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序論：在您撰寫數(shù)列考試總結時，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導您走向新的創(chuàng)作高度。
第十八講
數(shù)列的綜合應用
一、選擇題
1．(2018浙江)已知，，，成等比數(shù)列，且．若，則
A．，
B．，
C．，
D．，
2．(2015湖北)設，．若p：成等比數(shù)列；q：，則
A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件
B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件
C．p是q的充分必要條件
D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件
3．（2014新課標2）等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則的前項和=
A．
B．
C．
D．
4．（2014浙江）設函數(shù)，，
，記
，則
A．
B．
C．
D．
二、填空題
5．(2018江蘇)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前項和，則使得成立的的最小值為
．
6．（2015浙江）已知是等差數(shù)列，公差不為零．若，，成等比數(shù)列，且，則
，
．
7．（2013重慶）已知是等差數(shù)列，，公差，為其前項和，若成等比數(shù)列，則．
8．（2011江蘇）設，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則的最小值是________．
三、解答題
9．（2018江蘇）設是首項為，公差為的等差數(shù)列，是首項為，公比為的等比數(shù)列．
(1)設，若對均成立，求的取值范圍；
(2)若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．
10*．（2017浙江）已知數(shù)列滿足：，．
證明：當時
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
*根據(jù)親所在地區(qū)選用，新課標地區(qū)（文科）不考．
11．（2017江蘇）對于給定的正整數(shù)，若數(shù)列滿足
對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．
（1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”；
（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列．
12．（2016年四川）已知數(shù)列的首項為1，為數(shù)列的前項和，，其中，
(Ⅰ)若成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；
(Ⅱ)設雙曲線的離心率為，且，求．
13．（2016年浙江）設數(shù)列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.
（I）求通項公式；
（II）求數(shù)列{}的前項和.
14．(2015重慶)已知等差數(shù)列滿足，前3項和．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設等比數(shù)列滿足，，求前項和．
15．（2015天津）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設，，求數(shù)列的前項和．
16．(2015四川)設數(shù)列（=1,2,3…）的前項和滿足，且，+1，成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列的前項和為，求．
17．（2015湖北）設等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為，已知，，，．
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；
（Ⅱ）當時，記=，求數(shù)列的前項和．
18．(2014山東）已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且，，成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）令=求數(shù)列的前項和．
19．（2014浙江）已知數(shù)列和滿足．若為等比數(shù)列，且
（Ⅰ）求與；
（Ⅱ）設．記數(shù)列的前項和為．
（?。┣?；
（ⅱ）求正整數(shù)，使得對任意，均有．
20．（2014湖南）已知數(shù)列{}滿足
（Ⅰ）若{}是遞增數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的值；
（Ⅱ）若，且{}是遞增數(shù)列，{}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{}的通項公式．
21．（2014四川）設等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖象上（）．
（Ⅰ）若，點在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項和；
（Ⅱ）若，函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列
的前項和．
22．(2014江蘇)設數(shù)列的前項和為．若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“H數(shù)列”．
（Ⅰ）若數(shù)列的前n項和(N)，證明:
是“H數(shù)列”；
（Ⅱ）設
是等差數(shù)列，其首項，公差．若
是“H數(shù)列”，求的值；
（Ⅲ）證明：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“H數(shù)列”和，使得(N)成立．
23．（2013安徽）設數(shù)列滿足，，且對任意，函數(shù)
，滿足
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項和．
24．（2013廣東）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足
且構成等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）證明：對一切正整數(shù)，有．
25．（2013湖北）已知是等比數(shù)列的前項和，，，成等差數(shù)列，
且.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；
若不存在，說明理由．
26．（2013江蘇）設是首項為，公差為的等差數(shù)列，是其前項和.
記，，其中為實數(shù).
（Ⅰ）
若，且，，成等比數(shù)列，證明：；
（Ⅱ）
若是等差數(shù)列，證明：．
27．
(2012山東)已知等差數(shù)列的前5項和為105，且．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）對任意，將數(shù)列中不大于的項的個數(shù)記為.求數(shù)列的前m項和．
28．（2012湖南）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50％．預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設第年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬元．
（Ⅰ）用表示，并寫出與的關系式；
（Ⅱ）若公司希望經(jīng)過（≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金的值（用表示）．
29．（2012浙江）已知數(shù)列的前項和為，且=，，數(shù)列滿足，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．
30．（2012山東）在等差數(shù)列中，，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）對任意的，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)為，求數(shù)列的前項和．
31．（2012江蘇）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：．
（Ⅰ）設，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設，且是等比數(shù)列，求和的值．
32．（2011天津）已知數(shù)列滿足，
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設，證明是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設為的前項和，證明
33．（2011天津）已知數(shù)列與滿足：，
，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設，證明：是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設證明：．
34．（2010新課標）設數(shù)列滿足
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項和．
35．（2010湖南）給出下面的數(shù)表序列：
其中表（=1,2,3
）有行，第1行的個數(shù)是1，3，5，，21，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．
（Ⅰ）寫出表4，驗證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成等比數(shù)列，并將結論推廣到表（≥3）（不要求證明）；
（Ⅱ）每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構成數(shù)列1，4，12，，記此數(shù)列為，求和：
．
專題六
數(shù)列
第十八講
數(shù)列的綜合應用
答案部分
1．B【解析】解法一
因為()，所以
，所以，又，所以等比數(shù)列的公比．
若，則，
而，所以，
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選B．
解法二
因為，，
所以，則，
又，所以等比數(shù)列的公比．
若，則，
而，所以
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選B．
2．A【解析】對命題p：成等比數(shù)列，則公比且；
對命題，
①當時，成立；
②當時，根據(jù)柯西不等式，
等式成立，
則，所以成等比數(shù)列，
所以是的充分條件，但不是的必要條件．
3．A【解析】，，成等比數(shù)列，，即，解得，所以．
4．B【解析】在上單調(diào)遞增，可得，
，…，，
=
在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
，…，，，
，…，
==
=
在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得
因此．
5．27【解析】所有的正奇數(shù)和()按照從小到大的順序排列構成，在數(shù)列
中，前面有16個正奇數(shù)，即，．當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；……；當時，=
441
+62=
503
+62=546>=540，符合題意．故使得成立的的最小值為27．
6．【解析】由題可得，，故有，又因為，即，所以．
7．64【解析】由且成等比數(shù)列，得，解得，故．
8．【解析】設，則，由于，所以，故的最小值是．
因此，所以．
9．【解析】(1)由條件知：,．
因為對=1，2，3，4均成立，
即對=1，2，3，4均成立，
即11，13，35，79，得．
因此，的取值范圍為．
(2)由條件知：,．
若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，
即(=2，3，···，+1)，
即當時，滿足．
因為，則，
從而，，對均成立．
因此，取=0時，對均成立．
下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（）．
①當時，，
當時，有，從而．
因此，當時，數(shù)列單調(diào)遞增，
故數(shù)列的最大值為．
②設，當時，，
所以單調(diào)遞減，從而．
當時，，
因此，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，
故數(shù)列的最小值為．
因此，的取值范圍為．
10．【解析】（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：
當時，
假設時，，
那么時，若，則，矛盾，故．
因此
所以
因此
（Ⅱ）由得
記函數(shù)
函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以=0，
因此
故
（Ⅲ）因為
所以得
由得
所以
故
綜上，
．
11．【解析】證明:（1）因為是等差數(shù)列，設其公差為，則，
從而，當時，
，
所以，
因此等差數(shù)列是“數(shù)列”.
（2）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此，
當時，，①
當時，.②
由①知，，③
，④
將③④代入②，得，其中，
所以是等差數(shù)列，設其公差為.
在①中，取，則，所以，
在①中，取，則，所以，
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
12．【解析】（Ⅰ）由已知，
兩式相減得到.
又由得到，故對所有都成立.
所以，數(shù)列是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.
從而.
由成等差數(shù)列，可得，所以，故.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
所以雙曲線的離心率.
由解得.所以，
13．【解析】（1）由題意得：，則，
又當時，由，
得，
所以，數(shù)列的通項公式為.
（2）設，，.
當時，由于，故.
設數(shù)列的前項和為，則.
當時，，
所以，.
14．【解析】（Ⅰ）設的公差為，則由已知條件得
化簡得
解得，．
故通項公式，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
設的公比為，則，從而．
故的前項和
．
15．【解析】（Ⅰ）設數(shù)列的公比為q，數(shù)列的公差為d，由題意，由已知，有
消去d，整數(shù)得，又因為＞0，解得，所以的通項公式為，數(shù)列的通項公式為.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有
,設的前n項和為，則
，
，
兩式相減得，
所以．
16．【解析】(Ⅰ)
由已知，有
=(n≥2)，即(n≥2)，
從而，．
又因為，+1，成等差數(shù)列，即＋＝2(＋1)，
所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2．
所以，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
所以＝．
17．【解析】（Ⅰ）由題意有，
即，
解得
或
故或
（Ⅱ）由，知，，故，于是
，
①
．
②
①－②可得
，
故．
18．【解析】（Ⅰ）
解得
（Ⅱ），
當為偶數(shù)時
．
19．【解析】（Ⅰ）由題意，，，
知，又由，得公比（舍去），
所以數(shù)列的通項公式為，
所以，
故數(shù)列的通項公式為，；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，
所以；
（ii）因為；
當時，，
而，
得，
所以當時，，
綜上對任意恒有，故．
20．【解析】（I）因為是遞增數(shù)列，所以。而，
因此又成等差數(shù)列，所以，因而，
解得
當時，，這與是遞增數(shù)列矛盾。故.
（Ⅱ）由于是遞增數(shù)列，因而，于是
①
但，所以
.
②
又①，②知，，因此
③
因為是遞減數(shù)列，同理可得，故
④
由③，④即知，。
于是
.
故數(shù)列的通項公式為．
21．【解析】（Ⅰ）點在函數(shù)的圖象上，所以，又等差數(shù)列的公差為，所以
因為點在函數(shù)的圖象上，所以，所以
又，所以
（Ⅱ）由，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為
所以切線在軸上的截距為，從而，故
從而，，
所以
故．
22．【解析】（Ⅰ）當時，
當時，
時，，當時，，是“H數(shù)列”．
（Ⅱ）
對，使，即
取得，
，，又，，．
（Ⅲ）設的公差為d
令，對，
，對，
則，且為等差數(shù)列
的前n項和，令，則
當時；
當時；
當時，由于n與奇偶性不同，即非負偶數(shù)，
因此對，都可找到，使成立，即為“H數(shù)列”．
的前n項和，令，則
對，是非負偶數(shù)，
即對，都可找到，使得成立，即為“H數(shù)列”
因此命題得證．
23．【解析】（Ⅰ）由，
所以，
是等差數(shù)列.
而，，，，
（Ⅱ）
24．【解析】（Ⅰ）當時，，
（Ⅱ）當時，，
,
當時，是公差的等差數(shù)列.
構成等比數(shù)列，，，
解得．
由（Ⅰ）可知，
是首項,公差的等差數(shù)列.
數(shù)列的通項公式為.
（Ⅲ）
25．【解析】（Ⅰ）設數(shù)列的公比為，則，.
由題意得
即
解得
故數(shù)列的通項公式為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
.
若存在，使得，則，即
當為偶數(shù)時，，
上式不成立；
當為奇數(shù)時，，即，則.
綜上，存在符合條件的正整數(shù)，且所有這樣的n的集合為．
26．【證明】（Ⅰ）若，則，，又由題，
，，
是等差數(shù)列，首項為，公差為，，又成等比數(shù)列，
，，，，，，
，（）．
（Ⅱ）由題，，，若是等差數(shù)列，則可設，是常數(shù)，關于恒成立．整理得：
關于恒成立．，
．
27．【解析】（Ⅰ）由已知得：
解得,
所以通項公式為.
（Ⅱ）由，得，即.
，
是公比為49的等比數(shù)列，
．
28．【解析】（Ⅰ）由題意得，
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
整理得
．
由題意，
解得．
故該企業(yè)每年上繳資金的值為繳時，經(jīng)過年企業(yè)的剩余資金為4000元．
29．【解析】（Ⅰ）由=，得
當=1時，；
當2時，，.
由，得，.
（Ⅱ）由（1）知，
所以，
，
，．
30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，則
，，
于是，即.
（Ⅱ）對任意m∈，，則，
即，而，由題意可知，
于是
，
即.
31．【解析】（Ⅰ）由題意知，
所以，從而
所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）．所以，
從而
(*)
設等比數(shù)列的公比為，由知下證．
若，則．故當，，與（*）矛盾；
若，則．故當，，與（*）矛盾；
綜上：故，所以．
又，所以是以公比為的等比數(shù)列，若，
則，于是，又由，得，
所以中至少有兩項相同，矛盾．所以，從而，
所以．
32．【解析】（Ⅰ）由，可得
又，
當
當
（Ⅱ）證明：對任意
①
②
②-①，得
所以是等比數(shù)列。
（Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當時，
故對任意
由①得
因此，
于是，
故
33．【解析】（Ⅰ）由可得
又
當時，，由，，可得；
當時，，可得；
當時，，可得；
（Ⅱ）證明：對任意
①
②
③
②—③，得
④
將④代入①，可得
即
又
因此是等比數(shù)列.
（Ⅲ）證明：由（II）可得，
于是，對任意，有
將以上各式相加，得
即，
此式當k=1時也成立.由④式得
從而
所以，對任意，
對于=1，不等式顯然成立.
所以，對任意
34．【解析】（Ⅰ）由已知，當n≥1時，
．而
所以數(shù)列{}的通項公式為．
（Ⅱ）由知
①
從而
②
①-②得
．
即
．
35．【解析】（Ⅰ）表4為
1
3
5
7
4
8
12
12
20
32
它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別為4,8,16,32.
它們構成首項為4，公比為2的等比數(shù)列．將結這一論推廣到表（≥3），即表各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數(shù)列.
將這一結論推廣到表，即表各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數(shù)列．
簡證如下（對考生不作要求）
首先，表的第1行1，3，5，…，是等差數(shù)列，其平均數(shù)為；其次，若表的第行，，…，是等差數(shù)列，則它的第行，，…，也是等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質(zhì)知，表的第行中的數(shù)的平均數(shù)與行中的數(shù)的平均數(shù)分別是
，．
由此可知，表各行中的數(shù)都成等差數(shù)列，且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均數(shù)是
由（Ⅰ）知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數(shù)列（從而它的第行中的數(shù)的平均數(shù)是），于是表中最后一行的唯一一個數(shù)為.因此
．(=1,2,3,
…,
關鍵詞：高中數(shù)學 數(shù)列 函數(shù)
在高中數(shù)學教學中，數(shù)列和函數(shù)是其中的兩個主要部分。在很多的高考數(shù)學題中都常常把數(shù)列和函數(shù)兩者相結合起來，作為一個考察的重點。很多的學生在這方面就感到很大的困難。在高考中也常常容易出現(xiàn)失分的情況，進而影響到整個數(shù)學科目的分數(shù)。為了能夠適應數(shù)學教學的發(fā)展，很多老師也開始加強對數(shù)列和函數(shù)結合點的數(shù)學知識的教學，幫助學生全面提高數(shù)學能力。這也是符合了高考數(shù)學學科中關注學生對知識點的有機結合的一個改革要求的。在高中數(shù)學中數(shù)列和函數(shù)知識的結合主要是數(shù)列中的等差數(shù)列與函數(shù)知識相結合，等比數(shù)列和函數(shù)知識相結合以及等差、等比和函數(shù)的綜合運用。教師在教學中不斷地總結這類題目的解答規(guī)律，把握這類題目的本質(zhì)。下面從一些具體的數(shù)學例題來把握數(shù)列和函數(shù)這兩者間的聯(lián)系。
一、等差數(shù)列的知識和函數(shù)的聯(lián)系
這一類題目的解答的方法都是差不多的，教師在進行這一類題目的詳細解答之后，要幫助學生進行必要的總結，讓學生在面對這一類題目時，不再茫然無措，而是能夠比較熟練地完成題目的要求。
二、等比數(shù)列和函數(shù)之間的綜合運用問題
基本上，等比數(shù)列和函數(shù)之間的綜合運用都是按照數(shù)列的解題思路來進行的。但是，具體上來說，他們都各自結合了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本特征。一般來說，教師會采用下面的方式來解答此類題目?；旧狭私饬诉@一點，整個等比數(shù)列和函數(shù)之間的數(shù)學問題的解決就是從這個關系出發(fā)的。
三、等比、等差數(shù)列和函數(shù)的綜合關系
只要掌握了它們之間的關系，問題就很容易解決了。因為等差數(shù)列、等比數(shù)列都是可以看作是函數(shù)中的特殊函數(shù)。在很多的函數(shù)問題的解決中常常要求它們引入到數(shù)列的方程中。我們可以從函數(shù)的另外一個性質(zhì)來看，數(shù)列其實是可以被看成是一個定義域為正整數(shù)的集合。這樣就很容易構建起了數(shù)列和函數(shù)的關系。下面以一道等差、等比數(shù)列和函數(shù)綜合的題目來分析這個知識點的結合。
四、結語
在高中數(shù)學的教學過程中，綜合題目中的數(shù)列和函數(shù)有時候還會和其他的方程、向量等問題相結合。但是重要的是教會學生把握這些知識點的內(nèi)容和他們結合點的知識的聯(lián)系，這樣就能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學聯(lián)系思維能力，提升學生的數(shù)學思維能力。
參考文獻：
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關鍵詞： 高中數(shù)學教學 數(shù)列 解題技巧
數(shù)列是高中數(shù)學中非常重要的教學內(nèi)容之一，在大學數(shù)學中的應用也非常廣泛。高中數(shù)學老師在數(shù)列的教學過程中，通常是對數(shù)列的基本知識進行講解，通過分析具體的例題和課后練習的布置，讓學生自主分析、思考和總結數(shù)列知識和其中的規(guī)律。但目前學生對于如何掌握和自主總結數(shù)列知識及規(guī)律還是存在很多困難，很多學生會將通項公式搞混，或者在拿到題目后不知道從何入手，出現(xiàn)考試時失分等不利影響。因此下面將通過列舉數(shù)列解題的策略及對教學方式進行探討，從而得出讓學生更快更好掌握數(shù)列知識的有效手段。
一、掌握一定的數(shù)列知識
1.對基礎內(nèi)容要熟記。
2.掌握基礎的前提下逐漸擴展。
二、掌握一定的解題技巧
在高中數(shù)學的考查過程中，包括高考在內(nèi)，對于數(shù)列的通項公式的考查非常多，而其中的數(shù)列求和是重點需要老師講解的內(nèi)容，對于數(shù)列的求和有幾種常見的解題技巧。
1.錯位相減法。
2.通過合并來求和。
在數(shù)列的各種考查題型中，有時候會出現(xiàn)一些特殊的題型，要知道任何數(shù)列都存在一定的規(guī)律可以尋找，通常解題的時候可以將這些數(shù)列的個別項進行整合，就可以找到該數(shù)列的特殊性質(zhì)了。遇到這樣類型的題，老師要教會學生對數(shù)列進行一定的整合，從而求出特殊性質(zhì)中各項的和，最后進行整體的求和，將題目解答出來。
3.利用數(shù)學歸納法解決不等式
在解題過程中，數(shù)學歸納法是一個常用的解題技巧，通常在解答與正整數(shù)n相關的題目中，多被運用在證明不等式的過程中。要想讓學生求一個通項公式還是存在些許的難度，很多學生在面對證明題時都不知道應該如何入手，往往這是考試的失分點。老師應該更多地引導學生利用數(shù)學歸納法進行不等式證明，這樣才可以讓學生在難度較大的題目上都可以獲得一定的分數(shù)，避免考試出現(xiàn)知識點掌握不平衡的現(xiàn)象。
三、老師在教學過程中該如何培養(yǎng)學生更好地學習數(shù)列知識
1.引導學生進行推理，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力。
2.鍛煉學生自主推理，得出通項公式。
在素質(zhì)教育的要求中，高中數(shù)學必修中要更注重發(fā)展學生的自主推理能力，因此老師在教學過程中要做到合乎情理地推理和演繹，在培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的同時，提高學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維邏輯能力。在上課過程中，老師應該做到的是自身對于概念和定理都了如指掌，從而為學生的推理論證打下一定的基礎，做好良好的示范作用，培養(yǎng)學生進行良好的推理論證習慣；挖掘推理過程需要的素材，在教學過程中通過布置好合理的推理論證聯(lián)系，通過不同的上課方式，有條理、有差異性地培養(yǎng)不同程度學生的推理能力等。
總而言之，數(shù)列考查一直是高考數(shù)學中必考的重點內(nèi)容，需要老師在高中數(shù)學教學過程中對數(shù)列問題進行具體深入的講解。在講解過程中，老師要更多地注重數(shù)列問題的解題技巧，只有讓學生真正掌握了高中數(shù)學數(shù)列問題，才可以更好地提高學習效率，讓以后的考試或者更深入地學習都不那么吃力。
參考文獻：
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關鍵詞：高考題； 通項公式； 初等數(shù)學； 高等數(shù)學； 遞推式； 解法
數(shù)列在中學數(shù)學中既具有相對的獨立性，又具有較強的綜合性，它是初等數(shù)學與高等數(shù)學的一個重要銜接點，因此歷年高考中占有較大比重。在選擇、填空題中突出“小、巧、活”的特點；在解答題中，常以一般數(shù)列為載體，重點放在數(shù)學思想方法的考查，放在對思維能力以及創(chuàng)新意識和實踐能力的考查上，其中求通項公式即為歷年高考考查的重點之一，下面介紹一些中學數(shù)學數(shù)列通項公式的一些常見解法。
一、觀察、推理法
根據(jù)數(shù)列前n個項求通項時，所求通項公式通常不是唯一的，常用觀察、推理法求解，通過觀察 與n之間的關系，用歸納法寫出一個通項公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律。
例.求出下列數(shù)列的通項公式
1、數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，復習時要善于利用函數(shù)的思想來解決；
2、運用方程思想解等差（比）數(shù)列，是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量 ，掌握好設未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代換”來簡化運算；
3、分類討論思想在本章尤為突出，復習時考慮問題需全面，如等比數(shù)列的 兩種情況等；
4、等價轉(zhuǎn)化是數(shù)列的常用解題思想，如 的轉(zhuǎn)化，將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù)列來解決，復習時，要及時總結歸納。
5、深刻理解等差（比）數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是學好本節(jié)的關鍵。
6、理科數(shù)列考查分析問題、解決問題能力的綜合題，常蘊含著考要的數(shù)學思想方法（如：分類討論思想、函數(shù)與方程的思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、換元法、構造（或建模）法等）.難度有逐年上升趨勢，復習中應注意加強數(shù)列與其它知識的聯(lián)系與交匯內(nèi)容的強化。
參考文獻
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關鍵詞: 2009年高考試題數(shù)列比較分析
高考是全國普通高等院校統(tǒng)一招生考試的簡稱,是一種競爭、選拔性的考試。作為我國高中教學的唯一評價標準,它關系到社會的方方面面。數(shù)學是高考的主要考試科目,數(shù)學試題又是高考中數(shù)學科目的關鍵,因此高考中的數(shù)學試題也是值得注意的方面。
數(shù)列在整個高中數(shù)學教學內(nèi)容中,處于數(shù)學知識和教學方法的匯合點。與高中的許多知識,如方程、不等式、函數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)等,都有著密切的聯(lián)系。在數(shù)列的題目中,這些知識點都能充分運用。因此數(shù)列部分在我國高考數(shù)學這一科目中占有重要地位。
對2009年全國高考的18份數(shù)學理科試卷:全國卷Ⅰ,全國卷Ⅱ,北京卷,湖北卷,陜西卷,四川卷,安徽卷,福建卷,遼寧卷,江蘇卷,山東卷,廣東卷,浙江卷,天津卷,江西卷,重慶卷,湖南卷,寧夏、海南卷的比較分析,均有數(shù)列這部分內(nèi)容的試題。對其中的考查題型與命題知識點的分析如下。
一、考查題型比較
高考數(shù)學考試的題型有三種:選擇題、填空題和簡答題。其中填空題和選擇題都屬于提供型試題。選擇題與填空題在數(shù)學考試中每道題的分值在5分左右,而簡答題的分值一般都在10分以上。
所研究的18套2009年高考試卷,都涉及了數(shù)列內(nèi)容的試題。而且其中在11份試卷中,數(shù)列部分的內(nèi)容被列為簡答題,在這11份試卷中有7份試卷,除了將數(shù)列的題目列為簡答題外,也將其知識點放在填空或選擇題中考查,數(shù)列知識點在卷面上的分值都在12分以上。只有5份試卷對數(shù)列知識的評價分值放在5分左右,只將其作為填空題或者選擇題。有兩份試卷對這部分內(nèi)容既作為選擇題又作為填空題來考查,分值都在10分左右。
通過比較發(fā)現(xiàn),全國卷的兩套試題和安徽卷、江蘇卷、江西卷、廣東卷、重慶卷對數(shù)列部分的試題分值都達到了15分以上,考查的內(nèi)容均為綜合性的知識,大多涉及數(shù)列通項公式的推導和數(shù)列與函數(shù)知識點、數(shù)列與不等式知識點的結合。而北京卷、陜西卷、福建卷、浙江卷這幾套高考試題對數(shù)列的試題分值較小,只有5分左右,而且以考查基本知識點為主。
二、考查的知識點
從考查的知識點來說,高考在考查數(shù)列部分內(nèi)容過程中主要有以下幾個主要的知識點。
1.等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的應用,以及它們之間的關系。
如2009年浙江卷填空題第11題。
這道題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式,以及它們之間的關系。在歷年的考試題中,對等差、等比數(shù)列的基本概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和,以及通項公式與前n項和之間關系的題目屢見不鮮。不僅在填空選擇題,還在簡答題中也作為基本題型出現(xiàn)。
2.數(shù)列的求和問題,遞推數(shù)列問題,數(shù)列應用問題。
如2009年湖北卷簡答題第19題。
這道題主要考查數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的定義、數(shù)列求和、數(shù)學歸納法等基礎知識和基本技能,考查學生分析問題的能力和推理論證的能力。解決此類問題要熟練數(shù)列等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和的公式,也要掌握常用的通項公式及前n項和的求法,如錯位相減法,拆項法等。這種題目主要是數(shù)列知識點的綜合運用。
3.數(shù)列與其它知識點的綜合問題。
如:2009年廣東卷第21題是一道考查函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合題目。
這道高考題以數(shù)列知識為基礎,分別考查了數(shù)列的遞推關系、數(shù)列的通項公式、不等式的放縮等內(nèi)容,是函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合題目,還能夠考查學生的抽象概括能力,推理論證能力,運算求解能力和創(chuàng)新意識。
在對數(shù)列這部分高考試題的研究,我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列內(nèi)容命題的多元化。這些題目也反映出了我國高考數(shù)學命題的方方面面。
三、總結與反思
1.總結
通過對2009年不同數(shù)學試卷中數(shù)列部分命題研究,以及對數(shù)列試題的異同分析,我們不難得出以下結論。
(1)單純基礎知識點的試題較少,學生能力的考查較多。
在這18份數(shù)學高考試卷中,就數(shù)列這部分內(nèi)容來看,單純考查學生數(shù)列的基本概念、性質(zhì)、通項公式的題目很少,大部分的試題是數(shù)列知識的綜合運用、學生的歸納推理能力,以及數(shù)列知識與其它數(shù)學知識的綜合運用。
“過去多年的改革基本上是在科目設置上,科目多少上做文章,沒有去觸動影響高中學生能力和素質(zhì)的關鍵――高考的內(nèi)容,把高考內(nèi)容作為改革的重點是新一輪高考改革的關鍵”。[1]而這里所說的高考內(nèi)容就是高考試題。數(shù)列試題的命題現(xiàn)在已經(jīng)重視考查學生的數(shù)學能力及數(shù)學思想方法。
(2)高中課程改革對高考數(shù)列試題的影響。
高中課程改革與高考改革是當前教育改革的兩大熱點問題,高考的命題關系到新課程改革的實施與高校人才的選拔。作為高中課程改革的一部分,高考命題也充分反映了高中新課程標準的要求?！皵?shù)列作為一種特殊的函數(shù),是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型”,“學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析,建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型,探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關系,感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應用,并利用他們解決一些實際問題”。[2]
各地的高考卷中,數(shù)列這部分的命題表現(xiàn)出了題目新穎,提供了新的信息、新的材料,從不同的角度對數(shù)列的知識點進行考查,通過與不等式、方程、函數(shù)、解析幾何等知識點融合起來,引導學生從不同的角度思考數(shù)列的模型。
2.2009年高考試題對2010年高考的啟示
2010年普通高校招生全國統(tǒng)一大綱――數(shù)學(理)(必修+選修Ⅱ)中對數(shù)列這部分的考試要求為:(1)理解數(shù)列的概念,了解數(shù)列通項公式的意義,了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。(2)理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式,并能解決簡單的實際問題。(3)理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式,并能解決簡單的實際問題。大綱中還強調(diào)了數(shù)學能力、數(shù)學思想方法、數(shù)學意識等方面提出了考查要求。從2009年各種數(shù)學試卷對數(shù)列命題可以看出,2010年的試卷中仍然不會單獨地考查單獨的數(shù)列知識點,仍然會以數(shù)列的綜合題型或與解析幾何、函數(shù)、不等式等知識點結合起來。因此,學生學習數(shù)列的過程中,應運用數(shù)列的思想,通過類比歸納,將數(shù)列的通項公式之間的關系和數(shù)列與其它數(shù)學知識點之間的關系結合起來,真正認識數(shù)列的本質(zhì)。
參考文獻:
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在各級各類的招聘考試中，經(jīng)常出現(xiàn)一些有關數(shù)列的填空題或選擇題.給出數(shù)列的一些項，讓應聘者通過觀察這些項的規(guī)律，填上指定的某一項；或者給出幾個選項，讓應聘者從中選出正確的答案.筆者認為，這類問題雖然可以考察應聘者歸納總結、合情推理等方面的能力，但是，至少存在下面兩個問題值得我們探討：
1 有些數(shù)列的規(guī)律比較特殊，有偏難偏怪之嫌，應聘者很難在短時間內(nèi)找到它的規(guī)律
例如，有這樣一道題：觀察下面這個數(shù)列的前五項，寫出它的第六項：61，52，63，94，46.假如你是應聘者，請你不妨試一試，看看需用多長時間能夠得出答案.命題者給出的答案是18.為什么答案是18呢？理由是這樣的：把這個數(shù)列的每一項的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，前五項成為：16，25，36，49，64，分別是 42，52 ，62，72 ，82 ，按照這個規(guī)律，后面一項應該是 92，即81，對調(diào)81的個位數(shù)字與十位數(shù)字，就得到18.這類數(shù)學問題，作為茶余飯后的游戲玩玩尚可，如果作為一種正是招聘的試題，那么就顯得不太合適了.雖然這類問題也能考查應聘者的歸納和推理能力，但是，從選拔人才的角度來講，卻不是首選的問題。
筆者查看了近幾年各級公務員招聘的部分試題以及一些模擬試題；也與一些應聘者進行過交談.筆者了解到：試題中所給出的數(shù)列的規(guī)律比較特殊，往往使一些應聘者望而卻步，從而放棄對這類問題的進一步思考，他們寧愿把有限的考試時間和精力放在解決其它問題上.這樣一來，也就談不上考查歸納總結、合情推理等方面的能力，當然也就失去了這類試題的意義。
2 答案的不唯一性，使這類問題的科學性遭到質(zhì)疑
對于以選擇題形式給出的問題來說，我們有充足的理由可以說明，幾個備選答案都是正確的；而對于以填空題形式給出的問題來說，我們甚至可以說，填上任何的正整數(shù)都是正確的.從這個角度來說，這類試題缺乏科學性，甚至可以說是錯誤的. 也許你對這種說法持懷疑態(tài)度，但是，看完下面的討論之后，你就會打消疑慮.
實際上，對于任意的有窮數(shù)列，如果只給出有限項，而要求填寫指定的某一項，那么我們都可以構造出類似于公式（1）的數(shù)列的通項公式，從而找到符合"規(guī)律"的若干個數(shù).
因此我們說，類似于前文所述的招聘考題是不科學的！
下面我們給出2011年與2012年河北省公務員錄用考試中的相關題目，有興趣的讀者可以仿照上面的方法，自己試一試.
2011年河北省公務員錄用考試《行政職業(yè)能力測驗試卷》第二部分"數(shù)量關系"第一題數(shù)字推理：給你一個數(shù)列，但其中缺少一項，要求你從四個選項中選出你認為最符合數(shù)列排列規(guī)律的一項，來填補空缺。
（1） -1，0，1，1，4，（ ）
A.8 B.11 C.25 D.36
（2）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（3）257，178，259，173，261，168，263，（ ）
A.163 B.164 C.178 D.275
（4）2，3，4，9，32，（ ）
A.47 B.83 C.128 D.279
（5）1，1，2，6，24，（ ）
A.48 B.96 C.120 D.122
2012年河北省公務員錄用考試《行政職業(yè)能力測驗試卷》第二部分"數(shù)量關系"第一題數(shù)字推理：給你一個數(shù)列，但其中缺少一項，要求你仔細觀察數(shù)列的排列規(guī)律，然后從四個供選擇的選項中選擇你認為最合理的一項，來填補空缺，使之符合原數(shù)列的排列規(guī)律。
（1） 0，0，6，24，60，（ ）
A.180 B.196 C.210 D.216
（2）2，3，7，45，2017，（ ）
A.4068271 B.4068273 C.4068275 D.4068277
（3）2，2，3，4，9，32，（ ）
A.129 B.215 C.257 D.283
（4）0，4，16，48，128，（ ）
A.280 B.320 C.350 D.420
（5）0.5，1，2，5，17，107，（ ）
關鍵詞：遞推數(shù)列；通項公式；方法
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1006-5962（2013）07-0243-01
引言
近些年，高考數(shù)學試卷中不乏有求遞推數(shù)列通項公式的題目涌現(xiàn)，特別是在解答題部分。就求遞推數(shù)列的通項公式本身而言，涵蓋了全面的數(shù)學綜合知識，對學生的觀察能力、創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維能進行有效的考察。仔細分析，不難發(fā)現(xiàn)所涉及的題目求通項公式的題目難度呈現(xiàn)逐年遞增的態(tài)勢。足可見，求遞推數(shù)列通項公式已成為高考考查的側重點之一。因而，在高考復習時，對通項公式的有關求法與知識點應進行全面的歸納與總結。
根據(jù)多年的課堂教學實踐，本人對求數(shù)列的通項公式的常用方法進行了總結和歸納，以便各位考生在解題的過程中，選擇最佳方法，提高做題速度和準確度。
4.結語
數(shù)列在高考數(shù)學中的舉足輕重，是數(shù)學每年必考的重要知識點之一。在創(chuàng)新題型中等差數(shù)列及等比數(shù)列仍然作為考查的重點。對于數(shù)列通項公式的考查滲透了分類討論和類比等重要的數(shù)學思想。因此，各位考生在備考時應著重培養(yǎng)自身分析與解決問題的能力，抓重點，把握考點，最終在高考中取勝。
以上是幾種常見的求數(shù)列通項公式的方法。需要指出的是求數(shù)列的通項公式并沒有固定的方法，這里所舉方法，僅讓大家注意的題型，在具體的做題過程中還是要靈活選擇，具體分析。若有不當之處，敬請各位同仁批評指正。
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