時間：2023-02-27 11:19:15
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——談反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識的應(yīng)用
江蘇省泰州市九龍實驗學(xué)校 陳建（225300）
一、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識
1．一般地，形如y=(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù),其中x是自變量,y是函數(shù),k是比例系數(shù).
2.函數(shù)的解析式的特征:①等號左邊是函數(shù)y,等號右邊是一個分式,分子是常數(shù)k,分母中含有自變量x,且x的指數(shù)是1.②自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù).③比例系數(shù)“k≠0”是反比例函數(shù)定義的一個重要組成部分.④函數(shù)y的取值范圍也是一切非0的實數(shù).
3.反比例函數(shù)的幾種等價形式：y=;y=kx-1;xy=k.(k≠0)
4.用待定系數(shù)法，求反比例函數(shù)的解析式：反比例函數(shù) （且k為常數(shù)）中，只有一個待定系數(shù)，因此只需一對對應(yīng)值就可求出k的值，從而確定其解析式.
5.反比例函數(shù)y=( k為常數(shù),k≠0)圖象是雙曲線.(既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形)
6.反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：當(dāng)k>0時,雙曲線位于第一,三象限,在每個象限內(nèi),曲線從左向右下降,因而y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時,雙曲線位于第二,四象限,在每個象限內(nèi),曲線從左向右上升,因而y隨x的增大而增大.雙曲線與x軸,y軸都沒有交點(diǎn),而是越來越接近x軸,y軸.
7.比例系數(shù)k的幾何意義:反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義,如果過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸,y軸垂線,與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為|k|.
二、反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識的應(yīng)用
例1． 已知 是反比例函數(shù)
（1） 求它的解析式.
（2） 求自變量 的取值范圍，在每個象限內(nèi)， 隨 的增大而怎樣變化？
（3） 它的圖象位于哪個象限？
分析： （k≠0）叫反比例函數(shù)，也可以寫成 ，因此，它的特點(diǎn)是（1）k≠0，（2）x的指數(shù)為-1.
解：（1）由題意得 ， ，解析式為
（2）自變量 的取值范圍是 .
（3）由于 ，它的圖象位于二、四象限；在每個象限內(nèi)， 隨 的增大而增大.
O
A
O
O
B
O
O
C
O
O
D
O
例2、在同一坐標(biāo)系中，函數(shù) 和 的圖像大致是 （ ）
分析：本題是考查含有字母系數(shù)的幾個函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象，分 和 兩種情況進(jìn)行討論，選A.
例3、如右圖，在 的圖象上有兩點(diǎn)A、C，
過這兩點(diǎn)分別向x軸引垂線，交x軸于B、D兩點(diǎn)，
連結(jié)OA、OC，記ABO、CDO的面積為 ，
則 與 的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.不確定
分析：由基礎(chǔ)知識7知 ，故選C.
例4．已知反比例函數(shù) 的圖像上有兩點(diǎn)A( ， )，B( ， )， 且 ，則 的值是（ ）
A、正數(shù) B、負(fù)數(shù) C、非正數(shù) D、不能確定
分析：由 可分為 ，易得 ，故選D.特別要注意反比例函數(shù)的增減性是對每一支曲線而言.
例5．如圖是三個反比例函數(shù) ， ， 在x軸上方的圖象，由此觀察得到 、 、 的大小關(guān)系為（ ）
A、 B、
C、 D、
分析：根據(jù)圖象所在的象限，知 ，取 得 ，即 ，故選B.
例6．在矩形ABCD中AB=3，BC=4，P是BC邊上與B點(diǎn)不重合的任意點(diǎn)，PA=x，D點(diǎn)到PA的距離為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖像以及自變量x的取值范圍.
D
B
A
E
C
P
解：如圖，由題意（1）∠DEA=∠ABP，∠1=∠2，DEA∽ABP，
即
(2) P在BC上,與B不重合,可以與C重合
, .
(3)由于函數(shù)自變量的取值范圍是3<x≤5，所以y對應(yīng)的取值范圍是 ，因此圖像只是一段曲線 , 其中不包括（3，4）而包括（5， ）.(圖略)
例7.已知一個函數(shù)具有以下條件：（1）該圖象經(jīng)過第四象限；（2）當(dāng) 時， y隨x的增大而增大；（3）該函數(shù)圖象不經(jīng)過原點(diǎn).請寫出一個符合上述條件的函數(shù)關(guān)系式： .
分析:這是一道開放題,必須非常熟悉函數(shù)的圖象和性質(zhì),才能解決問題.符合上述條件的函數(shù)關(guān)系式為 .
例8、某自來水公司計劃新建一個容積為40000 的長方形蓄水池.
（1）蓄水池的底面積S（ ）與其深度h（m）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
（2）如果蓄水池的深度設(shè)計為5m，那么蓄水池的底面積應(yīng)為多少平方米？
（3）由于綠化以及輔助用地的需要，經(jīng)過實地測量，蓄水池的長和寬最多能分別設(shè)計為100m和60m，那么蓄水池的深度至少達(dá)到多少才能滿足要求？（保留兩位小數(shù)）
一、識圖
學(xué)會認(rèn)識題目中的圖形,使解題思路清楚,將題目“清晰化”
例1(漳州)矩形面積為4,它的長 與寬 之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可表示為()
解析:由題意xy=4,即y是x的反比例函數(shù),圖象B和C都是反比例函數(shù)圖象,但圖象B的自變量取值范圍是x>0,選B。
例2 (蘭州) 如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A是 軸正半軸上的一個定點(diǎn),點(diǎn)B是雙曲線y= (x>0)上的一個動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)逐漸增大時,OAB的面積將會()。
A.逐漸增大 B.不變
C.逐漸減小 D.先增大后減小
解析:雙曲線無限靠近坐標(biāo)軸但與坐標(biāo)軸不相交,在第一象限內(nèi)當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)逐漸增大時,點(diǎn)B到x軸的距離越來越小,所以O(shè)AB的面積將會逐漸減小。選C。
點(diǎn)悟:識圖是學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的基礎(chǔ),“點(diǎn)動成線”即圖象是由滿足某個條件的無數(shù)個點(diǎn)組成的,而這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別代表著函數(shù)的兩個變量,因此函數(shù)的變化可以通過點(diǎn)的變化形成的圖象直觀地反映出來。
二、想圖
無圖想圖,把數(shù)和形有機(jī)地結(jié)合起來,將題目“明朗化”
例3 (揚(yáng)州) 函數(shù)y= 的圖象與直線 沒有交點(diǎn),那么k的取值范圍是( )。
A.k>1 B.k―1 D.k
解析:由解析式想圖象,直線y=x經(jīng)過一、三象限,而函數(shù)y=的圖象是雙曲線,它又與直線無交點(diǎn),那么雙曲線只能在二、四象限,得1-k
例4 (東營) 已知點(diǎn)M (-2,3)在雙曲線y= 上,則下列各點(diǎn)一定在該雙曲線上的是( )。
A.(3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)
解析:第二象限的點(diǎn) M (-2,3 )在雙曲線y= 上,可知雙曲線在二、四象限,題中四個點(diǎn)只有A在第四象限,因此選A。
點(diǎn)悟:研究函數(shù)離不開圖象,當(dāng)題目中沒有圖象時,要能根據(jù)條件充分地想象,把“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”,以形助數(shù),從而得到解決問題的方法。
三、畫圖
作出符合題意的圖象,將題目“直觀化”。
例5 (內(nèi)江) 若A(a,b),B(a-2,c)兩點(diǎn)均在函數(shù)y= 的圖象上,且a
A.b>c B.b
C.b=c D.無法判斷
解析:k=1>0,所以圖象在一、三象限,又a
例6 (梧州)已知點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函數(shù)y=
(k>0)圖象上的兩點(diǎn),若x1
A.y1
解析:k>0,所以圖象在一、三象限,又x1
點(diǎn)悟:把數(shù)轉(zhuǎn)化成形,并能畫出函數(shù)圖象是學(xué)習(xí)函數(shù)的基本要求之一,通過畫出圖象使題目直觀化,這樣能更好地分析函數(shù)性質(zhì),加深對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識,有利于探求解題的途徑。
四、用圖利用圖象的橋梁作用,把性質(zhì)和解析式聯(lián)系起來,將題目“互動化”
例7 (黃石) 如圖所示,正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn),分別以A、B兩點(diǎn)為圓心,畫與 軸相切的兩個圓,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),則圖中兩個陰影部分面積的和是 。
解析:因為反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形,所以A、B兩點(diǎn)是對稱點(diǎn),那么整個圖形是中心對稱圖形,得兩圓的陰影部分可拼成一個圓,半徑為1,所以兩個陰影部分面積的和為π。
例8 (鐵嶺)如圖所示,反比例函數(shù)y1與正比例函數(shù)y2的圖象的一個交點(diǎn)坐標(biāo)是A(2,1),若y2>y1>0,則x的取值范圍在數(shù)軸上表示為()。
性質(zhì)1 直線與雙曲線相離一定有k1k2＜0.
當(dāng) k1k2＞0 時直線與雙曲線一定相交.
證明(略)
性質(zhì)2 直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)時,兩線相切,并且切點(diǎn)是直線被兩坐標(biāo)軸所截線段的中點(diǎn)；反之,如果雙曲線經(jīng)過直線被兩坐標(biāo)軸所截線段的中點(diǎn),則兩線一定相切.
因為Δ=(-2k2[]m)2-4•k2[]m2•k2=4k22[]m2-4k22[]m2=0 .所以兩線只有一個交點(diǎn),兩線相切.
性質(zhì)3 直線與雙曲線相交時,直線被雙曲線和兩坐標(biāo)軸截得的線段相等.
證明 如圖1(2),過點(diǎn)C作CEy軸,過點(diǎn)D作DFx軸,
連接E、F.由CE∥y軸,DF∥x軸,可知SECF=SECO=1[]2k2,SDFE=SDFO=1[]2k2, 所以SECF=SDFE.
又因為兩三角形底相等,所以高也相等,所以EF∥AB,則四邊形AEFD、ECBF都是平行四邊形,
所以EC=BF,AE=DF.可判斷RtAEC≌RtDFB,所以AC=BD.
通過上述證明過程又可得到以下性質(zhì)：
性質(zhì)4 當(dāng)直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)時,過其中一個點(diǎn)向x軸引垂線,y軸引垂線,兩垂足連線一定與該直線平行.
由圖2,圖2(1)都可證明性質(zhì)3與性質(zhì)4(證明過程同上).并且由圖2還可以得到
性質(zhì)5 過原點(diǎn)的直線與雙曲線相交時,兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.
證明 如圖2,由性質(zhì)4知EF∥AB,因此四邊形AEFO、BOEF都是平行四邊形,所以AE=OF,OE=BF,EF=OA=OB,又A、B分別在二、四象限,因此A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.
另外由圖3,還可以發(fā)現(xiàn),設(shè)點(diǎn)P(x,y)是線段AB上一個動點(diǎn),
當(dāng)點(diǎn)P與C、D重合時,S矩形EOFC=S矩形DNOM=k2,
當(dāng)點(diǎn)P在CD段時,易得S矩形PROH＞S矩形EOFC=k2,
當(dāng)點(diǎn)P在AC段或BD段時,易得矩形面積都小于k2,因此又得到
性質(zhì)6 如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時,過點(diǎn)P與x軸、
y軸圍成的矩形面積S有如下三種情況：設(shè)點(diǎn)p、C、D的橫坐標(biāo)分別為x、x1 、x2,
則 當(dāng)x1＜x＜x2時,S矩形＞k2,
當(dāng)0＜x＜x1或當(dāng)x2＜x＜-b[]k1時,S矩形＜k2,
當(dāng)x=x1、x2時,S矩形=k2.
2 性質(zhì)應(yīng)用
例1 (2010湖北咸寧)如圖4,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y=k[]x的圖象相交于C,D兩點(diǎn),分別過C,D兩點(diǎn)作y軸,x軸的垂線,垂足為E,F,連接CF,DE．
有下列四個結(jié)論：
①CEF與DEF的面積相等；②AOB∽FOE；
③DCE≌CDF；④AC=BD．
其中正確的結(jié)論是_________(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上)
解 由上述性質(zhì)3、4得到①②④正確
例2 (2010寧夏)如圖5,已知：一次函數(shù)：y=-x+4的圖像與反比例函數(shù)：
y=2[]x(x>0)的圖像分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)M是一次函數(shù)圖像在第一象限部分上的任意一點(diǎn),過M分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為M1、M2,設(shè)矩形MM1OM2的面積為S1；點(diǎn)N為反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn),過N分別向x軸、y軸作垂線,垂足分別為N1、N2,設(shè)矩形NN1ON2的面積為S2；
(1)若設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),請寫出S1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求x取何值時,S1的最大值；
(2)觀察圖形,通過確定x的取值,試比較S1、S2的大?。?/p>
解 (1)S1=x(-x+4)=-x2+4x=-(x-2)2+4
當(dāng)x=2時,S1最大值=4 .
(2)因為S2=2[CS0,0,0,0]［,］[CS]由S1=S2可得：-x2+4x=2,
x2-4x-2=0,所以x=2±2.由性質(zhì)6可得：
當(dāng)x=2±2時,S1=S2,
當(dāng)0
當(dāng)2-2
例3 (2010泰安)如圖6,一次函數(shù)y=ax(a為常數(shù))與
反比例函數(shù)y=k[]x(k為常數(shù))的圖象相交于A、B兩點(diǎn),若A點(diǎn)的坐標(biāo)為
(－2,3),則B點(diǎn)的坐標(biāo)_________.
解 由性質(zhì)3知B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,因此B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3).
例4 (2009溫州)如圖7,在平面直角坐標(biāo)系中,
直線AB與y軸和x軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,
與反比例函數(shù)y=m[]x在第一象限的圖象交于點(diǎn)C(1,6)、點(diǎn)D(3,n)．
過點(diǎn)C作CEy軸于E,過點(diǎn)D作DFx軸于F．
(1)求m,n的值；
(2)求直線AB的函數(shù)解析式；
(3)求證：AEC≌DFB．
解 如圖7.(1)m=6,n=2
(2) 直線AB的函數(shù)解析式為y=-2x+8.
一、利用特殊四邊形的性質(zhì)找到在反比例函數(shù)圖像上的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定反比例函數(shù)的解析式
例1.如圖1，菱形的頂點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，2）．若反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，則K的值為（）
A.-6. B.-3.C.3.D.6.
解析：如圖1，因為菱形的兩條對角線互相垂直平分，又在軸上，所以頂點(diǎn)C、A關(guān)于軸對稱，已知C的坐標(biāo)為（-3，2），所以A的坐標(biāo)為（3，2）.
反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，則K=3×2=6，故選D.
二、根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義探究特殊四邊形的面積
例2.如圖2，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=-■（x＜0）的圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作ABCD，使點(diǎn)B、C在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，則ABCD的面積為（）
A.1B.3
C.6D.12
分析：過點(diǎn)A作AEOB于點(diǎn)E，容易證明ABE≌DCO.
所以平行四邊形ABCD的面積等于矩形ADOE的面積等于AD×AE.
根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義可得：矩形ADOE的面積為6，即可得平行四邊形ABCD的面積為6．故選C．
例3.如圖3，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=■(x＞0)的圖像上任意一點(diǎn)，AB∥x軸交反比例函數(shù)y=－■ 的圖像于點(diǎn)B.以AB為邊作ABCD，其中C、D在x軸上，則SABCD為()
A．2 B．3
C．4 D．5
分析：分別過點(diǎn)B、A作BECD于E，AFCD于F，因為AB∥x軸，所以BE=AF.四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC=AD，所以BCE≌AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故選D.
評注：例2、3都考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線段，圍成矩形的面積就是｜k｜,圖像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取負(fù).
三、以點(diǎn)的坐標(biāo)為載體設(shè)計規(guī)律探究問題
例4.給出下列命題：
命題1：直線y=x與雙曲線有一個交點(diǎn)是（1，1）；
命題2：直線y=8x與雙曲線y=■有一個交點(diǎn)是（■，4）；
命題3：直線y=27x與雙曲線y=■有一個交點(diǎn)是（■，9）；
命題4：直線y=64x與雙曲線y=■有一個交點(diǎn)是（■，16）；
……
（1）請你閱讀、觀察上面命題，猜想出命題n（n為正整數(shù)）；
（2）請驗證你猜想的命題n是真命題．
解析：觀察命題1~4的結(jié)構(gòu)特征可以發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的比例系數(shù)與命題的序號是相同的，直線解析式中一次項的系數(shù)是命題的序號的立方數(shù)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是命題相應(yīng)序號的倒數(shù)，縱坐標(biāo)是命題相應(yīng)序號數(shù)的平方數(shù). 據(jù)此可以猜想出（1）命題n：直線y=n3x與雙曲線y=■有一個交點(diǎn)是（■，n2）.
（2）將（■，n2）代入直線y=n3x得：右邊n3×■=n2，左邊為n2，所以左邊等于右邊，所以點(diǎn)(■，n2)在直線y=n3x上，同理可證：點(diǎn)（■，n2）在雙曲線y=■上.
關(guān)鍵詞：中考；反比例函數(shù)；數(shù)學(xué)；解答技巧；問題探究
數(shù)學(xué)中反比例函數(shù)應(yīng)用問題是中考的重難點(diǎn)，對于考生來說每次的解題都是一次新的挑戰(zhàn)。作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該重視數(shù)學(xué)中反比例函數(shù)應(yīng)用問題，將這一章節(jié)列為重點(diǎn)講解對象，精心設(shè)計教學(xué)目標(biāo)，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，多利用多媒體課件等方式，提高學(xué)生對反比例函數(shù)的認(rèn)知，做起練習(xí)題來得心應(yīng)手，不再讓反比例函數(shù)應(yīng)用問題成為中考的困擾。筆者根據(jù)自身多年的教學(xué)經(jīng)驗，對中考中的反比例函數(shù)應(yīng)用問題進(jìn)行探究，提出了以下三大方面的要求。
一、認(rèn)真分析反比例函數(shù)的題意
學(xué)生要想掌握反比例函數(shù)解題技巧，輕松解題，首先要知道什么是反比例函數(shù)，它的應(yīng)用目的又是什么，知己知彼才能百戰(zhàn)不殆。函數(shù)分為正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，y=k/x（k為常數(shù)且k≠0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)，并且自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。因此，學(xué)生在解反比例函數(shù)應(yīng)用問題時，應(yīng)該認(rèn)真仔細(xì)地分析題目要求，理清題中的函數(shù)關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后再根據(jù)實際問題解決反比例函數(shù)應(yīng)用問題。
二、注意反比例函數(shù)與方程聯(lián)系
學(xué)生通過教師對反比例函數(shù)的講解，已經(jīng)能初步掌握反比例函數(shù)，但是學(xué)生對應(yīng)用題解答上還是存在一定的困難。對此，教師還需要對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，使他們將反比例函數(shù)與方程聯(lián)系起來，利用函數(shù)解決實際問題。反比例函數(shù)與方程的結(jié)合，大大降低了難度系數(shù)，學(xué)生的自信心得以增加，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生解決問題的積極性。
三、注重反比例函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想為反比例函數(shù)問題的解決創(chuàng)造了條件，也為開發(fā)學(xué)生思維能力提供了機(jī)會。在處理“數(shù)”的問題時，要有轉(zhuǎn)化為“形”的意識，用“形”直觀引發(fā)出直覺，從而定位解題方向。反比例函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，可以使問題化繁為簡，從而達(dá)到事半功倍的效果，讓學(xué)生真正掌握解題技巧。
總之，學(xué)生只要重視反比例函數(shù)應(yīng)用問題，掌握問題解答的技巧，在中考數(shù)學(xué)中碰見此類型題時就能快速解答，既省時間又能得高分，并且能為今后學(xué)次函數(shù)知識奠定基礎(chǔ)。
一、拓展定義，完善概念
教師不是簡單地將概念“拋”給學(xué)生，而要引導(dǎo)學(xué)生在積極思維討論、主動合作探究的基礎(chǔ)上通過歸納形成概念，并通過簡單的習(xí)題訓(xùn)練不斷拓展，引導(dǎo)學(xué)生抓住概念的本質(zhì)。筆者在反比函數(shù)教學(xué)中引入定義時，向?qū)W生介紹其基本形式為：y=■（k≠0），或y=kx-1（k≠0），但學(xué)生對反比例函數(shù)概念的認(rèn)識尚處于表象，教師適時將定義變式，設(shè)計幾個變式題目來強(qiáng)化概念。
變式1：若函數(shù)y=（m-2）x|m|-3是反比例函數(shù)，則m的值為（ ）
A、m=-2 B、m=2 C、m=2或-2 D、m=3或-3
本題變式旨在讓學(xué)生由反比例函數(shù)定義，一個函數(shù)滿足是反比例函數(shù)的必備要件分別是k≠0、x的指數(shù)為-1。
變式2：如果函數(shù)y=kxk■-10是一個反比例函數(shù)，求k的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式。
二、 數(shù)形結(jié)合，化繁為簡
反函數(shù)教學(xué)要改變數(shù)、形彼此“兩邊飛”的現(xiàn)狀，要將數(shù)與形完美結(jié)合，從而兼具“數(shù)”的關(guān)系和“形”的直觀，在面積計算、比例大小等內(nèi)容教學(xué)中要利用其圖象特點(diǎn)，將復(fù)雜的問題簡單化。
題源：若函數(shù)y=■的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，6），則下列各點(diǎn)中不在y=■圖象上的是（ ）。
A、（3，4） B、（2，-6）
C、（3，-4） D、（-3，4）
變式1：如右圖所示，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過A作ABx軸于B，若SAOB=5，則解析式為 。
通過觀察圖象可知，雙曲線上任一點(diǎn)引x軸（或y軸垂線），該點(diǎn)與垂足、原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積是定值，
即SAOB=■k。
變式2：已知一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=■的圖象交于點(diǎn)A與B。（1）請利用給定的條件，求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出ax+b>■時x的取值范圍。
本題旨在要求學(xué)生利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)來求不等式的解集。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)上方時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，即x
三、挖掘性質(zhì)，探索規(guī)律
函數(shù)作為初中代數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生往往被其若干個性質(zhì)搞得頭昏腦脹。教師要通過變式練習(xí)，引領(lǐng)學(xué)生深入挖掘函數(shù)的性質(zhì)，探索其內(nèi)在的規(guī)律，才能使學(xué)生在解決問題時應(yīng)對自如。
題源：若點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函數(shù)圖象上，且x1
學(xué)生根據(jù)k>0確定反比例函數(shù)圖象分布在一、三象限，在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而減少，容易得出結(jié)論y1
變式：若點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）分別在反比例函數(shù)的圖象上，且x1
四、關(guān)注社會，聯(lián)系生活
數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根植于社會生活實際，從生活中搜索數(shù)學(xué)素材，精心編制習(xí)題，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。
題源：已知點(diǎn)M（-1，4）在反比例函數(shù)y=kx-1（k≠0）圖象上，則k的值是 。
變式1：在溫度不變的條件下，一定質(zhì)量的氣體的壓強(qiáng)p與它的體積V成反比例。當(dāng)p=50時，V=600，則當(dāng)p=40時，V= 。
變式2：某學(xué)校為響應(yīng)政府發(fā)出的全民健身的號召，打算在長24m、寬12m的矩形大禮堂內(nèi)修建一個60m2的矩形健身房ABCD，該健身房的四面墻壁有兩側(cè)沿用大廳的舊墻壁。已知裝修舊墻壁的費(fèi)用為60元/平方米，新建（含裝修）的費(fèi)用為240元/平方米。設(shè)健身房的高為3米，一面舊壁AB的長為x米，修建健身房的總投入為y元。
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）為合理利用大廳，要求自變量x滿足7≤x≤14。當(dāng)投入資金為14400元時，問利用舊墻壁的總長度為多少米？
1結(jié)論證明
圖1如圖1，AC是長方形ABCD的對角線，點(diǎn)P是對角線BD上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E分別做AB、AD的平行線段IF、HG，點(diǎn)I、F分別在AD、BC上，點(diǎn)H、G分別在AB、DC上。則圖中陰影部分的面積相等即S1=S2。
證明如圖，在矩形ABCD中，易知
SABD=SCDB。①
同理在矩形AHGD中，知SPGD=SDIP。②
同理在矩形HBFP中，知SHBP=SFPB。③
①-②-③得：S1=S2。
這是矩形學(xué)習(xí)中很容易證明的一個結(jié)論，但一類有關(guān)反比例函數(shù)的題目，用矩形的這個結(jié)論來解顯得極其容易，若對這個結(jié)論沒掌握好要解這類題目是不容易的，下面我們來一起學(xué)習(xí)一下這個結(jié)論在反比例函數(shù)試題中的應(yīng)用.
2應(yīng)用舉例
圖2例1如圖2，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=k1x的圖象上。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，-2），則k的值為（）
A。-2B。2C。3D。4
解法1設(shè)C（m，n），則B（-2，n），D（m，-2），因BD經(jīng)過原點(diǎn)，得n1-2=-21m，得mn=4，所以k=4.
解法2由以上結(jié)論，易知與兩坐標(biāo)軸圍成的一、三限象中兩小矩形面積相等，由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，-2）得小矩形面積為4，所以k=4，答案：D.
點(diǎn)評顯然，解法一不易想到正比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)B、D坐標(biāo)滿足的關(guān)系，從而解不出k的值。若熟悉以上矩形中的結(jié)論，便可很容易求出k的值來。
例2如圖2，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=k2+2k+11x的圖象上。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，-2），則k的值為（）
A。1B。-3C。4D。1或-3
點(diǎn)評由結(jié)論以上，易知k2+2k+1=4，解得：k=1或-3。
答案：D.
