時(shí)間：2022-02-10 15:42:35
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關(guān)鍵詞：函數(shù)；對(duì)應(yīng)；映射；數(shù)形結(jié)合
1要把握函數(shù)的實(shí)質(zhì)
17世紀(jì)初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數(shù)的思想，把函數(shù)一詞用作數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數(shù)符號(hào)。關(guān)于函數(shù)概念有“變量說(shuō)”、“對(duì)應(yīng)說(shuō)”、“集合說(shuō)”等。變量說(shuō)的定義是：設(shè)x、y是兩個(gè)變量，如果當(dāng)變量x在實(shí)數(shù)的某一范圍內(nèi)變化時(shí)，變量y按一定規(guī)律隨x的變化而變化。我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數(shù)，記作y=f(x)。初中教材中的定義為：如果在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫自變量，x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，和x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域。它的優(yōu)點(diǎn)是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對(duì)函數(shù)的實(shí)質(zhì)——對(duì)應(yīng)缺少充分地刻畫，以致不能明確函數(shù)是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數(shù)，這與函數(shù)是反映變量間的關(guān)系相悖，究竟函數(shù)是指f，還是f(x)，還是y=f(x)?使學(xué)生不易區(qū)別三者的關(guān)系。
迪里赫萊（P.G.Dirichlet）注意到了“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，于1837年提出：對(duì)于在某一區(qū)間上的每一確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y叫x的一個(gè)函數(shù)。19世紀(jì)70年代集合論問(wèn)世后，明確把集合到集合的單值對(duì)應(yīng)稱為映射，并把：“一切非空集合到數(shù)集的映射稱為函數(shù)”，函數(shù)是映射概念的推廣。對(duì)應(yīng)說(shuō)的優(yōu)點(diǎn)有：①它抓住了函數(shù)的實(shí)質(zhì)——對(duì)應(yīng)，是一種對(duì)應(yīng)法則。②它以集合為基礎(chǔ)，更具普遍性。③它將抽像的知識(shí)以模型并賦予生活化，比如：某班每一位同學(xué)與身高（實(shí)數(shù)）的對(duì)應(yīng)；某班同學(xué)在某次測(cè)試的成績(jī)的對(duì)應(yīng)；全校學(xué)生與某天早上吃的饅頭數(shù)的對(duì)應(yīng)等都是函數(shù)。函數(shù)由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則共同刻劃，它們相互獨(dú)立，缺一不可。這樣很明確的指出了函數(shù)的實(shí)質(zhì)。
對(duì)于集合說(shuō)是考慮到集合是數(shù)學(xué)中一個(gè)最原始的概念，而函數(shù)的定義里的“對(duì)應(yīng)”卻是一個(gè)外加的形式，，似乎不是集合語(yǔ)言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了純集合論形式的定義：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且滿足條件，對(duì)于每一個(gè)x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，則y1=y2，這時(shí)就稱集合f為A到B的一個(gè)函數(shù)。這里f為直積A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一個(gè)特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定義過(guò)于形式化，它舍棄了函數(shù)關(guān)系生動(dòng)的直觀，既看不出對(duì)應(yīng)法則的形式，更沒(méi)有解析式，不但不易為中學(xué)生理解，而且在推導(dǎo)中也不便使用，如此完全化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言只能在計(jì)算機(jī)中應(yīng)用。
2加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合
數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽像概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過(guò)程。在7—12年級(jí)所研究的函數(shù)主要是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，對(duì)每一類函數(shù)都是利用其圖像來(lái)研究其性質(zhì)的，作圖在教學(xué)中顯得無(wú)比重要。我認(rèn)為這一部分的教學(xué)要做到學(xué)生心中有形，函數(shù)圖像就相當(dāng)于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數(shù)性質(zhì)就比較直觀，處理問(wèn)題時(shí)就會(huì)得心應(yīng)手。函數(shù)觀念和數(shù)形結(jié)合在數(shù)列及平面幾何中也有廣泛的應(yīng)用。如函數(shù)y=log0.5|x2-x-12|單調(diào)區(qū)間，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0時(shí)，x=-3或x=4，知t函數(shù)的圖像是變形后的拋物線，其對(duì)稱軸為x=?與x軸的交點(diǎn)是x=-3或x=4并開(kāi)口向上，其x∈(-3，4)的部分由x軸下方翻轉(zhuǎn)到x軸上方，再考慮對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，該方程實(shí)根個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)y=3x2+6x與y=1／x圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)便一目了然。
3將映射概念下放
就前面三種函數(shù)概念而言，能提示函數(shù)實(shí)質(zhì)的只有“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，如果在初中階段把“變量說(shuō)”的定義替換成“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的定義，可有以下優(yōu)點(diǎn)：⑴體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，也顯示出時(shí)代信息，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。⑵凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)容的生活化和現(xiàn)實(shí)性，函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。⑶變抽像內(nèi)容形像化，替換后學(xué)生會(huì)感到函數(shù)概念不再那么抽像難懂，好像伸手會(huì)觸摸到一樣，身邊到處都有函數(shù)。學(xué)生就會(huì)感到函數(shù)不再那么可怕，它無(wú)非是一種映射。只需將集合論的初步知識(shí)下放一些即可，學(xué)生完全能夠接受，因?yàn)閺男W(xué)第一學(xué)段就已接觸到集合的表示方法，第二學(xué)段已接觸到集合的運(yùn)算，沒(méi)有必要作過(guò)多擔(dān)心。以前有人提出將概率知識(shí)下放的觀點(diǎn)，當(dāng)時(shí)不也有人得出反對(duì)意見(jiàn)嗎？可現(xiàn)在不也下放到了小學(xué)嗎？如果能下放到初中，就使得知識(shí)體系更完備，銜接更自然，學(xué)生易于接受，學(xué)生就不會(huì)提出“到底什么是函數(shù)？”這樣的問(wèn)題。
（一）案例教學(xué)的內(nèi)涵
對(duì)于案例教學(xué)，不同的教育工作者給出了不同的定義，不一而足。筆者認(rèn)為，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的案例教學(xué)，是指教師以案例為基本素材，創(chuàng)設(shè)（問(wèn)題）情境，通過(guò)師生、生生間多向互動(dòng)，激發(fā)學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)，使其加深對(duì)基本原理和概念的理解，以達(dá)到建構(gòu)知識(shí)與提高分析、解決問(wèn)題能力的目的的一種特定的教學(xué)方法，是一種理論與實(shí)際有機(jī)切合的重要教學(xué)形式。
（二）案例應(yīng)用方式分類
依據(jù)案例在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)概念（原理）教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用的方式和出現(xiàn)的位置，可將其分為以下四類。
1.概念（原理）前案例。在進(jìn)入教學(xué)主題之前，先引入若干簡(jiǎn)單、特殊的案例，然后以不完全歸納的形式呈現(xiàn)概念（原理）的教學(xué)方式稱為概念（原理）前案例教學(xué)。概念（原理）前案例數(shù)量以二三為宜。如：在導(dǎo)數(shù)（邊際）定義前引入變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度問(wèn)題、曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率問(wèn)題，在定積分定義前引入曲邊梯形的面積問(wèn)題等。
2.概念（原理）中案例。通過(guò)引入貼合教學(xué)主題、難度適中的案例，隨剖析隨呈現(xiàn)概念（原理）的教學(xué)方式稱為概念（原理）中案例教學(xué)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的彈性概念適合概念（原理）中案例教學(xué)。
3.概念（原理）后案例。在呈現(xiàn)概念（原理）后，再拋出相對(duì)較難的案例，以演繹的形式再現(xiàn)或者應(yīng)用概念（原理），以加深學(xué)習(xí)者對(duì)概念（原理）的理解、內(nèi)化、遷移能力的教學(xué)方式稱為概念（原理）后案例教學(xué)。概念（原理）后案例涉及的知識(shí)面比較廣，難度較大，可以分為課上、課下兩部分實(shí)施。課上以教師為主導(dǎo)，課下以作業(yè)的形式，促使有興趣的學(xué)生翻閱資料鉆研探索，鍛煉其分析綜合、解決問(wèn)題的能力。概念（原理）后案例教學(xué)具有普適性。
4.前后呼應(yīng)式案例。在進(jìn)入教學(xué)主題之前，先拋出案例題干激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而后呈現(xiàn)概念（原理），最后剖析案例，應(yīng)用概念（原理）解決案例的教學(xué)方式稱為前后呼應(yīng)式案例教學(xué)。前后呼應(yīng)式案例教學(xué)適合于復(fù)雜概念（原理），如微分方程理論、差分方程理論、級(jí)數(shù)理論等。
二、分段函數(shù)的案例教學(xué)
例1：快遞收費(fèi)問(wèn)題。圓通快遞哈爾濱發(fā)深圳收費(fèi)規(guī)定如下：首重1公斤，收費(fèi)13元，續(xù)重每公斤10元。試建立快遞收費(fèi)y（元）與貨物重量x（公斤）之間的函數(shù)關(guān)系。解：y=13，0<x≤113+10（x-1），x>—1例2：郵資問(wèn)題。國(guó)內(nèi)普通信函重量在100克及以內(nèi)的，每重20克（不足20克，按20克計(jì)）本埠收費(fèi)0.80元，外埠收費(fèi)1.20元；100克以上部分，每增加100克（不足100克，按100克計(jì)）本埠加收1.20元，外埠加收2.00元。試分別建立本外埠郵資與信函重量之間的函數(shù)關(guān)系。
三、總結(jié)
所謂數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，他在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想;是在數(shù)學(xué)教學(xué)中提出問(wèn)題、解決問(wèn)題過(guò)程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。掌握數(shù)學(xué)思想方法，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓，因此要使學(xué)生領(lǐng)悟、掌握和熟練地使用數(shù)學(xué)思想方法，不是機(jī)械的傳授。下面我就在一次函數(shù)教學(xué)中用到哪些數(shù)學(xué)思想方法談?wù)剛€(gè)人的一些做法：
一、數(shù)形結(jié)合思想方法
“數(shù)無(wú)形，少直觀，形無(wú)數(shù)，難入微”。“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效思想。利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要研究的問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，使抽象變得直觀。如：一次函數(shù)y=-x+5圖象不經(jīng)過(guò)哪一象限？解法一：根據(jù)圖象性質(zhì)，k＜0,b＞0過(guò)一二四，即不過(guò)三象限。解法二：若忘了一次函數(shù)圖象性質(zhì)，可做出此函數(shù)的圖象，問(wèn)題就迎刃而解了。這就是利用了數(shù)形結(jié)合思想方法。
三、分類思想方法
當(dāng)一個(gè)問(wèn)題因?yàn)槟撤N量的情況不同而有可能引起問(wèn)題的結(jié)果不同時(shí)，需要對(duì)這個(gè)量的各種情況進(jìn)行分類討論，例如一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)象限，這時(shí)就要分四類討論：
(1)當(dāng)k＞0,b＞0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一二三象限；
(2)當(dāng)k＞0,b＜0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一三四象限；
(3)當(dāng)k＜0,b＞0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一二四象限；
(4)當(dāng)k＜0,b＜0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二三四象限。
三、整體思想方法
整體思想是從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識(shí)的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的具體運(yùn)用。例如：已知y+b與x+a（a,b是常數(shù)）成正比例，（1）試說(shuō)明y是x的一次函數(shù)：（2）如是x=3時(shí)，y=5，x=2時(shí)，y=2，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。解決這個(gè)問(wèn)題（1）時(shí)，我們就要把y+b與x+a都看成一個(gè)整體，設(shè)y+b=k（x+a）得出y=kx+ak-b，從而說(shuō)明y是x的一次函數(shù)，解決問(wèn)題（2）時(shí)，當(dāng)我們把握兩組數(shù)值代入解析式y(tǒng)=kx+ak-b中后得到一個(gè)三元二次方程組，顯然不能求出每個(gè)未知數(shù)的值，但我們可以把a(bǔ)k-b看作一個(gè)整體，就可以求出k=3，ak-b=4，從而求出y與x的函數(shù)的關(guān)系式是y=3x-4，在這個(gè)問(wèn)題中兩次運(yùn)用到整體思想方法。
四、模型思想方法
當(dāng)一個(gè)問(wèn)題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構(gòu)造方程并對(duì)方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問(wèn)題。如若想找出一次函數(shù)y=kx+b與x軸、y軸交點(diǎn)，可根據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的特征，x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即當(dāng)y=0時(shí)，x=-b/k，即與x軸交點(diǎn)為（-b/k，0）。y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，即當(dāng)x=0時(shí)，y=b，因此與y軸交點(diǎn)為（0，b）。這就用到了方程這一模型思想方法。
五、類比思想方法
當(dāng)我們要探究一次函數(shù)y=kx+b的圖象及其變化規(guī)律時(shí)，由于一次函數(shù)y=kx+b的圖象可以看作是由正比例函數(shù)y=kx的圖象平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的，因而可以利用之前已經(jīng)學(xué)習(xí)正比例函數(shù)y=kx的圖象及其變化規(guī)律類比得出一次函數(shù)y=kx+b的圖象及其變化規(guī)律。
六、特殊與一般思想方法
函數(shù)插值理論在數(shù)值分析中是非常重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也是離散函數(shù)逼近的重要方法。其原理是利用插值法，可在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上得到一條連續(xù)函數(shù)通過(guò)全部已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)而可以估算出其他節(jié)點(diǎn)處的近似值。插值方法主要有拉格朗日插值、牛頓插值、分段線性插值、樣條插值等，其理論煩瑣，但是又非常重要，它是數(shù)值積分理論的重要理論基礎(chǔ)。插值方法很多，如何在理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)中讓學(xué)生掌握各個(gè)方法的原理，以及每個(gè)插值方法使用的注意事項(xiàng)，是擺在教師面前的難題。課堂注重理論，實(shí)驗(yàn)注重做法，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，筆者認(rèn)為應(yīng)該在加強(qiáng)課堂理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，實(shí)驗(yàn)要注重如何讓學(xué)生鞏固課堂學(xué)習(xí)的成果，把插值的原理和特點(diǎn)通過(guò)設(shè)計(jì)的算例讓學(xué)生自己描繪出來(lái)。學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)全面認(rèn)識(shí)各個(gè)插值理論的優(yōu)缺點(diǎn)，為以后數(shù)值積分的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。為此，在插值實(shí)驗(yàn)這一節(jié)，我們?yōu)閷W(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)比較實(shí)驗(yàn)，通過(guò)每一對(duì)有特點(diǎn)的算例的比較，讓學(xué)生在比較中獲得各個(gè)插值方法的使用注意事項(xiàng)和具體的操作方法，知道什么可以做什么不能做，并且獲得對(duì)插值的全新認(rèn)識(shí)。實(shí)驗(yàn)的首要任務(wù)是編程，利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件結(jié)合課堂學(xué)到的理論公式編寫拉格朗日插值和牛頓插值的程序。盡管MATLAB有內(nèi)置的命令實(shí)現(xiàn)拉格朗日插值，但是學(xué)生無(wú)法通過(guò)內(nèi)置命令掌握拉格朗日插值理論公式，并且由于通過(guò)MATLAB編程實(shí)現(xiàn)拉格朗日插值和牛頓插值比較容易，所以還是要求學(xué)生通過(guò)理論公式獨(dú)立編程，以加深對(duì)理論公式的記憶和理解。在編程的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生利用編寫的程序完成以下對(duì)比實(shí)驗(yàn)。
1.從函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π）中等距離取5個(gè)點(diǎn)，要求學(xué)生分別利用拉格朗日插值和牛頓插值進(jìn)行求插值函數(shù)的操作
觀察利用兩個(gè)插值原理求出來(lái)的插值函數(shù)有何異同。2.從多項(xiàng)式y(tǒng)=x4+x3+x2+x+1中等距離取5個(gè)點(diǎn)，要求學(xué)生利用拉格朗日插值方法進(jìn)行插值操作，觀察獲得的插值函數(shù)和原函數(shù)有何異同。3.提示學(xué)生對(duì)函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π）的5點(diǎn)拉格朗日插值效果不好，若要提高插值效果，將節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加到11個(gè)，將插值效果進(jìn)行比較。4.在上例的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過(guò)畫圖比較函數(shù)f（x）=11+25x2，x∈（-1，1）的5點(diǎn)拉格朗日插值和11點(diǎn)拉格朗日插值效果。提示學(xué)生可以進(jìn)一步增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，觀察得出的圖形。5.利用分段插值的方法，對(duì)函數(shù)（fx）=11+25x2，x∈（-1，1）進(jìn)行11點(diǎn)插值，與11點(diǎn)拉格朗日插值的插值效果比較。6.保留拉格朗日插值方法，取消等距節(jié)點(diǎn)，提示學(xué)生利用[-1，1]上的切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)（切比雪夫點(diǎn)）xk=cos（2k-1）π2（n+1）--，k=1，2，…，n+1對(duì)以上兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行拉格朗日插值，與等距節(jié)點(diǎn)的插值效果進(jìn)行比較。我們希望學(xué)生做完以上案例后不但能順利完成結(jié)果的獲得，而且還能利用課堂學(xué)到的理論知識(shí)分析得到的結(jié)果，這些結(jié)果都是課堂上講解的理論知識(shí)的數(shù)值例子，能做出來(lái)，會(huì)分析，這是對(duì)學(xué)生的鍛煉，也能提高學(xué)生的動(dòng)手能力和學(xué)習(xí)積極性。以下我們對(duì)以上案例進(jìn)行分析。1.通過(guò)案例1，學(xué)生得到結(jié)果后能了解到，在相同的節(jié)點(diǎn)條件下，利用拉格朗日插值和牛頓插值得到的插值多項(xiàng)式是一樣的，這與課堂的理論分析完全一致。這個(gè)結(jié)果是學(xué)生自己完成實(shí)驗(yàn)后得到的，與課堂理論分析結(jié)合，學(xué)生更能理解兩種插值的相同之處。而通過(guò)編寫兩個(gè)插值方法的MATLAB程序，學(xué)生既可以學(xué)習(xí)編程，還可以掌握兩者達(dá)到同一目的的不同之處。
2.通過(guò)上例可得出拉格朗日插值和牛頓插值結(jié)果
一樣的結(jié)論，所以對(duì)四次多項(xiàng)式y(tǒng)=x4+x3+x2+x+1進(jìn)行5點(diǎn)插值只需利用拉格朗日插值即可。學(xué)生可通過(guò)得到的結(jié)果和圖形知道，其實(shí)得到的插值多項(xiàng)式就是原來(lái)的四次多項(xiàng)式本身，原函數(shù)和插值多項(xiàng)式兩者的誤差為零。這個(gè)結(jié)論可以提示學(xué)生通過(guò)拉格朗日插值理論的誤差公式解釋和分析，從而復(fù)習(xí)和掌握拉格朗日插值誤差公式。
3.通過(guò)案例1得到的插值多項(xiàng)式的圖形對(duì)比原函數(shù)圖形
一般來(lái)說(shuō)函數(shù)的5點(diǎn)插值的逼近效果還是不理想的，誤差比較大。若要提高逼近效果，首先讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察提高節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)插值的逼近效果的影響。所以設(shè)計(jì)了一個(gè)對(duì)比實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行高次插值。通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的觀察可知，對(duì)于函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π），11點(diǎn)的插值逼近效果在整個(gè)區(qū)間上都比5點(diǎn)插值效果好，幾乎和原函數(shù)重合了提高插值次數(shù)達(dá)到了良好的效果。而對(duì)于龍格函數(shù)f（x）=11+25x2，x∈（-1，1），高次插值出現(xiàn)了龍格現(xiàn)象，即區(qū)間中間部分逼近效果非常好，而區(qū)間兩邊出現(xiàn)非常大的震蕩。通過(guò)這兩個(gè)案例的比較分析，讓學(xué)生自己總結(jié)出光靠增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)提高插值的逼近效果不可行，需要另找辦法。龍格現(xiàn)象是插值理論的重要知識(shí)點(diǎn)，在課堂教學(xué)中學(xué)生對(duì)該現(xiàn)象只停留在理論上，通過(guò)該實(shí)驗(yàn)案例的分析，學(xué)生在自己做出龍格現(xiàn)象圖形的時(shí)候，能加深對(duì)龍格現(xiàn)象和拉格朗日插值的缺點(diǎn)的理解。而對(duì)于學(xué)生普遍會(huì)存在疑問(wèn)，龍格現(xiàn)象只是龍格函數(shù)的特有現(xiàn)象嗎？y=sin（x），x∈（-2π，2π）不會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象嗎？可提示學(xué)生繼續(xù)對(duì)沒(méi)有出現(xiàn)龍格現(xiàn)象的函數(shù)增加插值節(jié)點(diǎn)，觀察龍格現(xiàn)象是否是所有函數(shù)的共有特點(diǎn)，并且這可以留作實(shí)驗(yàn)作業(yè)讓學(xué)生課后自己完成。
4.此案例提供一個(gè)提高逼近效果的方法，就是分段插值
利用分段插值，可以在增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況下，保持插值次數(shù)不增加，從而保證的插值效果。學(xué)生通過(guò)此案例可以理解為什么介紹完整體插值后還需要講解分段插值，老師在以后介紹數(shù)值積分中的復(fù)化積分公式的時(shí)候，進(jìn)行比較講解。5.通過(guò)切比雪夫點(diǎn)的插值案例，提示學(xué)生分段插值不是提高逼近效果的唯一方法，通過(guò)改變節(jié)點(diǎn)的選取，把原來(lái)的等距節(jié)點(diǎn)變?yōu)閰^(qū)間上正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)，可以在增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，讓拉格朗日插值的逼近效果也相應(yīng)提高而不會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。這個(gè)案例可以和以后數(shù)值積分中的高斯求積公式配合，讓學(xué)生了解正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)在函數(shù)逼近方面的重要應(yīng)用。并且在介紹完[-1，1]上的切比雪夫點(diǎn)插值后，可以預(yù)留作業(yè)，讓學(xué)生在其他區(qū)間上尋找正交多項(xiàng)式零點(diǎn)進(jìn)行拉格朗日插值，讓學(xué)生對(duì)正交多項(xiàng)式理論加深印象，為以后數(shù)值積分的高斯求積公式的介紹鋪墊。
二、結(jié)束語(yǔ)
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，而函數(shù)概念貫穿在中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概念性強(qiáng)是函數(shù)理論的一個(gè)顯著特點(diǎn)，只有對(duì)概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應(yīng)用。本課中學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解的程度會(huì)直接影響數(shù)學(xué)其它知識(shí)的學(xué)習(xí)，所以函數(shù)的第一課時(shí)非常的重要。
2、教學(xué)目標(biāo)及確立的依據(jù)：
教學(xué)目標(biāo)：
（1）教學(xué)知識(shí)目標(biāo)：了解對(duì)應(yīng)和映射概念、理解函數(shù)的近代定義、函數(shù)三要素，以及對(duì)函數(shù)抽象符號(hào)的理解。
（2）能力訓(xùn)練目標(biāo)：通過(guò)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯思維能力。
（3）德育滲透目標(biāo)：使學(xué)生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯(lián)系和相互制約的辯證唯物主義觀點(diǎn)。
教學(xué)目標(biāo)確立的依據(jù)：
函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，而函數(shù)概念貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)，如：數(shù)、式、方程、函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等都是以函數(shù)為中心的代數(shù)。加強(qiáng)函數(shù)教學(xué)可幫助學(xué)生學(xué)好其他的數(shù)學(xué)內(nèi)容。而掌握好函數(shù)的概念是學(xué)好函數(shù)的基石。
3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)及確立的依據(jù)：
教學(xué)重點(diǎn)：映射的概念，函數(shù)的近代概念、函數(shù)的三要素及函數(shù)符號(hào)的理解。
教學(xué)難點(diǎn)：映射的概念，函數(shù)近代概念，及函數(shù)符號(hào)的理解。
重點(diǎn)難點(diǎn)確立的依據(jù)：
映射的概念和函數(shù)的近代定義抽象性都比較強(qiáng)，要求學(xué)生的理性認(rèn)識(shí)的能力也比較高，對(duì)于剛剛升入高中不久的學(xué)生來(lái)說(shuō)不易理解。而且由于函數(shù)在高考中可以以低、中、高擋題出現(xiàn)，所以近年來(lái)高考有一種“函數(shù)熱”的趨勢(shì)，所以本節(jié)的重點(diǎn)難點(diǎn)必然落在映射的概念和函數(shù)的近代定義及函數(shù)符號(hào)的理解與運(yùn)用上。
二、教材的處理：
將映射的定義及類比手法的運(yùn)用作為本課突破難點(diǎn)的關(guān)鍵。函數(shù)的定義，是以集合、映射的觀點(diǎn)給出，這與初中教材變量值與對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)給出不一樣了，從而給本身就很抽象的函數(shù)概念的理解帶來(lái)更大的困難。為解決這難點(diǎn)，主要是從實(shí)際出發(fā)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與參與意識(shí)，運(yùn)用引導(dǎo)對(duì)比的手法，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有目的的反復(fù)比較幾個(gè)概念的異同，使學(xué)生真正對(duì)函數(shù)的概念有很準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。
三、教學(xué)方法和學(xué)法
教學(xué)方法：講授為主，學(xué)生自主預(yù)習(xí)為輔。
依據(jù)是：因?yàn)橐孕碌挠^點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)概念及函數(shù)符號(hào)與運(yùn)用時(shí)，更重要的是必須給學(xué)生講清楚概念及注意事項(xiàng)，并通過(guò)師生的共同討論來(lái)幫助學(xué)生深刻理解，這樣才能使函數(shù)的概念及符號(hào)的運(yùn)用在學(xué)生的思想和知識(shí)結(jié)構(gòu)中打上深刻的烙印，為學(xué)生能學(xué)好后面的知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)法：四、教學(xué)程序
一、課程導(dǎo)入
通過(guò)舉以下一個(gè)通俗的例子引出通過(guò)某個(gè)對(duì)應(yīng)法則可以將兩個(gè)非空集合聯(lián)系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全體同學(xué)分別看成是兩個(gè)集合，問(wèn)，通過(guò)“找好朋友”這個(gè)對(duì)應(yīng)法則是否能將這兩個(gè)集合的某些元素聯(lián)系在一起？
二.新課講授：
（1）接著再通過(guò)幻燈片給出六組學(xué)生熟悉的數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納它們的共同性質(zhì)（一對(duì)一，多對(duì)一），進(jìn)而給出映射的概念，表示符號(hào)f：AB，及原像和像的定義。強(qiáng)調(diào)指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的對(duì)應(yīng)法則f。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)判斷一個(gè)從A到B的對(duì)應(yīng)是否為映射的關(guān)鍵是看A中的任意一個(gè)元素通過(guò)對(duì)應(yīng)法則f在B中是否有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)。
（2）鞏固練習(xí)課本52頁(yè)第八題。
此練習(xí)能讓學(xué)生更深刻的認(rèn)識(shí)到映射可以“一對(duì)多，多對(duì)一”但不能是“一對(duì)多”。
例1.給出學(xué)生初中學(xué)過(guò)的函數(shù)的傳統(tǒng)定義和幾個(gè)簡(jiǎn)單的一次、二次函數(shù)，通過(guò)畫圖表示這些函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們是特殊的映射進(jìn)而給出函數(shù)的近代定義（設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，使得A中的任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)則這樣的對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及從A到B的對(duì)應(yīng)法則f），并說(shuō)明把函f：AB記為y=f（x），其中自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y（或f（x））值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）：x∈A}叫做函數(shù)的值域。
并把函數(shù)的近代定義與映射定義比較使學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系。（函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射）。
再以讓學(xué)生判斷的方式給出以下關(guān)于函數(shù)近代定義的注意事項(xiàng)：
2.函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射。
3.f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣。
4.f（x）是一個(gè)符號(hào)，不表示f與x的乘積，而表示x經(jīng)過(guò)f作用后的結(jié)果。
5.集合A中的數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的唯一性。
6.“f：AB”表示一個(gè)函數(shù)有三要素：法則f（是核心），定義域A（要優(yōu)先），值域C（上函數(shù)值的集合且C∈B）。
三.講解例題
例1.問(wèn)y=1（x∈A）是不是函數(shù)？
解：y=1可以化為y=0*X+1
畫圖可以知道從x的取值范圍到y(tǒng)的取值范圍的對(duì)應(yīng)是“多對(duì)一”是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射，所以它是函數(shù)。
[注]：引導(dǎo)學(xué)生從集合，映射的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)的定義。四.課時(shí)小結(jié)：
1.映射的定義。
2.函數(shù)的近代定義。
3.函數(shù)的三要素及符號(hào)的正確理解和應(yīng)用。
4.函數(shù)近代定義的五大注意點(diǎn)。
五.課后作業(yè)及板書設(shè)計(jì)
關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；定義域；值域；對(duì)稱性
抽象函數(shù)是一種重要的數(shù)學(xué)概念。我們把沒(méi)有給出具體解析式，其一般形式為y=f(x)，且無(wú)法用數(shù)字和字母的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。由于抽象函數(shù)的問(wèn)題通常將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖像集于一身。這類問(wèn)題考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的理解和接受能力、對(duì)一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí)以及數(shù)學(xué)的綜合能力。
解決抽象函數(shù)的問(wèn)題要求學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、抽象思維能力、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)能力較高。所以近幾年來(lái)高考題中不斷出現(xiàn)，在2009年的全國(guó)各地高考試題中，抽象函數(shù)遍地開(kāi)花。但學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)常常感到束手無(wú)策、力不從心。下面通過(guò)例題全面探討抽象函數(shù)主要考查的內(nèi)容及其解法。
一、抽象函數(shù)的定義域
例1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,3]，求出函數(shù)g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a＞0）的定義域。
解析：由由a＞0
知只有當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式組才有解，具體為{x|1+a＜x≤3-a；否則不等式組的解集為空集，這說(shuō)明當(dāng)且僅當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g(x)才能是x的函數(shù)，且其定義域?yàn)椋?+a,3-a]。
點(diǎn)評(píng)：1.已知f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b]，則f(x)的定義域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
二、抽象函數(shù)的值域
解決抽象函數(shù)的值域問(wèn)題——由定義域與對(duì)應(yīng)法則決定。
例2若函數(shù)y=f(x+1)的值域?yàn)閇-1，1]求y=(3x+2)的值域。
解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(3x+2)中的定義域與對(duì)應(yīng)法則與函數(shù)y=f(x+1)的定義域與對(duì)應(yīng)法則完全相同，故函數(shù)y=f(3x+2)的值域也為[-1，1]。
三、抽象函數(shù)的奇偶性
四、抽象函數(shù)的對(duì)稱性
例3已知函數(shù)y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱,則g(x)+g(-x)的值為（）
A、2B、0C、1D、不能確定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函數(shù)為y=，y=f(2x+1)是奇函數(shù)，y=也是奇函數(shù)，。，，而函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，g(x)+g(-x)=故選A。
五、抽象函數(shù)的周期性
例4、（2009全國(guó)卷Ⅰ理）函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則()
(A)是偶函數(shù)(B)是奇函數(shù)
(C)(D)是奇函數(shù)
解:與都是奇函數(shù)
函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù)。故選D
定理1.若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽，且滿足條件f(x＋a)=f(x－b)，則y=f(x)是以T=a＋b為周期的周期函數(shù)。
定理2.若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽，且滿足條件f(x＋a)=－f(x－b)，則y=f(x)是以T=2（a＋b）為周期的周期函數(shù)。
定理3.若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與x=b（a≠b)對(duì)稱，則y=f(x)是以T=2(b－a)為周期的周期函數(shù)。
定理4.若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（a,0)與點(diǎn)(b,0),(a≠b)對(duì)稱，則y=f(x)是以T=2(b－a)為周期的周期函數(shù)。超級(jí)秘書網(wǎng)
定理5.若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與點(diǎn)(b,0),(a≠b)對(duì)稱，則y=f(x)是以T=4(b－a)為周期的周期函數(shù)。
性質(zhì)1：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x)(a≠b,ab≠0),則函數(shù)f(x)有周期2(a－b)；
性質(zhì)2：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=－f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),則函數(shù)有周期2(a－b).
特別：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期2a.
性質(zhì)3：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)(a≠b,ab≠0)，則函數(shù)有周期4(a－b).
特別：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期4a。
從以上例題可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)的考查范圍很廣，能力要求較高。但只要對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)熟，掌握上述有關(guān)的結(jié)論和類型題相應(yīng)的解法，則會(huì)得心應(yīng)手。
關(guān)鍵詞:指數(shù)函數(shù);教學(xué)設(shè)計(jì);教學(xué)案例;多媒體;有效教學(xué)
指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，從教學(xué)要求看，一是理解指數(shù)函數(shù)的定義;二是掌握指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)。下面是筆者在公開(kāi)教學(xué)中對(duì)指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的三處改進(jìn)。
案例一:新課引入的改進(jìn)
(一)原始設(shè)計(jì)
1.復(fù)習(xí)舊知:
②函數(shù)y=x的定義域是
2.引入新課:師問(wèn):函數(shù)y=()與函數(shù)y=x，從形式上看有什么不同?生答:從形式上看，前者指數(shù)是自變量，后者底數(shù)是自變量。(引入課題)
(二)改進(jìn)設(shè)計(jì)
1.創(chuàng)設(shè)情境:有人說(shuō)，將一張白紙對(duì)折50次以后，其厚度超過(guò)地球到月球的距離，你認(rèn)為可能嗎?設(shè)白紙每張厚度為0.01mm，已知地球到月球的距離約為380000千米。
對(duì)折的層數(shù)y與對(duì)折次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是什么?設(shè)紙的原面積為1，對(duì)折后紙的面積z與對(duì)折次數(shù)x又有什么關(guān)系?(y=2x，z=()x)
2.提出問(wèn)題:師問(wèn):能發(fā)現(xiàn)y=2x，z=()x的共同點(diǎn)嗎?
學(xué)生思考片刻，教師提示:從形式上，有什么共同點(diǎn)?并用紅粉筆標(biāo)出指數(shù)x。
生答:指數(shù)x是自變量，底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)。(引入課題)
(三)教學(xué)反思
凱洛夫的“五環(huán)節(jié)”教學(xué)理論:“復(fù)習(xí)舊課—導(dǎo)入新課—講授新課—鞏固—作業(yè)”目前還深深地影響著我們的教學(xué)。但如果總是這樣一成不變，就顯得呆板與程式化。我們現(xiàn)在上課總喜歡說(shuō):“今天我們學(xué)習(xí)……”。教師不說(shuō)，學(xué)生不問(wèn)，教師怎么講，學(xué)生就怎么學(xué)。我們知道，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于實(shí)踐。在原始設(shè)計(jì)中，先復(fù)習(xí)與新授知識(shí)相關(guān)的內(nèi)容，然后再?gòu)膶?shí)際引入新課，與教材編排相一致，這樣就數(shù)學(xué)講數(shù)學(xué)，顯得枯燥無(wú)味，很難調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為此，從學(xué)生感興趣的一個(gè)生活實(shí)例出發(fā)，引起學(xué)生注意與爭(zhēng)議，教師再創(chuàng)設(shè)實(shí)際問(wèn)題情境，就激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，牢牢地吸引了學(xué)生的注意力，增強(qiáng)了學(xué)生的求知欲望，強(qiáng)化了學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求，巧妙地導(dǎo)入了新課。
案例二:多媒體使用的改進(jìn)
(一)原始設(shè)計(jì)
1.電腦作圖:教師用多媒體演示y=2x、y=()x的作圖過(guò)程。
2.觀察猜想:教師引導(dǎo)學(xué)生觀察y=2x、y=()x的圖像，猜想y=3x的圖像形狀。
3.電腦驗(yàn)證:教師用幾何畫板做出y=3x的圖像，驗(yàn)證猜想。
4.歸納猜想:由特殊到一般，給出指數(shù)函數(shù)的圖像分為01兩類，并用多媒體演示它們的圖像特征和性質(zhì)。
(二)改進(jìn)設(shè)計(jì)
1.學(xué)生作圖:在教師的指導(dǎo)下學(xué)生分組后用幾何畫板作y=2x、y=()x的圖像。然后，讓學(xué)生在電腦上作y=3x，y=5xy=10x，y=0.2x，y=0.7x等函數(shù)的圖像，并對(duì)圖像形狀的變化加以觀察與討論。
2.猜想形狀:讓學(xué)生猜想函數(shù)y=8x，y=0.3x的圖像形狀，師生討論，并列出有關(guān)觀察結(jié)論。
3.分組探究1:一般地指數(shù)函數(shù)的圖像大致有幾類(幾種走勢(shì))?
4.分組探究2:分別滿足什么條件的指數(shù)函數(shù)圖像大致是圖1、圖2?
5.電腦驗(yàn)證:用幾何畫板作y=ax(a>0且a≠1)圖像，任意改變a的值，展示底變化對(duì)圖像的影響。
(三)教學(xué)反思
原始設(shè)計(jì)，多媒體演示放在猜想之后，僅僅起了一個(gè)驗(yàn)證的作用，體現(xiàn)不了計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的目的，有點(diǎn)畫蛇添足，成了一種花架子。
改進(jìn)之后，按照“動(dòng)手操作—?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境—觀察猜想—驗(yàn)證證明”的思路設(shè)計(jì)，首先電腦作圖，為學(xué)生觀察、交流創(chuàng)設(shè)情境;然后，引導(dǎo)學(xué)生深入細(xì)致地觀察圖像，學(xué)生在相互爭(zhēng)論、研討的過(guò)程中進(jìn)行民主交流，傾聽(tīng)他人意見(jiàn)，分享研究成果，猜想出圖像分兩種情形;最后，再用多媒體驗(yàn)證猜想。這樣設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維習(xí)慣，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的自信心，張揚(yáng)了學(xué)生的個(gè)性，順利地解決了這一教學(xué)難點(diǎn)。
我們?cè)谑褂糜?jì)算機(jī)輔助教學(xué)時(shí)，千萬(wàn)不要忘記“輔助”二字，輔助在不用多媒體教學(xué)時(shí)的難點(diǎn)處，輔助在點(diǎn)子上，而不能為了用多媒體而用多媒體。案例三:指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的改進(jìn)
(一)原始設(shè)計(jì)
1.師生作圖:教師作y=2x的圖像，以作示范。然后學(xué)生模仿作y=()x的圖像，以鞏固作圖方法。
2.電腦演示:教師用多媒體演示y=2x、y=()x的作圖過(guò)程。
3.觀察特征:教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上述兩個(gè)圖像的特征，并推廣到一般情形。
4.歸納性質(zhì):根據(jù)圖像特征，寫出它們的性質(zhì)。
(二)改進(jìn)設(shè)計(jì)
在前面學(xué)生分組用多媒體做出y=2x，y=()x，y=3x，y=5x，y=10x，y=0.2x，y=0.7x等函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論、歸納得出性質(zhì)。
1.自主觀察:對(duì)一般的指數(shù)函數(shù)，圖像有哪些特征?
2.分組討論:學(xué)生分組討論后，展示討論的結(jié)果。除得到圖像的一般特征，更值得一提的是，有的學(xué)生還說(shuō)出了函數(shù)y=2x與y=()x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱等特征。
3.歸納性質(zhì):根據(jù)圖像特征，寫出它們的性質(zhì)。
4.作示意圖:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，教師讓學(xué)生作出y=8x，y=0.6x等函數(shù)圖像的示意圖。
師:觀察與猜想是一種感性認(rèn)識(shí)，并不表示結(jié)論一定正確，還需要進(jìn)行理性證明……
(三)教學(xué)反思
新課程標(biāo)準(zhǔn)指出:要改變課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)象，倡導(dǎo)主動(dòng)學(xué)習(xí)、樂(lè)于探究，勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析解決問(wèn)題的能力及交流合作的能力。因此，教師要把學(xué)習(xí)過(guò)程中的發(fā)現(xiàn)、探究、研究等認(rèn)知活動(dòng)突顯出來(lái)，使學(xué)習(xí)過(guò)程更多地成為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題及解決問(wèn)題的過(guò)程。
上述兩種設(shè)計(jì)都注重讓學(xué)生從事有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)，都涉及了學(xué)生的探索活動(dòng)和經(jīng)常使用的研究方法，如從特殊到一般，再由一般到特殊，類比、聯(lián)想、猜想等。
原始設(shè)計(jì)在實(shí)際教學(xué)中，活動(dòng)缺乏內(nèi)在聯(lián)系，加上教師的束縛，活動(dòng)單一，學(xué)生得出圖像分兩類顯得較為生硬，接著研究的一般情形又似乎來(lái)得“突然”，從特例到一般情形并未起到搭橋引渡的作用，形成了一個(gè)認(rèn)知難點(diǎn)。這樣的設(shè)計(jì)沒(méi)有真正發(fā)揮學(xué)生的主體作用，實(shí)際上還是教師主導(dǎo)著課堂，牽著學(xué)生走，還是在教知識(shí)、教教材，是一種主導(dǎo)性教學(xué)模式。
改進(jìn)后，改變了教學(xué)方法，教師放棄了全程主導(dǎo)，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生，由他們自己去觀察、去發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生交流、研討、互動(dòng)的過(guò)程中，學(xué)生觀察深入，思維活躍，富有創(chuàng)造性。教師則以學(xué)生伙伴的角色參與學(xué)生的認(rèn)知學(xué)習(xí)，在與學(xué)生的互動(dòng)交流中指導(dǎo)學(xué)生，并積極地關(guān)注、傾聽(tīng)學(xué)生的交流。這樣設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維習(xí)慣，為學(xué)生營(yíng)造了安全的心理環(huán)境，學(xué)生非常順利地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，而且學(xué)生覺(jué)得這些思想方法是非常自然的，可以學(xué)到手且以后能用得上，為今后的學(xué)習(xí)作了必要的鋪墊，這是一種典型的指導(dǎo)性教學(xué)模式。
學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，自主學(xué)習(xí)是他們的天然權(quán)利，任何硬性灌輸和強(qiáng)制訓(xùn)練都是侵犯學(xué)生學(xué)習(xí)的行為。
參考文獻(xiàn):
[1]羅文杰.指數(shù)函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].廣東教育，2007，(7):205-207.
