)的三角恒等變形或證明問題，W生是沒辦法處理的.我們新的課程標(biāo)準(zhǔn)和新教材編寫，要借鑒香港教材對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容的取舍方法.
5.2 關(guān)注三角函數(shù)知識(shí)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接
我們都知道，無論是大學(xué)文科數(shù)學(xué)或理工科數(shù)學(xué)，在學(xué)習(xí)微積分內(nèi)容時(shí)，都會(huì)學(xué)習(xí)求函數(shù)的定義域、值域、極限、微分、積分等知識(shí)，都會(huì)用到6個(gè)三角函數(shù)和4個(gè)反三角函數(shù)的知識(shí)及恒等變換技巧.從2003年開始，雖然高校出版的大學(xué)微積分教材多少會(huì)參照高中的課程標(biāo)準(zhǔn)，但是很少能找到銜接好高中知識(shí)的大學(xué)教材，因此大多數(shù)微積分教材得不到大一與大二學(xué)生的認(rèn)可.由于高校的錄取數(shù)量逐年增加，參加高考的學(xué)生75%以上都能被不同層次的各類大學(xué)錄取，因此，不少二本或三本大學(xué)新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并不算好，也不具備自學(xué)高中三角函數(shù)知識(shí)的能力；加之大學(xué)沒有安排時(shí)間補(bǔ)習(xí)那些被弱化和被刪減的知識(shí)，這樣，相當(dāng)一部分學(xué)生學(xué)學(xué)微積分很吃力，甚至不及格.參考英美各國(guó)教材和香港的教材，我們要樹立長(zhǎng)遠(yuǎn)的課程和教材理念，不要過度弱化或刪減高中三角函數(shù)核心內(nèi)容，為使學(xué)生學(xué)好大學(xué)微積分，高中應(yīng)為他們打好相應(yīng)的基礎(chǔ).
5.3 進(jìn)一步凸顯習(xí)題設(shè)置的層次性
習(xí)題既是知識(shí)的應(yīng)用，又是知識(shí)和能力的再生.從上文研究可以看出，香港教材在習(xí)題設(shè)置上很有創(chuàng)意，內(nèi)容豐富、層次感強(qiáng).這種細(xì)化分層具有一定的彈性，照顧到了不同基礎(chǔ)學(xué)生的意愿，讓他們有很大余地去選擇課內(nèi)與課外的練習(xí)題；同時(shí)，這種細(xì)化分層使習(xí)題具有很好的坡度，知識(shí)點(diǎn)要求從單一到綜合，技巧要求從易到難，容易使學(xué)生達(dá)到鞏固和提高的目的.而且書中還附有答案，學(xué)生在練習(xí)過程中可以得到及時(shí)反饋，便于學(xué)生自學(xué).我們的教材中習(xí)題分層簡(jiǎn)單，習(xí)題量小，因此學(xué)生的選擇余地就小.不少老師為了彌補(bǔ)這一缺陷，就組織學(xué)生去找書商購(gòu)買課外參考資料.經(jīng)常因這些參考資料的質(zhì)量參差不齊，影響了學(xué)生的課外學(xué)習(xí).我們的教材編寫者應(yīng)該向香港的同行學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)他們對(duì)習(xí)題設(shè)置的理念與方法，能使我們的教材進(jìn)一步凸顯習(xí)題的層次性，發(fā)揮習(xí)題應(yīng)有的功能和價(jià)值.
參考文獻(xiàn)
（1）通過具體數(shù)列，觀察發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的特征.
（2）歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（3）通過實(shí)例，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并嘗試用相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)問題.
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：
理解等差數(shù)列的概念，認(rèn)識(shí)數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)字模型，探索并掌握數(shù)列的幾種簡(jiǎn)單表示法.
教學(xué)方法：學(xué)案導(dǎo)學(xué)，啟發(fā)式教學(xué)
教學(xué)工具：投影儀
一、 課堂實(shí)錄
1.等差數(shù)列概念形成
師：你能否給上面的數(shù)列下一個(gè)定義呢？
生：我認(rèn)為這些數(shù)列每一項(xiàng)和前一項(xiàng)的差值都相同，所以我將其稱為等差數(shù)列.
師：我們給這個(gè)數(shù)列下一個(gè)確切的定義：如果一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，
這樣的數(shù)列就是等差數(shù)列.
（點(diǎn)評(píng)：教師在規(guī)范數(shù)列定義時(shí)，要強(qiáng)調(diào)“從第二項(xiàng)起”使學(xué)生感受數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)謹(jǐn)性.）
師：我們?cè)鯓佑脭?shù)學(xué)符號(hào)語言表示等差數(shù)列的定義呢？
生：用{an }表示"數(shù)列"，n≥2表示"從第二項(xiàng)起"，an-an-1=d表示"每一項(xiàng)和前一項(xiàng)的差為同一個(gè)常數(shù) ".
師：這種表示方式很好！但是我們觀察一下這個(gè)表達(dá)式，腳標(biāo)必須從n=2開始取起，但是很多數(shù)學(xué)問題都是研究當(dāng) n=1時(shí)的情況，那我們?cè)撛鯓颖硎荆?/p>
生：an+1-an=d
師：數(shù)學(xué)表達(dá)式
這個(gè)常數(shù)d叫做公差.
（點(diǎn)評(píng)：怎樣從文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語言表示是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)思維能力，不可忽略這一步，在活動(dòng)安排 上突出學(xué)生的主體地位。）
2.等差數(shù)列定義運(yùn)用
師：判斷an=3n-7是否為等差數(shù)列.
生：列舉當(dāng)n=1，2，3...的情況，觀察得到這個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)每一項(xiàng)和前一項(xiàng)的差等于常數(shù)3，所以這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.
師：其他同學(xué)有沒有其他方法？
生：我是根據(jù)定義計(jì)算
所以這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差d=3。
師：很好！還有沒有其他方法？
生：還可以根據(jù)來進(jìn)行判斷.
（點(diǎn)評(píng)：第一種方法是例舉法，學(xué)生們很容易想到，教師應(yīng)給予肯定.第二種方法是等差數(shù)列定義的應(yīng)用，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生重視利用定義解決問題的方法.）
3.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用
師：嘗試解決下列問題：
例1、解決剛才那個(gè)問題，求等差數(shù)列的第2012項(xiàng)。
并判斷501是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？
生：求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，a1=-10，d=2所以an=2n-12
假設(shè)501是數(shù)列中的項(xiàng)，則滿足501=2n-12，解得，這與不符合
故501不是該數(shù)列的項(xiàng)。
例2、在等差數(shù)列{an }中，已知a5=10，a12=31，求首項(xiàng)a1 及公差d。
生：由已知可得，解得：。
（點(diǎn)評(píng)：例2還可以有其他解法，但是在等差數(shù)列第一節(jié)課，盡量采用一般方法求解，當(dāng)然關(guān)于其他解法可以留給學(xué)有余力的同學(xué)發(fā)揮.）
4.反思小結(jié)，布置作業(yè)
師：大家和上課本，本節(jié)課你都學(xué)到了什么？
生：知道什么是等差數(shù)列，等差數(shù)列通項(xiàng)公式，怎樣用通項(xiàng)公式解決問題
師：其他同學(xué)還有補(bǔ)充嗎？
生：等差數(shù)列定義的表達(dá)形式，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推到方法：疊加法，對(duì)于一類問題我們可以先進(jìn)行猜想，但是一定要經(jīng)過論證才能應(yīng)用。
（點(diǎn)評(píng)：對(duì)于第一類學(xué)生的總結(jié)，相信學(xué)生們是不難完成的，但是老師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生完成第二類學(xué)生的總結(jié)，后者更能體現(xiàn)學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維過程，應(yīng)重視.）
師：很好！看來大家都從這節(jié)課中有所收獲！今天的作業(yè)是學(xué)案上的練習(xí)題，還有等差數(shù)列通項(xiàng)的推導(dǎo)過程，你是否能夠順利復(fù)述？
生：沒問題！
師：好，這節(jié)課我們就上到這里，下課！
二、 教學(xué)反思
這節(jié)課是數(shù)學(xué)必修5A版教材的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教學(xué)課時(shí)是兩課時(shí)，本節(jié)課是第一課時(shí)的內(nèi)容.
等差數(shù)列作為一類特殊數(shù)列，是必修五的重要內(nèi)容.所以在這節(jié)課的設(shè)計(jì)上應(yīng)重點(diǎn)突出對(duì)于這種特殊數(shù)列的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生們發(fā)現(xiàn)這類特殊是數(shù)列數(shù)值之間的關(guān)系.開篇引入的數(shù)列非常容易觀察，要讓學(xué)生通過自己的觀察總結(jié)這類數(shù)列的特征.
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)方法；初高中銜接
一、高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)
（一）知識(shí)內(nèi)容方面
高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容豐富、廣泛。既是初中的數(shù)學(xué)知識(shí)的推廣和延伸，也是對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的完善。如我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)三角函數(shù)的定義是在直角三角形中的，對(duì)邊比鄰邊，對(duì)邊比斜邊，這就意味著我們定義的三角函數(shù)是銳角的三角函數(shù)，但實(shí)際生活中，我們遇到的角經(jīng)常會(huì)超出這個(gè)范圍，包括我們要研究的三角函數(shù)。初中學(xué)的角的概念只是在0～180范圍內(nèi)的，這顯然是不夠的，為此高中將把角的概念推廣到任意角，角的概念加以推廣后，三角函數(shù)的定義也隨之重新定義了，用角的坐標(biāo)來定義。再如，我們?cè)谝郧皩W(xué)的實(shí)數(shù)范圍之內(nèi)，如x2=-1，顯然是無解的。但是隨之實(shí)際生產(chǎn)、生活的需要，數(shù)的發(fā)展要高于同學(xué)們現(xiàn)在認(rèn)識(shí)的范疇，為了解決這樣方程根的問題而引入了虛數(shù)單位i，i2=-1，引入i之后，將實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集，這都是我們?cè)诟咧须A段所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。當(dāng)然，還有很多其他的知識(shí)，以上只是簡(jiǎn)單的舉了幾個(gè)例子，讓大家認(rèn)識(shí)到高中知識(shí)與我們以往學(xué)的小學(xué)、初中知識(shí)有了哪些的變化。
（二）學(xué)習(xí)方法方面
在之前所積累的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)都是有用的，不過進(jìn)入高中之后要更新，改進(jìn)自己的學(xué)習(xí)方法，適應(yīng)高中新的數(shù)學(xué)知識(shí)。
第一、教師的引導(dǎo)與講授，它是非常重要的環(huán)節(jié)。雖然老師講的大部分知識(shí)書本上都有，但是我們同學(xué)通常不選擇在家自學(xué)，都去學(xué)校學(xué)習(xí)，為什么呢？一個(gè)是學(xué)校有一個(gè)大的學(xué)習(xí)環(huán)境，另外一個(gè)很重要一點(diǎn)是學(xué)校里有優(yōu)秀的老師，老師不但能講清楚課本上所涉及的知識(shí)，還能補(bǔ)充課本上所沒有的知識(shí)點(diǎn)。一方面，老師的職業(yè)就是專門研究怎樣能讓學(xué)生學(xué)好、學(xué)會(huì)的方法，老師的經(jīng)驗(yàn)是很豐富的，你可以站在前人的肩膀上繼續(xù)去登高，這就是老師的作用。另一方面，老師是經(jīng)過職業(yè)訓(xùn)練的，他們知道我們高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該帶給學(xué)生們什么東西，比如數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，這些我們要通過教師的講授，老師在給你傳授知識(shí)的過程當(dāng)中從老師身上得到，所以教師的傳授、引導(dǎo)仍然是非常重要的。
第二、模仿與創(chuàng)新。模仿，同學(xué)們是很有經(jīng)驗(yàn)的，初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，比如，一元一次不等式的解法，在講解時(shí)先舉例說明，然后變換不等式中各種數(shù)、不等式的方向反復(fù)練習(xí)，回家的作業(yè)全都是解一元一次不等式的，這就是模仿。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，這樣的模仿也非常重要，我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、解題方法時(shí)，首先要先學(xué)習(xí)模仿規(guī)范的解法，遇到這樣問題的解題思路是什么，這就是模仿。但是僅僅有模仿是不夠的，在初中階段對(duì)此應(yīng)用有一定的認(rèn)識(shí)，只會(huì)模仿，對(duì)于一些創(chuàng)新題型是解決不了的，得不了高分的。到了高中，這就更加明顯了。除了模仿之外，還要有自己的東西，當(dāng)你把知識(shí)內(nèi)化成自己的知識(shí)寶庫(kù)中的一部分以后，以一個(gè)嶄新的方式釋放出來，要有創(chuàng)新精神。
第三、自主學(xué)習(xí)。在以往的學(xué)習(xí)過程中強(qiáng)調(diào)的不夠，進(jìn)入高中，將來再進(jìn)入大學(xué)，這點(diǎn)的要求越來越強(qiáng)。在高中，學(xué)生要能自主學(xué)習(xí)，具體建議是以下四個(gè)環(huán)節(jié)。
1.預(yù)習(xí)。在上課之前要預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)的好處在于有的放矢，看過要講的課程之后，你就能知道哪些是你的薄弱點(diǎn)，哪些是你很輕松就能掌握的，對(duì)你要學(xué)的知識(shí)有一個(gè)大致的認(rèn)識(shí)以后，帶著問題去聽課，收獲會(huì)更大的。
2.聽課。這是一個(gè)非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。最好的聽課方式是頭腦的參與，就是要積極主動(dòng)地思考，要勤動(dòng)腦、勤動(dòng)手、勤動(dòng)筆。數(shù)學(xué)一般不是空想而來的，要?jiǎng)邮秩ミ\(yùn)算。
3.復(fù)習(xí)與作業(yè)。復(fù)習(xí)這個(gè)環(huán)節(jié)很多同學(xué)是做不到的。一般都是回家就開始寫作業(yè)，但是在完成作業(yè)之前加一個(gè)復(fù)習(xí)是很重要的。先對(duì)今天課上所學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的回顧，當(dāng)我們做作業(yè)時(shí)不再翻書、查書，而是獨(dú)立自主地去做作業(yè)，那樣效果會(huì)更好。
4.總結(jié)。這個(gè)總結(jié)不是每天進(jìn)行的，可以是一章或一小節(jié)之后，周末做一周的小結(jié)也可以，可以根據(jù)知識(shí)框架去進(jìn)行。如果能自行地對(duì)其進(jìn)行梳理、類比、總結(jié)，那么這些知識(shí)在你的頭腦中是一個(gè)框架，掌握的會(huì)更牢固。
二、高中數(shù)學(xué)框架
數(shù)學(xué)1：集合、函數(shù)的概念；基本初等函數(shù)Ⅰ
數(shù)學(xué)2：立體幾何初步；解析幾何初步
數(shù)學(xué)3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率
數(shù)學(xué)4：基本初等函數(shù)Ⅱ；平面向量、三角恒等變換
數(shù)學(xué)5：解三角形、數(shù)列、不等式；必修一；必修二；必修三；必修四；必修五；選修一；選修二；選修三；選修四
無論是文科還是理科，必修都學(xué)，必修共五本教材，文科選修一，理科選修二，文理都選修四中的一部分內(nèi)容。
三、初高中銜接的知識(shí)
（一）因式分解。因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變換之一，具有一定的靈活性和技巧性。這里主要是在初中教材已經(jīng)介紹過基本方法的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)補(bǔ)充十字相乘。
1.因式分解的概念
2.因式分解的方法
（1）提公因式法，即把各項(xiàng)的公因式提出來；
（2）運(yùn)用公式法，即逆用乘法公式。
（3）分組分解法，即將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆纸M，提出各組的公因式或應(yīng)用公式分解，下一步能再進(jìn)行分解，這種方法才可行。
（二）十字相乘，在分解時(shí)，把二次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)分別分解成兩個(gè)數(shù)的積，并使它們交叉相乘的積的和等于一次項(xiàng)。
（三）一元二次方程，一元二次函數(shù)，一元二次不等式。
1.一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系
2.求根公式、判別式
3.二次函數(shù)的圖象
關(guān)鍵詞：等差數(shù)列； 前 項(xiàng)和公式； 思想
許多國(guó)內(nèi)外有名的數(shù)學(xué)教育家都指出：“無論從歷史的發(fā)生還是系統(tǒng)的角度看， 數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)的基石. 可以說，沒有數(shù)的序列就沒有數(shù)學(xué)”. 所以， 數(shù)列在數(shù)學(xué)中有著極其重要的地位， 我們更需要進(jìn)一步的了解數(shù)學(xué). 高中的新課標(biāo)也指出， “研究數(shù)列問題的文化背景， 可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科與人類社會(huì)發(fā)展之間的相互作用的認(rèn)識(shí)， 讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值開闊學(xué)生的視野， 從而提高學(xué)生的文化素養(yǎng)， 同時(shí)也能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)”.
如何使用這兩個(gè)公式解決問題呢？下面我們通過舉例來探析.
一、具有函數(shù)方程思想的公式一
在高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出， 數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編寫是按照“螺旋上升”式原則編制的， 因此， 人教版新課標(biāo)數(shù)學(xué)必修5 第二章《數(shù)列》的安排并不是突然的. 由于在數(shù)列的概念和表示方法中提到“按照一定順序排列的一組數(shù)稱為數(shù)列”， 我們可知在小學(xué)和初中的時(shí)候?qū)W生都已經(jīng)接觸過類似題目， 但在此之前學(xué)生沒有系統(tǒng)的學(xué)習(xí)這一類的知識(shí)， 所以對(duì)它感覺比較陌生. 高中數(shù)學(xué)的必修5第二章中數(shù)列以單獨(dú)的形式體現(xiàn)出來可以看到它的重要性， 還在選修的4-3中再次出現(xiàn)， 更加說明他在中學(xué)教材的地位 .
（一）方程思想
在數(shù)學(xué)思想方法方面， 數(shù)列這部分內(nèi)容中涉及到了函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、遞推、歸納類比、整體代入、猜想、數(shù)學(xué)建模等重要的數(shù)學(xué)思想方法. 故我們可運(yùn)用方程思想， 將題目條件用前 項(xiàng)和公式表為關(guān)于首項(xiàng) 和公差 的二元方程組來解決問題.
總結(jié)：
在新課標(biāo)的教材中，雖然只是簡(jiǎn)單的介紹了數(shù)列的基本概念和通項(xiàng)以及前 項(xiàng)和，但在數(shù)學(xué)題目中它常結(jié)合實(shí)際問題，還與函數(shù)、不等式、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等的靈活結(jié)合，使它在高考中的地位在不斷的上升. 因此， 求數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和將成為高考對(duì)數(shù)列知識(shí)主要的考點(diǎn).
對(duì)于新課標(biāo)下的數(shù)列教學(xué)，我們不僅要滿足最基本的課本知識(shí)傳輸，更要讓學(xué)生對(duì)這些知識(shí)產(chǎn)生興趣，而不是機(jī)械般的接受教師強(qiáng)制給予，更要變成學(xué)生主動(dòng)去獲數(shù)列的知識(shí)， 并且培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力和研究精神，這樣有助于學(xué)生更好的學(xué)習(xí) .
參考文獻(xiàn)
[1]中學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5[M]. 北京： 人民教育出版， 2015.
[2]任志鴻. 十年高考分類解析與應(yīng)試策略[M]. 北京： 知識(shí)出版社， 2016.
