時間：2023-02-27 11:15:12
序論：在您撰寫實數教案時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導您走向新的創(chuàng)作高度。
【關鍵詞】高中數學 課堂教學 學案式教學
陶行知先生說：“好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學?！睂W習應該是學習者在其已有的知識和經驗基礎之上進行的主動構建的過程，是學習者內在的思維活動與外部學習環(huán)境共同作用的結果。在實踐“學案式”教學法的過程中，我逐漸感受到“學案式”教學法確實可以實現(xiàn)這一目的，為學生能夠終身學習奠定基礎。
在運用學案的教學過程中，我認為學案的編制應體現(xiàn)以下幾個部分：
學案中首先要體現(xiàn)出明確，具體的學習目標。即知識與技能目標，過程與方法目標，情感、態(tài)度與價值觀目標，以及教學重點、難點。布魯納認為：“有效的教學始于準確地知道希望達到的目標是什么。學案設計的關鍵所在是設計恰當的問題從而引導學生探索求知。在講《不等關系與不等式》這節(jié)課時，我在課前預備這一環(huán)節(jié)設計了這樣的問題：
認真閱讀教材，獨立完成后，小組交流討論各自的觀點和看法。
1．用數學符號 連接兩個數或代數式，以表示它們之間的 關系，含有這些不等號的式子叫做
。
2．數軸上的任意兩點中，右邊的點對應的實數總比左邊的點對應的實數 。
3．a≥b的含有是 ；
若a>b，則a≥b是 命題；
若a≥b，則a=b是 命題。
4．比較兩個實數大小的依據是：
ab>0?圳 ；ab=0?圳 ；ab
5．作差比較兩個代數式的大小過程中，變形的方法常有 和 ．
這一環(huán)節(jié)也可以做為“前置作業(yè)”布置給學生，讓學生在新舊知識的比較中找出共同點與區(qū)別，順利地完成知識的正遷移，通過類似的探索解決新問題，使學生感到知識易學、會學，從而樂學。課堂上教師則可以組織學生討論前置作業(yè)中的有關問題。值得注意的是，在學生討論交流過程中，教師應積極引導學生緊扣教材、學案，針對學案中的問題展開討論交流，避免草草了事或形式主義，最大限度地提高課堂教學效率。教師根據教學重點，難點及學生在自學交流過程中遇到的問題，進行重點講解。
教師要想設計出恰當的課前準備作業(yè)，必須熟悉并吃透教材，領悟相應的重難點，教學目標要定位準確。如果教師布置課前準備作業(yè)時對目標把握的不明確、不準確，那么課堂上學生的交流也只能停留在泛泛而談的淺層次上，教師更不能引領學生進行有效交流。我認為數學老師應依據本學科的特點，把握住清晰、準確、合適的目標定位，在不改變現(xiàn)行教材編排的基礎上，一是要考慮如何精心設計前置性學習的內容；二是要思考哪些具有開放且有價值的問題需要學生充分的探索與研究。在布置前置性作業(yè)和備課的過程中向學生提出了有價值的問題，只有有了問題的開放，才有可能帶來探索的開放，繼而形成思維的開放?？茖W的前置性作業(yè)的完成，使得課內研究的深度與廣度得到進一步拓展，同時也使得數學學習的思維性、開放性、邏輯化等問題都能得到有效解決。讓學生有備而來的學，這也才是生命的課堂、平等的課堂。
學案導學的最后一個環(huán)節(jié)是當堂檢測。檢測的設計應緊扣本節(jié)課的教學內容和能力培養(yǎng)目標及學生的認知水平進行。對問題的設計，應注意多設疑，在無疑――有疑――無疑的過程中，使學生由未知到有知，由淺入深，由表入里，由此入彼地掌握知識，增強學習能力。
虛假的學問比無知更糟糕。無知好比一塊空地，可以耕耘和播種;虛假的學問就象一塊長滿雜草的荒地，幾乎無法把草拔盡。就像不扎實的數學基礎。下面就是小編為大家梳理歸納的內容，希望能夠幫助到大家。
2020北師大九年級下冊數學教案：正弦和余弦一、素質教育目標
(一)知識教學點
使學生知道當直角三角形的銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也都固定這一事實.
(二)能力訓練點
逐步培養(yǎng)學生會觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.
(三)德育滲透點
引導學生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學習習慣.
二、教學重點、難點
1.重點：使學生知道當銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事實.
2.難點：學生很難想到對任意銳角，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的事實，關鍵在于教師引導學生比較、分析，得出結論.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.如圖6-1，長5米的梯子架在高為3米的墻上，則A、B間距離為多少米?
2.長5米的梯子以傾斜角∠CAB為30°靠在墻上，則A、B間的距離為多少?
3.若長5米的梯子以傾斜角40°架在墻上，則A、B間距離為多少?
4.若長5米的梯子靠在墻上，使A、B間距為2米，則傾斜角∠CAB為多少度?
前兩個問題學生很容易回答.這兩個問題的設計主要是引起學生的回憶，并使學生意識到，本章要用到這些知識.但后兩個問題的設計卻使學生感到疑惑，這對初三年級這些好奇、好勝的學生來說，起到激起學生的學習興趣的作用.同時使學生對本章所要學習的內容的特點有一個初步的了解，有些問題單靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知識是不能解決的，解決這類問題，關鍵在于找到一種新方法，求出一條邊或一個未知銳角，只要做到這一點，有關直角三角形的其他未知邊角就可用學過的知識全部求出來.
通過四個例子引出課題.
(二)整體感知
1.請每一位同學拿出自己的三角板，分別測量并計算30°、45°、60°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值.
學生很快便會回答結果：無論三角尺大小如何，其比值是一個固定的值.程度較好的學生還會想到，以后在這些特殊直角三角形中，只要知道其中一邊長，就可求出其他未知邊的長.
2.請同學畫一個含40°角的直角三角形，并測量、計算40°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值，學生又高興地發(fā)現(xiàn)，不論三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分學生可能會想到，當銳角取其他固定值時，其對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的嗎?
這樣做，在培養(yǎng)學生動手能力的同時，也使學生對本節(jié)課要研究的知識有了整體感知，喚起學生的求知欲，大膽地探索新知.
(三)重點、難點的學習與目標完成過程
1.通過動手實驗，學生會猜想到“無論直角三角形的銳角為何值，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的”.但是怎樣證明這個命題呢?學生這時的思維很活躍.對于這個問題，部分學生可能能解決它.因此教師此時應讓學生展開討論，獨立完成.
2.學生經過研究，也許能解決這個問題.若不能解決，教師可適當引導：
若一組直角三角形有一個銳角相等，可以把其
頂點A1，A2，A3重合在一起，記作A，并使直角邊AC1，AC2，AC3……落在同一條直線上，則斜邊AB1，AB2，AB3……落在另一條直線上.這樣同學們能解決這個問題嗎?引導學生獨立證明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，AB1C1∽AB2C2∽AB3C3∽……，
形中，∠A的對邊、鄰邊與斜邊的比值，是一個固定值.
通過引導，使學生自己獨立掌握了重點，達到知識教學目標，同時培養(yǎng)學生能力，進行了德育滲透.
而前面導課中動手實驗的設計，實際上為突破難點而設計.這一設計同時起到培養(yǎng)學生思維能力的作用.
練習題為 作了孕伏同時使學生知道任意銳角的對邊與斜邊的比值都能求出來.
(四)總結與擴展
1.引導學生作知識總結：本節(jié)課在復習勾股定理及含30°角直角三角形的性質基礎上，通過動手實驗、證明，我們發(fā)現(xiàn)，只要直角三角形的銳角固定，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的.
教師可適當補充：本節(jié)課經過同學們自己動手實驗，大膽猜測和積極思考，我們發(fā)現(xiàn)了一個新的結論，相信大家的邏輯思維能力又有所提高，希望大家發(fā)揚這種創(chuàng)新精神，變被動學知識為主動發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識.
2.擴展：當銳角為30°時，它的對邊與斜邊比值我們知道.今天我們又發(fā)現(xiàn)，銳角任意時，它的對邊與斜邊的比值也是固定的.如果知道這個比值，已知一邊求其他未知邊的問題就迎刃而解了.看來這個比值很重要，下節(jié)課我們就著重研究這個“比值”，有興趣的同學可以提前預習一下.通過這種擴展，不僅對正、余弦概念有了初步印象，同時又激發(fā)了學生的興趣.
四、布置作業(yè)
本節(jié)課內容較少，而且是為正、余弦概念打基礎的，因此課后應要求學生預習正余弦概念.
五、板書設計
2020人教版九年級數學教案：函數教學目標：
1、進一步理解函數的概念，能從簡單的實際事例中，抽象出函數關系，列出函數解析式;
2、使學生分清常量與變量，并能確定自變量的取值范圍.
3、會求函數值，并體會自變量與函數值間的對應關系.
4、使學生掌握解析式為只含有一個自變量的簡單的整式、分式、二次根式的函數的自變量的取值范圍的求法.
5、通過函數的教學使學生體會到事物是相互聯(lián)系的.是有規(guī)律地運動變化著的.
教學重點：了解函數的意義，會求自變量的取值范圍及求函數值.
教學難點：函數概念的抽象性.
教學過程：
(一)引入新課：
上一節(jié)課我們講了函數的概念：一般地，設在一個變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x的每一個值，y都有的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數.
生活中有很多實例反映了函數關系，你能舉出一個，并指出式中的自變量與函數嗎?
1、學校計劃組織一次春游，學生每人交30元，求總金額y(元)與學生數n(個)的關系.
2、為迎接新年，班委會計劃購買100元的小禮物送給同學，求所能購買的總數n(個)與單價(a)元的關系.
解：1、y=30n
y是函數，n是自變量
2、，n是函數，a是自變量.
(二)講授新課
剛才所舉例子中的函數，都是利用數學式子即解析式表示的.這種用數學式子表示函數時，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義.如第一題中的學生數n必須是正整數.
例1、求下列函數中自變量x的取值范圍.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
分析：在(1)、(2)中，x取任意實數， 與 都有意義.
(3)小題的 是一個分式，分式成立的條件是分母不為0.這道題的分母是 ，因此要求 .
同理(4)小題的 也是分式，分式成立的條件是分母不為0，這道題的分母是 ，因此要求 且 .
第(5)小題， 是二次根式，二次根式成立的條件是被開方數大于、等于零.的被開方數是 .
同理，第(6)小題 也是二次根式, 是被開方數,
.
解：(1)全體實數
(2)全體實數
(3)
(4) 且
(5)
(6)
小結：從上面的例題中可以看出函數的解析式是整數時，自變量可取全體實數;函數的解析式是分式時，自變量的取值應使分母不為零;函數的解析式是二次根式時，自變量的取值應使被開方數大于、等于零.
注意：有些同學沒有真正理解解析式是分式時，自變量的取值應使分母不為零，片面地認為，凡是分母，只要即可.教師可將解題步驟設計得細致一些.先提問本題的分母是什么?然后再要求分式的分母不為零.求出使函數成立的自變量的取值范圍.二次根式的問題也與次類似.
但象第(4)小題，有些同學會犯這樣的錯誤，將答案寫成 或.在解一元二次方程時，方程的兩根用“或者”聯(lián)接，在這里就直接拿過來用.限于初中學生的接受能力，教師可聯(lián)系日常生活講清“且”與“或”.說明這里 與是并且的關系.即2與-1這兩個值x都不能取.
例2、自行車保管站在某個星期日保管的自行車共有3500輛次，其中變速車保管費是每輛一次0.5元，一般車保管費是每次一輛0.3元.
(1)若設一般車停放的輛次數為x，總的保管費收入為y元，試寫出y關于x的函數關系式;
(2)若估計前來停放的3500輛次自行車中，變速車的輛次不小于25%，但不大于40%，試求該保管站這個星期日收入保管費總數的范圍.
解：(1)
(x是正整數，
(2)若變速車的輛次不小于25%，但不大于40%，
則
收入在1225元至1330元之間
總結：對于反映實際問題的函數關系，應使得實際問題有意義.這樣，就要求聯(lián)系實際，具體問題具體分析.
對于函數 ，當自變量 時，相應的函數y的值是 .60叫做這個函數當 時的函數值.
例3、求下列函數當 時的函數值：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：1)當 時，
(2)當 時，
(3)當 時，
(4)當 時，
注：本例既鍛煉了學生的計算能力，又創(chuàng)設了情境，讓學生體會對于x的每一個值，y都有確定的值與之對應.以此加深對函數的理解.
(二)小結：
這節(jié)課，我們進一步地研究了有關函數的概念.在研究函數關系時首先要考慮自變量的取值范圍.因此，要求大家能掌握解析式含有一個自變量的簡單的整式、分式、二次根式的函數的自變量取值范圍的求法，并能求出其相應的函數值.另外，對于反映實際問題的函數關系，要具體問題具體分析.
人教版九年級數學上冊教案：直接開平方法
理解一元二次方程“降次”——轉化的數學思想，并能應用它解決一些具體問題.
提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重點
運用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，領會降次——轉化的數學思想.
難點
通過根據平方根的意義解形如x2=n的方程，將知識遷移到根據平方根的意義解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
一、復習引入
學生活動：請同學們完成下列各題.
問題1：填空
(1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.
解：根據完全平方公式可得：(1)16 4;(2)4 2;(3)(p2)2 p2.
問題2：目前我們都學過哪些方程?二元怎樣轉化成一元?一元二次方程與一元一次方程有什么不同?二次如何轉化成一次?怎樣降次?以前學過哪些降次的方法?
二、探索新知
上面我們已經講了x2=9，根據平方根的意義，直接開平方得x=±3，如果x換元為2t+1，即(2t+1)2=9，能否也用直接開平方的方法求解呢?
(學生分組討論)
老師點評：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+1=±3
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的兩根為t1=1，t2=-2
例1 解方程：(1)x2+4x+4=1 (2)x2+6x+9=2
分析：(1)x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為(x+2)2=1.
(2)由已知，得：(x+3)2=2
直接開平方，得：x+3=±2
即x+3=2，x+3=-2
所以，方程的兩根x1=-3+2，x2=-3-2
解：略.
例2 市政府計劃2年內將人均住房面積由現(xiàn)在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面積增長率.
分析：設每年人均住房面積增長率為x，一年后人均住房面積就應該是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面積就應該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解：設每年人均住房面積增長率為x，
則：10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接開平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2=-2.2應舍去.
所以，每年人均住房面積增長率應為20%.
(學生小結)老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么?
共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉化思想”.
三、鞏固練習
教材第6頁 練習.
四、課堂小結
本節(jié)課應掌握：由應用直接開平方法解形如x2=p(p≥0)的方程，那么x=±p轉化為應用直接開平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程，那么mx+n=±p，達到降次轉化之目的.若p
關鍵詞：中職數學 教學方法 學案引導法
中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0111-01
由于中職學生數學基礎差，大部分學生對數學興趣不濃，主動性不強。面對這種情況，職業(yè)高中的數學教師就要因生而變、因材施教，采取靈活多樣的教學方法，在注重知識講授深度和廣度的基礎上，更要注重教學方法的藝術性、教學內容的靈活性、教學氛圍的活躍性，寓教于樂，寓學于導。新一輪高中數學新課改明確提出：讓學生成為學習的主人，倡導學生自主探索，主動學習。為此，我在教學中極力借鑒同行們的先進經驗，大膽嘗試“學案引導式”教學法，取得了良好的教學效果。
1 “學案引導式”教學法的意義和結構
“學案引導式”教學法是一種促進學生自主學習的課堂教學方法，其目標是以教材為載體，以學案為手段，引導學生自主學習，養(yǎng)成良好的學習習慣，逐漸地學會學習。這種教學法改變了教師的教學觀和學生的學習觀，相信并充分挖掘學生的潛能，讓學生真正體會到學習的成功與快樂。
“學案引導法”的基本結構包括教師課前的指導，課中的引導和課后的反復釋疑。具體包含四部分：學習引導+問題引導+總結引導+拓展引導。
下面是我在“一元二次不等式的圖解法”一節(jié)教學中的學案設計，提出來與大家共同商討改進。
學習內容：中等職業(yè)教育國家規(guī)劃教材數學基礎模塊上冊“第二章不等式”。
§2.3.2一元二次不等式的圖解法。
學時：一學時。
學習模式：
【學習引導】
（1）自主學習。
1）讀教材P42～P44到練習止。
2）回答問題：
①本節(jié)內容所講的一元二次不等式的解集與哪些因素有關系？
②當a>0時，二次函數y=ax2+bx+c的圖像在坐標系中的位置有哪幾種情況？
③這些不同的位置由什么決定？如何計算？
3）完成練習。
4）小結。
（2）方法指導。
1）閱讀本節(jié)內容時，必須對照初中學習的二次函數圖像―― 拋物線在坐標系中的三種位置情況：即與X軸有兩個交點，有一個交點和無交點（先考慮開口朝上的情況）。觀察圖像上縱坐標大于零的點和小于零的點在哪里？
2）本節(jié)內容屬“數形結合”的問題，應將位于x軸上方的圖像和位于x軸下方的圖像上點的坐標的范圍與一元二次不等式ac2+bx+c>0（或者0）的解聯(lián)系起來，即就是圖像上縱坐標y>0，y=0，y
3）閱讀本節(jié)內容時能否想到什么內容，并與之作比較。
【思考引導】
（1）提問題。
1）二次函數，一元二次方程，一元二次不等式三者有何聯(lián)系？
2）當a>0時，解一元二次不等式ac2+bx+c>0（或者
3）一元二次不等式ac2+bx+c>0（或者0）的求解有哪幾種情況？
4）當a
（2）變題目。
若一元二次不等式的解集為R或者？時，與該不等式對應的二次函數的圖像是什么情況？
【總結引導】
本節(jié)內容：一元二次不等式y(tǒng)=ax2+ bx+c（a>0）的圖解法。
第一步：達標（滿足哪兩個條件？）。
第二步：計算（哪個量？有什么用途？）。
第三步：分類（可分成哪幾種情況？）。
第四步：寫解集（依據是什么？）。
記憶方法：達標―― 看=b2-4ac正負―― 分類―― 寫解集。
【拓展引導】
（1）課外作業(yè)：P45習題2～4。
（2）m為何值時，方程x2+2（m-1）x+3m2-11=0有兩個不相等的實數根？
（3）m為何值時，二次函數y=mx2-（1-m）x+m與x軸無交點？
2 “學案引導法”的有關說明
（1）學案與教材，教案的關系。
教材是專家依據課標的理念設計編寫的，其中的語言表達標準、規(guī)范、精簡、書面化.教案是教師為上好一節(jié)課，根據教師本人的特點，依據教材內容，學生的情況設計的教學過程材料，僅供教師使用；學案是教師依據教材為了讓學生閱讀教材而編寫的，并通過課前的學習，課中的討論，課后的研究，使學生對概念理解后，用自己的語言對概念重新描述，并書寫在學案上，較口語化，適合學生本人的復習和閱讀.供學生使用。
（2）學案特點。
①設計上應站在學生角度考慮問題。
②方法上要引導學生讀懂教材。
③內容上包含所有的知識，技能和方法。
④使用上它是階段性學習資料。
⑤手段上通過分層設計，滿足各個層次學生的需要。
參考文獻
一、素質教育目標
（一）知識教學點：
1．熟練運用判別式判別一元二次方程根的情況．
2．學會運用判別式求符合題意的字母的取值范圍和進行有關的證明．
（二）能力訓練點：
1．培養(yǎng)學生思維的嚴密性，邏輯性和靈活性．
2．培養(yǎng)學生的推理論證能力．
（三）德育滲透點：通過例題教學，滲透分類的思想．
二、教學重點、難點、疑點及解決方法
1．教學重點：運用判別式求出符合題意的字母的取值范圍．
2．教學難點：教科書上的黑體字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根”可看作一個定理，書上的“反過來也成立”，實際上是指它的逆命題也成立．對此的正確理解是本節(jié)課的難點．可以把這個逆命題作為逆定理．
三、教學步驟
（一）明確目標
上節(jié)課學習了一元二次方程根的判別式，得出結論：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根．”這個結論可以看作是一個定理．在這個判別方法中，包含了所有各種情況，所以反過來也成立，也就是說上述結論的逆命題是成立的，可作為定理用．本節(jié)課的目標就是利用其逆定理，求符合題意的字母的取值范圍，以及進行有關的證明．
（二）整體感知
本節(jié)課是上節(jié)課的延續(xù)和深化，主要是在“明確目標”中所提的逆定理的應用．通過本節(jié)課的內容的學習，更加深刻體會到“定理”與“逆定理”的靈活應用．不但不求根就可以知道根的情況，而且知道根的情況，還可以確定待定的未知數系數的取值，本節(jié)課內容對學生嚴密的邏輯思維及思維全面性進行恰如其分的訓練．
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1．復習提問
（1）一元二次方程的一般形式？說出二次項系數，一次項系數及常數項．
（2）一元二次方程的根的判別式是什么？用它怎樣判別根的情況？
2．將復習提問中的問題（2）的正確答案板書，反之，即此命題的逆命題也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有兩個不相等的實數根，則＞0；如果方程有兩個相等的實數根，則=0；如果方程沒有實數根，則＜0．”即根據方程的根的情況，可以決定值的符號，‘’的符號，可以確定待定的字母的取值范圍．請看下面的例題：
例1已知關于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值時
（1）方程有兩個不相等的實數根；
（2）方程有兩個相等的實數根；
（1）方程無實數根．
解：a＝2，b＝-4k-1，c＝2k2-1，
b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）
＝8k+9．
方程有兩個不相等的實數根．
方程有兩個相等的實數根．
方程無實數根．
本題應先算出“”的值，再進行判別．注意書寫步驟的簡練清楚．
練習1．已知關于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．
t取什么值時，（1）方程有兩個不相等的實數根？（2）方程有兩個相等的實數根？（3）方程沒有實數根？
學生模仿例題步驟板書、筆答、體會．
教師評價，糾正不精練的步驟．
假設二項系數不是2，也不是1，而是k，還需考慮什么呢？如何作答？
練習2．已知：關于x的一元二次方程：
kx2+2（k+1）x+k=0有兩個實數根，求k的取值范圍．
和學生一起審題（1）“關于x的一元二次方程”應考慮到k≠0．（2）“方程有兩個實數根”應是有兩個相等的實數根或有兩個不相等的實數根，可得到≥0．由k≠0且≥0確定k的取值范圍．
解：＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．
原方程有兩個實數根．
學生板書、筆答，教師點撥、評價．
例求證：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0沒有實數根．
分析：將算出，論證＜0即可得證．
證明：＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）
＝4m2-4m4-20m2-16
＝-4（m4＋4m2＋4）
＝-4（m2＋2）2．
不論m為任何實數，（m2＋2）2＞0．
-4（m2＋2）2＜0，即＜0．
（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，沒有實根．
本題結論論證的依據是“當＜0，方程無實數根”，在論證＜0時，先將恒等變形，得到判斷．一般情況都是配方后變形為：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……從而得到判斷．
本題是一道代數證明題，和幾何類似，一定要做到步步有據，推理嚴謹．
此種題型的步驟可歸納如下：
（1）計算；（2）用配方法將恒等變形；
（3）判斷的符號；（4）結論．
練習：證明（x-1）（x-2）=k2有兩個不相等的實數根．
提示：將括號打開，整理成一般形式．
學生板書、筆答、評價、教師點撥．
（四）總結、擴展
1．本節(jié)課的主要內容是教科書上黑體字的應用，求符合題意的字母的取值范圍以及進行有關的證明．須注意以下幾點：
（1）要用b2-4ac，要特別注意二次項系數不為零這一條件．
（2）認真審題，嚴格區(qū)分條件和結論，譬如是已知＞0，還是要證明＞0．
（3）要證明≥0或＜0，需將恒等變形為a2＋2，-（a＋2）2……從而得到判斷．
2．提高分析問題、解決問題的能力，提高推理嚴密性和思維全面性的能力．
四、布置作業(yè)
1．教材P．29中B1，2，3．
2．當方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有實數根時，求a的正整數解．
（2、3學有余力的學生做．）
五、板書設計
12．3一元二次方程根的判別式（二）
一、判別式的意義：……三、例1……四、例2……
=b2-4ac…………
二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
（1）當＞0，……練習1……練習2……
（2）當＝0，……
（3）當＜0，……
反之也成立．
六、作業(yè)參考答案
方程沒有實數根．
B3．證明：＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5
當k無論取何實數，4k2≥0，則4k2＋5＞0
＞0
方程x2+（2k+1）x+k-1=0有兩個不相等的實數根．
2．解：方程有實根，
＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0
即：a≤3，a的正整數解為1，2，3
當a＝1，2，3時，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有實根．
3．分析：“方程”是一元一次方程，還是一元二次方程，需分情況討論：
（2）當2m-1≠0時，
一、素質教育目標
（一）知識教學點：
1．熟練運用判別式判別一元二次方程根的情況．
2．學會運用判別式求符合題意的字母的取值范圍和進行有關的證明．
（二）能力訓練點：
1．培養(yǎng)學生思維的嚴密性，邏輯性和靈活性．
2．培養(yǎng)學生的推理論證能力．
（三）德育滲透點：通過例題教學，滲透分類的思想．
二、教學重點、難點、疑點及解決方法
1．教學重點：運用判別式求出符合題意的字母的取值范圍．
2．教學難點：教科書上的黑體字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根”可看作一個定理，書上的“反過來也成立”，實際上是指它的逆命題也成立．對此的正確理解是本節(jié)課的難點．可以把這個逆命題作為逆定理．
三、教學步驟
（一）明確目標
上節(jié)課學習了一元二次方程根的判別式，得出結論：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根．”這個結論可以看作是一個定理．在這個判別方法中，包含了所有各種情況，所以反過來也成立，也就是說上述結論的逆命題是成立的，可作為定理用．本節(jié)課的目標就是利用其逆定理，求符合題意的字母的取值范圍，以及進行有關的證明．
（二）整體感知
本節(jié)課是上節(jié)課的延續(xù)和深化，主要是在“明確目標”中所提的逆定理的應用．通過本節(jié)課的內容的學習，更加深刻體會到“定理”與“逆定理”的靈活應用．不但不求根就可以知道根的情況，而且知道根的情況，還可以確定待定的未知數系數的取值，本節(jié)課內容對學生嚴密的邏輯思維及思維全面性進行恰如其分的訓練．
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1．復習提問
（1）一元二次方程的一般形式？說出二次項系數，一次項系數及常數項．
（2）一元二次方程的根的判別式是什么？用它怎樣判別根的情況？
2．將復習提問中的問題（2）的正確答案板書，反之，即此命題的逆命題也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有兩個不相等的實數根，則＞0；如果方程有兩個相等的實數根，則=0；如果方程沒有實數根，則＜0．”即根據方程的根的情況，可以決定值的符號，‘’的符號，可以確定待定的字母的取值范圍．請看下面的例題：
例1已知關于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值時
（1）方程有兩個不相等的實數根；
（2）方程有兩個相等的實數根；
（1）方程無實數根．
解：a＝2，b＝-4k-1，c＝2k2-1，
b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）
＝8k+9．
方程有兩個不相等的實數根．
方程有兩個相等的實數根．
方程無實數根．
本題應先算出“”的值，再進行判別．注意書寫步驟的簡練清楚．
練習1．已知關于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．
t取什么值時，（1）方程有兩個不相等的實數根？（2）方程有兩個相等的實數根？（3）方程沒有實數根？
學生模仿例題步驟板書、筆答、體會．
教師評價，糾正不精練的步驟．
假設二項系數不是2，也不是1，而是k，還需考慮什么呢？如何作答？
練習2．已知：關于x的一元二次方程：
kx2+2（k+1）x+k=0有兩個實數根，求k的取值范圍．
和學生一起審題（1）“關于x的一元二次方程”應考慮到k≠0．（2）“方程有兩個實數根”應是有兩個相等的實數根或有兩個不相等的實數根，可得到≥0．由k≠0且≥0確定k的取值范圍．
解：＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．
原方程有兩個實數根．
學生板書、筆答，教師點撥、評價．
例求證：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0沒有實數根．
分析：將算出，論證＜0即可得證．
證明：＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）
＝4m2-4m4-20m2-16
＝-4（m4＋4m2＋4）
＝-4（m2＋2）2．
不論m為任何實數，（m2＋2）2＞0．
-4（m2＋2）2＜0，即＜0．
（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，沒有實根．
本題結論論證的依據是“當＜0，方程無實數根”，在論證＜0時，先將恒等變形，得到判斷．一般情況都是配方后變形為：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……從而得到判斷．
本題是一道代數證明題，和幾何類似，一定要做到步步有據，推理嚴謹．
此種題型的步驟可歸納如下：
（1）計算；（2）用配方法將恒等變形；
（3）判斷的符號；（4）結論．
練習：證明（x-1）（x-2）=k2有兩個不相等的實數根．
提示：將括號打開，整理成一般形式．
學生板書、筆答、評價、教師點撥．
（四）總結、擴展
1．本節(jié)課的主要內容是教科書上黑體字的應用，求符合題意的字母的取值范圍以及進行有關的證明．須注意以下幾點：
（1）要用b2-4ac，要特別注意二次項系數不為零這一條件．
（2）認真審題，嚴格區(qū)分條件和結論，譬如是已知＞0，還是要證明＞0．
（3）要證明≥0或＜0，需將恒等變形為a2＋2，-（a＋2）2……從而得到判斷．
2．提高分析問題、解決問題的能力，提高推理嚴密性和思維全面性的能力．
四、布置作業(yè)
1．教材P．29中B1，2，3．
2．當方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有實數根時，求a的正整數解．
（2、3學有余力的學生做．）
五、板書設計
12．3一元二次方程根的判別式（二）
一、判別式的意義：……三、例1……四、例2……
=b2-4ac…………
二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
（1）當＞0，……練習1……練習2……
（2）當＝0，……
（3）當＜0，……
反之也成立．
六、作業(yè)參考答案
方程沒有實數根．
B3．證明：＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5
當k無論取何實數，4k2≥0，則4k2＋5＞0
＞0
方程x2+（2k+1）x+k-1=0有兩個不相等的實數根．
2．解：方程有實根，
＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0
即：a≤3，a的正整數解為1，2，3
當a＝1，2，3時，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有實根．
3．分析：“方程”是一元一次方程，還是一元二次方程，需分情況討論：
（2）當2m-1≠0時，
一、素質教育目標
（一）知識教學點：
1．了解根的判別式的概念．
2．能用判別式判別根的情況．
（二）能力訓練點：
1．培養(yǎng)學生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力．
2．進一步考察學生思維的全面性．
（三）德育滲透點：
1．通過了解知識之間的內在聯(lián)系，培養(yǎng)學生的探索精神．
2．進一步滲透轉化和分類的思想方法．
二、教學重點、難點、疑點及解決方法
1．教學重點：會用判別式判定根的情況．
2．教學難點：正確理解“當b2-4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）無實數根．”
3．教學疑點：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在實數范圍內，當b2-4ac＜0時，無解．在高中講復數時，會學習當b2-4ac＜0時，實系數的一元二次方程有兩個虛數根．
三、教學步驟
（一）明確目標
在前一節(jié)的“公式法”部分已經涉及到了，當b2-4ac≥0時，可以求出兩個實數根．那么b2-4ac＜0時，方程根的情況怎樣呢？這就是本節(jié)課的目標．本節(jié)課將進一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三種情況下的一元二次方程根的情況．
（二）整體感知
在推導一元二次方程求根公式時，得到b2-4ac決定了一元二次方程的根的情況，稱b2-4ac為根的判別式．一元二次方程根的判別式是比較重要的，用它可以判斷一元二次方程根的情況，有助于我們順利地解一元二次方程，也有利于進一步學習函數的有關內容，并且可以解決許多其它問題．
在探索一元二次方程根的情況是由誰決定的過程中，要求學生從中體會轉化的思想方法以及分類的思想方法，對學生思維全面性的考察起到了一個積極的滲透作用．
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1．復習提問
（1）平方根的性質是什么？
（2）解下列方程：
①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．
問題（1）為本節(jié)課結論的得出起到了一個很好的鋪墊作用．問題（2）通過自己親身感受的根的情況，對本節(jié)課的結論的得出起到了一個推波助瀾的作用．
2．任何一個一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法將
（1）當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根．
（3）當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根．
教師通過引導之后，提問：究竟誰決定了一元二次方程根的情況？
答：b2-4ac．
3．①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用符號“”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
當＞0時，有兩個不相等的實數根；
當＝0時，有兩個相等的實數根；
當＜0時，沒有實數根．
反之亦然．
注意以下幾個問題：
（1）a≠0，4a2＞0這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用，即對上式開平方，隨后有下面三種情況．正確得出三種情況的結論，需對平方根的概念有一個深刻的、正確的理解，所以，在課前進行了鋪墊．在這里應向學生滲透轉化和分類的思想方法．
（2）當b2-4ac＜0，說“方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根”比較好．有時，也說“方程無解”．這里的前提是“在實數范圍內無解”，也就是方程無實數根”的意思．
4．例1不解方程，判別下列方程的根的情況：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2＋1）-7x＝0．
解：
（1）＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，
原方程有兩個不相等的實數根．
（2）原方程可變形為
16y2-24y＋9＝0．
＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
原方程有兩個相等的實數根．
（3）原方程可變形為
5x2-7x+5=0．
＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，
原方程沒有實數根．
學生口答，教師板書，引導學生總結步驟，（1）化方程為一般形式，確定a、b、c的值；（2）計算b2-4ac的值；（3）判別根的情況．
強調兩點：（1）只要能判別值的符號就行，具體數值不必計算出．（2）判別根的情況，不必求出方程的根．
練習．不解方程，判別下列方程根的情況：
（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；
（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；
學生板演、筆答、評價．
（4）題可去括號，化一般式進行判別，也可設y＝x-2，判別方程y2＋2y-8=0根的情況，由此判別原方程根的情況．
又不論k取何實數，≥0，
原方程有兩個實數根．
教師板書，引導學生回答．此題是含有字母系數的一元二次方程．注意字母的取值范圍，從而確定b2-4ac的取值．
練習：不解方程，判別下列方程根的情況．
（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；
（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
學生板演、筆答、評價．教師滲透、點撥．
（3）解：＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1
＝4m2-8m2-4
＝-4m2-4．
不論m取何值，-4m2-4＜0，即＜0．
方程無實數解．
由數字系數，過渡到字母系數，使學生體會到由具體到抽象，并且注意字母的取值．
（四）總結、擴展
（1）判別式的意義及一元二次方程根的情況．
①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式．用“”表示
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
當＞0時，有兩個不相等的實數根；
當＝0時，有兩個相等的實數根；
當＜0時，沒有實數根．反之亦然．
（2）通過根的情況的研究過程，深刻體會轉化的思想方法及分類的思想方法．
四、布置作業(yè)
教材P．27中A1、2
五、板書設計
12．3一元二次方程根的判別式（一）
一、定義：……三、例……
…………
二、一元二次方程的根的情況……練習：……
（1）…………
一、素質教育目標
（一）知識教學點：
1．了解根的判別式的概念．
2．能用判別式判別根的情況．
（二）能力訓練點：
1．培養(yǎng)學生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力．
2．進一步考察學生思維的全面性．
（三）德育滲透點：
1．通過了解知識之間的內在聯(lián)系，培養(yǎng)學生的探索精神．
2．進一步滲透轉化和分類的思想方法．
二、教學重點、難點、疑點及解決方法
1．教學重點：會用判別式判定根的情況．
2．教學難點：正確理解“當b2-4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）無實數根．”
3．教學疑點：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在實數范圍內，當b2-4ac＜0時，無解．在高中講復數時，會學習當b2-4ac＜0時，實系數的一元二次方程有兩個虛數根．
三、教學步驟
（一）明確目標
在前一節(jié)的“公式法”部分已經涉及到了，當b2-4ac≥0時，可以求出兩個實數根．那么b2-4ac＜0時，方程根的情況怎樣呢？這就是本節(jié)課的目標．本節(jié)課將進一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三種情況下的一元二次方程根的情況．
（二）整體感知
在推導一元二次方程求根公式時，得到b2-4ac決定了一元二次方程的根的情況，稱b2-4ac為根的判別式．一元二次方程根的判別式是比較重要的，用它可以判斷一元二次方程根的情況，有助于我們順利地解一元二次方程，也有利于進一步學習函數的有關內容，并且可以解決許多其它問題．
在探索一元二次方程根的情況是由誰決定的過程中，要求學生從中體會轉化的思想方法以及分類的思想方法，對學生思維全面性的考察起到了一個積極的滲透作用．
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1．復習提問
（1）平方根的性質是什么？
（2）解下列方程：
①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．
問題（1）為本節(jié)課結論的得出起到了一個很好的鋪墊作用．問題（2）通過自己親身感受的根的情況，對本節(jié)課的結論的得出起到了一個推波助瀾的作用．
2．任何一個一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法將
（1）當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根．
（3）當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根．
教師通過引導之后，提問：究竟誰決定了一元二次方程根的情況？
答：b2-4ac．
3．①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用符號“”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
當＞0時，有兩個不相等的實數根；
當＝0時，有兩個相等的實數根；
當＜0時，沒有實數根．
反之亦然．
注意以下幾個問題：
（1）a≠0，4a2＞0這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用，即對上式開平方，隨后有下面三種情況．正確得出三種情況的結論，需對平方根的概念有一個深刻的、正確的理解，所以，在課前進行了鋪墊．在這里應向學生滲透轉化和分類的思想方法．
（2）當b2-4ac＜0，說“方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根”比較好．有時，也說“方程無解”．這里的前提是“在實數范圍內無解”，也就是方程無實數根”的意思．
4．例1不解方程，判別下列方程的根的情況：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2＋1）-7x＝0．
解：
（1）＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，
原方程有兩個不相等的實數根．
（2）原方程可變形為
16y2-24y＋9＝0．
＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
原方程有兩個相等的實數根．
（3）原方程可變形為
5x2-7x+5=0．
＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，
原方程沒有實數根．
學生口答，教師板書，引導學生總結步驟，（1）化方程為一般形式，確定a、b、c的值；（2）計算b2-4ac的值；（3）判別根的情況．
強調兩點：（1）只要能判別值的符號就行，具體數值不必計算出．（2）判別根的情況，不必求出方程的根．
練習．不解方程，判別下列方程根的情況：
（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；
（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；
學生板演、筆答、評價．
（4）題可去括號，化一般式進行判別，也可設y＝x-2，判別方程y2＋2y-8=0根的情況，由此判別原方程根的情況．
又不論k取何實數，≥0，
原方程有兩個實數根．
教師板書，引導學生回答．此題是含有字母系數的一元二次方程．注意字母的取值范圍，從而確定b2-4ac的取值．
練習：不解方程，判別下列方程根的情況．
（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；
（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
學生板演、筆答、評價．教師滲透、點撥．
（3）解：＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1
＝4m2-8m2-4
＝-4m2-4．
不論m取何值，-4m2-4＜0，即＜0．
方程無實數解．
由數字系數，過渡到字母系數，使學生體會到由具體到抽象，并且注意字母的取值．
（四）總結、擴展
（1）判別式的意義及一元二次方程根的情況．
①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式．用“”表示
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
當＞0時，有兩個不相等的實數根；
當＝0時，有兩個相等的實數根；
當＜0時，沒有實數根．反之亦然．
（2）通過根的情況的研究過程，深刻體會轉化的思想方法及分類的思想方法．
四、布置作業(yè)
教材P．27中A1、2
五、板書設計
12．3一元二次方程根的判別式（一）
一、定義：……三、例……
…………
二、一元二次方程的根的情況……練習：……
（1）…………
